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第一章 特殊平行四边形
1.2 矩形的性质与判定
精选练习
基础篇
一、单选题
1．（2022·广东广州·八年级期末）如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，把剪下部分展
开后，得到的图形是（ ）
A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
【答案】B
【解析】
【分析】
由矩形对折两次可得，折痕刚好为剪下的四边形的对角线，再根据菱形的判定解答即可．
【详解】
解：∵折痕刚好为剪下的四边形的对角线，结合对折可得：
两条对角线互相垂直平分，
∴根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形，可知得到的四边形是菱形，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了剪纸问题，矩形的性质，轴对称的性质，菱形的判定等知识，熟练掌握菱形的判定是解题
的关键．
2．（2022·云南昆明·八年级期末）如图，在矩形ABCD纸片中，E为AD上一点，将 沿CE翻折至
．若点F恰好落在AB上， ， ，则 （ ）A．5.8 B．5 C．4.8 D．3
【答案】A
【解析】
【分析】
设AE＝x，则DE＝10﹣x＝EF，在Rt AEF中，由勾股定理列方程即可解得答案．
【详解】 △
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝10，
设AE＝x，则DE＝AD﹣AE＝10﹣x，
∵△CDE沿CE翻折至 CFE，
∴EF＝DE＝10﹣x， △
在Rt AEF中，AF2+AE2＝EF2，
∴42+△x2＝（10﹣x）2，
解得x＝4.2，
∴AE＝4.2，
∴DE＝AD－AE＝5.8，
故选：A．
【点睛】
本题考查矩形中的翻折问题，解题的关键是掌握翻折的性质，熟练应用勾股定理．
3．（2022·四川成都·八年级期末）如图，点E是矩形ABCD边AD上一动点，连接BE，以BE边作矩形
BEFG，使得FG始终经过点C．若矩形ABCD的面积为 ，矩形BEFG的面积为 ，则 与 的大小关系
是（ ）A． B． C． D．不确定
【答案】B
【解析】
【分析】
连接CE，根据矩形ABCD和矩形BEFG都与三角形CBE同底等高，进而可以解决问题．
【详解】
解：如图，连接CE，
∵矩形ABCD的面积为 ，矩形BEFG的面积为 ，
∴ ＝2S CBE， ＝2S CBE，
△ △
则 ＝ ．
故选：B．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，熟记矩形的性质是解此题的关键．
4．（2022·广西钦州·八年级期末）如图，在矩形AOBD中，点D的坐标是（1,3），则AB的长为（
）A．3 B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据勾股定理求得 ，然后根据矩形的性质得出 ．
【详解】
∵四边形AOBD是矩形，
∴AB=OD，
∵点D的坐标是(1,3)，
∴ ，
∴ ，
故选：D．
【点睛】
本题考查了矩形的性质以及勾股定理的应用，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
5．（2022·重庆渝中·八年级期末）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O， ，P，Q分
别为AO，AD的中点，则PQ的长度为（ ）A．2.5 B．2 C．1.5 D．1
【答案】A
【解析】
【分析】
先由矩形的性质可得AC＝BD＝10，BO＝DO＝ BD＝5，再由三角形中位线定理可得PQ＝ DO，即可得
出答案．
【详解】
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD＝10，BO＝DO＝ BD，
∴DO＝ BD＝5，
∵点P、Q是AO，AD的中点，
∴PQ是 AOD的中位线，
△
∴PQ＝ DO＝2.5，
故选：A．
【点睛】
本题考查了矩形的性质以及三角形中位线定理，关键是掌握矩形的对角线相等且互相平分．
6．（2022·北京房山·八年级期末）如图， 的对角线 交于点O， 是等边三角形，
，则 的面积为（ ）
A． B． C． D．8
【答案】A
【解析】
【分析】根据等底等高，可知 ，求出△AOB的面积即可；
【详解】
解：∵ 是等边三角形， ，
∴ ，
∵四边形ABCD是矩形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：A．
【点睛】
本题考查等边三角形的性质、矩形的性质，等高模型等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题．
二、填空题
7．（2022·广东肇庆·八年级期末）如图，已知矩形ABCD的两条邻边的长分别为6和8，E、F、G、H分
别是AB、BC、CD、DA的中点，则四边形EFGH的周长等于______．
【答案】20
【解析】
【分析】
根据矩形的性质可证得△AEH≌△BEF≌△CGF≌△DGH，从而得到EF=FG=GH=EH，可得到四边形
EFGH是菱形，再由勾股定理可得EH=5，即可求解．
【详解】
解：在矩形ABCD中，AB=CD=6，AD=BC=8，∠A=∠B=∠C=∠D，
∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，
∴AH=DH=BF=CF=4，AE=BE=CG=DG=3，
∴△AEH≌△BEF≌△CGF≌△DGH，
∴EF=FG=GH=EH，∴四边形EFGH是菱形，
∵AE=3，AH=4，∠A=90°，
∴EH=5，
∴四边形EFGH的周长等于4×5=20．
故答案为：20
【点睛】
本题主要考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握矩形的
性质，菱形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质是解题的关键．
8．（2022·广东广州·八年级期末）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，若 ，则
的度数是______．
【答案】25°##25度
【解析】
【分析】
根据矩形的性质得出AC＝2OA，BD＝2BO，AC＝BD，求出OB＝OC，推出∠OBC＝∠OCB，根据三角形
外角的性质即可求出∠OBC的度数．
【详解】
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝2OA，BD＝2BO，AC＝BD，
∴OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∵∠AOB＝∠OBC＋∠OCB＝50°，
∴∠OBC＝ ∠AOB＝ ×50°＝25°，
故答案为：25°．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的性质的应用，掌握矩形的对角线互相平分且相等是解决问题的关键．
9．（2022·上海徐汇·八年级期末）如图，将矩形ABCD的边BC延长至点E，使 ，联结AE交对角
线BD于点F，交边CD于点G，如果 ，那么 的大小为______．
【答案】 ##19度
【解析】
【分析】
连接AC，AC与BD相交点O，根据矩形的性质可知 由已知条件
可求出 结合 即可得出结果．
【详解】
解：如图所示：连接AC，AC与BD相交点O，
∵矩形ABCD，故答案为19°
【点睛】
本题主要考查了矩形的性质，熟练掌握矩形的性质是解此题的关键．
10．（2021·四川资阳·八年级期末）如图，点E是矩形ABCD的边AD上一点，连结BE，沿BE折叠矩形
得到 BEF，EF的延长线刚好经过点C，若BC=3，AB=2，则AE的长是_______．
△
【答案】 ##
【解析】
【分析】
由勾股定理得CF ，设AE=x，由EF=x，DE=3-x，CE= +x，在Rt CDE中，由勾股定理列方程即可
△
求解．
【详解】
解：∵四边形ABCD是矩形，且BC=3，AB=2，
∴AD=BC=3，AB=CD=2，
由折叠的性质得AE=EF，∠A=∠EFB=90°，AB=BF=2，
∴∠CFB=90°，
由勾股定理得CF= ，
设AE=x，由EF=x，DE=3-x，CE= +x，
在Rt CDE中，CE2=CD2+DE2，
△
∴( +x)2=22+(3-x)2，
解得：x= = ，
∴AE的长是 ，故答案为： ．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，折叠的性质，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
三、解答题
11．（2022·天津市汇文中学八年级期末）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边AB上，点F在边CD
上， ，连接DE、BF．
(1)求证：
(2)若 ，求证：四边形BFDE是矩形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【解析】
【分析】
（1）证明四边形BFDE是平行四边形即可；
（2）根据矩形的判定推出即可．
(1)
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，
∵DF＝BE，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∴ ；
(2)
证明：∵四边形BFDE是平行四边形，DE⊥AB，即∠DEB＝90°，
∴平行四边形BFDE是矩形．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质与判定，矩形的判定等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．
12．（2022·湖北·武汉市武珞路中学八年级期中）如图．在矩形ABCD中，点O是对角线AC的中点，过点O的直线分别交BC，AD边于点E、F，AE＝AF．
(1)求证：四边形AECF是菱形；
(2)若AD＝4，AB＝3．求EF的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）证明△AOF≌△COE，可得AF=CE，从而得到四边形AECF是平行四边形，即可求证；
（2）根据菱形的性质可得AE=CE，AC⊥EF，EF=2OE，再根据矩形的性质可得 ，然后设
BE=x，则AE=CE=4-x，在 中，根据勾股定理可得 ，从而得到 ，可求出OE，即可
求解．
(1)
证明：在矩形ABCD中，AD∥BC，
∴∠CAD=∠ACB，∠AFE=∠CEF，AF∥CE，
∵点O是对角线AC的中点，
∴OA=OC，
∴△AOF≌△COE，
∴AF=CE，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AE＝AF，
∴四边形AECF是菱形；(2)
解：∵四边形AECF是菱形，
∴AE=CE，AC⊥EF，EF=2OE，
在矩形ABCD中，∠B=90°，BC=AD=4，AB=3，
∴ ，
∴ ，
设BE=x，则AE=CE=4-x，
在 中， ，
∴ ，解得： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】
本题主要考查了菱形的判定，矩形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的判定定理，矩形的性质定理，勾股
定理是解题的关键．
提升篇
一、填空题
1．（2022·安徽合肥·九年级期末）如图，将矩形ABCD沿着过点D的直线折叠，使点A落在BC边的E点
处，折痕交AB于点F．
（1）若CD=6，BC=10，则BE=_________；（2）若CD=15，BE：EC=1：4，则BF=_________
【答案】 2 ．
【解析】
【分析】
（1）由折叠的性质可知： ，根据勾股定理求出 ，即可求出
；
（2）设 ， ，则 ，利用勾股定理求出 ，设 ，则 ，利
用勾股定理求出 即可．
【详解】
解：（1）由折叠的性质可知： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）设 ， ，则 ，
∵ABCD为矩形，
∴ ，
由折叠的性质可知： ，
∵ ，
∴ ，解得： ，即 ，
设 ，则 ，
由勾股定理得： ，即 ，解得： ，
∴ ，
故答案为：2；
【点睛】
本题考查矩形的性质，折叠的性质，勾股定理．解题的关键是在掌握矩形性质，折叠的性质，勾股定理．（1）关机是求出 ，（2）关键是求出 ，根据勾股定理得到 求
解．
2．（2022·云南昆明·八年级期末）如图，O是矩形ABCD对角线AC的中点，E是AB上的一点，将
沿CE折叠后，点B恰好与点O重合．若 ，则折痕CE的长为______．
【答案】
【解析】
【分析】
连接 ，根据题意可得 是等边三角形，进而可得 ，根据勾股定理与含30度角的直角三
角形的性质即可求解．
【详解】
解：如图，连接 ，
四边形 是矩形，O是矩形ABCD对角线AC的中点，
， ，
∵将 沿CE折叠后，点B恰好与点O重合，
∴ ， ，
，
∴ 是等边三角形，
，
，
在 中， ， ，，
即 ，
解得 ，
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了矩形与折叠的性质，等边三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，掌
握以上知识是解题的关键．
3．（2022·四川成都·八年级期末）如图，矩形ABCD在平面直角坐标系中，已知 ， ，点P
为射线AB上一动点，将直线OP绕点P逆时针旋转90°，交直线BC于点Q，当 为等腰三角形时，
点P的坐标为______．
【答案】P（1，3），P（7，3）
1 2
【解析】
【分析】
设点P（m，3），因为△POQ是等腰三角形所以PO＝PQ，全等三角形的性质，列出等式，可求得m的值，
从而就可确定点P的坐标．
【详解】
解：∵ ， ，点P为射线AB上一动点，
∴设P（m，3）
∵△POQ是等腰三角形，
①若P在线段AB上，∠OPQ＝90°∴PO＝PQ，
又∵∠OAP=∠PBQ=90°，
∴∠AOP=90°-∠APO=∠BPQ，
∴△OAP≌△PBQ
∴PB＝AO，即3＝4−m，
∴m＝1，即P点坐标（1，3）；
②若P在线段AB的延长线上，PQ交CB的延长线于Q，此时PO＝PQ，
同理：△AOP≌△BPQ，
∴AO＝PB，即3＝m−4，m=7，
即P点的坐标（7，3）；
故点P坐标为P（1，3），P（7，3）．
1 2
故答案为：P（1，3），P（7，3）．
1 2
【点睛】
此题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，图形与坐标，矩形的性质，熟练掌握“一线三垂
直”模型，是解题的关键．
4．（2021·云南·文山二中九年级阶段练习）在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，E为CD的中点，连接AE
交BC的延长线于F点，P为BC上一点，当∠PAE＝∠DAE时，AP的长为_________．
【答案】【解析】
【分析】
根据平行四边形的性质和全等三角形的判定证明△ADE≌△FCE得到AD=FC=BC=4，再根据等角对等边证
得AP=PF，然后根据勾股定理求解AP即可．
【详解】
解：∵四边形ABCD是矩形，AD＝4，
∴AD∥BC，∠ABC =90°，AD=BC=4，
∴∠DAE=∠CFE，
∵E为CD的中点，
∴DE=CE，
在△ADE和△FCE中，
，
∴△ADE≌△FCE（AAS），
∴AD=FC，即CF=4，
∴BF=BC+CF=8，
∵∠PAE＝∠DAE，∠DAE=∠CFE，
∴∠PAE＝∠CFE，
∴AP=PF，
在Rt ABP中，AB=2，BP=BF－PF=8－AP，
由勾股△定理得：22+（8－AP）2=AP2，
解得：AP= ．
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等角对等边、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识的
联系与运用是解答的关键．
5．（2022·江苏徐州·八年级期末）如图，在矩形ABCD中，点P在边AD上，E、F分别为BC、PB的中点，
若AB＝6，则线段EF的最小值为______．【答案】3
【解析】
【分析】
连接CP，根据矩形性质可得 ，根据三角形中位线的判定和性质可得 ，继而根据两点
之间线段最短可得当P、D重合时，CP最小，EF有最小值，继而即可求解．
【详解】
如图，连接CP，
∵四边形ABCD是矩形，
∴ ，
∵E、F分别为BC、PB的中点，
∴EF是 BCP的中位线，
△
∴ ，
∴当CP最小时，EF有最小值，
∵当P、D重合时，CP最小，EF有最小值，
∴ ,
∴EF的最小值为3，
【点睛】
本题考查矩形性质、三角形中位线的判定和性质、两点之间线段最短，解题的关键是求得当P、D重合时，
CP最小，EF有最小值．二、解答题
6．（2022·贵州黔东南·八年级期末）如图，在矩形 中，E是 边的中点，沿 折叠矩形 ，
使点B落在点P处，折痕为 ，连接 并延长交 于点F，连接 ．
(1)求证：四边形 为平行四边形；
(2)若矩形 的边 ， ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）由折叠的性质得到BE＝PE，EC与PB垂直，根据E为AB中点，得到AE＝EB＝PE，求出∠APB为
90°，进而得到AF与EC平行，再由AE与FC平行，利用两对边平行的四边形为平行四边形即可得证；
（2）如图，BP与EC交于点Q，在Rt EBC中，利用勾股定理求出EC的长，利用面积法求出BQ的长，
根据BP＝2BQ求出BP的长，在Rt AB△P中，利用勾股定理求出AP的长，根据AF−AP求出PF的长即可．
(1) △
证明：由折叠可得：BE＝PE，EC⊥PB，
∵E为AB的中点，
∴AE＝EB＝PE，
∴∠EAP＝∠EPA，∠EBP＝∠EPB，
∵∠EAP＋∠EPA＋∠EBP＋∠EPB＝180°，
∴∠EPA＋∠EPB＝90°，即∠APB＝90°，
∴AP⊥BP，
∴AF∥EC，
∵在矩形 中，AE∥FC，
∴四边形AECF为平行四边形；
(2)如图，BP与EC交于点Q，
在Rt EBC中，EB＝ AB＝3，BC＝4，
△
根据勾股定理得：EC＝ ，
∵S EBC＝ EB•BC＝ EC•BQ，
△
∴BQ＝ ，
由折叠得：BP＝2BQ＝ ，
在Rt ABP中，AB＝6，BP＝ ，
△
根据勾股定理得：AP＝ ，
∵四边形AECF为平行四边形，
∴AF＝EC＝5，
∴PF＝5− ＝ ．
【点睛】
此题属于四边形综合题，考查了折叠的性质，矩形的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理等，灵活
运用各性质进行推理计算是解本题的关键．
7．（2022·云南昆明·八年级期末）如图，在菱形 中，对角线 ， 交于点 ，过点 作 的垂
线，垂足为点 ，延长 到点 ，使 ，连接 ．(1)求证：四边形 是矩形；
(2)若 ， ，求 的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据菱形的性质得到 且 ，等量代换得到 ，推出四边形 是平行四边形，
根据矩形的判定定理即可得到结论；
（2根据已知条件和菱形的性质得到 ， ， ， ，利用勾股定理
和 即可得到结论．
(1)
证明：∵四边形 是菱形，
∴ 且 ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ，
∴ ，
∴四边形 是矩形；
(2)
解：∵四边形 是菱形，
∴ ， ， ， ， ，∴ ，
∵四边形 是矩形，
∴ ， ，
∴ ，
在 中，由勾股定理可得：
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
∴ 的长为 ．
【点睛】
本题考查了矩形的判定和性质，菱形的性质，勾股定理等知识，利用了等积法的数学方法．熟练掌握矩形
的判定和性质定理是解题的关键．
8．（2022·江苏扬州·八年级期末）如图，矩形AOBC，以O为坐标原点，OB、OA分别在x轴、y轴上，点
A的坐标为（0，3），点B的坐标为（5，0），点E是BC边上一点，如把矩形AOBC沿AE翻折后，C点
恰好落在x轴上点F处．
(1)求点F的坐标；
(2)求线段AF所在直线的解析式．
【答案】(1)F（4，0）(2)
【解析】
【分析】
（1）由翻折可知△ACE≌△AFE， 矩形AOBC，点A的坐标为（0，3），点B的坐标为（5，0），
AC＝AF，再利用勾股定理求解OF，即可得到答案；
（2）设直线AF所在直线的解析式为y＝kx+b，再代入A，F的坐标可得 ，再解方程组即可．
(1)
解：由翻折可知△ACE≌△AFE， 矩形AOBC，点A的坐标为（0，3），点B的坐标为（5，0），
∴ AC＝AF，
在Rt AOF中，OA2+OF2＝AF2，
△
∴
∴F（4，0）；
(2)
设直线AF所在直线的解析式为y＝kx+b，
∴ ，
∴ ．
∴线段AF所在直线的解析式为 ．【点睛】
本题考查的是坐标与图形，矩形的性质，折叠的性质，利用待定系数法求解一次函数的解析式，勾股定理
的应用，利用折叠的性质得出AC=AF是解本题的关键．
