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第 40 讲 2023 届高三数学新高考一卷考前模拟五
一、单选题
1．已知全集 ， ， ，则有
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】解指数不等式求得集合 ，进而验证选项即可.
【详解】依题意 ，∵ ，∴ ，故选A.
【点睛】本题考查集合的关系与运算，考查指数不等式的解法，属于基础题.
2．已知 ，则 的虚部是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据复数除法运算化简 ，由共轭复数定义得到 ，由虚部定义得到结果.
【详解】 ， ，
的虚部为 .
故选：D.
3．已知 ， ，则“ ”是“ ”成立的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】先化简 ，然后判断其充分性与必要性即可.【详解】先化简 ，构造函数
，
所以有 ，显然 在 单调递增，所以 ；
又因为 ， ，所以由“ ”不能得出“ ”，由“ ”可得出“ ”，故“
”是“ ”成立的必要不充分条件.
故选：B
4．2019年10月1日在庆祝中华人民共和国成立70周年大阅兵的徒步方队中，被誉为“最强大脑”的院校
科研方队队员分别由军事科学院、国防大学、国防科技大学三所院校联合抽组，已知军事科学学院的甲、
乙、丙三名同学被选上的概率分别为 ， ， ，这三名同学中至少有一名同学被选上的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求出其对立事件“三名同学都没有被选上”的概率即可得解.
【详解】由题：三名同学都没有被选上的概率为 ，
所以这三名同学中至少有一名同学被选上的概率为 .
故选：C
【点睛】此题考查求独立事件同时发生的概率，涉及利用对立事件的概率关系求解概率，当正面求解概率
分类较多的时候可以考虑利用对立事件求概率.
5．在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，若 ， ， 成等差数列，且
，则 边上中线长的最小值是（ ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】C【解析】根据等差中项的性质，结合正弦定理化简可得 ，设 中点为D，再利用平面向量的线性运
算可得 ，再平方利用基本不等式求解即可.
【详解】 ， ， 成等差数列，
，
根据正弦定理有 ，
，
又 ， ，可得 ，
设 中点为D，则 边上中线长为 ，
平方可得
，
当且仅当 时取等号，
故 的最小值为12，即 边上中线长的最小值为 .
故选：C.
【点睛】本题主要考查了正弦定理边角互化的运用，同时也考查了利用基本不等式求最值的问题，同时在
处理三角形中线的时候可以用平面向量表示从而简化计算，属于中档题.
6．函数 的图象如图所示，为了得到 的图象，只需把
的图象上所有点（ ）
A．向右平移 个单位长度 B．向右平移 个单位长度C．向左平移 个长度单位 D．向左平移 个长度单位
【答案】A
【解析】利用图象先求出周期，用周期公式求出 ，利用特殊点求出 ，从而确定解析式，再利用诱导公
式与平移变换法则求解即可.
【详解】由图可知周期满足 ，
故 ，∴ ，
，
，∴ ，
即 ，
所以将 向右平移 个单位，得到 .
故选：A.
【点睛】由图象求三角函数解析的方法：利用最值求出 ,利用图象先求出周期，用周期公式求出 ，利
用特殊点求出 ，正确求 是解题的关键.求解析时求参数 是确定函数解析式的关键，由特殊点求 时，
一定要分清特殊点是“五点法”的第几个点.
7．已知函数 ，其中 ，则 在 上有解的概率为
（ ）
A． B． C． D．0
【答案】A
【分析】由题意知本题是一个古典概型的概率,试验发生所包含的事件数是 种结果,根据所给的
的不同的值,列举出有解的情况,得到概率.
【详解】由题意知本题是一个等可能事件的概率,试验发生所包含的事件数是 种结果,
当 时, ,即 ,在 无解；当 , 时, ,即 ,即 ,在 上有解；
当 时, ,
即 ,在 上无解；
当 , 时, ,
即 ,在 上有解,
综上可知有两个有解,
要求的概率是
故选A.
【点睛】本题主要考查古典概型的概率公式,属于中档题.本题解题的关键是对于a,b的不同的值代入进行检
验,判断有无解,这里的运算比较繁琐,需要认真做题.
8．定义 ，函数 的图象与 轴有两个不同的交点，
则实数 的是（ ）
A． 或 B． 或
C． 或 D． 或
【答案】A
【分析】利用定义得 解析式，可看作 的图象是由 的图象平移得到的，
画出 的图象，结合图象可得答案.
【详解】由 定义可得 ，的图象是由 的图象平移得到的，
的图象与 轴要有两个不同的交点，
结合图象可得 ，或 .
故选：A.
二、多选题
9．2020年3月，为促进疫情后复工复产期间安全生产，某医院派出甲、乙、丙、丁4名医生到 ， ，
三家企业开展“新冠肺炎”防护排查工作，每名医生只能到一家企业工作，则下列结论正确的是（ ）
A．所有不同分派方案共 种
B．若每家企业至少分派1名医生，则所有不同分派方案共36种
C．若每家企业至少分派1名医生，且医生甲必须到 企业，则所有不同分派方案共12种
D．若 企业最多派1名医生，则所有不同分派方案共32种
【答案】BC
【分析】对于选项A：利用分步计数原理求解判断；对于选项B：按1，1，2分组求解判断；对于选项
C：根据每家企业至少分派1名医生，且医生甲必须到 企业，分A企业分2人和1人两类求解判断；对于
选项D：分 企业没有派医生去和派1名医生两类求解判断.
【详解】对于选项A：所有不同分派方案共有34种，故错误；
对于选项B：若每家企业至少分派1名医生，则有 种，故正确；对于选项C：若每家企业至少分派1名医生，且医生甲必须到 企业，若A企业分2人，则有 种；
若A企业分1人，则有 种，所以共有 种，故正确；
对于选项D：若 企业没有派医生去，每名医生有2种选择，则共有 种，若 企业派1名医生则有
种，所以共有 种，故错误；
故选：BC．
10．函数 的图象如图所示， 为函数 的导函数，下列不等式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【分析】根据导数的几何意义可对比切线斜率得到 ，将 看作过 和
的割线的斜率，由图象可得斜率的大小关系，进而得到结果.
【详解】由 图象可知， 在x=2处的切线斜率大于在x=3处的切线斜率，且斜率为正，
，
，
可看作过 和 的割线的斜率，
由图象可知 ，，
故选：AB
11．如图，已知二面角 的棱上有不同两点 和 ，若 ， ， ， ，则
（ ）
A．直线 和直线 为异面直线
B．若 ，则四面体 体积的最大值为2
C．若 ， ， ， ， ， ，则二面角 的大小为
D．若二面角 的大小为 ， ， ， ，则过 、 、 、 四点的球
的表面积为
【答案】ACD
【分析】由异面直线的定义可判断A； 面 且 ，此时四面体 体积的最大值，求出
即可判断B；在平面 内过A作BD的平行线AE，且使得 ，连接 ，四边形 是一个
矩形， 是二面角 的一个平面角，由余弦定理求出 即可判断C；取 的中点 ，
的中点 ，取 的中点 ，连接 ，易知 是二面角 的一个平面角，则
，
过 作平面 的垂线和 平面 的垂线，交于点 ， 即为外接球球心，求出
，即可求出 ，可判断D.
【详解】对于A，由异面直线的定义知A正确；对于B，要求四面体 体积的最大值，则 面 且 ，
此时四面体 体积的最大值：
,故B不正确；
对于C，在平面 内过A作BD的平行线AE，且使得 ，连接 ，
四边形 是一个矩形， 是二面角 的一个平面角，且 面AEC，
所以 面AEC，从而 .
在 中，由余弦定理可知：
所以 .故C正确；
对于D，因为二面角 的大小为 ， ， ， ，
如下图，所以平面 与平面 所成角的大小为 ， ，
取 的中点 ， 的中点 ， 为△ △ 的外心，
取 的中点 ，连接 ，则
所以 是二面角 的一个平面角，则 ，
过 作平面 的垂线和过 作平面 的垂线，交于点 ， 即为外接球球心，
所以 面 ， 面 ， 连接 ， ，
所以易证得： 与 全等，所以 ，所以在直角三角形 ， ，
，则过 、 、 、 四点的球的表面积为 .故D正
确.
故选：ACD
12．关于圆锥曲线下列叙述中正确的有（ ）
A．过双曲线 的右焦点且被双曲线截得的弦长为10的直线共有3条
B．设 是两个定点，k是非零常数，若 ，则动点P的轨迹是双曲线的一支
C．双曲线 与椭圆 有相同的焦点
D．以过抛物线的焦点的一条弦 为直径作圆，则该圆与抛物线的准线相切
【答案】ACD
【分析】求出双曲线的通径及实轴长判断A；利用双曲线定义判断B；求出双曲线、椭圆的焦点坐标判断
C；利用抛物线的定义判断D作答.
【详解】对于A，双曲线 的实轴长为10，则过该双曲线的右焦点与两支相交的直线被双曲线所
截弦长为10的直线只有1条，
双曲线 的通径长为 ，则过该双曲线的右焦点与一支相交的直线被双曲线所截弦长为10
的直线有2条，因此过双曲线 的右焦点且被双曲线截得的弦长为10的直线共有3条，A正确；
对于B，当 时，动点P的轨迹是一条射线，当 时，动点P的轨迹是双曲线的一支，B不
正确；
对于C，双曲线 的焦点坐标为 ，椭圆 的焦点坐标为 ，C正确；
对于D，不妨令抛物线 的焦点为F，准线为l，过点P，Q作准线l的垂线，垂足分别为
，如图，
令线段 的中点为M，过点M作 于 ，因此线段 是直角梯形 的中位线，
则 ，即以线段 为直径的圆与抛物线的准线相切，D正确.
故选：ACD
三、填空题
13．已知函数 ，若过点 存在三条直线与曲线 相切，则 的取值范围为
___________．
【答案】
【分析】设过M的切线切点为 ，求出切线方程，参变分离得 ，令，则原问题等价于y=g(x)与y=-m-2的图像有三个交点，根据导数研究g(x)的图像即可求出
m的范围．
【详解】 ，
设过点 的直线与曲线 相切于点 ，
则 ，
化简得， ，令 ，
则过点 存在三条直线与曲线 相切等价于y=g(x)与y=-m-2的图像有三个交点．
∵ ，
故当x<0或x>1时， ，g(x)单调递增；当0
