文档内容
专题 01 集合
【练基础】
一、单选题
1．（2023·浙江温州·模拟预测）已知全集 ，集合 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先求出集合 的补集，再求出 即可.
【详解】因为 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
故选：B
2．（2022·湖南·安仁县第一中学模拟预测）若集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由分式不等式的解法与交集的概念求解
【详解】由 得 ，得 ，则 ，
故选：B
3．（2022·贵州贵阳·模拟预测（理））已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C【分析】利用对数函数的定义域化简集合 ，再根据集合交集的定义求解即可.
【详解】由对数函数的定义域可得 或 ，
所以 或 ，
所以 ，
故选：C.
4．（2022·吉林·长春吉大附中实验学校模拟预测）某单位周一､周二､周三开车上班的职工人数分别是15，12，9.
若这三天中只有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数的最大值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】将问题转化为韦恩图，结合题意设出未知量，列出方程，求出答案.
【详解】
作出韦恩图,如图,
由题意得 ,则有 ,
所以 ,即 ，
因此要让 最大，则 需要最小，
若 则 不满足题意，
若 则 不满足题意，
若 则 满足题意，
所以这三天都开车上班的职工人数的最大值是4，
故选:B.
5．（2022·浙江宁波·一模）已知集合 ， ，则 （ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先求对数函数的定义域化简集合 ，再解二次不等式化简集合 ，从而利用集合的交集运算求得结果.
【详解】因为 ，所以 ，得 ，故 ，
由 得 ，解得 ，故 ，
所以利用数轴法易得 .
故选：B.
6．（2022·广东·肇庆市外国语学校模拟预测） ，则阴影部分表示
的集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由Venn图表示的集合求解．
【详解】 ，
图中阴影部分表示 ，
故选：C．
7．（2022·湖北·丹江口市第一中学模拟预测）已知集合 ，若 ，
则实数a的取值范围为（ ）
A． B．
C． 或 D． 或
【答案】C【分析】根据一元二次不等式的求解分别可集合 ,进而根据交运算的结果即可得不等关系，进行求解.
【详解】由 ,
所以 或 ,
因此 ，
由 知 或 ，即 或 ．
故选:C
8．（2022·贵州·黔西南州金成实验学校高三阶段练习）设集合 ，集合 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求解绝对值不等式和函数定义域解得集合 ，再求交集即可.
【详解】根据题意，可得 ，
故 .
故选：B.
二、多选题
9．（2022·广东·广州市番禺区象贤中学高三阶段练习）已知集合 ，若 ，则
的取值可以是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】AB
【分析】根据并集的结果可得 ，即可得到 的取值；
【详解】解：因为 ，所以 ，所以 或 ；
故选：AB10．（2023·全国·高三专题练习）已知 ､ 均为实数集 的子集，且 ，则下列结论中正确的是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【分析】由题可知 ，利用包含关系即可判断.
【详解】∵
∴ ，
若 是 的真子集，则 ，故A错误；
由 可得 ，故B正确；
由 可得 ，故C错误，D正确.
故选：BD.
11．（2023·全国·高三专题练习）已知全集U的两个非空真子集A，B满足 ，则下列关系一定正确的
是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】CD
【分析】采用特值法，可设 ， ， ，根据集合之间的基本关系，对选项
逐项进行检验，即可得到结果.
【详解】令 ， ， ，满足 ，但 ， ，故A，B均不
正确；
由 ，知 ，∴ ，∴ ，
由 ，知 ，∴ ，故C，D均正确.故选：CD.
12．（2022·全国·高三专题练习）图中阴影部分用集合符号可以表示为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【分析】由图可知，阴影部分是集合B与集合C的并集，再由集合A求交集，或是集A与B的交集并上集合A与
C的交集，从而可得答案
【详解】解：由图可知，阴影部分是集合B与集合C的并集，再由集合A求交集，或是集A与B的交集并上集合
A与C的交集，
所以阴影部分用集合符号可以表示为 或 ，
故选：AD
三、填空题
13．（2022·全国·高三专题练习）集合 ，则 _________．
【答案】
【分析】先求出集合A,B，进而根据集合的交集和补集运算即可求得答案.【详解】由题意， .
故答案为： .
14．（2022·河南·模拟预测（理））已知函数 ， 的值域分别为 ， ， ，则
实数 的取值范围是______．
【答案】
【分析】根据指数函数、二次函数的性质求出集合 ， ，再根据交集的结果得到参数的取值范围.
【详解】解：因为 ，所以 ，
又 ，所以 ，
因为 ，所以 ，即 .
故答案为：
15．（2023·上海·高三专题练习）设全集 ， 集合 ， 则 _____.
【答案】
【分析】根据题意注意到集合元素可得 ，再结合补集运算求解．
【详解】∵ ，则
故答案为： ．
16．（2022·全国·高三专题练习）建党百年之际，影片《 》《长津湖》《革命者》都已陆续上映，截止
年 月底，《长津湖》票房收入已超 亿元，某市文化调查机构，在至少观看了这三部影片中的其中一部影片的
市民中随机抽取了 人进行调查，得知其中观看了《 》的有 人，观看了《长津湖》的有 人，观看了
《革命者》的有 人，数据如图，则图中 ___________； ___________； ___________.【答案】
【分析】根据韦恩图，结合看每部电影的人数可构造方程组求得结果.
【详解】由题意得： ，解得： .
故答案为： ； ； .
四、解答题
17．（2022·陕西·大荔县教学研究室一模）已知集合 ， .
(1)当 时，求 ；
(2)当 时，若“ ”是“ ”的充分条件，求实数a的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)将 代入得 ，求出 即可.
(2)化简 ，将已知条件转化为 ，列出不等式求解，写出范围.
（1）
当 时，由不等式 ，得 ，
故 ，又
所以 .（2）
若“ ”是“ ”的充分条件，等价于 ，
因为 ，由不等式 ，得 ，
又
要使 ，则 或 ，又因为
综上可得实数a的取值范围为 .
18．（2022·全国·高三专题练习）已知集合 ， ．
(1)若 ，求实数m的取值范围；
(2)若 且 ，求实数m的值．
【答案】(1) .
(2)m= 或1.
【分析】（1）利用集合间的包含关系建立不等式组，分类讨论进行求解.
（2）根据已知，利用集合的交集运算，分类讨论进行求解.
【详解】（1）由 ，知 ．
①当 时， ，解得 ；
②当 时，有 ，解得 ．
所以实数m的取值范围为 ．
（2）因为 ， ， ，且 ，则
①当 时，有 ，解得 ，
则 ，此时 ，满足题意；
②当 时，有 ，解得 ，则 ，此时 ，不满足题意，舍去；
③当 时，有 ，解得 ，
此时 ， ，满足题意．
综上，实数m的值为 或1．
【提能力】
一、单选题
19．（2022·全国·高三专题练习（文））已知集合 ，集合 ，
若 ，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】令 ，由 单调性和 可求得集合 ，将问题转化为 在
上恒成立，化简不等式得 ，构造函数 ，由导数可确定其单调性；分别在
、 和 三种情况下，根据不等式恒成立求得取值范围.
【详解】令 ，则 ， 在 上单调递增，
又 ， 的解集为 ， ，
为 的解集的子集，
即当 时， 恒成立；
由 得： ，
即 ，令 ，则 ，
当 时， ；当 时， ；
在 上单调递减，在 上单调递增；
①当 时， ， ， ，即 在 上恒成立，
当 时， ，则 ；
当 时， ，令 ，则 ，
当 时， ；当 时， ；
在 上单调递增，在 上单调递减， ， ；
综上所述： ；
②当 时， ， ，又 ， ，
， 满足题意；
③当 时，
若 恒成立，则 在 上恒成立，
令 ，则 ，
在 上单调递减， ，即 ，又 ，
，
令 ，则 ，
又 ，则 ，
即 在 上不恒成立，
不合题意；综上所述：实数 的取值范围为 .
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题以集合为载体，考查了利用导数求解不等式恒成立问题，解题关键是能够根据集合的
包含关系将问题转化为不等式恒成立，通过同构的思想将问题进一步转化为函数的函数值之间的比较问题，通过
构造函数，结合函数的单调性来进行求解.
20．（2022·全国·高三专题练习）设集合 中至少两个元素，且 满足：①对任意 ，若 ，则
，②对任意 ，若 ，则 ，下列说法正确的是（ ）
A．若 有2个元素，则 有3个元素
B．若 有2个元素，则 有4个元素
C．存在3个元素的集合 ，满足 有5个元素
D．存在3个元素的集合 ，满足 有4个元素
【答案】A
【解析】不妨设 ，由②知集合 中的两个元素必为相反数，设 ，由①得 ，由于集合 中至
少两个元素，得到至少还有另外一个元素 ，分集合 有 个元素和多于 个元素分类讨论，即可求解.
【详解】若 有2个元素，不妨设 ，
以为 中至少有两个元素，不妨设 ，
由②知 ，因此集合 中的两个元素必为相反数，故可设 ，
由①得 ，由于集合 中至少两个元素，故至少还有另外一个元素 ，
当集合 有 个元素时，由②得： ，则 或 .
当集合 有多于 个元素时，不妨设 ，
其中 ，
由于 ，所以 ，
若 ，则 ，但此时 ，
即集合 中至少有 这三个元素，
若 ，则集合 中至少有 这三个元素，
这都与集合 中只有2个运算矛盾，
综上， ，故A正确；当集合 有 个元素，不妨设 ，
其中 ，则 ，所以 ，
集合 中至少两个不同正数，两个不同负数，即集合 中至少 个元素，与 矛盾，排除C，D.
故选：A.
【点睛】解题技巧：解决以集合为背景的新定义问题要抓住两点：1、紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把心
定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程中；2、用好集合的性质，解题时要善于从试题中发现可
以使用的集合的性质的一些因素.
21．（2020·全国·高三专题练习（理））定义： 表示 的解集中整数解的个数.若
， ， ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 可转化为满足 的整数解 的个数，画图排除 ， 的情况，
时，只需满足 ，解得答案.
【详解】根据题意， 可转化为满足 的整数解 的个数.
当 时，数形结合可得 的解集中整数解的个数有无数个；当 时， ，由 ，解得 或 ，在 内有3个整数解，
即 ，
所以 不符合题意；
当 时，作出函数 和 的大致图象，如图所示：
若 ，即 的整数解只有一个，
只需满足 即 解得 ，
所以当 时，实数 的取值范围是 ，
故选：B.【点睛】本题考查新定义、函数与方程的综合应用，意在考查学生的分类讨论能力，画出图像是解题的关键.
22．（2022·全国·高三专题练习）设集合 是集合 的子集，对于 ，定义 ，给出下列三个
结论：①存在 的两个不同子集 ，使得任意 都满足 且 ；②任取 的两个不
同子集 ，对任意 都有 ；③任取 的两个不同子集 ，对任意 都有
；其中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【答案】A
【分析】根据题目中给的新定义，对于 或 ，可逐一对命题进行判断，举实例例证明存在性命题是
真命题，举反例可证明全称命题是假命题．
【详解】∵对于 ，定义 ，
∴对于①，例如集合 是正奇数集合， 是正偶数集合， ， ，
故①正确；
对于②，若 ，则 ，则 且 ，或 且 ，或 且 ； ；
若 ，则 ，则 且 ； ；
∴任取 的两个不同子集 ，对任意 都有 ；正确，故②正确；
对于③，例如： ，当 时， ； ；
； 故③错误；
∴所有正确结论的序号是：①②； 故选：A．
【点睛】本题考查了简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、多选题
23．（2023·全国·高三专题练习）若非空集合G和G上的二元运算“ ”满足：① ， ；②
，对 ， ：③ ，使 ， ，有 ；④ ，
，则称 构成一个群.下列选项对应的 构成一个群的是（ ）
A．集合G为自然数集，“ ”为整数的加法运算
B．集合G为正有理数集，“ ”为有理数的乘法运算
C．集合 (i为虚数单位)，“ ”为复数的乘法运算
D．集合 ，“ ”为求两整数之和被7除的余数
【答案】BCD
【分析】根据新定义，判断各选项中 是否满足题中4个条件即可得．
【详解】A． 时，不满足③，若 ，则由 得 ，若 ，则在 中设 ，由
得 ，所以 不能构成群；
B．G为正有理数集，①任意两个正有理数的积仍然为正有理数，②显然 ，对任意 ， ，
③对任意正有理数 ， 也是正有理数，且 ，即 ，④有理数的乘数满足结合律，B中可构造
群；
C． (i为虚数单位)，①可验证 中任意两数（可相等）的乘积仍然属于 ；② ，满足任意
，有 ；③ ，满足任意 ，存在 ，有 ，实质上有
；④复数的乘法运算满足结合律，C中可构造群；
D． ，①任意两个整数的和不是整数，它除以7的余数一定属于 ，② ，满足对任意 ，
，③ ， ， ， 除以7余数为0；④加法满足交换律，又 除以
7的余数等于 除以7的余数加 除以7的余数的和再除以7所得余数，因此 ， ，
D中可构造群；
故选：BCD．【点睛】关键点点睛：本题考查新定义，解题关键是理解新定义，用新定义解题．解题方法是根据新定义的4个
条件进行验证，注意实数或复数运算的运算律与新定义中运算的联系可以很快得出结论．
24．（2022·全国·高三专题练习）已知集合 ， ，则下列命
题中正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 或 D．若 时，则 或
【答案】ABC
【分析】求出集合 ，根据集合包含关系，集合相等的定义和集合的概念求解判断．
【详解】 ，若 ，则 ，且 ，故A正确.
时， ，故D不正确.
若 ，则 且 ，解得 ，故B正确.
当 时， ，解得 或 ，故C正确.
故选：ABC．
25．（2023·全国·高三专题练习）集合 在平面直角坐标系中表示线段的长度之和记为 .若集合
， ， 则下列说法中正确的有（ ）
A．若 ，则实数 的取值范围为
B．存在 ，使
C．无论 取何值，都有
D． 的最大值为
【答案】ACD
【分析】对于A，要使 ，只要原点到直线的距离小于等于5即可，从而可求出 的取值范围；对于B，
C，由于直线 过定点 ，而点 在圆 内，从而可得 ；对于D，设原点到直
线 的距离为 ，则 ，分母有理化后可求出其最大值，从而可判断D【详解】对于A，因为 ，所以 ，解得 ，故A正确.
对于B和C，直线 过定点 ，因为 ，故C正确，B错误.
对于D，设原点到直线 的距离为 ，则 ，所以
的最大值，即 的最大值，于是 的最大值为 ，故D正确.
故选：ACD
26．（2022·全国·高三专题练习）已知集合 ， ，则（ ）
A． B．
C． D． 或
【答案】AB
【解析】化简集合A,B，即得解.
【详解】 ， ，
所以 ， ， 或 ，
故选:AB
【点睛】易错点睛：化简集合A时，容易漏掉函数的定义域，导致得到 ，导致后面运算出错，所以
函数的问题必须要注意定义域优先的原则.
27．（2020·辽宁·开原市第二高级中学三模）满足 ，且 的集合M可能是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【解析】由交集的结果知集合 一定含有元素 ，一定不含有 ，由此可判断．【详解】∵ ，∴集合 一定含有元素 ，一定不含有 ，
∴ 或 ．
故选：AC．
【点睛】本题考查由集合的交集求参数，掌握交集的定义是解题基础．
三、填空题
28．（2023·全国·高三专题练习）已知集合 ， 设 整除
或 整除 ， 令 表示集合 所含元素的个数， 则 _____.
【答案】
【分析】根据 的定义进行分析，从而确定正确答案.
【详解】 表示集合 所含元素的个数，
其中 ， ，
整除 的有 共 个.
整除 的：
（1） 整除 的有 个；
（2） 整除 的有 个；
（3） 整除 的有 个.
重复的有 共 个.
所以 .
故答案为：
29．（2022·上海·模拟预测）已知复数z是方程 的一个根，集合 ，若在集合M中
任取两个数，则其和为零的概率为_________．【答案】
【分析】由题意解出 ，根据复数的乘方以及集合的互异性确定
，根据古典概型处理运算．
【详解】 ，即 ，解得
当 时，
则 ， ， ，
当 时，
则 ， ， ，
则集合 有4个元素： ， ， ， ，即
若在集合M中任取两个数，共有如下可能： ，共6个基本事件，其和为零的有 ，
共2个基本事件，则其和为零的概率为
故答案为： ．
30．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 的部分图象如图所示，将函数的图象向右平移 个单位长度，得到函数 的图象，若集合 ，集合 ，
则 ______．
【答案】
【分析】根据图像求出g(x)的解析式，再求出f(x)解析式，求出A集合，根据集合交集运算法则计算即可.
【详解】由图可知 周期 ，∴ ．
由 得 ，∴ ， ，
∵ ，∴k取0， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∴ ， ，
∴ ，∴ ．
故答案为： ﹒
四、解答题31．（2021·北京·首都师范大学附属中学高三阶段练习）已知 ， ， ，记
，用 表示有限集合 的元素个数.
（I）若 ， ， ，求 ；
（II）若 ， ，则对于任意的 ，是否都存在 ，使得 ？说明理由；
（III）若 ，对于任意的 ，都存在 ，使得 ，求 的最小值.
【答案】（I） ，或 ，或 ；（II）不一定存在，见解析；（III）11.
【分析】（I）由已知得 ，其中 ， 相差2，由此可求得T；
（II）当 时， ，则 相差不可能1，2，3，4，5，
6，可得结论.
（III）因为 ，故集合A中的元素的差的绝对值至多有10种，可得 的最小值.
【详解】（I）若 ，则 ，其中 ，否则 ，
又 ， ， ，则 相差2，
所以 ，或 ，或 ；
（II）不一定存在，
当 时， ，则 相差不可能1，2，3，4，5，6，
这与 矛盾，故不都存在T.
（III）因为 ，故集合A中的元素的差的绝对值至多有10种，
当 时，结论都成立；
当 时，不存在 ， ，使得A中任意两个元素差不同，所以当 时，结论成立；
当 时，若 ，则不存在T，所以 的最小值为11.【点睛】关键点睛：本题考查集合的新定义，解决此类问题的关键在于准确理解集合的新定义，紧扣定义解决问
题.
32．（2022·北京八中高三开学考试）已知有限集X，Y，定义集合 ， 表示集合X中的元
素个数.
（1）若 ，求集合 和 ，以及 的值；
（2）给定正整数n，集合 ，对于实数集的非空有限子集A，B，定义集合
①求证： ；
②求 的最小值.
【答案】（1）X－Y＝{1,2}，Y－X＝{5}，|(X－Y)∪(Y∪X)|＝3；（2）①见解析；②
【分析】（1）直接根据定义求解即可；
（2）①分若A∪B中含有一个不在S中的元素和 ，且 ，两种情况讨论即可，当 ，且 时，
可通过 得证；
②结合①知 ，讨论若 ，
或 ，得 ，若 ，且 ，设 ， ，
可证得 的最小值是
【详解】（1）根据定义直接得X－Y＝{1,2}，Y－X＝{5}，|(X－Y)∪(Y∪X)|＝3.
（2）①显然 .
若A∪B中含有一个不在S中的元素，则 ，即
.
若 ，且 ，则
此时A中最小的元素 ，B中最小的元素 ，
所以C中最小的元素 .
所以 .因为 ，
所以 ，即 .
综上， .
②由①知 .
所以
若 ，或 ，则
若 ，且 ，设 ，
且 ， ，
则 ，
若 ，
因为 ，
所以 这 个数一定在
集中C中，且均不等于1.
所以
所以
当 ， 时，所以 的最小值是
【点睛】关键点点睛：本题的第三问较难，解题的关键是由①得
，进而进行分情况讨论可得解.
33．（2021·北京东城·一模）设 为正整数，若 满足：① ；②对
于 ，均有 ；则称 具有性质 .对于 和 ，定义集合
.
（1）设 ，若 具有性质 ，写出一个及相应的 ；
（2）设 和 具有性质 ，那么 是否可能为 ，若可能，写出一组 和 ，若不可能，说明
理由；
（3）设 和 具有性质 ，对于给定的 ，求证：满足 的 有偶数个.
【答案】（1）答案见解析（2）不存在，理由见解析（3）证明见解析
【分析】（1）根据性质 的定义可得答案；
（2）利用反证法以及性质 的定义推出相互矛盾的结论可得解；
（3）通过构造 ，证明当 ， 确定时， 唯一确定，由
也仅能构造出 ，即可得证.
【详解】（1） ， ； ， ； ， ；
； ， .
（2）假设存在 和 均具有性质 ，且 ，
则 ，因为 与 同奇同偶，所以 与 同奇同偶，
又因为 为奇数， 为偶数，
这与 与 同奇同偶矛盾，所以假设不成立.
综上所述：不存在具有性质 的 和 ，满足 .
（3）不妨设 与 构成一个数表 ，
交换数表中的两行，可得数表 ，
调整数表各列的顺序，使第一行 变为 ，
设第二行变为 ，
令 ，则 具有性质 ，且 ，
假设 与 相同，
则 ，
不妨设 ， ，则有 ，故 ，
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，与 矛盾.故对于具有性质 的 ，若 具有性质 ，且 ，则存在一
个具有性质 的 ，使得 ，且 与 不同，并
且由 的构造过程可以知道，当 ， 确定时， 唯一确定，由 也仅
能构造出 .
所以满足 的 有偶数个.
