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第 40 讲 2023 届高三数学新高考一卷考前模拟五
一、单选题
1．已知全集 ， ， ，则有
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】解指数不等式求得集合 ，进而验证选项即可.
【详解】依题意 ，∵ ，∴ ，故选A.
【点睛】本题考查集合的关系与运算，考查指数不等式的解法，属于基础题.
2．已知 ，则 的虚部是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据复数除法运算化简 ，由共轭复数定义得到 ，由虚部定义得到结果.
【详解】 ， ，
的虚部为 .
故选：D.
3．已知 ， ，则“ ”是“ ”成立的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】先化简 ，然后判断其充分性与必要性即可.【详解】先化简 ，构造函数
，
所以有 ，显然 在 单调递增，所以 ；
又因为 ， ，所以由“ ”不能得出“ ”，由“ ”可得出“ ”，故“
”是“ ”成立的必要不充分条件.
故选：B
4．2019年10月1日在庆祝中华人民共和国成立70周年大阅兵的徒步方队中，被誉为“最强大脑”的院校
科研方队队员分别由军事科学院、国防大学、国防科技大学三所院校联合抽组，已知军事科学学院的甲、
乙、丙三名同学被选上的概率分别为 ， ， ，这三名同学中至少有一名同学被选上的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求出其对立事件“三名同学都没有被选上”的概率即可得解.
【详解】由题：三名同学都没有被选上的概率为 ，
所以这三名同学中至少有一名同学被选上的概率为 .
故选：C
【点睛】此题考查求独立事件同时发生的概率，涉及利用对立事件的概率关系求解概率，当正面求解概率
分类较多的时候可以考虑利用对立事件求概率.
5．在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，若 ， ， 成等差数列，且
，则 边上中线长的最小值是（ ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】C【解析】根据等差中项的性质，结合正弦定理化简可得 ，设 中点为D，再利用平面向量的线性运
算可得 ，再平方利用基本不等式求解即可.
【详解】 ， ， 成等差数列，
，
根据正弦定理有 ，
，
又 ， ，可得 ，
设 中点为D，则 边上中线长为 ，
平方可得
，
当且仅当 时取等号，
故 的最小值为12，即 边上中线长的最小值为 .
故选：C.
【点睛】本题主要考查了正弦定理边角互化的运用，同时也考查了利用基本不等式求最值的问题，同时在
处理三角形中线的时候可以用平面向量表示从而简化计算，属于中档题.
6．函数 的图象如图所示，为了得到 的图象，只需把
的图象上所有点（ ）
A．向右平移 个单位长度 B．向右平移 个单位长度C．向左平移 个长度单位 D．向左平移 个长度单位
【答案】A
【解析】利用图象先求出周期，用周期公式求出 ，利用特殊点求出 ，从而确定解析式，再利用诱导公
式与平移变换法则求解即可.
【详解】由图可知周期满足 ，
故 ，∴ ，
，
，∴ ，
即 ，
所以将 向右平移 个单位，得到 .
故选：A.
【点睛】由图象求三角函数解析的方法：利用最值求出 ,利用图象先求出周期，用周期公式求出 ，利
用特殊点求出 ，正确求 是解题的关键.求解析时求参数 是确定函数解析式的关键，由特殊点求 时，
一定要分清特殊点是“五点法”的第几个点.
7．已知函数 ，其中 ，则 在 上有解的概率为
（ ）
A． B． C． D．0
【答案】A
【分析】由题意知本题是一个古典概型的概率,试验发生所包含的事件数是 种结果,根据所给的
的不同的值,列举出有解的情况,得到概率.
【详解】由题意知本题是一个等可能事件的概率,试验发生所包含的事件数是 种结果,
当 时, ,即 ,在 无解；当 , 时, ,即 ,即 ,在 上有解；
当 时, ,
即 ,在 上无解；
当 , 时, ,
即 ,在 上有解,
综上可知有两个有解,
要求的概率是
故选A.
【点睛】本题主要考查古典概型的概率公式,属于中档题.本题解题的关键是对于a,b的不同的值代入进行检
验,判断有无解,这里的运算比较繁琐,需要认真做题.
8．定义 ，函数 的图象与 轴有两个不同的交点，
则实数 的是（ ）
A． 或 B． 或
C． 或 D． 或
【答案】A
【分析】利用定义得 解析式，可看作 的图象是由 的图象平移得到的，
画出 的图象，结合图象可得答案.
【详解】由 定义可得 ，的图象是由 的图象平移得到的，
的图象与 轴要有两个不同的交点，
结合图象可得 ，或 .
故选：A.
二、多选题
9．2020年3月，为促进疫情后复工复产期间安全生产，某医院派出甲、乙、丙、丁4名医生到 ， ，
三家企业开展“新冠肺炎”防护排查工作，每名医生只能到一家企业工作，则下列结论正确的是（ ）
A．所有不同分派方案共 种
B．若每家企业至少分派1名医生，则所有不同分派方案共36种
C．若每家企业至少分派1名医生，且医生甲必须到 企业，则所有不同分派方案共12种
D．若 企业最多派1名医生，则所有不同分派方案共32种
【答案】BC
【分析】对于选项A：利用分步计数原理求解判断；对于选项B：按1，1，2分组求解判断；对于选项
C：根据每家企业至少分派1名医生，且医生甲必须到 企业，分A企业分2人和1人两类求解判断；对于
选项D：分 企业没有派医生去和派1名医生两类求解判断.
【详解】对于选项A：所有不同分派方案共有34种，故错误；
对于选项B：若每家企业至少分派1名医生，则有 种，故正确；对于选项C：若每家企业至少分派1名医生，且医生甲必须到 企业，若A企业分2人，则有 种；
若A企业分1人，则有 种，所以共有 种，故正确；
对于选项D：若 企业没有派医生去，每名医生有2种选择，则共有 种，若 企业派1名医生则有
种，所以共有 种，故错误；
故选：BC．
10．函数 的图象如图所示， 为函数 的导函数，下列不等式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【分析】根据导数的几何意义可对比切线斜率得到 ，将 看作过 和
的割线的斜率，由图象可得斜率的大小关系，进而得到结果.
【详解】由 图象可知， 在x=2处的切线斜率大于在x=3处的切线斜率，且斜率为正，
，
，
可看作过 和 的割线的斜率，
由图象可知 ，，
故选：AB
11．如图，已知二面角 的棱上有不同两点 和 ，若 ， ， ， ，则
（ ）
A．直线 和直线 为异面直线
B．若 ，则四面体 体积的最大值为2
C．若 ， ， ， ， ， ，则二面角 的大小为
D．若二面角 的大小为 ， ， ， ，则过 、 、 、 四点的球
的表面积为
【答案】ACD
【分析】由异面直线的定义可判断A； 面 且 ，此时四面体 体积的最大值，求出
即可判断B；在平面 内过A作BD的平行线AE，且使得 ，连接 ，四边形 是一个
矩形， 是二面角 的一个平面角，由余弦定理求出 即可判断C；取 的中点 ，
的中点 ，取 的中点 ，连接 ，易知 是二面角 的一个平面角，则
，
过 作平面 的垂线和 平面 的垂线，交于点 ， 即为外接球球心，求出
，即可求出 ，可判断D.
【详解】对于A，由异面直线的定义知A正确；对于B，要求四面体 体积的最大值，则 面 且 ，
此时四面体 体积的最大值：
,故B不正确；
对于C，在平面 内过A作BD的平行线AE，且使得 ，连接 ，
四边形 是一个矩形， 是二面角 的一个平面角，且 面AEC，
所以 面AEC，从而 .
在 中，由余弦定理可知：
所以 .故C正确；
对于D，因为二面角 的大小为 ， ， ， ，
如下图，所以平面 与平面 所成角的大小为 ， ，
取 的中点 ， 的中点 ， 为△ △ 的外心，
取 的中点 ，连接 ，则
所以 是二面角 的一个平面角，则 ，
过 作平面 的垂线和过 作平面 的垂线，交于点 ， 即为外接球球心，
所以 面 ， 面 ， 连接 ， ，
所以易证得： 与 全等，所以 ，所以在直角三角形 ， ，
，则过 、 、 、 四点的球的表面积为 .故D正
确.
故选：ACD
12．关于圆锥曲线下列叙述中正确的有（ ）
A．过双曲线 的右焦点且被双曲线截得的弦长为10的直线共有3条
B．设 是两个定点，k是非零常数，若 ，则动点P的轨迹是双曲线的一支
C．双曲线 与椭圆 有相同的焦点
D．以过抛物线的焦点的一条弦 为直径作圆，则该圆与抛物线的准线相切
【答案】ACD
【分析】求出双曲线的通径及实轴长判断A；利用双曲线定义判断B；求出双曲线、椭圆的焦点坐标判断
C；利用抛物线的定义判断D作答.
【详解】对于A，双曲线 的实轴长为10，则过该双曲线的右焦点与两支相交的直线被双曲线所
截弦长为10的直线只有1条，
双曲线 的通径长为 ，则过该双曲线的右焦点与一支相交的直线被双曲线所截弦长为10
的直线有2条，因此过双曲线 的右焦点且被双曲线截得的弦长为10的直线共有3条，A正确；
对于B，当 时，动点P的轨迹是一条射线，当 时，动点P的轨迹是双曲线的一支，B不
正确；
对于C，双曲线 的焦点坐标为 ，椭圆 的焦点坐标为 ，C正确；
对于D，不妨令抛物线 的焦点为F，准线为l，过点P，Q作准线l的垂线，垂足分别为
，如图，
令线段 的中点为M，过点M作 于 ，因此线段 是直角梯形 的中位线，
则 ，即以线段 为直径的圆与抛物线的准线相切，D正确.
故选：ACD
三、填空题
13．已知函数 ，若过点 存在三条直线与曲线 相切，则 的取值范围为
___________．
【答案】
【分析】设过M的切线切点为 ，求出切线方程，参变分离得 ，令，则原问题等价于y=g(x)与y=-m-2的图像有三个交点，根据导数研究g(x)的图像即可求出
m的范围．
【详解】 ，
设过点 的直线与曲线 相切于点 ，
则 ，
化简得， ，令 ，
则过点 存在三条直线与曲线 相切等价于y=g(x)与y=-m-2的图像有三个交点．
∵ ，
故当x<0或x>1时， ，g(x)单调递增；当0<x<1时， ，g(x)单调递减，
又 ， ，
∴g(x)如图，
∴-2<-m-2<0，即 ．
故答案为： ﹒
14． 的展开式中的 系数为__________．
【答案】【分析】先求出 的展开式的通项公式进而结合多项式的乘法运算即可求出结果.
【详解】因为 的展开式的通项公式为 ，因此 的展开式中的
系数 ，
故答案为： .
15．下面这道填空题，由于一些原因造成横线上的内容无法认清，现知结论，请在横线上填写原题的一个
条件，题目：已知 、 均为锐角，且 ，______，则 .
【答案】
【分析】注意到 ，将已知条件代入上式，求得
的值，由此得出正确结论.
【详解】 ， ， ，
，解得 .
故答案为 .
【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查两角和的余弦公式，考查三角恒等变换，考查
化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于中档题.
16．已知空间四面体 中， ，且四面体 的外接球的表面积为 ，如果
，则 ________．
【答案】
【详解】试题分析：由题意得，四面体 的外接球球心为线段 中点与线段 中点连线的中点，设
外接球半径为 则 ,因此
考点：四面体外接球【名师点睛】1.解答本题的关键是确定球心、圆锥底面圆心与两圆锥顶点之间的关系，这需要根据球的对
称性及几何体的形状来确定．
2．与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．球与旋转体的组合通常作它们的轴截面解题，球
与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”、“接点”作出截面图，把空间问题化归为
平面问题．
四、解答题
17．设数列 的前 项和为 ，且 ；数列 为等差数列，且 ，
（I）求数列 的通项公式；
（II）若 ， 为数列 的前 项和，求证：
【答案】（I） ；（II）证明见解析.
【分析】（I）将 代入 ，求得 ；当 且 时，利用 可整理得 ，
知 为等比数列，利用等比数列通项公式求得结果；（II）利用等差数列通项公式求得 ，从而得到
；利用错位相减法求 ，可求得 ，进而证得结论.
【详解】（I）由 得：
当 时， ，又
当 且 时， ，即：
是以 为首项， 为公比的等比数列（II） 数列 为等差数列
则
整理可得：
，
【点睛】本题考查利用通项与前 项和的关系求解数列的通项、等差数列和等比数列的通项公式、错位相
减法求解数列前 项和的问题，考查了数列知识的综合应用能力，属于常考题型.
18．在 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b， 已知 ， ， ，
(1)求b和 的值；
(2)求 的值．
【答案】(1) ，
(2)
【解析】(1)
在 中， ，故由 ，可得由已知及余弦定理，有 ，
由正弦定理 ，得
(2)
由（1）及 ，得 ，
，
故 .
19．北京时间2022年4月16日09时56分，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，神舟十
三号载人飞行任务取得成圆满成功.某校为了解本校学生对此新闻事件的关注度，从本校学生中随机抽取了
200名学生进行调查，调查样本中有80名女生.根据样本的调查结果绘制成如图所示的等高堆积条形图.
关注 不关注 合计
男生
女生
合计
(1)完成上面的2×2列联表，并判断能否有99.9%的把握认为学生是否关注“神舟十三号飞船成功着陆”新
闻事件与性别有关.
(2)从这200名学生里对“神舟十三号飞船成功着陆”新闻事件不关注的学生中，按性别采用分层抽样的方
法抽取6名学生，再从这6名学生中随机选取2人参与该新闻事件的学习.求这2名学生不全是男生的概率.附： ，其中 .
0.050 0.010 0.005 0.001
3.841 6.635 7.879 10.828
【答案】(1)答案见解析；
(2)
【分析】（1）利用条形图进行完成列联表，根据所给的卡方公式，结合临界值进行求解判断即可.
（2）根据分层抽样的性质，结合古典概型计算公式进行求解即可.
【详解】（1）女生中关注该新闻事件的人数为 ，不关注的女生人数为 ，
男生中关注该新闻事件的人数为 ，不关注的男生人数为 ，列联表如下：
关注 不关注 合计
男生 60 60 120
女生 20 60 80
合计 80 120 200
因为 8，
所以有99.9%的把握认为学生是否关注“神舟十三号飞船成功着陆”新闻事件与性别有关；
（2）因为在不关注该新闻事件中男生与女生的人数一样多，
所以这6人中男生与女生的人数也相同，
因此这6名学生中随机选取2人参与该新闻事件的学习.求这2名学生不全是男生的概率：
.
20．如图，三棱柱 的侧棱 ⊥底面 ， ，E是棱 的中点，F是AB的中点，.
（1）求证：CF∥平面 ；
（2）求三棱锥 的高．
【答案】(1)见证明；(2)
【分析】(1) 取 的中点G，连接EG，FG，根据平行四边形得到线线平行，进而得到线面平行；（2）
根据等体积转化得到 ，进而求解.
【详解】（1）取 的中点G，连接EG，FG．
∵F，G分别是AB， 的中点，
∴ ， .
∵E为侧棱 的中点，
∴ ，
∴四边形FGEC是平行四边形，∴ ，
∵CF⊄平面 ，EG 平面 ，
⊂
∴CF∥平面 .（2）∵三棱柱 的侧棱 ⊥底面ABC， ，
∴ ⊥平面ABC．
∵AC 平面ABC，∴ ，
⊂
∵ ，∴ ，
∵ 平面 平面 ，
∴AC⊥平面 ，
∵ 平面 ，∴ ，
∴ .
∵ ，
∴ .
∵ ，
∴三棱锥 的高为 .
【点睛】这个题目考查了线面平行的证明，以及点面距离的求法，一般证明线面平行是从线线平行入手，
通过构造平行四边形，三角形中位线，梯形底边等，找到线线平行，再证线面平行．21．已知椭圆 的长轴长为4，过点 的直线交椭圆于 两点， 为 中
点，连接 并延长交椭圆于点 ，记直线 和 的斜率为分别为 和 ，且 .
(1)求椭圆方程；
(2)是否存在点P，使得 为直角？若存在，求 的面积，否则，说明理由.
【答案】(1) ；
(2)不存在.
【分析】（1）设直线AB的方程，与椭圆C的方程联立，求出直线OP的斜率即可计算作答.
（2）结合（1）求出直线PQ的方程，与椭圆C的方程联立，求出点Q的坐标，进而求出 ，再判断计算
作答.
【详解】（1）依题意， ，则椭圆 ，设直线 ，由 消去
并整理得：
，有 ，即 ，
设 ， ， ，则 ，
而 为 中点，则 ， ，于是得 ，又 ，解得 ，所以椭圆方程为： .
（2）假定存在符合条件的点P，则直线 ，由 消去 得： ，
显然点Q的纵坐标为负，必有 ，则 ，而点 ，
因此直线MQ的斜率 ，又 为直角，即 ，解得 ，
由（1）知，当 时， ，
所以不存在点P，使得 为直角.
【点睛】结论点睛：过定点 的直线l：y=kx+b交圆锥曲线于点 ， ，则 面积
；
过定点 直线l：x=ty+a交圆锥曲线于点 ， ，则 面积 .
22．对于三次函数 ，给出定义：设 是函数 的导数， 是
的导数，若方程 有实数解 ，则称点 为函数 的“拐点”.经过探究发现：
任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.设函数
.
（1）当 时，求 的值；
（2）若不等式 恒成立，求实数 的取值范围.【答案】（1） ；（2）
【分析】（1）将 代入，结合定义可求得对称中心，进而可知 .结合所求式子特征即
可求解.
（2）将 代入不等式，结合定义域可分离参数 ，构造函数 ，求得
并令 ，求得极值点，即可由导函数符号判断函数的单调性，进而求得 ，即可确定 的
取值范围.
【详解】（1）函数 ，
当 时，
因为 ，
∴ ，
令 ，解得 ，
则对称中心的纵坐标为 ，故对称中心为 ，
所以 ，
所以 ， ，…
则 .
（2）∵ ， ，
即 ，
又 ，∴ 在 上恒成立.
令 .
∴ .
∵ ，
令 ，得 或 （舍去）.
当 时， ，函数 在 上单调递减；
当 时， ，函数 在 上单调递增.
∴ .
∴ ，
即 的取值范围为 .
【点睛】本题考查了函数新定义的应用，导函数的运算及中心对称性质的应用，分离参数并构造函数法求
参数的取值范围，由导数研究函数的单调性与最值，属于中档题.
