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第六章 反比例函数
6.3 反比例函数的应用
精选练习
基础篇
一、单选题
1．（2022·陕西·西安市铁一中学九年级期中）已知反比例函数的图象上有一点 ，则下列各点中一
定在此反比例函数图象上的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将 代入 即可求出 的值，再根据 解答即可．
【详解】解： 反比例函数的图象上有一点 ，
，
A、 ，∴点 不在此反比例函数图象上，故此选项不符合题意；
B、 ，∴点 在此反比例函数图象上，故此选项符合题意；
C、 ，∴点 不在此反比例函数图象上，故此选项不符合题意；
D、 ，∴点 不在此反比例函数图象上，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，只要点在函数的图象上，则一定满足函数的解析式．
反之，只要满足函数解析式就一定在函数的图象上．
2．（2022·山东济南·九年级期中）函数 与函数 在同一坐标系中的图像可能是（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根据一次函数 可知，直线经过点 ，故选项B、D不符合题意，然后由A、C选项可
知， 的符号，从而选出答案．
【详解】解： 函数 的图像经过点 ，
选项B、选项D不符合题意；
由A、C选项可知： ，
反比例函数 的图像在第一、三象限，
故选项A符合题意，选项C不符合题意；
故选：A．
【点睛】此题考查了反比例函数与一次函数的图像，熟练掌握反比例函数与一次函数的图像与性质是解答
此题的关键．
3．（2022·四川攀枝花·中考真题）如图，正比例函数 与反比例函数 的图像交于 、B两
点，当 时，x的取值范围是（ ）
A． 或 B． 或
C． 或 D． 或
【答案】A【分析】先根据反比例函数图像的对称点求出点 的坐标，然后根据 的解集即为反比例函数在一次
函数上方的部分可得答案．
【详解】解析： 正比例函数 与反比例函数 的图像交于 、B两点，
，
由图像可知，当 时，x的取值范围是 或 ，
故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，根据反比例函数的对称性得出点 的坐标的坐标
是解本题的关键．
4．（2022·湖南·涟源市湄江镇大江口中学九年级阶段练习）两个物体A，B所受的压强分别为 ， （都
为常数）．它们所受压力F与受力面积S的函数关系图象分别是射线 、 ，已知压强 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】观察图象得：当受力面积S相同时，射线 位于 的上方，即 ，即可求解．
【详解】解∶观察图象得：当受力面积S相同时，射线 位于 的上方，即 ，
∵ ，
∴ ．
故选：B
【点睛】本题考查了反比例函数的的应用，函数的图象，是学科综合题，还考查综合运用知识的能力，反映学生在理科方面的水平．
5．（2022·安徽·滁州市第五中学九年级期中）某电子产品的售价为8000元，购买该产品时可分期付款：
前期付款3000元，后期每个月分别付相同的数额，则每个月付款额y（元）与付款月数x（x为正整数）之
间的函数关系式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用后期每个月付相同的数额，进而得到y与x的关系式．
【详解】由题意得： ，
即 ，
故选：D．
【点睛】本题主要考查根据实际问题列反比例函数关系式，正确理解题意是解题的关键．
6．（2022·全国·九年级专题练习）已知近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）之间成反比例函数关系，
如图所示，则眼镜度数y与镜片焦距x之间的函数关系式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由于近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，可设 ，由于点 在此函
数解析式上，故可先求得k的值．
【详解】解：根据题意近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，设 ，
由于点 在此函数解析式上，
∴ ，
∴ ，故选：C．
【点睛】本题考查了根据实际问题列反比例函数关系式，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数
关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．
二、填空题
7．（2022·山东威海·九年级期中）反比例函数 与正比例函数 的一个交点为 ，则关于x
的方程 的解为_________．
【答案】
【分析】把点的坐标代入正比例函数解析式，求出 ，解由两函数组成的方程组，求出方程组的解，即可
得出答案．
【详解】解：把 代入 得： ，
解得： ，
即正比例函数的解析式是 ，
解方程组 得： ， ，
即两函数的交点坐标是 ， ，
关于 的方程 的解是 ， ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了用待定系数法求正比例函数的解析式，一次函数和反比例函数的交点问题的应用，主
要考查学生的计算能力，难度适中．
8．（2022·山东济南·九年级期中）如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于点
， ．当 时，x的取值范围是______．【答案】 或
【分析】根据图象确定 的取值范围即可．
【详解】解：由图象知，当 和在 之间时 ，
， ，
当 时， 的取值范围是 或 ，
故答案为： 或 ．
【点睛】本题主要考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键熟练掌握反比例函数和一次函数的
图象和性质是解题的关键．
9．（2022·河南·商水县希望初级中学八年级期中）我市某校想种植一块面积为400平方米的长方形草坪，
要求两邻边均不小于10米，草坪的一边长 （米）与另一边长 （米）之间的关系如图中曲线 所示，
其中 轴， 轴，垂足分别为 ， ，连接 ，则四边形 的面积为______平方米．
【答案】750
【分析】由题意得y与x的函数关系式为 ，则当 时， ，当 时，
，即可得 ， ， ，即可得．【详解】解：∵长方形草坪的面积为400平方米，
∴y与x的函数关系式为 ，
∴当 时， ，当 时， ，
∵ 轴， 轴，
∴ ， ， ，
∴四边形ABCD的面积为： ，
故答案为：750．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是理解题意，掌握反比例函数的性质．
10．（2022·江苏南京·八年级期末）在制作拉面的过程中，用一定体积的面团做拉面，面条的总长度y（单
位：cm）与面条的横截面积x（单位：cm2）成反比例函数关系，其图像如图所示，当面条的横截面积小于
1cm2时，面条总长度大于______cm．
【答案】128
【分析】设反比例函数解析式为y＝ ，利用待定系数法求出k；根据x＜1得到关于y的不等式，求出y
的取值范围即可．
【详解】解：由题意可以设y＝ ，
把（4，32）代入得：k＝128，
∴y＝ （x＞0）．
∴x＝ ，
∵x＜1，∴ ＜1，
∴y＞128，
∴面条总长度大于128cm．
故答案为：128．
【点睛】本题考查反比例函数的应用，待定系数法求函数解析式，属于基础题目，根据图象找出函数图象
经过的点的坐标是解题的关键．
三、解答题
11．（2022·上海交大附中八年级期中）已知反比例函数 ，当 时， .
(1)求y关于x的函数表达式；
(2)当 且 时，求自变量x的取值范围.
【答案】(1)
(2) 或
【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）先求得当 时， ，根据反比例函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：∵反比例函数 ，当 时， .
∴
∴ ,
（2）当 时， ，
∵ 的图象在第二、四象限，
∴当 且 时， 或 ．
【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，判断反比例函数的增减性，掌握反比例数的图象的
性质是解题的关键．12．（2022·全国·九年级专题练习）某科技小组野外考察时遇到一片烂泥湿地，为了安全、迅速通过这片
湿地，他们沿着前进的路线铺了若干块木板，构成了一条临时通道．若人和木板对湿地面的压力F一定时，
木板对烂泥湿地的压强 是木板面积 的反比例函数，其图像如图所示．
(1)求出p与S的函数表达式；
(2)当木板面积为 时，压强是多少？
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设p与s的函数表达式为 ，将点A的坐标代入即可求解；
（2）将 代入（1）中的函数表达式即可．
【详解】（1）解：设p与S的函数表达式为 ．
把 代入，得 ，
解得 ，
则p与S的函数表达式为 ；
（2）当 时， ，
即当木板面积为 时，压强是 ．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的实际应用，解题的关键是会用待定系数法求解反比例函数的表达式．提升篇
一、填空题
1．（2022·湖南·九年级单元测试）如图，某校园艺社计划利用已有的一堵长为10m的墙，用篱笆围一个面
积为12m2的矩形园子．
（1）设矩形园子的相邻两边长分别为xm，ym，y关于x的函数表达式为 _____（不写自变量取值范围）；
（2）当y≥4m时，x的取值范围为 _____；
（3）当一条边长为7.5m时，另一条边的长度为 _____m．
【答案】 y 1.2≤x≤3 1.6
【分析】（1）利用矩形的面积计算公式，可得出xy＝12，进而可得出y ；
（2）代入4≤y≤10，可求出1.2≤x≤3，即x的取值范围为1.2≤x≤3；
（3）利用反比例函数图象上点的坐标特征，可求出另一边的长度．
【详解】解：（1）依题意得：xy＝12，
∴y ．
故答案为：y ．
（2）∵y ，k＝12，
当x＞0时，y随x的增大而减小，
∵4≤y≤10，
即4 10，
∴1.2≤x≤3．
∴x的取值范围为1.2≤x≤3．
故答案为：1.2≤x≤3．（3）当x＝7.5时，y 1.6；
当y＝7.5时， 7.5，
解得：x＝1.6．
∴当一条边长为7.5m时，另一条边的长度为1.6m．
故答案为：1.6．
【点睛】本题考查了根据实际问题列反比例函数关系式、反比例函数的性质以及反比例函数图象上点的坐
标特征，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，找出y关于x的函数关系式；（2）利用反比例函
数的性质，找出x的取值范围；（3）利用反比例函数图象上点的坐标特征，求出另一条边的长度．
2．（2021·黑龙江·兰西县第三中学九年级期中）某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次
用于临床人体实验．测得成人服药后血液中药物浓度y（微克/毫升）与服药时间x（时）之间的函数关系
如图所示（当 时，y与x成反比）.则血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为_________
小时
【答案】
【分析】分别求出当 和 时y与x的表达式，再根据血液中药物浓度不低于4微克/毫升求
出持续时间即可．
【详解】解：当 时，函数为正比例函数，设： ，
∵函数经过点 ，
∴ ，即 ，
∴当 时， ，
∴当药物浓度为4微克/毫升时，即 时，
∴ ，
当 时，函数为正比例函数，设： ，∵函数经过点 ，
∴ ，即 ，
∴当 时， ，
∴当药物浓度为4微克/毫升时，即 时，
∴ ，
∴根据图象可以判断出：当 时，血液中药物浓度不低于4微克/毫升，
∴持续时间为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的应用，根据图象求出一次函数和反比例函数的表达式是
解答本题的关键．
3．（2022·广东·南山实验教育麒麟中学九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，将反比例函数
的图象绕坐标原点O逆时针旋转45°得到的曲线l，过点 ， 的直线与
曲线l相交于点C、D，则 的面积为_______．
【答案】8
【分析】由题意得点 ， ，可知 ，建立如图新的坐标系（ 为 轴，
为 轴，利用方程组求出D、C的坐标，根据 计算即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，∴ ，
如图所示，建立新的坐标系（ 为 轴， 为 轴）．
在新的坐标系中， ，
∴直线 解析式为 ，
过点B作 轴于E，
∴ ，
∴ ，
∵将反比例函数 的图象绕坐标原点O逆时针旋转45°得到的曲线l，
∴曲线l在 中的解析式为 ，
联立 ，
解得 或 ，
∴在 中，
∴ ，
故答案为：8．
【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理和勾股定
理的逆定理，正确建立先的坐标系是解题的关键．
4．（2022·江苏·盐城市大丰区白驹镇洋心洼初级中学九年级阶段练习）在反比例函数 中，已知四边
形 与四边形BOFE都是正方形，则点C的坐标为_________．【答案】
【分析】设 ，则点 ，点 ，由反比例函数图像上点的坐标特征即可得出关于
的二元二次方程组，解之取 均为正值的解即可．
【详解】解：设 ，则点 ，点 ，
∵反比例函数 的图像过点 ，
∴ ，
解得： 或 （舍去）
或 （舍去）或 （舍去）
∴ ， ，
故点C的坐标为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征、正方形的性质以及解二元二次方程组，根据反比例
函数图像上点的坐标特征找出关于 的二元二次方程组是解题的关键．
5．（2022·广东·深圳市龙华区丹堤实验学校模拟预测）如图，已知点A的横坐标与纵坐标相等，点B（0，2），点A在反比例函数y 的图象上．作射线AB，再将射线AB绕点A按逆时针方向旋转 ，交y轴
于C点，则△ABC面积为_____．
【答案】20
【分析】过B作BF⊥AC于F，过F作FD⊥y轴于D，过A作AE⊥DF延长线于E，证明△AEF≌△FDB
（AAS），设BD＝a，则EF＝a，由点A（4，4）和点B（0，2）可得AE+OD＝4，求得 ，可得F（3，
1），进而求得直线AC的解析式为y＝3x﹣8，令x＝0，得出C（0，﹣8），即可求解．
【详解】解：∵点A在反比例函数y 的图象上，且点A的横坐标与纵坐标相等，
∴A（4，4），
过B作BF⊥AC于F，过F作FD⊥y轴于D，过A作AE⊥DF延长线于E，
∵ ，则△ABF为等腰直角三角形，
∴
在△AEF与△FDB中∴△AEF≌△FDB（AAS），
设BD＝a，则EF＝a，
∵点A（4，4）和点B（0，2），
∴DF＝4﹣a＝AE，OD＝OB﹣BD＝2﹣a，
∵AE+OD＝4，
∴4﹣a+2﹣a＝4，
解得a＝1，
∴F（3，1），
设直线AC的解析式为y＝kx+b，则 ，解得 ，
∴y＝3x﹣8，
令x＝0，则y＝﹣8，
∴C（0，﹣8），
∴BC＝10，
∴ 20，
故答案为：20．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数综合，坐标与图形，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角
形的性质，一次函数与几何图形，数形结合是解题的关键．
二、解答题
6．（2022·全国·九年级专题练习）商场出售一批进价为2元的贺卡，在市场营销中发现此商品日销售单价
x（元）与日销售量y（张）之间有如下关系：
x/元 3 4 5 6
y/张 20 15 12 10
(1)写出y关于x的函数解析式 ______；
(2)设经营此贺卡的日销售利润为W（元），试求出W关于x的函数解析式，若物价局规定此贺卡的日销售单价最高不能超过10元/张，请你求出当日销售单价x定为多少元时，才能获得最大日销售利润，并求出
最大日销售利润．
【答案】(1)
(2)W＝60﹣ ，当日销售单价x定为10元时，才能获得最大日销售利润，最大日销售利润为48元 ．
【分析】（1）通过观察，发现x与y之间存在反比例关系，然后根据待定系数法可以得到解答；
（2）由（1）和已知可以得到W关于x的函数解析式，然后根据函数的增减性可以得到最终解答．
【详解】（1）解：设 ，
把x＝3，y＝20代入 得 ，
解得k＝60，
∴ ．
（2）解：W＝（x﹣2）y＝（x﹣2）• ＝60﹣ ，
∵W随x增大而增大，x≤10，
∴x＝10时，W＝60﹣12＝48（元）为最大值，
∴当日销售价为10元时，最大日销售利润为48元．
【点睛】本题考查反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数解析式的求法和性质是解题关键 ．
7．（2022·安徽·滁州市第五中学九年级期中）如图，直线 经过点 ，交反比例函数
的图象于点 ．(1)求k的值；
(2)点D为第一象限内反比例函数图象上点B下方的一个动点，过点D作 轴交线段AB于点C，连接
AD，求 的面积的最大值．
【答案】(1)8
(2)
【分析】（1）根据待定系数法确定一次函数关系式 ，从而求出点B的坐标为（1，8），再利用
待定系数法确定k的值即可；
（2）设点C的坐标为 ，由于 轴，得到点D的坐标，表示出 ，根
据二次函数性质即可得出 的面积的最大值．
【详解】（1）解：把 代入 ，得 ，
解得 ，
∴直线的函数表达式为 ，
∴当 时， ，
∴ ，
把 代入反比例函数 ，得 ．
（2）解：设点C的坐标为 ，
由于 轴，所以点D的纵坐标为 ，
∴点 ，
∴ ，
∴当 时， ，答： 的最大值为 ．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数综合问题，涉及到待定系数法确定函数关系式、平面直角坐标系
中三角形面积问题，熟练掌握函数的图像与性质，并能掌握相应题型的解题方法技巧是解决问题的关键．
8．（2022·重庆第二外国语学校九年级期中）如图，一次函数 的图像交x轴、y轴于点P、
Q，且与反比例函数 的图像相交于点 和点 ，过点A作 于点
C．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)求四边形 的面积；
(3)直接写出当 时，关于x的不等式 的解集．
【答案】(1)反比例函数解析式为 ，一次函数解析式为
(2)
(3)
【分析】（1）利用待定系数法先求出反比例函数解析式为 ，再将点 代入，求出n的
值，即得出A点坐标，再次利用待定系数法求出一次函数解析式即可；
（2）过点B作 轴，即得出 ，再由梯形面积公式和三角形面积公式计算即可；
（3）根据求当 时，关于x的不等式 的解集，即求当 时，函数 的图像在函数
的图像下方（包括交点）时，x的取值范围，再结合图像即可得出答案．
【详解】（1）由题意可知点 在反比例函数 的图像上，
∴ ，解得： ，
∴该反比例函数的解析式为 ．
∵ 也在该反比例函数的图像上，
∴ ，
∴ ．
将 ， 代入 ，得： ，
解得： ，
∴一次函数的解析式为 ；
（2）如图，过点B作 轴，
∴ ．∵ ，
，
∴ ；
（3）求当 时，关于x的不等式 的解集，即求当 时，函数 的图像在函数
的图像下方（包括交点）时，x的取值范围．
由图像可知当 时，函数 的图像在函数 的图像下方（包括交点），
∴当 时，关于x的不等式 的解集为 ．
【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的交点问题，反比例函数与几何的综合，由图像法解不等式．利
用数形结合的思想是解题关键．
