文档文本内容
微重点 5 不等式的综合问题
不等式是高考的必考内容，作为解题的工具，常与函数、数列、平面向量、解析几何等
相结合，涉及最值、范围、函数的性质等等，旨在考查学生的思维能力和数学素养．
考点一 不等式的性质及应用
例1 (多选)(2022·江苏七市调研)若a＞b＞0＞c，则( )
A.> B.>
C．ac>bc D．a－c>2
答案 ABD
解析 －＝，
∵a>b>0>c，∴ab>0，b－a<0，c<0，
∴>0，
∴>，故A正确；
－＝＝，
∵a>b>0>c，
∴a－c>0，a>0，b－a<0，c<0，
∴>0，
∴>，故B正确；
设y＝xc，当c<0时，y＝xc在(0，＋∞)上单调递减，
∵a>b，∴ac<bc，故C错误；
∵a＞b＞0＞c，∴－c＞0，
∴a－c>b－c＝b＋(－c)≥2，
当且仅当b＝－c时取等号，
∴a－c>2，故D正确．
规律方法 判断关于不等式命题真假的常用方法
(1)作差法、作商法．
(2)利用不等式的性质推理判断．
(3)利用函数的单调性．
(4)特殊值验证法，特殊值法只能排除错误的命题，不能判断正确的命题．
跟踪演练1 (2022·临川模拟)若实数a，b满足a6<a5b，则下列选项中一定成立的为( )A．a<b B．a3<b3
C．ea－b>1 D．ln <0
答案 D
解析 因为a6<a5b，
所以a6－a5b＝a5(a－b)<0，
显然a≠0，所以a(a－b)<0，
所以或
即0<a<b或b<a<0；
若0<a<b，则a<b，a3<b3，ea－b<e0＝1，
ln <ln 1＝0；
若b<a<0，则a>b，a3>b3，ea－b>e0＝1，
ln <ln 1＝0；
即一定成立的是选项D.
考点二 利用基本不等式求最值
例2 (1)(2022·滁州质检)若实数a，b满足2a＋b＝3，则＋的最小值为( )
A．6 B．4 C．3 D．2
答案 A
解析 令2a－1＝m，b－1＝n，则m>0，n>0，
∴m＋n＝2a＋b－2＝1，
∵＋＝＋＝2＋＋
＝2＋(m＋n)
＝4＋＋≥6.
当且仅当m＝n，即a＝，b＝时取等号．
(2)(多选)(2022·新高考全国Ⅱ)若x，y满足x2＋y2－xy＝1，则( )
A．x＋y≤1 B．x＋y≥－2
C．x2＋y2≤2 D．x2＋y2≥1
答案 BC
解析 因为ab≤2≤(a，b∈R)，
由x2＋y2－xy＝1可变形为
(x＋y)2－1＝3xy≤32，
解得－2≤x＋y≤2，当且仅当x＝y＝－1时，x＋y＝－2，
当且仅当x＝y＝1时，x＋y＝2，
所以A错误，B正确；
由x2＋y2－xy＝1可变形为
(x2＋y2)－1＝xy≤，
解得x2＋y2≤2，当且仅当x＝y＝±1时取等号，所以C正确；
因为x2＋y2－xy＝1可变形为
2＋y2＝1，
设x－＝cos θ，y＝sin θ，
所以x＝cos θ＋sin θ，y＝sin θ，
因此x2＋y2＝cos2θ＋sin2θ＋sin θcos θ＝1＋sin 2θ－cos 2θ＋
＝＋sin∈，
所以当x＝，y＝－时满足等式，
但是x2＋y2≥1不成立，所以D错误．
易错提醒 利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的条件
(1)一正二定三相等，三者缺一不可；
(2)若连续两次使用基本不等式求最值，必须使两次等号成立的条件一致，否则最值取不到．
跟踪演练2 (1)(多选)(2022·辽阳模拟)已知a>0，b>0，且2a＋b＝4，则( )
A．2a－b>
B．log a＋log b≤1
2 2
C.＋≥2
D.＋≥
答案 BD
解析 因为0<a<2，
a－b＝a－(4－2a)＝3a－4∈(－4,2)，
所以<2a－b<4，故A错误；
因为4＝2a＋b≥2>0，
即0<≤，即0<ab≤2，
log a＋log b＝log (ab)≤1，故B正确；
2 2 2
因为(＋)2＝2a＋b＋2≤8，
所以＋≤2，故C错误；
＋＝＋
＝＋
≥＋2＝，当且仅当a＝2b＝时，等号成立，故D正确．
(2)(2022·潍坊模拟)已知正实数a，b满足a2＋2ab＋4b2＝6，则a＋2b的最大值为( )
A．2 B．2
C. D．2
答案 B
解析 (a＋2b)2＝a2＋4ab＋4b2
＝6－2ab＋4ab＝6＋2ab，
又∵a2＋2ab＋4b2＝6，
∴6－2ab＝a2＋4b2≥4ab，
∴ab≤1，当且仅当a＝2b即a＝，b＝时等号成立．
∴(a＋2b)2＝6＋2ab≤6＋2＝8，
∴a＋2b≤2，
故a＋2b的最大值为2.
考点三 不等式恒(能)成立问题
例3 已知正实数x，y满足x＋y＋3＝xy，若对任意满足条件的x，y，都有(x＋y)2－a(x＋y)
＋1≥0恒成立，则实数a的取值范围为______．
答案
解析 ∵正实数x，y满足x＋y＋3＝xy，
而xy≤2，
∴x＋y＋3≤2，
∴(x＋y)2－4(x＋y)－12≥0，
∴x＋y≥6或x＋y≤－2(舍去)，
∴x＋y≥6.
又正实数x，y有(x＋y)2－a(x＋y)＋1≥0恒成立，∴a≤x＋y＋恒成立，
∴a≤ ，
min
令x＋y＝t(t≥6)，g(t)＝t＋，
由对勾函数的性质得g(t)在[6，＋∞)上单调递增，
∴ ＝g(t) ＝g(6)
min min
＝6＋＝，
∴a≤.
规律方法 (1)解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数，一般地，知道谁的范围，
谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数．(2)恒(能)成立问题，常见方法是分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
跟踪演练3 (2022·泉州质检)关于x的不等式ax2－|x|＋2a≥0的解集是(－∞，＋∞)，则实
数a的取值范围为( )
A.
B.
C.
D.∪
答案 A
解析 不等式ax2－|x|＋2a≥0的解集是(－∞，＋∞)，
即对于∀x∈R，ax2－|x|＋2a≥0恒成立，
即a≥，
当x＝0时，a≥0，
当x≠0时，a≥＝，
因为≤＝，
当且仅当x＝±时，等号成立，
所以a≥，
综上所述，a∈.
考点四 不等式与其他知识交汇的最值问题
例4 (2022·全国甲卷)已知△ABC中，点D在边BC上，∠ADB＝120°，AD＝2，CD＝2BD.
当取得最小值时，BD＝________.
答案 －1
解析 设BD＝k(k>0)，
则CD＝2k.
根据题意作出大致图形，如图．
在△ABD中，由余弦定理得AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠ADB＝22＋k2－2×2k·＝k2＋2k＋
4.
在△ACD中，由余弦定理得AC2＝AD2＋CD2－2AD·CDcos∠ADC＝22＋(2k)2－2×2×2k·＝4k2
－4k＋4，
则＝＝
＝4－＝4－
＝4－.
∵k＋1＋≥2(当且仅当k＋1＝，即k＝－1时等号成立)，
∴≥4－＝4－2＝(－1)2，
∴当取得最小值－1时，
BD＝k＝－1.
规律方法 当基本不等式与其他知识相结合时，往往是提供一个应用基本不等式的条件，然
后利用常数代换法求最值．
跟踪演练4 如图所示，一套组合玩具需在一半径为3的球外罩上一个倒置圆锥，则圆锥体
积的最小值为( )
A．64π B．40π
C．84π D．72π
答案 D
解析 设母线与底面的夹角为2α，底面半径为R，内切球半径r＝3，圆锥的高为h，
则R＝＝，
h＝R·tan 2α＝·tan 2α＝，
圆锥的体积V＝πR2h＝π×2×＝18π×，
而0°<2α<90°，0°<α<45°，
所以0<tan α<1,1－tan2α>0，
又因为tan2α＋(1－tan2α)＝1为定值，
所以tan2α(1－tan2α)≤2＝，
当且仅当tan2α＝1－tan2α，
即tan α＝时，等号成立，
此时V ＝18π×＝72π.
min专题强化练
1．(2022·宜宾质检)已知a∈[－1,1]，不等式x2＋(a－4)x＋4－2a>0恒成立，则x的取值范围
为( )
A．(－∞，2)∪(3，＋∞)
B．(－∞，1)∪(2，＋∞)
C．(－∞，1)∪(3，＋∞)
D．(1,3)
答案 C
解析 令f(a)＝(x－2)a＋x2－4x＋4，
则不等式x2＋(a－4)x＋4－2a>0恒成立转化为f(a)>0在a∈[－1,1]上恒成立．
∴
即
整理得解得x<1或x>3.
∴x的取值范围为(－∞，1)∪(3，＋∞)．
2．已知1>2a> ，则下列结论不正确的是( )
A．ab>a2 B．b2>a2
C．ln>ln D．b3>a3
答案 D
解析 原不等式可化为2b<2a<20，
因为y＝2x在R上单调递增，所以b<a<0，
所以ab>a2，－b>－a>0，故A正确；
(－b)2>(－a)2，即b2>a2，故B正确；
不等式－b>－a>0两边同时除以ab得
－>－>0，
因为y＝ln x在(0，＋∞)上单调递增，
所以ln>ln，故C正确；
因为y＝x3为增函数，所以b3<a3，故D错误．
3．(2022·常州质检)已知函数f(x)＝x2－ax－1，当x∈[0,3]时，|f(x)|≤5恒成立，则实数a的
取值范围是( )
A．[1，＋∞) B．(－∞，4]
C．[1,4] D．(1,4]答案 C
解析 ∵|f(x)|≤5⇔－5≤x2－ax－1≤5，
①当x＝0时，a∈R；
②当x≠0时，|f(x)|≤5⇔－5≤x2－ax－1≤5⇔x－≤a≤x＋，
∴ ＝2＋＝4， ＝3－2＝1，
min max
∴1≤a≤4.
4．(2022·石家庄模拟)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左焦点为F ，离心率为e，直线y
1
＝kx(k≠0)分别与双曲线C的左、右两支交于点M，N.若△MF N的面积为，∠MF N＝60°，
1 1
则e2＋3a2的最小值为( )
A．2 B．3 C．6 D．7
答案 D
解析 如图，连接NF ，MF ，由对称性可知，四边形MF NF 为平行四边形，
2 2 1 2
故|NF |＝|MF |，|NF |＝|MF |，
2 1 1 2
令|NF |＝|MF |＝t，
2 1
∴|NF |＝2a＋t，
1
∴ ＝t(2a＋t)·＝，
∴2at＋t2＝4.①
又在△NF F 中，由余弦定理得
1 2
4c2＝(2a＋t)2＋t2－2t(2a＋t)·，
即4c2＝4a2＋6at＋3t2，②
由①②得c2＝a2＋3，
∴e2＋3a2＝＋3a2＝1＋＋3a2≥1＋6＝7，
当且仅当a2＝1，即a＝1时等号成立．
5．(多选)(2022·淄博模拟)已知2a＝3b＝6，则a，b满足( )
A．a>b B.＋<1
C．ab>4 D．a＋b>4
答案 ACD
解析 由2a＝3b＝6，
则a＝log 6，b＝log 6，则a>0，b>0，
2 3所以a－b＝log 6－log 6＝－
2 3
＝>0，故选项A正确；
＋＝log 2＋log 3＝1，故选项B不正确；
6 6
由1＝＋>2(因为a≠b，所以等号不成立)，则ab>4，故选项C正确；
a＋b＝(a＋b)＝2＋＋>2＋2＝4(因为a≠b，故等号不成立)，故选项D正确．
6．(多选)在各项均为正数的等比数列{a}中，已知{a}的公比为q，且a＋a＝16，则( )
n n 3 7
A．a>8
5
B．log a＋log a≤6
2 2 2 8
C．若0<q<1，则a＋a<16
4 6
D．若q>1，则a＋a>16
4 6
答案 BC
解析 因为a>0，
n
所以a＝aa≤2＝64，
3 7
当且仅当a＝a＝8时，取等号，
3 7
所以a≤8，故A不正确；
5
log a＋log a＝log (aa)
2 2 2 8 2 2 8
＝log (aa)≤log 2
2 3 7 2
＝log 64＝6，
2
当且仅当a＝a＝8时，取等号，故B正确；
3 7
a＋a－a－a＝a(1－q)－a(1－q)
3 7 4 6 3 6
＝(a－a)(1－q)，
3 6
当0<q<1时，{a}单调递减，
n
则a－a>0，(1－q)(a－a)>0，
3 6 3 6
则a＋a<16；
4 6
当q>1时，{a}单调递增，
n
a－a<0，(1－q)·(a－a)>0，
3 6 3 6
则a＋a<16，故C正确，D不正确．
4 6
7．已知实数x，y满足x>y>0，且x＋y≤2，则＋的最小值为________．
答案
解析 令x＋3y＝m，x－y＝n，
则m>0，n>0，m＋n＝2x＋2y≤4，∴≤1，
∴＋＝＋≥·
＝≥，
当且仅当＝，即x＝2－1，y＝3－2时取等号．8．(2022·烟台模拟)在空间直角坐标系O－xyz中，三元二次方程所对应的曲面统称为二次曲
面．比如方程x2＋y2＋z2＝1表示球面，就是一种常见的二次曲面．二次曲面在工业、农业、
建筑业等众多领域应用广泛．已知点P(x，y，z)是二次曲面4x2－xy＋y2－z＝0上的任意一点，
且x>0，y>0，z>0，则当取得最小值时，的最大值为______．
答案
解析 由题意得z＝4x2－xy＋y2，
故＝＋－1≥2－1＝3，
当且仅当y＝2x时等号成立，
所以，此时＝－＝－，
令t＝>0，则f(t)＝－，故f′(t)＝，
所以，当0<t<2时，f′(t)>0；
当t>2时，f′(t)<0，即f(t)在(0,2)上单调递增，在(2，＋∞)上单调递减．
故f(t)≤f(2)＝，且x＝，y＝1时等号成立，
综上，的最大值为.
