文档内容
第 4 讲 函数与导数解答题
目录
第一部分：知识强化
第二部分：重难点题型突破
突破一：分离变量法与不等式恒（能）成立问题
突破二：分类讨论法与不等式恒（能）成立问题
突破三：同构法与不等式恒（能）成立问题
突破四：端点效应与不等式恒（能）成立问题
突破五：最值定位法解决双参不等式问题
突破六：值域法解决双参等式问题
突破七：单变量不等式证明
角度1：构造函数，利用单调性证明不等式
角度2：构造函数，利用最值证明不等式
角度3：等价转化与不等式证明
角度4：超越放缩与不等式证明
突破八：利用导数证明双变量不等式
角度1：分离双参，构造函数
角度2：糅合双参（比值糅合）
角度3：糅合双参（差值糅合）
角度4：利用指数（对数）平均不等式解决双变量问题
第一部分：知识强化
1、不等式恒成立(能成立)求参数范围的类型与解法
（1）分离参数法
用分离参数法解含参不等式恒成立问题，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式；
步骤：
①分类参数（注意分类参数时自变量 的取值范围是否影响不等式的方向）
②转化：若 )对 恒成立，则只需 ；若 对 恒成立，则只需
．
③求最值.
（2）分类讨论法
如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解，如果是二次不等式恒成立的问题，可以
考虑二次项系数与判别式的方法( ， 或 ， )求解．
（3）等价转化法
当遇到 型的不等式恒成立问题时，一般采用作差法，构造“左减右”的函数
或者“右减左”的函数 ，进而只需满足 ，或者
，将比较法的思想融入函数中，转化为求解函数的最值的问题.
2、最值定位法解决双参不等式问题
（1） , ,使得 成立
（2） , ,使得 成立
（3） , ,使得 成立
（4） , ,使得 成立
3、值域法解决双参等式问题（任意——存在型）
, ,使得 成立
① ，求出 的值域，记为
② 求出 的值域，记为
③则 ,求出参数取值范围.
4、值域法解决双参等式问题（存在——存在型）
, ,使得 成立
① ，求出 的值域，记为
② 求出 的值域，记为
③则 ,求出参数取值范围.
5、两个超越不等式：（注意解答题需先证明后使用）
（1）对数型超越放缩： （ ）上式（1）中等号右边只取第一项得： 结论①
用 替换上式结论①中的 得： 结论②
对于结论②左右两边同乘“ ”得 ，用 替换“ ”得：
（ ） 结论③
（2）指数型超越放缩： （ ）
上式（2）中等号右边只取前2项得： 结论①
用 替换上式结论①中的 得： 结论②
当 时，对于上式结论② 结论③
当 时，对于上式结论② 结论④
6、指数不等式法
在对数均值不等式中，设 ， ，则 ，根据对数均值不等式有如下
关系：
7、对数均值不等式法
两个正数 和 的对数平均定义：
对数平均与算术平均、几何平均的大小关系： （此式记为对数平均不等式）
取等条件：当且仅当 时，等号成立．
第二部分：重难点题型突破
突破一：分离变量法与不等式恒（能）成立问题1．（2022·湖南·宁乡市教育研究中心模拟预测）已知 ，若对任意的 不等式
恒成立，则实数 的最小值为_______.
【答案】
【详解】 恒成立，等价于 ，
令 ，则 ，
则 ，所以当 时都有 ，所以 单调递增.
所以不等式转化为 ，即 ，即 ，即 ，即 .
令 ，则 .
当 都有 ，所以 单调递增；当 时，都有 ，所以 单调递减.
所以
所以 ，即 的最小值为 .
故答案为： .
2．（2022·黑龙江·高二期中）已知 ，若存在 ，使不等式
，对于 恒成立，则实数 的取值范围是______．
【答案】
【详解】 时，不等式 可化为 ，
因为存在 使不等式恒成立，
所以只需 ，
设 ， ，
则 ， ，所以 在 上为增函数，
所以 ，所以 ， ，
所以 整理可得 ，
设 ，
所以 ，令 ，
则 ，
所以 在 上单调递增，
所以 ，
所以 ，则 在 上单调递增，
所以 ，
所以 ，即实数 的取值范围是
3．（2022·贵州毕节·三模（文））函数 ．
(1)讨论函数 零点的个数；
(2)若对 ， 恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】(1) 在 上有唯一零点
(2)
(1)
解：函数 的定义域为 ，
所以
在 上恒成立，即 在 上为增函数，
且在 上有唯一零点
(2)
解：由题意得： 在 上恒成立，
即 在 上恒成立，
令 ， ，
所以
令
，
在 上单调递增，在 上单调递减，
4．（2022·广东·潮州市瓷都中学三模）已知函数 .
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若 ，函数 在 上恒成立，求整数 的最大值.
【答案】(1)见解析
(2)
(1)
（1）
若 时， ， 在 上单调递增；
若 时， ，当 或 时， ， 为增函数，
当 时， ， 为减函数，
若 时， ，当 或 时， ， 为增函数，
当 时， ， 为减函数.
综上， 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 和 上单调递增，在 上单调递减；
当 时， 在 和 上单调递增，在 上单调递减.
(2)
由 ，解得 ，
所以 ，由 时， ，可知 在 上恒成立
可化为 在 上恒成立，设 ，
则 ，
设 ，则 ，所以 在 上单调递增，
又 ， ，
所以方程 有且只有一个实根 ，且 ， ，
所以在 上， ， 单调递减，在 上， ， 单调递增，
所以函数 的最小值为 ，
从而 ，又 为整数，所以 的最大值为： .
5．（2022·江苏·无锡市第一中学高三阶段练习）已知函数 （ ）.
(1)当 时，对于函数 ，存在 ，使得 成立，求满足条件
的最大整数 ；（ ）
(2)设函数 ，若 在 上恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】(1)满足条件的最大整数 为4；
(2)实数 的取值范围为 .
（1）
由已知可得 ， ， ，
所以 ， ，
当 时， ，函数 在 上单调递减，
当 时， ，函数 在 上单调递增，
又 ， ， ，因为 ，所以
所以函数 在 上的的最大值为 ，最小值为 ，
因为存在 ，使得 成立，
所以 ，
所以 ，又 ，故 ，
所以满足条件的最大整数 的值为4；
（2）
不等式 ，可化为 ，
因为 ，所以 ，
由已知 在 上恒成立；
所以 ，
设 ，则 ，
设 ，则 ，
当 时， ，函数 在 上单调递增，
又 ，所以 ，
所以当 时， ，函数 在 上单调递增，
所以 ，
所以 ，
所以实数 的取值范围为 .
6．（2022·天津市宁河区芦台第一中学高二阶段练习）已知函数 .
(1)求函数 的极值；
(2)令 是函数 图像上任意两点，且满足
，求实数 的取值范围；(3)若 ，使 成立，求实数 的最大值.
【答案】(1) 的极小值为 ，无极大值；
(2) ；
(3)1.
(1)
因为 ，所以 ，
所以当 时 ，当 时 ，
所以 的极小值为 ，无极大值.
(2)
不妨设 ，则 ，
则由 ，可得 ，
变形得 恒成立，
令 ，
则 在 上单调递增，
故 在 恒成立，
在 恒成立．
，当且仅当 时取“ ”， ；
(3)
， ．
， ， ， ，
， 使得 成立．
令 ，则 ，
令 ，则由 ，可得 或 （舍 ．
当 时， ，则 在 上单调递减；当 时， ，则 在 上单调递增．
， 在 ， 上恒成立．
在 ， 上单调递增，则 （1），即 ．
实数 的最大值为1．
突破二：分类讨论法与不等式恒（能）成立问题
1．（2022·内蒙古·霍林郭勒市第一中学高三阶段练习（理））已知函数 ， ，若
对于 ， 恒成立，则实数 的取值集合是_______．
【答案】 ##
【详解】易知函数 和函数 的图象均过点 ．
①当 时， ，显然 成立；
②当 时，由 可得：
当 时，则 ；
当 时，则 ；
当 时，则 ；
∵ ，
当 时， ，当 时， ，
则 在 上单调递增，在 上单调递减，
且当 时， ，
∴ ，则 ；
当 时，则有：
若 ，则 ，故 成立；
若 ，则 ，故 成立；
若 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
∴当 时， ，故 成立；
故 符合题意；
③当 时， ，即 ，∴ 不符合题意
综上所述： 的取值集合是 .
故答案为： .
2．（2022·天津市瑞景中学高三期中）已知函数 ，其中 .
(1)求函数 的单调区间；
(2)设 ，若对任意的 ， 恒成立，求 的最大值.
【答案】(1)当 时， 在 上单调递增，无单调递减区间；
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减.
(2)
【详解】（1） ，定义域为
当 时， ， 在 上递增.
当 时， ， 在 上递增.
当 时，令 ，得 ；令 ，得 .
即 在 上递增，在 上递减.
综上：当 时， 在 上单调递增，无单调递减区间；
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减.
（2） 在 上恒成立，
等价于 .
由（1）得，
当 时， 在 上单调递增，无最大值，
故此时原不等式无法恒成立；
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减，
则此时即须 成立.
记函数 ， 且
则
即 在 单调递增.
因为 ，
所以满足 的a的最大整数值为 .
综上： 的最大值为 .
3．（2022·北京海淀·高三期中）已知函数 ．
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)当 时，证明：函数 在区间 上有且仅有一个零点；
(3)若对任意 ，不等式 恒成立，求 的取值范围．
【答案】(1) ；
(2)证明见解析；
(3) .
【详解】（1）当 时， ，则 ，
，又 ，
在点 处的切线方程为： ，即 .
（2）当 时，令 ，则 ；
当 时， ， ，即 ，
在 上单调递增，又 ， ，
在 上有唯一零点，即 在 上有且仅有一个零点.
（3）令 ，
则对任意 ， 恒成立；又 ，
令 ，则 ；
当 时，若 ，则 ， ， ，
在 上恒成立，则 在 上单调递增；①当 时， ， ，
，使得 ，且当 时， ，
在 上单调递减，此时 ，不合题意；
②当 时， ；
当 时， ，则 在 上单调递增，
恒成立，满足题意；
③当 时， ，
由②知：对任意 ， ，满足题意；
综上所述：实数 的取值范围为 .
4．（2022·福建福州·高二期末）已知函数
(1)当 时，求曲线 在点（0，f（0））处的切线方程；
(2)若存在 ，使得不等式 成立，求m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(1)
当 时， ,定义域为R， .
所以 ， .
所以曲线 在点（0，f（0））处的切线方程为： ，
即 .
(2)
不等式 可化为： ，
即存在 ，使得不等式 成立.
构造函数 ，则 .
①当 时， 恒成立，故 在 上单调递增，故 ，解得：
，故 ；
②当 时，令 ，解得： 令 ，解得： 故 在 上单调递减，在 上单调递增，又 ，故 ，解得： ，这与 相矛盾，舍
去；
③当 时， 恒成立，故 在 上单调递减，故 ，不符合题意，应
舍去.
综上所述：m的取值范围为： .
5．（2022·陕西·咸阳市高新一中高二期中（理））已知函数
(1)若曲线 在 和 处的切线互相平行，求 的值与函数 的单调区间；
(2)设 ，若对任意 ，均存在 ，使得 ，求 的取值范围．
【答案】(1) ，单调递增区间为 ，单调递减区间为
(2)
(1)
，由 得 ，
，
由 得 ，由 得 ，
所以函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 .
(2)
若要命题成立，只须当 时， ，
由 可知 当 时 ，
所以只须
对 来说， ，
（1）当 时，在 上有 ，∴
这时 ，由 得 ；
（2）当 时， ，设 ，则 ，
∴ 在 递减， ，
∴当 时， ，
综上所述，满足题意的 .
6．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，则 的极小值为___________；若函数
，对于任意的 ，总存在 ，使得 ，则实数 的取值范围是
___________.
【答案】
【详解】由 ，得 ，
令 ，得 ，
列表如下：
递减 极小值 递增
所以，函数 的极小值为 ；
（2） ， ，使得 ，即 ， .
①当 时，函数 单调递增， ，
，即 ；
②当 时，函数 单调递减， ，
，即 ；
③当 时， ，不符合题意.
综上： .故答案为： ； .
突破三：同构法与不等式恒（能）成立问题
1．（2022·广西北海·一模（理））已知函数 ．
(1)当 时，求过点 且和曲线 相切的直线方程；
(2)若对任意实数 ，不等式 恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】(1) ；
(2) .
【详解】（1）当 时， ， ，
因为点 没有在曲线上，故不是切点，设切点为 ，直线斜率为 ，
则切线方程为 ，又因为该直线过点 ，
所以 ，即 ，
记 ，
当 时， ，当 时， ，
∴ 在 上单调递增，又 ，∴ ，
故切线方程为 ；
（2）当 时，由 可得 ，
即 ，
构造函数 ，其中 ，则 ，
所以函数 在 上为增函数，
由 可得 ，
所以 ，即 ，其中 ，
令 ，其中 ，则 ．
当 时， ，函数 单调递增，
当 时， ，函数 单调递减，
所以 ，即 ．
2．（2022·江苏·南京师大苏州实验学校高三阶段练习）已知函数 ．(1)讨论 的极值；
(2)当 时，是否存在正实数 ，使得 成立（ 为自然对数的底数）？若存
在，求 的取值范围；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)答案见解析
(2)
（1）
解：函数 的定义域为 ．
．
①当 时， 恒成立， 在 上为减函数，函数不存在极值；
②当 时，当 时 ，当 时
在 上单调递减，在 上单调递增，所以 在 处取得极小值，即
，无极大值．
综上可得：当 时函数无极值，当 时 ，无极大值；
（2）
解：因为 时 成立，
即 在 上有解，
即 在 上有解，
又 ，由（1）可知 ，即 ，
令 ，则 ，
则 在 上有解，
令 ，则 ，所以当 时 ，当 时 ，
即 在 上单调递减，在 上单调递增，又 ， ，所以存在
使得 ，
所以当 时 ，当 时 ，当 时 ，
所以只需 ，即 时满足题意.
3．（2022·江西·芦溪中学高三阶段练习（理））已知函数 ．
(1)若 在 上单调递增，求实数a的取值范围；
(2)当 时，证明： ．【答案】(1) ；
(2)证明见解析.
（1）
因为 在 上单调递增，
所以 对 恒成立，
即 对 恒成立．
令 ，则 ．
因为当 时， ，所以 ，
即 在 上单调递减，所以 ，
从而 ，即实数a的取值范围是 ．
（2）
证明：当 时， ．
要证 ，即证 ，
即证 ，即证 ．
令 ，则只要证 ．
令 ，则 ．
当 时， 在 上单调递减；
当 时， 在 上单调递增，
所以 ，所以 ，
即 成立，故 ．
突破四：端点效应与不等式恒（能）成立问题
1．设函数 ，其中 ．
（Ⅰ）当 时，求函数 的零点；
（Ⅱ）若对任意 ， ，恒有 ，求实数 的取值范围．
【解析】（Ⅰ）当 时， ，
当 时，令 ，即 ，解得 ；
（ⅱ）当 时，令 ，即 ，此方程△ ，无实数解．
由 （ⅱ），得 的零点为 ， ，（Ⅱ）方法1． 当 时，
对于 ， ，得 ，
显然函数 在 ， 上递减，
要使 恒成立，只需 ，即 ，
得 ，又 ，所以 符合题意．
（ⅱ）当 时， ，
由 ，知函数 在 上递增，在 上递减．
以下对 再进行分类 当 ，即 时，
函数 在 上递增，在 上递减．
此时 （a）， ，只需 ，
即 解得 ，即 ，
又 ，所以 符合题意．（11分） 当 ，即 时，
函数 在 ， 上递增．
要使 恒成立，只需 （a） ，
即 ，得 ，
又 ，所以 符合题意．
由 （ⅱ），得实数 的取值范围是 ．
方法2．因为对任意 ， ，恒有 ，所以 ，
即 ，解得 ．下面证明，当 时，对任意 ， ，恒有 ，
当 时， 递增，
故 （a） 成立；
（ⅱ）当 时， ，
， ，
故 ， 成立．
由此，对任意 ， ，恒有 ，
2．（2021·河南大学附属中学高三阶段练习（文））已知函数f（x）＝ax﹣a+lnx．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）当x∈（1，+∞）时，曲线y＝f（x）总在曲线y＝a（x2﹣1）的下方，求实数a的取值范围．
【详解】 （1） 的定义域为 ，对已知函数求导，得： ，
若 ，则 ， 单调递增；
若 ，则当 时， ， 单调递增；
当 ， ， 单调递减.
（2）由题意得 ，
整理得 .
令 ，则 .
由题意知“ ”是“ ”的必要条件.
由 ，解得： .
下面证明：“ ”是“ ”的充分条件.
由不等式 知，当 时，
.
综上可知 .
突破五：最值定位法解决双参不等式问题1．（多选）（2022·福建龙岩·高二期中）已知函数 ， ，若 ，
，使得 成立，则a的取值可以是（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】AD
【详解】解： ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上递减，在 ， 上递增，
故当 ， 时， ，
对于二次函数 ，该函数开口向下，
所以其在区间 ， 上的最小值在端点处取得，
所以要使对 ， ， ， ，使得 成立，只需 ，
因为函数 开口向下，所以当 ， 时， （1）， （2） ，
所以 或 ，所以 或 ，
解得 ．
故选：AD.
2．（2022·江苏省石庄高级中学高二阶段练习）已知 ， ，若对
， ，使得 成立，则a的取值范围是______．
【答案】
【详解】因为 ，
所以 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 ，
因为 开口方向向下，
所以在区间 上的最小值的端点处取得，
所以要使对 ， ，使得 成立，只需 ，即 或 ，
即 或 ，
解得 ，
所以a的取值范围是 ，
故答案为：
3．（2022·陕西·宝鸡市金台区教育体育局教研室高二期中（理））已知函数 .
(1)求函数 的单调区间；
(2)当 时，设 ，若对于任意 、 ，均有 ，求 的取值范围.
【答案】(1)当 时，单调递减区间为 ；当 时，单调递增区间为 ，单调递减区间为
．
(2)
(1)
解：函数 的定义域为 ，所以 ，
①当 时， 恒成立， 函数的单调递减区间为 ；
②当 时，由 ，解得 ；
当 时， ，当 时， ，
函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ．
综上可得：当 时，单调递减区间为 ；当 时，单调递增区间为 ，单调递减区间为
．
(2)
解：由已知，转化为 ．
由（1）知，当 时，函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ．
故 的极大值即为最大值， ，
因为 ，则 ，当 时 ，当 时 ，
函数 在 上单调递减，在 上单调递增．
故 的极小值即为最小值，
，即 ，解得 ．的取值范围为
4．（2022·上海市杨思高级中学高三期中）已知函数 .
（1）若 ，求曲线 在 处切线的方程；
（2）求 的单调区间；
（3）设 ，若对任意 ，均存在 ，使得 ，求 的取值范围.
【答案】（1） ；（2）当 时，单调递增区间为 ，无单调递减区间；当 时，单
调递增区间为 ，单调递减区间为 ；（3） .
【详解】（1）由已知 ，
，
曲线 在 处切线方程为 ，即 .
（2） .
①当 时，由于 ，故 ，
所以， 的单调递增区间为 ，无单调递减区间.
②当 时，由 ，得 .
在区间 上， ，在区间 上 ，
所以，函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 .
（3）由已知，转化为 ，
由（2）知，当 时， 在 上单调递增，值域为 ，故不符合题意.
(或者举出反例：存在 ，故不符合题意.)
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减，
故 的极大值即为最大值， ，
所以 ，
解得 .
5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 在 处取得极值， ．
（1）求 的值与 的单调区间；（2）设 ，已知函数 ，若对于任意 、 ， ，都有 ，求实数
的取值范围．
【答案】（1） ，单调递增区间为 、 ，单调递减区间为 ；（2） .
【详解】解：（1）由题意得 的定义域为 ， ，
函数 在 处取得极值，
（2） ，解得 ，
则由 得 或 ，
、 、 的关系如下表：
2
0 0
递增 极大值 递减 极小值 递增
函数 的单调递增区间为 、 ，单调递减区间为 ；
（2）由（1）得函数 ，
当 时，对任意 、 ， ，都有 ，
即当 ， ，时， ，
在 ， 上单调递减， ， ， ，
在 ， 上单调递减，
则 ， ，
则 ，
即 ，解得 或 ，结合 ，得 ，
故实数 的取值范围为 ．
6．（2022·辽宁·大连二十四中高一期中）已知函数 是定义域为 的奇函数，且 .
(1)求 的值，并判断 的单调性（不必证明）；
(2)设 为正数，函数 ，若对于任意 ，总存在 ，使得
成立，求 的最大值.
【答案】(1) ， ，单调递增；(2) .
【详解】（1）因为 时定义域为 的奇函数，所以 ，则 ，
又 ，则 ，解得 ，所以 ，
在定义域内单调增.
（2）因为对任意 ，总存在 ，使 ，所以 ，
由（1）得 ，
，
当 时， 在 出取得最小值， 在 ，即 处取得最小值，所以
，
所以 ，解得 .
所以 的最大值为 .
7．（2022·江苏省江浦高级中学高一期中）已知二次函数 .
(1)若关于 的不等式 对 恒成立，求 的取值范围；
(2)已知函数 ，若对 ， ，使不等式 成立，求 的取值范围.
【答案】(1)
(2) 或
【详解】（1）由 得 ，
当 时， ，所以 对 恒成立，只需 即可，
令 ，由 得 且 ，
则 ，
因为 ，当且仅当 即 ， 时等号成立，
所以 ，即 .
（2）由 ， ，使不等式 成立可得 即可，
由 在 上单调递增可得 ，
而 的对称轴为 ，
①当 即 时 在 上单调递增，
则 ，解得 ，综上 ；
②当 即 时，
，解得 或 ，
综上 ；
③当 即 时 在 上单调递减，
则 ，解得 ；
综合①②③可得 的取值范围为 或 .
突破六：值域法解决双参等式问题
1．（多选）（2022·江苏·常熟中学高三阶段练习）已知函数 ， ，若对任
意的 ，均存在 ，使得 ，则 的取值可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【详解】设 在 上的值域为 ， 在 上的值域为 ，则 ；
， 当 时， ，
在 上单调递增， ；
方法一：若 ，则 ，令 对 恒成立，
恒成立，即 ；
当 时， 在 上恒成立，
在 上单调递增， ，解得： ；
综上所述： ；方法二： ；
当 时， 恒成立， 在 上单调递增，
， ，即 ，
，解得： ；
当 时， ， ， 在 上单调递减，
， ，即 ，
，解得： （舍）；
当 时，令 ，解得： ，
当 时， ；当 时， ；
在 上单调递减，在 上单调递增，
，不合题意；
综上所述： .
故选：BC.
2．（2022·山东省实验中学高一阶段练习）设函数 与函数 ）的定义域的交集为D，集
合M是由所有具有性质：“对任意的 ，都有 ”的函数 组成的集合.
(1)判断函数 ， 是不是集合M中的元素？并说明理由；
(2)设函数 ， ，且 ，若对任意 ，总存在
，使 成立，求实数a的取值范围.
【答案】(1) ， ，理由见解析
(2) .
（1）
因为对任意 ， ，所以 .
因为对任意 ， ，所以 .
（2）因为函数 ，且 ，所以 ，整理得
，解得 ，或 (舍去)，故 .
当 时， ， .
对于函数 ，且
当 时， 在 单调递减，在 单调递增，
故 ，由题意知 ，解得 .
所以，实数a的取值范围为 .
3．（2022·河南·新密市第一高级中学高一阶段练习）已知函数 是定义在 上的奇函数，
且 ．
(1)若关于 的方程 的两根满足一根大于1，另外一根小于1，求实数 的取值范围；
(2)已知函数 ，若对任意 ，总存在 ，使得 成立，求实数 的取
值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1） 是 上的奇函数， ，即 ，又 ， ．
即关于 的方程 的两根满足一根大于1，另外一根小于1，
设 ，则函数 的图象开口向上，
∴ ，即 ，∴实数 的取值范围是 ；
（2）由（1）知 ， ，
当 时， ，
当 时， ，此时 ，∴ ，当 时， ，此时 ，∴ ，
综上， 的值域 ；
∵ ， ，∴ 的值域 .
∵对任意 ，总存在 ，使得 成立，
∴ ，即 ，所以 ，
实数 的取值范围为 ．
突破七：单变量不等式证明
角度1：构造函数，利用单调性证明不等式
1．（2022·河南焦作·高三期中（理））已知函数 ，曲线 在点 处的
切线在 轴上的截距为 ．
(1)求 的最小值；
(2)证明：当 时， ．
参考数据： ， ．
【答案】(1)0；
(2)证明见解析.
【详解】（1）由题得 ，
又 ，所以切点坐标为 ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ，
令 得 ，所以 .
所以 ，
当 时， ，函数在 单调递增；
当 时， ，函数在 单调递减.
所以函数的最小值为 .
所以函数的最小值为0.（2）当 时， 显然成立.
当 时，令 ，
所以 ，
所以 ，所以 在 单调递增（增函数+增函数=增函数），
又 ，
所以 恒成立，
所以 在 单调递增，
又 ，
所以存在 使得 即 .
所以 在 单调递减，在 单调递增.
所以
.
故 得证.
2．（2022·河南·高三阶段练习（文））已知函数 ，且曲线 在点 处的
切线方程为 ．
(1)求a，b的值，并求函数 的单调区间；
(2)证明： ．
【答案】(1)答案见解析；
(2)证明见解析.
（1）
的定义域为(0,+∞)， ,则 .
又 ,则曲线 在点 处的切线方程为 ,即
,
所以 解得： .
所以 ,且 .
令 ,解得： ；令 ,解得： .所以 的单调递减区间为 ,单调递增区间为 .
（2）
由（1）知 ,x>0.则要证 ，只需 ,只需 .
令 ,则. .
令 ,则 ，所以 在(0,+∞)上单调递增.
而 ，所以存在唯一的 ,使得 .
当 时, 单调递减；当 时, 单调递增.
所以
所以 ,即 .
3．（2022·河南宋基信阳实验中学高三阶段练习（文））已知函数 ，
(1)若 ，求 的极值；
(2)讨论 的单调区间；
(3)求证：当 时， .
【答案】(1)极小值为 ，无极大值
(2)答案见解析
(3)证明见解析
（1）当 时， ，则其定义域为 ， ；
当 时， ；当 时， ；
在 上单调递减，在 上单调递增；
的极小值为 ，无极大值.
（2）
由题意得： 定义域为 ， ；
①当 时， ， 在 上恒成立，
的单调递增区间为 ，无单调递减区间；
②当 时，令 ，解得： ，
当 时， ；当 时， ；
的单调递增区间为 ，单调递减区间为 .
综上所述：当 时， 的单调递增区间为 ，无单调递减区间；当 时， 的单调递增
区间为 ，单调递减区间为 .
（3）
令 ，则 ，
令 ，则 ；
当 时， 恒成立， 在 上单调递减， ，
在 上恒成立， 在 上单调递减，
，即当 时， .
4．（2022·广东广州·高二期末）设x＞0，f(x)=lnx，
(1)求证：直线y=x-1与曲线y=f(x)相切；
(2)判断f(x)与g(x)的大小关系，并加以证明．
【答案】(1)见解析；
(2) ，证明见解析.
(1)
证明：因为直线y=x-1过点(1,0), f(x)=lnx过点(1,0).设过点(1,0)与f(x)=lnx相切的直线为 ,
因为 ,
设切点为： ，
所以切线方程为 ，代入（1，0）,得 ，
所以切线方程为 ，
即 与曲线y=f(x)相切；
(2)
。
证明：令 ，
所以 ，
所以当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增；
所以 ，即 ，
所以 ，即有 ，得证.
角度2：构造函数，利用最值证明不等式
1．（2022·山西忻州·高三阶段练习）已知函数 .
(1)若 在 上单调递增，求 的取值范围；
(2)若 ，比较 与 的大小关系.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意知， 在 上恒成立，化简可得 ，
当 时， ，所以 ，故 的取值范围是 .
（2）令 ，则 ，
当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
则 ，所以 ，即 .
2．（2022·云南·巍山彝族回族自治县第二中学高二阶段练习）函数 .
(1)求证： ；
(2)求证： .
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析
（1）
令 ， ，
令 ，解得 ，
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增；
∴ ，∴ ，
即 ；
（2）
由题意将问题转化为 恒成立，
构造函数 ，
，
令 ，
恒成立，
∴ 在 上为减函数且 ，
∴ ，
∴当 时， ， ；当 时, ， ，
∴ 在 上为增函数，在 上为减函数，
∴ ，
∴
3．（2022·河南·一模（理））已知函数 ．(1)讨论函数 的单调性；
(2)若 ，证明：当 时， ．
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【详解】（1）由题意得： 定义域为 ， ；
①当 时， ，则 恒成立， 在 上单调递增；
②当 时，令 ，解得： ，
当 时， ；当 时， ；
在 上单调递增，在 上单调递减；
综上所述：当 时， 在 上单调递增；当 时， 在 上单调递增，在
上单调递减.
（2）由题意得： ， ，
令 ，则 ，
在 上单调递减，又 ， ，
，使得 ，即 ，则 ，
当 时， ；当 时， ；
在 上单调递增，在 上单调递减，
；
令 ，则 ，
在 上单调递增， ，
即 ， .
角度3：等价转化与不等式证明1．（2022·江西景德镇·三模（文））已知函数 ， .
(1)当 时，求函数 的极值；
(2)已知 ，求证：当 时，总有 .
【答案】(1)极小值为 ，无极大值
(2)证明见解析
(1)
当 时 ， ，
当 时， ，函数 单调递减，
当 时， ，函数 单调递增，
故函数 存在极小值为 ，无极大值.
(2)
，
令 ， .
∵ 且 ，∴ ，
由于 ，故函数 在 上单调递增，且 ，
∴ 恒成立，于是 ,
故当 时， ，函数 单调递减，
当 时， ，函数 单调递增，
∴ ,
又 ，即函数 当 时单调递增，
且 ，故 ，即 ，∴ ,
∴当 时，总有 .
2．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数 .(1)当 时，讨论 的单调性；
(2)若函数 ，证明：当 时， .
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
(1) 的定义域 .
当 时，分下面三种情况讨论：
①当 时， 恒成立，所以 在 单调递增；
②当 时， ，令 ，得 ，或 ，
所以 在 和 单调递增，在 单调递减；
③当 时， ，令 ，得 ，或 ，所以 在 和
单调递增，在 单调递减.
综上，当 时， 在 和 为增函数，在 为减函数； 时， 在
为增函数；
当 时， 在 和 为增函数，在 为减函数.
(2)（2）当 时，要证明 ，
即证 .
设 ，则 ，
又函数 在 为增函数，而 ，
所以存在 ，使得 ，且有 ，
所以 在 为减函数，在 为增函数.
所以 ，
令 ，显然在 为减函数，所以 ，即 ，而 ，所以 ，
即 ，
故当 时， 恒成立.
3．（2022·山东·菏泽一中高二阶段练习）已知函数 ， ，其中
…为自然对数的底数.
(1)当 时，若过点 与函数 相切的直线有两条，求 的取值范围；
(2)若 ， ，证明： .
【答案】(1)
(2)证明见解析
(1)解： ， .
设切点为P
令 ， .
得 有两根
令 ，
时，不符合题意
时，令 ，
单调递增， 单调递减.
，得
又 ，且
.
(2)证明：要证
只需证明 成立
因为 ，
所以
原问题可转化为证明 .
①当 时，所以
所以 成立
所以 成立
②当 时，设
因为
所以
所以
所以 在 上为增函数
所以
所以 在 上为增函数
所以
所以
所以 成立
综上
得证.
4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ．
(1)求 的极大值点和极小值点；
(2)若函数 ，当 时，证明： ．
【答案】(1)极大值点为 ，极小值点为
(2)证明见解析
(1) 定义域为R，导函数 ，
由 ，得 或 ，
令 ，得 ；令 ，得 或 ．
所以 在 ， 上单调递增，在 上单调递减．
故 的极大值点为 ，极小值点为 ．
(2)欲证 ，只需证 ，
即证
设函数 ，
则 ，
令 ，得 ；令 ，得 ．
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，
即当 时， ．
设函数 ，
则 ，
所以 在 上单调递减，
则 ，即 ，
所以 ，即 ，
又 ，所以 ，（点拨：放缩法是常用的证明不等式的方法）
所以当 时， ．
5．（2022·广西·钦州一中高二期中（理））已知函数 .
（1）求曲线 在 处的切线方程；
（2）若 ，证明不等式 在 上成立.
【答案】（1） ；（2）证明见解析.【详解】（1）由 ，得 .
所以 ，且斜率 ，
故所求切线方程为 ，即 ；
（2）证明：由题欲证 只需证 ，
即证 在 上成立，
令 ，则 ，令 ，
当 时， 递减；
当 时， 递增，
故 ，
∴当 时，∴ ，
即 得证.
角度4：超越放缩与不等式证明
1．（2022·江苏省包场高级中学高三开学考试）已知函数 .
(1)设 是函数 的极值点，求 的值并讨论 的单调性；
(2)当 时，证明： .
【答案】(1) ，当 时，函数 单调递减；当 时，函数 单调递增.
(2)证明见解析
（1） ，
， ， 是函数 的极值点，
，解得 ，
，设 ，则 ，
是 的唯一零点，
当 时， ，函数 单调递减；当 时， ，函数 单调递增.
（2）当 ， 时， ，
设 ，则 ，
所以当 时 ， 单调递增，
所以 ，即 ，，
取函数 ，则 ，
当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增，
所以函数 在 处取得唯一的极小值，即最小值为 ，
，
故 .
2．（2022·安徽·高二期末）函数 .
(1)当 时，求函数 的极值；
(2)当 ，且 .
①证明： 有两个极值点；
②证明：对任意的 .
【答案】(1) ，无极大值
(2)①证明见解析；②证明见解析
（1）
当 时， ，
解得
当 单调递减；当 单调递增，
当 时， 有极小值， ，无极大值；
（2）
①证明：
则 ，
所以
当 时， 单调递减；当 单调递增；
所以 ，由零点存在定理知，在 上 各有一个零点，
即存在 ， 使得
所以在 上， ， 单调递增，在 ， ， 单调递减
再在 上， ， 单调递增
所以 有两个极值点；
②证明：由①可知 的最小值为0，
令 ，则 ，得到
即 ，令 ，则 ，
所以
3．（2022·四川·成都七中高二期中（理））函数 .
(1)若 ， 对一切 恒成立，求a的最大值；
(2)证明： ，其中e是自然对数的底数.
【答案】(1)1
(2)证明见解析
(1)
，又 ，
①当 ， 恒成立，满足题意；
②当 ，令 ， ，
当 ， ， 单调递减，
当 ， ， 单调递增；
所以 在 处取得极小值，即最小值.要使 恒成立，即 ，
代入得 ，解得 .
综上 ，∴a的最大值为1.
(2)
由（1）知， 时， ，当 时，两边取对数得 ，由不等式 对任意 恒成立，当且仅当 时，取“=”号，
∴ ， 恒成立.
令 （ ，且 ）
则 ，
∴
，
即 ，∴ .
4．（2022·四川·成都七中高二期中（文））函数 .
(1)若 ， 对一切 恒成立，求a的最大值；
(2)证明： ，其中e是自然对数的底数.
【答案】(1)1
(2)证明见解析
(1)
由题意得， ，又 ，
①当 ， 恒成立，满足题意；
②当 ，令 ， ，当 ， ， 单调递减，
当 ， ， 单调递增；
所以 在 处取得极小值，即最小值.
要使 恒成立，即 ，
代入 得 ，解得 .
综上 ，∴ a的最大值为1.
(2)
证明：当 时，由（1）可知 ，当且仅当 成立.
令 ，即 .∴ ， ，…， ，
将各式相乘可得 ，
即 .
突破八：利用导数证明双变量不等式
角度1：分离双参，构造函数
1．（多选）（2022·全国·高三专题练习）若对任意的 ， ，且 ，都有
，则m的值可能是（ ）
A． B． C． D．1
【答案】BCD
【详解】 ，且 ，
则 ，整理得
设 ，则只需要 在 上单调递减即可，
，
令 ，解得 ，
则 ，
所以BCD符合，
故选：BCD.
2．（2022·辽宁·沈阳市第三十一中学高三阶段练习） ，均有 成立，则
的取值范围为___________.
【答案】
【详解】不妨设 ，则 ，
由 可得 ，
所以 ，即 ，
所以 ，
令 ，则 ，
因为 ，所以 在 上单调递减，
所以 对于 恒成立，
所以 对于 恒成立，
可得 对于 恒成立，
所以 ，因为 在 上单调递减，
所以 ，
所以 ，
故答案为：
3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 在点 ， （1） 处的切线与 轴平行．
(1)求实数 的值及 的极值；
(2)若对任意 ， ，有 ，求实数 的取值范围．
【答案】(1) ， 的极小值为 ，无极大值
(2) ，
(1)
函数 ，
，
令 （1） ，
，
解得 ；
令 ，则 ，解得 ，
当 时， ，当 时， ，
即 在 上单调递减，在 上单调递增所以 有极小值为 （1） ；无极大值；
(2)
由（1）可知 在 上单调递增，
不妨设 ，则 ，即
函数 在 上单调递增，
又 ，
在 上恒成立，
在 上恒成立，又在 上 ，
因此实数 的取值范围是 ， ．
4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ．
(1)若函数 有两个极值点，求 的取值范围；
(2)证明：若 ，则对于任意的 ， ， ，有 ．
【答案】(1) ，
(2)证明见解析
(1)由题意知， ，
因为函数 有两个极值点，所以 有两个不等的正根，
即 有两个不等的正根，
所以 ，解得 ，所以 的取值范围是 ， ．
(2)构造函数 ，
则 ．
由于 ， ，故 ，即 在 上单调递增，
从而当 时，有 ，即 ，故 ；
当 时，同理可证 ．
综上，对于任意的 ， ， ，有
角度2：糅合双参（比值糅合）
1．（2022·广东北江实验学校模拟预测）已知函数 ，
.
(1)讨论 的单调性；
(2)任取两个正数 ，当 时，求证： .
【答案】(1)答案见解析；
(2)证明见解析.
(1) .
当 时， ，令 ，得 ；令 ，得 .
所以 在 上单调递增，在 上单调递减.
当 ，即 时，令 ，得 或 ；令 ，得 .
所以 在 ， 上单调递增，在 上单调递减.
当 ，即 时， 恒成立，所以 在 上单调递增.
当 ，即 时，令 ，得 或 ；令 ，得 .
所以 在 ， 上单调递增，在 上单调递减.
综上所述，
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减；
当 时， 在 ， 上单调递增，在 上单调递减；
当 时， 在 上单调递增；当 时， 在 ， 上单调递增，在 上单调递减；
(2)证明：由题意得， .
要证 ，
只需证 ，
即证 ，
即证 .
令 ，
所以只需证 在 上恒成立，
即证 在 上恒成立.
令 ，则 ，
令 ，则 .
所以 在 上单调递减，即 在 上单调递减，
所以 ，所以 在 上单调递增，
所以 .
所以 .
2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 .
(1)求函数 的单调区间；
(2)若 ，且 ，证明： .
【答案】(1)答案见解析；
(2)证明见解析.
(1)函数 定义域为 ，，
①当 时， 在 上恒成立，即函数 的单调递减区间为
②当 时， ，解得 ，当 时， ，
函数 的单调递增区间为 ，
当 时， 函数 的单调递减区间为 ，
综上可知：
①当 时，函数 的单调递减区间为 ，无单调递增区间；
②当 时，函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为
(2)依题意， 是函数 的两个零点，
设 ，因为 ，
， ，
不等式 ，
，所证不等式即
设 ，令 ，
则 ， 在 上是增函数，且 ，
所以 在 上是增函数，且 ，
即 ，从而所证不等式成立.
3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数
(1)讨论 的单调性；
(2)若 存在两个极值点 ， ，证明：
【答案】(1)答案不唯一，具体见解析
(2)证明见解析
（1） ，
设 ． ， ，①当 时， ， ，则 ， 在 上单调递增，
②当 时， ， 的零点为 ， ，且 ，
令 ，得 ，或 ，令 ，得 ，
在 ， 上单调递减，在 ， ， 单调递增，
③当 时， ， 的零点为 ，
在 上单调递增，在 ， 上单调递减．
综上所述：当 时， 在 上单调递增；当 时， 在 ， 上单调
递减，在 ， ， 单调递增；当 时， 在 上单调递增，在
， 上单调递减．
（2）证明：由（1）知，当 时， 存在两个极值点，
不妨设 ，则 ，
要证： ，只要证 ，
只需要证 ，
即证 ，
设 ， ，
设函数 ，
，
，
，
，
在 上单调递减，则 ，又 ，
则 ，
则 ，
从而 ．
4．（2022·安徽省舒城中学一模（理））已知函数 .
（1）求证：当 时， ；
（2）设斜率为 的直线与曲线 交于两点 ，证明： .
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
【详解】解：（1）证明：令 ，
，
所以当 时， ， 单调递增，
所以 ，
所以 ．
（2）证明：因为斜率为 的直线与曲线 交于两点 ， ， ， ，
所以 ， ， ，
要证 ，
只需证 ，
即证 ，
只需证 ，
只需证 ，
令 ，即证 ，由（1）得 时， ，
令 ，
求导得 ，
所以当 时， ， 单调递减，
所以 ，
所以 ，
所以当 时， ，
综上，当 时， ，
所以 ．
5．（2022·江苏南通·高三阶段练习）已知函数 .
（1）当 时，试判断函数 在 上的单调性；
（2）存在 ， ， ，求证： .
【答案】（1）函数 在 上单调递增；（2）证明见解析.
【详解】（1）(方法一)当 时， ， ，
当 时， ，
所以，当 时，函数 在 上单调递增.
(方法二)当 时， ， ，
由 ，
结合函数 与 图象可知：当 时， ， ，
所以两函数图象没有交点，且 .
所以当 时， .
所以，当 时，函数 在 上单调递增.（2）证明：不妨设 ，由 得，
，
.
设 ，则 ，故 在 上为增函数，
，从而 ，
，
，
要证 只要证 ，
下面证明： ，即证 ，
令 ，则 ，即证明 ，只要证明： ，
设 ， ，则 在 单调递减，
当 时， ，从而 得证，即 ，
，即 .
角度3：糅合双参（差值糅合）
1．（2022·全国·高三专题练习）若 ，令 ，则 的最小值属于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】设 ，则 ， ， ，令 ， ，易知 单增，
且 ， ，则存在 ，使 ，
即 ， ， 单减； ， ， 单增；
又 ，
则 ，
易知 在 单减，即
故选：C
2．（2022·广东·执信中学高三阶段练习）已知函数 的最大值为 ，且曲线
在x＝0处的切线与直线 平行（其中e为自然对数的底数）．
（1）求实数a，b的值；
（2）如果 ，且 ，求证： ．
【答案】（1） ；（2）证明见解析
【详解】解：（1）由已知 ．
则易知 ，又因为 ，故a＝0．
此时可得 ．
①若b＞0，则当 时， 递减；
当 时， 递增．
此时，函数 有最小值，无最大值．
②若b＜0，则当 时， 递增；
当 时， 递减．
此时 ，解得 ．
所以 即为所求．
（2）由 ，且 得： ．∴ ．设 ，则
可得 ，所以要证 ，即证 ．
∵t＞0，所以 ，所以即证 ．
设 ，则 ．
令 ，则
当 时， 递减；当 时， 递增．
所以 ，即 ，所以 在 上递增．
所以 ．
．
角度4：利用指数（对数）平均不等式解决双变量问题
1．（2022·江苏·高一单元测试）已知直线 分别与函数 和 的图象交于点 ，
，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】对A，如图，作出函数 、 和 的草图，因为A，B关于C对称，且 ，
因为 ，所以 ，故A正确；
对B，由基本不等式， ，因为 ，所以等号不成立，故B正确；
对C，因为 ，所以 ，记 ，则 ，故 时， ，所以 在 上单调递增，所以 ，
即 ，即 ，故C正确；
对D，记 ，则 ， ，则 ，又
，易知 在 上单调递增，故 ，故D错
误．
故选：D．
2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ， .
（1）求函数 的极值；
（2）若存在 ， ，且当 时， ，当 时，求证： .
【答案【详解】（1）由 ， ，
当 ， ， 在 上为增函数，无极值，
当 ， ， ； ， ，
在 上为减函数，在 上为增函数，
， 有极小值 ，无极大值，
综上知：当 ， 无极值，
当 ， 有极小值 ，无极大值.
（2） ， ，
， ， ，
所以，当 ， 在 上为增函数，
所以当 时，恒有 ，即 成立；
当 ， 在 上为增函数，
当 ， 在 上为增函数，
这时， 在 上为增函数，
所以不可能存在 ， ，
满足当 时， ，
所以有 .设 ， 得：
，
①，
，
②，
由①②式可得： ，
即 ，
又 ， ，
③，
要证 ④，所以由③式知，
只需证明： ，即证 ，
设 ，只需证 ，
即证： ，令 ，
由 ， 在 上为增函数，
， 成立，
所以由③知， 成立.
