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解密 03 讲 ：不等式
【考点解密】
1．两个实数比较大小的方法
(1)作差法 (a，b∈R)
(2)作商法 (a∈R，b>0)
2．不等式的基本性质
性质 性质内容 特别提醒
对称性 a>b b<a ⇔
传递性 a>b，b>c a>c ⇒
⇔
可加性 a>b a＋c>b＋c ⇔
⇒
ac>bc
⇔
可乘性 注意c的符号
ac<bc
⇒
同向可加性 a＋c>b＋d ⇒
⇒
同向同正可
⇒
ac>bd ⇒
乘性
⇒
可乘方性 a>b>0 an>bn(n∈N，n≥1) a，b同为正数
可开方性 a>b>0 >(n∈N，n≥2) a，b同为正数
⇒
⇒
3．一元二次不等式的解集
判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c
(a>0)的图象
方程ax2＋bx＋c＝0 (a>0) 有两相异实根x，x 有两相等实根
1 2
没有实数根
的根 (x<x) x＝x＝－
1 2 1 2
ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集 {x|x<x 或x>x} {x|x∈R}
1 2
ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集 {x|x< x<x} ∅ ∅
1 2
4．基本不等式≤
(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．(3)其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数．
5．几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．
(2)＋≥2(a，b同号)．
(3)ab≤2(a，b∈R)．
(4)≥2(a，b∈R)．
以上不等式等号成立的条件均为a＝b.
6．用基本不等式求最值
用基本不等式≤求最值应注意：一正二定三相等.
(1)a，b是正数；
(2)①如果ab等于定值P，那么当a＝b时，和a＋b有最小值2；
②如果a＋b等于定值S，那么当a＝b时，积ab有最大值S2.
(3)讨论等号成立的条件是否满足．
【方法技巧】
一、比较大小的常用方法
(1)作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论．
(2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论．
(3)构造函数，利用函数的单调性比较大小．
二、判断不等式的常用方法
(1)直接利用不等式的性质逐个验证，利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件．
(2)利用特殊值法排除错误答案．
(3)利用函数的单调性，当直接利用不等式的性质不能比较大小时，可以利用指数函数、对数函数、幂函数等函数
的单调性来比较．
三、利用基本不等式求最值
(1)前提：“一正”“二定”“三相等”．
(2)要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式．
(3)条件最值的求解通常有三种方法：一是配凑法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法；三是消元法．
【核心题型】
题型一：比较两个数（式）的大小1．已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
2．已知： ，则3， ， 的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
3．设 ， ，则 与 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法确定
题型二：不等式的基本性质
4．对于实数a，b，c，下列命题中正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 ，则
D．若 ，则
5．（多选）已知a，b，c，d均为实数，则下列命题正确的是（ ）
A．若a>b，c>d，则a-d>b-c B．若a>b，c>d则ac>bd
C．若ab>0，bc-ad>0，则 D．若a>b，c>d>0，则
6．（多选）已知 ，则 （ ）
A． B．
C． D．题型三：不等式性质的综合应用
7．已知 ， ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知 ， ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．已知 , ,则 的取值范围为__________.
题型四：利用基本不等式求最值
命题点1 配凑法
10．设实数 满足 ，函数 的最小值为（ ）
A． B． C． D．6
11．已知x>0，y>0,2x＋3y＝6，则xy的最大值为________．
12．已知a>b>c，求(a－c)的最小值．
命题点2常数代换法
13．已知 ，则 的最小值是（ ）
A．7 B． C．4 D．14．已知 ，且 ，则 的最小值为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．
15．若实数 ，则 的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．2
16．已知 ，且 ，则 的最小值为_________．
命题点3 消元法
17．负实数 、 满足 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
18．若实数x，y满足xy＋3x＝3，则＋的最小值为________．
19．已知 ，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．2
题型五：基本不等式的综合应用
20．已知正实数a、b满足 ，若 的最小值为4，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．21．在 中，角 所对的边分别为 ，且点 满足 ，若 ，则
的最大值为（ ）
A． B． C． D．
22．设等差数列{a}的公差为d，其前n项和是S，若a＝d＝1，则的最小值是________．
n n 1
【高考必刷】
一、单选题
1．（2021·山西太原·高一阶段练习）已知 ， ，则 和 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·湖北·葛洲坝中学高一阶段练习）已知 ，则 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．不能确定
3．（2022·江苏宿迁·高一期中）若 且 ，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·江西·贵溪市实验中学高三阶段练习（文））若 ，则 的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．
5．（2022·黑龙江·牡丹江市第三高级中学高三阶段练习）已知 为正实数且 ，则 的最小值为（
）
A． B． C． D．36．（2022·全国·高三专题练习）已知两个正实数 ， 满足 ，则 的最小值是（ ）
A． B． C．8 D．3
7．（2022·全国·高一单元测试）已知正数 、 满足 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·浙江·高一期中）已知实数 ，且 ，则 的最小值是（ ）
A．6 B． C． D．
9．（2021·安徽合肥·高一期末）已知 ，且 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
10．（2022·黑龙江·哈尔滨市第一中学校高一阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．若 且 ，则 至少有一个大于2
B．
C．若 ，则
D．若 ，则
11．（2022·甘肃省会宁县第一中学高一期中）若函数 在 处取最小值，则 等于（
）
A．3 B． C． D．412．（2015·湖南·高考真题（文））若实数 满足 ，则 的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．4
13．（2022·山东·青岛二中高一期中）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号
使用，后来英国资学家哈利奥特首次使用“>”和“<”符号，并逐步被数学界接受志不等号的引入对不等式的发展
景响深远．已知a，b为非零实数，且 ；则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
14．（2022·福建·福州第十五中学高三阶段练习）已知 且 ，则 的取值范围
是（ ）
A． B． C． D．
15．（2021·山西·太原市第五十六中学校高一阶段练习）若正数 满足 ，当 取得最小值时，
的值为（ ）
A． B．2 C． D．5
16．（2022·全国·高三专题练习）当 时，不等式 恒成立，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
17．（2022·天津·静海一中高一期中）已知正数 、 满足 ，若不等式 恒成立，则实数
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．18．（2022·福建·莆田一中高一阶段练习）已知 ， ，若不等式 恒成立，则实数 的最大值
为（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
二、多选题
19．（2022·全国·高一单元测试）下列命题为真命题的是（ ）
A．若 ， ，则 B．若 ， ，则
C．若 ，则 D．若 ， ，则
20．（2022·河南省浚县第一中学高一阶段练习）若正实数a，b满足 则下列说法正确的是（ ）
A．ab有最大值 B． 有最大值
C． 有最小值2 D． 有最大值
三、填空题
21．（2022·山东·乳山市银滩高级中学高一阶段练习）若实数 满足 ， ，则 的
取值范围为________．
22．（2018·天津·高考真题（理））已知 ，且 ，则 的最小值为_____________.
23．（2023·广东·惠来县第一中学高一期中）已知 ，则 的最大值为________．
24．（2022·天津市第四中学高三期中）已知 且 ，则 的最小值为___________.
25．（2019·天津·高考真题（文）） 设 ， ， ，则 的最小值为__________.26．（2017·天津·高考真题（文））若 ， ，则 的最小值为___________.
27．（2017·江苏·高考真题）某公司一年购买某种货物 吨，每次购买 吨，运费为 万元/次，一年的总存储费
用为 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则 的值是__________．
28．（2022·全国·高考真题（理））已知 中，点D在边BC上， ．当 取
得最小值时， ________．
四、解答题
29．（2022·海南·儋州川绵中学高一期中）比较下列两组代数式的大小
(1) 和
(2) 与
30．（2022·河北·衡水市冀州区滏运中学高一阶段练习）已知 ， ，求 ， 的取值范围．
31．（2022·江苏·北大附属宿迁实验学校高一阶段练习）已知 ， ，分别求
(1)
(2)
(3) 的取值范围.
32．（2022·全国·高一单元测试）解下列问题：
(1)若不等式 的解集为 ，求a，b的值；
(2)若 ，求 的最小值；
(3)已知 ，求代数式 和 的取值范围．33．（2022·全国·高三专题练习）（1）已知 ，则 取得最大值时 的值为？
（2）已知 ，则 的最大值为？
（3）函数 的最小值为？
34．（2022·江苏连云港·高一期中）如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园．
设菜园的长为xm，宽为ym．
(1)若菜园面积为72m2，则x，y为何值时，可使所用篱笆总长最小？
(2)若使用的篱笆总长度为30m，求 的最小值．
35．（2022·全国·高三专题练习）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设 ．
（1）求B；
（2）若△ABC的面积等于 ，求△ABC的周长的最小值．
36．（2022·陕西·长安一中高二阶段练习（文））已知在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且
.（1）求 的值；
（2）若 ，求 面积的最大值.
