文档内容
2025-2026学年全国九省联考高三（上）联考数学试卷（1月份）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。
1．（5分）已知集合 A＝{x Z|x2+x﹣6＜0}，B＝{x|y＝ln（1﹣x）}，则集合 A∩B中的元素个数为
（ ） ∈
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（5分）已知i为虚数单位，，则|z|＝（ ）
A．5 B． C．10 D．
3．（5分）若方程表示焦点在y轴上的双曲线，则实数m的取值范围是（ ）
A．（﹣2，5） B．（5，+∞）
C．（﹣∞，﹣2）∪（5，+∞） D．（﹣∞，﹣2）
4．（5分）在平面直角坐标系中，直线l ：2x+3y﹣1＝0关于直线l：x﹣y+2＝0对称的直线l 的方程是（
1 2
）
A．3x﹣2y+1＝0 B．3x﹣2y﹣1＝0 C．3x+2y﹣1＝0 D．3x+2y+1＝0
5．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．若sinB（c﹣b）＝（sinA+sinC）（c﹣
a），且，则△ABC的面积为（ ）
A． B． C． D．2
6．（5分）函数的部分图象如图所示，△ABC是正三角形，其中A，B两点为图象与x轴的交点，C为图
象的最高点，且OB＝3OA，则f（0）+f（1）+f（2）+⋯+f（2024）+f（2025）＝（ ）
A． B． C． D．0
7．（5分）已知F ，F 是椭圆C的左、右焦点，点M为椭圆C上的一点，点N在x轴上，满足∠F MN
1 2 1
＝∠F MN＝60°．若，则椭圆C的离心率为（ ）
2
A． B． C． D．
8．（5分）已知函数．若不等式f（xex﹣a）+f（﹣2lnx﹣2x）≥0在（0，+∞）上恒成立，则实数a的取
值范围是（ ）
第1页（共16页）A．（﹣∞，2﹣2ln2] B．（﹣∞，2+2ln2]
C．（﹣∞，2ln2] D．（﹣∞，2]
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全
部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
（多选）9．（6分）已知正项等比数列{a }的公比为q，前n项的积为S ．若a ＝1，S ＝4096，则下列
n n 3 8
说法正确的有（ ）
A．a a ＝±8 B．q＝2
3 6
C．a ＝4 D．当S 最小时，n＝2
5 n
（多选）10．（6分）已知圆C：x2+y2＝4，直线l：y＝x+b2+1，b R，则下列结论正确的有（ ）
A．存在b使得圆C关于直线l对称 ∈
B．圆心到直线l的距离最小值为
C．当时，直线l与圆C相切
D．存在b使得圆C上有三个点到直线l的距离为1
（多选）11．（6分）已知F为椭圆C：的左焦点，直线l：y＝kx（k≠0）与椭圆C交于A，B两点，
AE⊥x轴，垂足为E，直线BE与椭圆C的另一个交点为P，则下列结论正确的有（ ）
A．直线BE的斜率为
B．∠PAB为直角
C．△ABE面积的最大值为
D．的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）已知函数则f（f（e））＝ ．
13．（5分）在双曲线C：中，过右焦点F的直线与双曲线C同一支交于不同的两点A，B，线段AB的中
点为P．若直线OP的斜率为，则直线AB的斜截式方程为 ．
14．（5分）在平行六面体ABCD﹣A B C D 中，∠BAA ＝∠DAA ＝60°，∠BAD＝90°．若AB＝1，AD
1 1 1 1 1 1
＝2，A C＝3，则AC ＝ ．
1 1
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）已知平面内三点A（2，3），B（4，﹣1），C（7，2）．
（1）若直线l 经过点A且与线段BC有交点，求直线l 的斜率的取值范围；
1 1
（2）若直线l 经过点A，且与x，y轴的正半轴分别交于P，Q两点，求|AP|•|AQ|的最小值及此时l 的
2 2
方程．
16．（15分）如图，在三棱锥O﹣ABC中，OA，OB，OC两两垂直，OA＝OC＝3，OB＝2．
第2页（共16页）（1）求直线OB与平面ABC所成角的正弦值；
（2）求二面角O﹣BC﹣A的正切值．
17．（15分）已知一动圆的圆心为M，该动圆与圆外切，同时与圆内切．
（1）求该动圆圆心M的轨迹方程；
（2）设圆心M的轨迹为曲线C．点P在曲线C上（异于顶点），A （﹣6，0），A （6，0），F（﹣
1 2
3，0），直线A P交y轴于点Q，若△A PQ的面积是△A FQ的面积的两倍，求|A P|的值．
1 2 1 1
18．（17分）已知函数．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）设，若对任意x [e，+∞），e﹣xg（x）lnx﹣g（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．
19．（17分）我们把形如∈的数学对象称作一个2×2矩阵．定义矩阵乘法：•．已知矩阵．
（1）若矩阵，计算A•B和B•A．
（2）若矩阵，其中a，b，c，d都是正整数，且满足A•B＝B•A和ad﹣bc＝1，证明：d2+bd﹣b2＝1．
（3）现定义Ak+1＝Ak•A，其中，k N且，利用以上定义．写出数列{a }与{b }间的递推关系式；记，
k k
为方程 2+ ＝1＝0的两个根，利用∈数列{a + b }和{a + b }，求数列{a }，{b }的通项公式．
k 1 k k 2 k k k
λ λ λ λ
第3页（共16页）2025-2026学年全国九省联考高三（上）联考数学试卷（1月份）
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C B B D C B C A
二．多选题（共3小题）
题号 9 10 11
答案 BC BCD AD
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。
1．（5分）已知集合 A＝{x Z|x2+x﹣6＜0}，B＝{x|y＝ln（1﹣x）}，则集合 A∩B中的元素个数为
（ ） ∈
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】分别化简集合A，B，可得集合A∩B中的元素个数．
【解答】解：集合A＝{x Z|x2+x﹣6＜0}＝{﹣2，﹣1，0，1}，B＝{x|y＝ln（1﹣x）}＝{x|x＜1}，
则集合A∩B＝{﹣2，﹣1∈，0}，元素个数为3个．
故选：C．
2．（5分）已知i为虚数单位，，则|z|＝（ ）
A．5 B． C．10 D．
【分析】由商的模等于模的商求解．
【解答】解：由，得|z|＝||．
故选：B．
3．（5分）若方程表示焦点在y轴上的双曲线，则实数m的取值范围是（ ）
A．（﹣2，5） B．（5，+∞）
C．（﹣∞，﹣2）∪（5，+∞） D．（﹣∞，﹣2）
【分析】结合双曲线的方程及性质求解即可．
【解答】解：已知方程表示焦点在y轴上的双曲线，
则
解得m＞5，
第4页（共16页）即实数m的取值范围是（5，+∞）．
故选：B．
4．（5分）在平面直角坐标系中，直线l ：2x+3y﹣1＝0关于直线l：x﹣y+2＝0对称的直线l 的方程是（
1 2
）
A．3x﹣2y+1＝0 B．3x﹣2y﹣1＝0 C．3x+2y﹣1＝0 D．3x+2y+1＝0
【分析】联立直线方程求得直线l 与直线l的交点坐标，再求出直线l 上的点B（2，﹣1）关于直线l
1 1
的对称点C的坐标，则答案可求．
【解答】解：联立，解得，
即直线l 与直线l的交点为A（﹣1，1），设直线l 上的点B（2，﹣1）关于直线l的对称点为C（x，
1 1
y），
则，解得，则C（﹣3，4），
则直线AC即直线l 的方程为y﹣1，即3x+2y+1＝0．
2
故选：D．
5．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．若sinB（c﹣b）＝（sinA+sinC）（c﹣
a），且，则△ABC的面积为（ ）
A． B． C． D．2
【分析】根据正弦定理化简已知等式，可得b2+c2﹣a2＝bc，结合余弦定理求出A＝60°，然后根据，结
合向量数量积的定义求出bc＝8，进而运用三角形的面积公式求出答案．
【解答】根据sinB•（c﹣b）＝（sinA+sinC）（c﹣a），
结合正弦定理得b（c﹣b）＝（c+a）（c﹣a），化简得b2+c2﹣a2＝bc，
根据余弦定理得cosA，结合A （0， ），可得A＝60°，
因为，即bccosA＝4， ∈ π
所以bc8，可得△ABC的面积SbcsinA．
故选：C．
6．（5分）函数的部分图象如图所示，△ABC是正三角形，其中A，B两点为图象与x轴的交点，C为图
象的最高点，且OB＝3OA，则f（0）+f（1）+f（2）+⋯+f（2024）+f（2025）＝（ ）
第5页（共16页）A． B． C． D．0
【分析】过点C作CD⊥x轴于点D，利用正弦函数的周期公式和对称性得到 ， ，再利用函数的周
期性可得． ω φ
【解答】解：过点C作CD⊥x轴于点D，
则由函数的部分图象，可得，
又△ABC是正三角形，
可得AB＝2，
设函数f（x）的最小正周期为T，则T＝4，
由于 ＞0，可得，
可得，ω
由于OB＝3OA，
可得，，
可得，，，
可得，k Z，解得，k Z，
由于0＜∈ ＜ ， ∈
可得， φ π
可得，
则，
所以．
故选：B．
7．（5分）已知F ，F 是椭圆C的左、右焦点，点M为椭圆C上的一点，点N在x轴上，满足∠F MN
1 2 1
＝∠F MN＝60°．若，则椭圆C的离心率为（ ）
2
A． B． C． D．
【分析】由已知可得直线MN平分∠F MF ，结合已知向量等式可得|MF |＝2|MF |，得到，，再由余弦
1 2 1 2
定理列式求解．
【解答】解：因为点M在椭圆上，所以|MF |+|MF |＝2a，
1 2
第6页（共16页）由已知可得，直线MN平分∠F MF ，
1 2
由，得|MF |＝2|MF |，
1 2
所以，，
在△F MF 中，由余弦定理得：cos∠F MF ，
1 2 1 2
因为∠F MF ＝120°，
1 2
所以，化简得：，即e．
故选：C．
8．（5分）已知函数．若不等式f（xex﹣a）+f（﹣2lnx﹣2x）≥0在（0，+∞）上恒成立，则实数a的取
值范围是（ ）
A．（﹣∞，2﹣2ln2] B．（﹣∞，2+2ln2]
C．（﹣∞，2ln2] D．（﹣∞，2]
【分析】化简得到f（x）＝ex﹣e﹣x+sinx，利用导数求得f（x）是增函数，且f（x）是奇函数，把不等
式转化为a≤xex﹣2lnx﹣2x在（0，+∞）上恒成立，令g（x）＝elnx+x﹣2（lnx+x），转化为a≤g（x）
在（0，+∞）上恒成立，令t＝lnx+x，得到h（t）＝et﹣2t，利用导数求得h（t）的单调性和最小值，
即可求解．
【解答】解：由函数f（x）＝ex﹣e﹣x﹣2sin5（2sin2x﹣1）＝ex﹣e﹣x+sinx，x R，
则f当且仅当x＝0时，等号成立）， ∈
所以f′（x）＞0在R上恒成立，所以函数f（x）是增函数，
因为f（﹣x）＝e﹣x﹣ex+sin（﹣x）＝e﹣x﹣ex﹣sinx＝﹣f（x），所以f（x）是奇函数，
因为f（xex﹣a）+f（﹣2lnx﹣2x）≥0在（0，+∞）上恒成立，
即f（xex﹣a）≥﹣f（﹣2lnx﹣2x）＝f（2lnx+2x）在（0，+∞）上恒成立，
所以xex﹣a≥2lnx+2x在（0，+∞）上恒成立，
即a≤xex﹣2lnx﹣2x在（0，+∞）上恒成立，
令g（x）＝xex﹣2lnx﹣2x＝elnx+x﹣2（lnx+x），则a≤g（x）在（0，+∞）上恒成立，
令t＝lnx+x，则t R，且函数g（x）等价于h（t）＝et﹣2t，
因为h'（t）＝et﹣∈2，令h'（t）＞0，可得t＞ln2；令h'（t）＜0，可得t＜ln2，
所以h（t）在（﹣∞，ln2）上单调递减，在（ln2，+∞）上单调递增，
所以h（t）≥h（ln2）＝2﹣2ln2，所以函数h（t）的最小值为2﹣2ln2，
即g（x）的最小值为2﹣2ln2，所以a≤2﹣2ln2，即实数a的取值范围是（﹣∞，2﹣2ln2]．
故选：A．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全
第7页（共16页）部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
（多选）9．（6分）已知正项等比数列{a }的公比为q，前n项的积为S ．若a ＝1，S ＝4096，则下列
n n 3 8
说法正确的有（ ）
A．a a ＝±8 B．q＝2
3 6
C．a ＝4 D．当S 最小时，n＝2
5 n
【分析】根据题意，由等比数列的性质分析A，由等比数列的通项公式分析B、C，结合S 的意义，分
n
析D，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，正项等比数列{a }的公比为q，前n项的积为S ．
n n
对于A，若a ＝1，S ＝4096，则有S ＝（a a ）4＝4096，变形可得a a ＝8，A错误；
3 8 8 3 6 3 6
对于B，又由a ＝1，则a ＝a q3＝q3＝8，解可得q＝2，B正确；
3 6 3
对于C，由于a ＝1，q＝2，则a ＝a q2＝q2＝4，C正确；
3 5 1
对于D，由于a ＝1，q＝2，故当n＝1、2时，a ＜1，当n＝3时，a ＝1，当n＞3时，a ＞1，故当S
3 n 3 n n
最小时，n＝2或3，D错误．
故选：BC．
（多选）10．（6分）已知圆C：x2+y2＝4，直线l：y＝x+b2+1，b R，则下列结论正确的有（ ）
A．存在b使得圆C关于直线l对称 ∈
B．圆心到直线l的距离最小值为
C．当时，直线l与圆C相切
D．存在b使得圆C上有三个点到直线l的距离为1
【分析】由对称性得到圆心在直线上代入直线方程可得A；由圆心到直线的距离公式可判断B、C、
D．
【解答】解：圆C：x2+y2＝4，圆C的圆心为C（0，0），半径r＝2．
对于选项A，若圆C关于直线l：y＝x+b2+1，b R对称，则圆心C在直线l上，即0＝0+b2+1，
关于b的方程没有实数解，∴不存在b使得圆C∈关于直线l对称，故A选项错误．
对于选项B，圆心C到直线l的距离，当且仅当b＝0时，等号成立，故B选项正确．
对于选项C，当时，直线l的方程为．
∵圆心C到直线l的距离为，∴直线l与圆C相切，故C选项正确．
对于选项D，∵r＝2，∴当圆C上有三个点到直线l的距离为1时，圆心C到直线l的距离为1，
即，∴，解得，故D选项正确．
故选：BCD．
（多选）11．（6分）已知F为椭圆C：的左焦点，直线l：y＝kx（k≠0）与椭圆C交于A，B两点，
第8页（共16页）AE⊥x轴，垂足为E，直线BE与椭圆C的另一个交点为P，则下列结论正确的有（ ）
A．直线BE的斜率为
B．∠PAB为直角
C．△ABE面积的最大值为
D．的最小值为
【分析】由椭圆的对称性，结合题设可判定A；根据直线的斜率公式推得直线PA与直线PB的斜率关
系可判定B；由椭圆焦点三角形的面积结合基本不等式可判定C；根据椭圆定义结合基本不等式可判
定D．
【解答】解：由椭圆和直线的对称性，设k＞0，点A在x轴上方，椭圆的右焦点为F'，如图，
设A（x ，y ），则B（﹣x ，﹣y ），E（x ，0），，
0 0 0 0 0
故直线BE的斜率，故A正确；
设P（m，n），直线PA的斜率为k ，直线PB的斜率为k ，
PA PB
则，
因为点P和点A在椭圆C上，
所以①，②，
①﹣②得，
又，所以，
所以k •，即，
PA
所以直线PA与AB不垂直，即∠PAB不是直角，故B错误；
联立椭圆C的方程与直线l的方程y＝kx，解得，
则，
所以△ABE的面积，
当且仅当，即时，等号成立，
所以△ABE面积的最大值是，
同理，当k＜0时，△ABE面积的最大值也是，故C错误；
如图，连接AF'，椭圆C的左、右焦点分别为F（﹣2，0），F'（2，0），
由椭圆的定义得|AF|+|AF'|＝2a＝6，
又因为点A，B关于坐标原点对称，
所以|BF|＝|AF'|，所以|AF|+|BF|＝6，
设|AF|＝s，|BF|＝t，s＞0，t＞0，则s+t＝6，
所以，
第9页（共16页）当且仅当，即s＝4，t＝2时，等号成立，故D正确．
故选：AD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）已知函数则f（f（e））＝ ．
【分析】根据题意，由函数的解析式计算可得答案．
【解答】解：根据题意，函数
则f（e）＝lne＝1，f（f（e））＝f（1）＝e﹣1．
故答案为：．
13．（5分）在双曲线C：中，过右焦点F的直线与双曲线C同一支交于不同的两点A，B，线段AB的中
点为P．若直线OP的斜率为，则直线AB的斜截式方程为 y ＝ x ﹣ 3 ．
【分析】由已知结合点差法求得直线AB的斜率，再由直线方程的斜截式得答案．
【解答】解：由双曲线C：，得a2＝6，b2＝3，则c＝3，
可得F（3，0），设A（x ，y ），B（x ，y ），
1 1 2 2
则，，
两式作差得：，即，
设P（x ，y ），则，，
0 0
所以，因为直线OP的斜率为，
所以k ＝1，可得直线AB的斜截式方程为y＝x﹣3．
AB
故答案为：y＝x﹣3．
14．（5分）在平行六面体ABCD﹣A B C D 中，∠BAA ＝∠DAA ＝60°，∠BAD＝90°．若AB＝1，AD
1 1 1 1 1 1
＝2，A C＝3，则AC ＝ ．
1 1
【分析】根据空间向量基本定理和向量数量积的运算进行求解即可．
【解答】解：∵，∠BAA ＝∠DAA ＝60°，∠BAD＝90°，
1 1
∴，∠AA B ＝∠AA D ＝120°，
1 1 1 1
∴
第10页（共16页）∵AB＝1，AD＝2，A C＝3，∴，，，
1
∴9＝||2+1+4﹣||﹣2||，即||2﹣3||﹣4＝0，
解得．
∵，
∴
，
∴，即．
故答案为：．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）已知平面内三点A（2，3），B（4，﹣1），C（7，2）．
（1）若直线l 经过点A且与线段BC有交点，求直线l 的斜率的取值范围；
1 1
（2）若直线l 经过点A，且与x，y轴的正半轴分别交于P，Q两点，求|AP|•|AQ|的最小值及此时l 的
2 2
方程．
【分析】（1）求出直线AB，AC的斜率，然后利用数形结合求解直线l 的斜率范围；
1
（2）由题意直线l 的方程为y﹣3＝k′（x﹣2），求出P，Q 两点坐标，则，然后利用基本不等式求
2
解最小值及直线l 的方程．
2
【解答】解：（1）因为A（2，3），B（4，﹣1），C（7，2），
所以，，
因为直线l 经过点A且与线段BC有交点，
1
所以直线l 的斜率k满足k ≤k≤k ，
1 AB AC
即，
所以直线l 的斜率的取值范围是；
1
（2）由题意，得直线l 的斜率存在，设为k′，则k′＜0，
2
因为直线l 过点A（2，3），所以直线l 的方程为y﹣3＝k′（x﹣2），
2 2
令y＝0，解得，
第11页（共16页）所以，
令x＝0，解得y＝3﹣2k′，
所以Q（0，3﹣2k′），
所以
，
当且仅当，即k′＝﹣1时，等号成立，
所以|AP|•|AQ|的最小值为12．
此时直线l 的方程为x+y﹣5＝0．
2
16．（15分）如图，在三棱锥O﹣ABC中，OA，OB，OC两两垂直，OA＝OC＝3，OB＝2．
（1）求直线OB与平面ABC所成角的正弦值；
（2）求二面角O﹣BC﹣A的正切值．
【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面ABC的法向量，用向量法即可求解；
（2）分别求出平面OBC与平面ABC的法向量，用向量法求出二面角平面角的余弦值，然后利用同角
三角函数关系求解正切值即可．
【解答】解：（1）在三棱锥O﹣ABC中，OA，OB，OC两两垂直，
∴以O为坐标原点，OB，OC，OA分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，如图，
第12页（共16页）由题意OA＝OC＝3，OB＝2，
可知O（0，0，0），A（0，0，3），B（2，0，0），C（0，3，0），
则，
设平面ABC的法向量为，则，
令z＝2，则x＝3，y＝2，得，
又，设直线OB与平面ABC所成角为 ，
∴； θ
（2）由（1）知平面ABC的一个法向量为（3，2，2），
二面角O﹣BC﹣A的平面角 是锐角，
由题意可知（0，0，3）为平α面OBC的一个法向量，
∴cos ，
∵sinα，∴tan ，
即二面α角O﹣BαC﹣A的正切值为．
17．（15分）已知一动圆的圆心为M，该动圆与圆外切，同时与圆内切．
（1）求该动圆圆心M的轨迹方程；
（2）设圆心M的轨迹为曲线C．点P在曲线C上（异于顶点），A （﹣6，0），A （6，0），F（﹣
1 2
3，0），直线A P交y轴于点Q，若△A PQ的面积是△A FQ的面积的两倍，求|A P|的值．
1 2 1 1
【分析】（1）由题意|MC |＝R+2，|MC |＝10﹣R，进而根据椭圆的定义可得；
1 2
（2）由题意设直线A P的方程为y＝k（x+6），则Q（0，6k），联立椭圆方程可得，进而可得，，由，
1
进而可得．
【解答】解：（1）设动圆M的半径为R．
圆，则圆C （﹣3，0），圆的半径r ＝2，
1 1
圆，圆C （3，0），圆的半径r ＝10，
2 2
动圆与圆外切，同时与圆内切．
可得|MC |＝R+r ＝R+2，|MC |＝r ﹣R＝10﹣R，
1 1 2 2
第13页（共16页）故|MC |+|MC |＝12＞6＝|C C |，
1 2 1 2
由椭圆的定义，得圆心M的轨迹是焦点在x轴上，长轴长为12，焦距为6的椭圆．
a＝6，c＝3，故b2＝a2﹣c2＝36﹣9＝27，
故圆心M的轨迹方程为．
（2）由（1）知，M的轨迹为曲线C，即椭圆．
点A ，A 是椭圆C的左、右顶点．A （﹣6，0），A （6，0），F（﹣3，0），如图，
1 2 1 2
由题意知，直线A P的斜率一定存在，设为k，则k≠0，且，
1
直线A P的方程为y＝k（x+6），则Q（0，6k），
1
设P（x ，y ），
P P
由消去y，整理得（3+4k2）x2+48k2x+144k2﹣108＝0．
由题意得，故，
故，
又点A 到直线A P的距离，
2 1
故，
又，
由题意，化简得2|3﹣4k2|＝3+4k2，
解得或，
当时，x ＝3，则；
P
当时，x ＝﹣3，则．
P
综上，|A P|的值为或．
1
18．（17分）已知函数．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）设，若对任意x [e，+∞），e﹣xg（x）lnx﹣g（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．
【分析】（1）求出导∈函数，按照a≤0和a＞0分类讨论研究函数单调性；
（2）将题干恒成立问题转化为，设 （x）＝xex，利用导数法求得 （x）在（﹣1，+∞）上单调递增，
φ φ
第14页（共16页）从而转化为a≤x2lnx在[e，+∞）上恒成立，设h（x）＝x2lnx，x [e，+∞），利用导数法求得，即可
求解． ∈
【解答】解：（1）函数，其定义域为（0，+∞），∴，
当a≤0时，f'（x）＞0恒成立，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增；
当a＞0时，令f'（x）＝0，解得，
当时，f'（x）＜0，当时，f'（x）＞0，
∴f（x）在上单调递减，在上单调递增，
综上所述，当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增；
当a＞0时，f（x）在上单调递减，在上单调递增；
（2）由题意，∴，
∵x [e，+∞），∴不等式可化为，即，
设 ∈（x）＝xex，则当x＜0时， （x）＜0；当x＝0时， （x）＝0；当x＞0时， （x）＞0，
'（φx）＝（x+1）ex，当x＞﹣1φ时， '（x）＞0，∴ （x）φ在（﹣1，+∞）上单调φ递增，
φ当a≤0时，∵x [e，+∞），∴lnx＞φ1，故， φ
当a＞0时，∵x∈[e，+∞），∴lnx＞1，∴，∴在[e，+∞）上恒成立，
即a≤x2lnx在[e，∈+∞）上恒成立，
设h（x）＝x2lnx，x [e，+∞），则h'（x）＝2xlnx+x＝x（2lnx+1）＞0，
∴h（x）在[e，+∞）∈上单调递增，∴h，
∴0＜a≤e2，
综上实数a的取值范围是（﹣∞，e2]．
19．（17分）我们把形如的数学对象称作一个2×2矩阵．定义矩阵乘法：•．已知矩阵．
（1）若矩阵，计算A•B和B•A．
（2）若矩阵，其中a，b，c，d都是正整数，且满足A•B＝B•A和ad﹣bc＝1，证明：d2+bd﹣b2＝1．
（3）现定义Ak+1＝Ak•A，其中，k N且，利用以上定义．写出数列{a }与{b }间的递推关系式；记，
k k
为方程 2+ ＝1＝0的两个根，利用∈数列{a + b }和{a + b }，求数列{a }，{b }的通项公式．
k 1 k k 2 k k k
【分析】λ （λ1）利用矩阵乘法公式求解． λ λ
（2）利用矩阵乘法公式和矩阵相等的定义求解．
（3）利用新定义、矩阵乘法公式、数列间的递推关系能求出结果．
【解答】解：（1）∵A，B，
∴A•B，
B•A．
第15页（共16页）（2）证明：∵A，B，
∴A•B•，
B•A•，
∵A•B＝B•A，∴，∴，
∵ad﹣bc＝1，
∴（b+d）d﹣bc＝1，∴d2+bd﹣b2＝1．
（3）∵A，∴，
∴a ＝2a +b ，①，b ＝a +b ，②
k+1 k k k+1 k k
①+ ②，得a + b ＝2a +b + （a +b ）＝（2+ ）a +（1+ ）b ＝（2+ ）（a b ），
2 k+1 1 k+1 k k 1 k k 1 k 1 k 1 k k
∵，λ λ λ λ λ λ
∴，∴a + b ＝（2+ ）（a + b ），
k+1 1 k+1 1 k 1 k
∵A1＝A0•A•λ，
λ λ
∴a + b ＝2+ ，
1 1 1 1
∴数列λ{a
k
+
1
bλk }是首项和公比均为的等比数列，
同理，数列λ{a
k
+
2
b
k
}是首项和公比均为的等比数列，
∴，， λ
解得，
．
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