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专题 17 数列综合大题归类：求和，放缩不等式
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题型一：分组求和：公式法.................................................................................................................................................1
题型二：分组求和：奇偶分段型.........................................................................................................................................2
题型三：分组求和：正负相间型.........................................................................................................................................3
题型四：倒序求和型.............................................................................................................................................................3
题型五：裂项相消1：函数型..............................................................................................................................................4
题型六：裂项相消2：指数型..............................................................................................................................................5
题型七：裂项相消3：无理根号型......................................................................................................................................6
题型八：裂项相消4：分子分母齐次分离型......................................................................................................................7
题型九：裂项相消5：等差指数混合型..............................................................................................................................7
题型十：裂项相消6：正负相间裂和型..............................................................................................................................8
题型十一：裂项相消7：三角函数型..................................................................................................................................9
题型十二：裂项型证明数列不等式...................................................................................................................................10
题型十三：三角函数型数列不等式证明...........................................................................................................................11
题型十四：先求和再放缩证明数列不等式.......................................................................................................................12
题型十五：先放缩再求和证明数列不等式.......................................................................................................................13
题型十六：利用导数不等式证明数列不等式...................................................................................................................13
题型一：分组求和：公式法
等差等比求和是求和的基础。等差等比求和公式：
等差：前n项和公式：S＝na＋d＝.
n 1
等比：前n项和公式：S＝
n
1．（23-24高三·河北唐山·模拟）已知数列 ， ， ．
(1)证明：数列 ， 为等比数列；
(2)求数列 的通项公式；
(3)求数列 的前n项和 ．
2．（2024·山东·二模）已知数列 ， 中， ， ， 是公差为1的等差数列，数列
是公比为2的等比数列.
(1)求数列 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和 .3．（23-24高三·重庆九龙坡·模拟）已知等差数列 的前n项和为 ，且满足 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 求数列 的前n项和 ．
4．（22-23高三·河南郑州·期中）已知数列 的前n项和为 ，且满足
(1)求证：数列 为等比数列；
(2)求数列 的前n项和 .
题型二：分组求和：奇偶分段型
分组求和法：
1.形如a＝ ，用分组求和法，分别求和而后相加减
n
2.形如a＝ ，用分组求和法，分别求和而后相加减
n
3.形如a＝ ，用分组求和法，分别求和而后相加减
n
如果涉及到分段数列，则.要注意处理好奇偶数列对应的项：
（1）可构建新数列；（2）可“跳项”求和
1．（23-24高三·江苏泰州·模拟）已知等差数列{a }中， ，前n项和为 ，{b }为各项均为正数的等
n n
比数列， ，且 ， ．(1)求 与 ；
(2)定义新数列 满足 ， ，求 前20项的和 ．
2．（2024·山西·三模）已知等差数列 的公差 ，前 项和为 ，且 ， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 .
3．（23-24高三下·广东·模拟）已知数列{a }是公差不为0的等差数列，其前n项和为 ， ， ， ，
n
成等比数列．
(1)求{a }的通项公式；
n
(2)若 ， ，求数列{b }的前100项和 ．
n
4．（23-24高三·江苏盐城·期末）已知等差数列 的首项为1，公差 .数列 为公比 的等比数
列，且 成等差数列.
(1)求数列 和数列 的通项公式；(2)若 ，求数列 的前 项和 .
题型三：分组求和：正负相间型
正负相间求和：
1.奇偶项正负相间型求和，可以两项结合构成“常数数列”。
2.如果需要讨论奇偶，一般情况下，先求偶，再求奇。求奇时候，直接代入偶数项公式，再加上最后的
奇数项通项。
1．（24-25高三·全国·练习）已知数列 ，求数列 的前 项和 ．
2．（2023·广西南宁·模拟预测）已知数列 的前n项和为 ， ， ．
(1)求 的通项公式；
(2)设 ， ，求数列 的前n项和 ．
3．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）已知数列 满足 ， ， 是数列 的前 项和，对任意
，有
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求 的前100项的和.
4．（23-24高三·广东深圳·期末）已知等差数列 的前 项和为 ， ，且 ， ， 成
等比数列.
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ， ， 是数列 的前 项和.求
题型四：倒序求和型
倒序求和：
倒序求和，多是具有中心对称的“函数型”，此类函数具有“和定”的特征，满足“和定”特征的还有
组合数。
1．（2022高三·全国·模拟）设 是函数 的图象上任意两点，且，已知点 的横坐标为 ．
(1)求证： 点的纵坐标为定值；
(2)若 且 求 ；
2．（20-21高三·全国·模拟）已知函数 ，数列 的前 项和为 ，点 均在
函数 的图象上．
（1）求数列 的通项公式；
（2）若函数 ，令 ，求数列 的前2020项和 ．
3．（20-21高三·江苏苏州·期中）已知
（1）若 ，求 ；
（2）若 ，求 除以5的余数
4．（23-24高三·四川成都·模拟）已知数列 满足： ，数列 满足
.(1)求数列 的通项公式；
(2)求 的值；
(3)求 的值.
题型五：裂项相消 1：函数型
函数型，指的是
（1）f（n）=t（q-p），差型；
（2）f（n）是分离常数型；
1．（24-25高三·广东·开学考试）已知数列 的各项均为正数， 为 的前 项和，且
．
(1)求 的通项公式；
(2)设 ，记 的前 项和为 ，求证： ．
2．（23-24高三·江西·模拟）已知数列 满足 .(1)求 的通项公式；
(2)设 ，记数列 的前 项和为 ，证明： .
3．（2024·陕西西安·模拟预测）设数列 的前 项和为 ，且 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，数列 的前 项和为 恒成立，求实数 的最小值．
4．（23-24高三·河北石家庄·模拟）已知等差数列{a }的前n项的和为 成等差数列，且
n
成等比数列.
(1)求{a }的通项公式；
n
(2)若 ，数列{b }的前n项的和为 ，试比较 与 的大小，并证明你的结论.
n
题型六：裂项相消 2：指数型
指数型，类似函数型的列项思维
形如
1．（23-24高三·河南·模拟）已知数列 满足 .
(1)求 的通项公式；
(2)若 ，记数列 的前 项和为 ，求证： .
2．（23-24高三下·河南·模拟）已知数列 满足
(1)求证: 为等比数列；
(2)数列 的前n项和为 ，求数列 的前n项和 .
3．（23-24高三·云南曲靖·模拟）设等差数列 的前 项和为 ，且 ， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 .4．（23-24高三·湖北武汉·模拟）如图形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法商功》中，后人
称为“三角垛”．“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……，设各层球数构
成一个数列{a }
n
(1)求数列{a }的通项公式；
n
(2)若数列{b }的前 项和 ，数列 满足 ，求数列 的前 项和
n
题型七：裂项相消 3：无理根号型
无理根式型裂项：
一般情况下，无理型裂项相消满足：
1．（23-24高三·四川南充·期末）已知数列 是等差数列，且 是数列 的前 项
和.
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，数列 的前 项和 ，求证： .
2．（23-24高三·辽宁本溪·期末）设正项数列 是公差为 的等差数列，其前 项和为 ，已知
.
(1)求 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和 .
3．（2024·湖南邵阳·三模）已知函数 ， ．
(1)若 在 处取得极值，讨论 的单调性；
(2)设曲线 在点 处的切线为 ，证明：除点 外，曲线段
总在 的下方；(3)设 ，证明： ．
4．（2024·福建三明·三模）已知数列 满足 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设数列 的前n项和为 ，若不等式 对任意的 恒成立，求实数t的取值范围；
(3)记 ，求证： ．
题型八：裂项相消 4：分子分母齐次分离型
分离常数型
分式型，如果分子分母都是一次，或者分子二次分母一次，如果不能裂项，可以考虑通过分离常数，
把分子次幂降下来。
1．（23-24高三·浙江丽水·期中）设数列 为等差数列，前 项和为 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 的前 项和为 ，证明： ．
2．（2024·河北沧州·模拟预测）设正项数列{a }的前n项和为 ，已知 .
n
(1)求数列{a }的通项公式；
n
(2)设 ，求数列{b }的前n项和 .
n
3．（23-24高三·安徽芜湖·模拟）设 是正项数列，且其前 项和为 ，已知 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)令 ，求 的前 项和 .
32．（23-24高三·江苏盐城·期末）数列 中， ， ，设 .
(1)求证：数列 是等比数列；
(2)求数列 的前 项和 ；
(3)若 ， 为数列 的前 项和，求不超过 的最大的整数.题型九：裂项相消 5：等差指数混合型
，
注意凑配“同构”形式以裂项达到相消的目的
1．（2024·全国·模拟预测）已知正项数列 的前 项和为 ，且满足 ．
(1)求数列 的通项公式．
(2)记 ，求数列 的前 项和 ．
2．（2024·山西临汾·二模）已知数列 满足 ．
(1)计算 ，并求数列 的通项公式；
(2)设数列 满足 ，求数列 的前 项和 ．
3．（2024高三·全国·模拟）已知等差数列 的前n项和为 ，数列 是等比数列， ，
， ．
(1)求 与 ；
(2)设 ，求数列 的前n项和 ．
4．（23-24高三·江苏连云港·期中）已知数列 的前 项和为 ，且满足： ， .
(1)求数列 的通项公式 ；
(2)设 ，求数列 的前 项和 ；
(3)设数列 的通项公式为 ，问:是否存在正整数 ，使得 成等差数列？
若存在，求出 和 的值；若不存在，请说明理由.
题型十：裂项相消 6：正负相间裂和型正负型：等差裂和型
1．（23-24高三·湖北武汉·期中）已知数列 的首项 ，且满足 ，数列 的前 项
和 满足 ，且 .
(1)求证： 是等比数列；
(2)求数列 的通项公式；
(3)设 ，求数列 的前 项和 .
2．（2024·四川·模拟预测）已知 为正项数列 的前 项和， 且 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求 的前10项和 ．
3．（23-24高三·海南省直辖县级单位·模拟）设数列 的前 项和为 ．若对任意的正整数 ，总存在正
整数 ，使得 ，则称 是“ 数列”．
(1)若 ，判断数列 是否是“ 数列”；
(2)设 是等差数列，其首项 ，公差 ，且 是“ 数列”，
①求 的值；
②设 为数列 的前 项和，证明：
4．（23-24高三·湖北·期中）已知等差数列{a }的前 项和为 ，且
n
(1)求数列{a }的通项公式；
n
(2)设 ，求数列{b }的前 项和为 ．
n
题型十一：裂项相消 7：三角函数型
1．（2024高三·全国·模拟）已知在数列{a }中， .
n
(1)求数列{a } 的通项公式；
n(2)若数列{b }满足 ，求数列 的前2024项和 .
n
2．（23-24高三下·河南·模拟）已知数列 的前n项和为 ， ， ，
(1)求 ；
(2)若 ，求数列 的前1012项和 ．
3．（2024·福建泉州·二模）已知数列{a }和{b }的各项均为正，且 ，{b }是公比3的等比数列．数
n n n
列{a }的前n项和 满足 ．
n
(1)求数列{a }，{b }的通项公式；
n n
(2)设 ，求数列 的前n项和 ．
4．（2023·安徽安庆·模拟预测）已知 .
(1)求 ；
(2)证明： 是等差数列，并求出 ；
(3)设 ，求 的前 项和 .
题型十二：裂项型证明数列不等式
裂项型证明数列不等式：
1. 裂项求和。
2. 求和后的函数数列式子，具有放缩和单调性两方面的特征。
3. 一些求和后的式子，还可以通过构造新函数，求导证明
45．（23-24高三·江苏常州·模拟）已知数列 的前 项和为 ，满足： ，且 ．
(1)求证：数列 为等差数列，并求其通项公式；
(2)记 ，数列 的前 项和为 ，若不等式 对一切 恒
成立，求 的取值范围．
2．（23-24高三·安徽·期中）已知数列{a }的前n项和为 ，满足 ， ， .
n
(1)求数列 的通项公式；(2)若数列 的前n项和为 ，证明：当 时 .
3．（23-24高三·山西·期中）已知数列 满足 ，且 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)若数列 满足 ，记数列 的前 项和为 ，求证： .
4．（23-24高一下·上海·期中）设 是数列 的前 项和，且 是 和2的等差中项.
(1)求数列 的通项公式；
(2)记 ；
求数列 的前 项和 ；
①
设 ，是否存在常数 ，使 对 恒成立？若存在，求出 的
②最小值；若不存在，说明理由.
题型十三：三角函数型数列不等式证明
三角函数数列不等式：
1. 利用三角函数的周期型。
2. 利用三角函数正余弦函数的有界性。
3. 一些题型，可以借助泰勒公式等导数形式证明的结论
1．（23-24高三·湖北·期中）18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的数学家泰勒（Brook Taylor）
发现的泰勒公式（又称麦克劳林公式）有如下特殊形式：当 在 处的 阶导数都存在时，
．其中，f″(x)表示 的二阶导数，
即为f'(x)的导数， 表示 的 阶导数．
(1)根据公式估计 的值；（结果保留两位有效数字）
(2)由公式可得： ，当 时，请比较 与 的大小，
并给出证明；(3)已知 ，证明： ．
2．（2024·甘肃张掖·模拟预测）泰勒公式是一个非常重要的数学定理，它可以将一个函数在某一点处展开
成无限项的多项式.当 在 处的 阶导数都存在时，它的公式表达式如下：.注： 表示函数 在原点处的一阶导
数， 表示在原点处的二阶导数，以此类推， 表示在原点处的 阶导数.
(1)根据公式估算 的值，精确到小数点后两位；
(2)当 时，比较 与 的大小，并证明；
(3)设 ，证明： .
3．（2024高三·全国·模拟）已知函数 .
(1)证明： ；
(2)求证： .
4．（23-24高三·四川成都·期中）意大利画家达·芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下
垂，那么项链所形成的曲线是悬链线.1691年，莱布尼茨等得出悬链线可为双曲余弦函数 的
图象，类似的可定义双曲正弦函数 .它们与正、余弦函数有许多类似的性质.
(1)类比正弦函数的二倍角公式，请写出（不证明）双曲正弦函数的一个正确的结论： ________；
(2)当 时，比较 与 的大小，并说明理由；
(3)证明：
题型十四：先求和再放缩证明数列不等式
1．（24-25高三·辽宁·开学考试）已知 为数列 的前 项和， 为数列 的前 项和，
.
(1)求 的通项公式；
(2)若 ，求 的最大值；
(3)设 ，证明： .
2．（23-24高三·江西南昌·模拟）已知数列 的前 项和为 ， ， .
(1)求数列 的通项公式；(2)是否存在实数 ，使数列 为等差数列？若存在，求出 的值：若不存在，请说明理由；
(3)已知数列 ， ，其前 项和为 ，求使得 对所有 都成立的自
然数 的值.
3．（23-24高三·浙江·模拟）已知数列 满足 ， .
(1)若 ，求数列 的前n项和 ；
(2)若 ，设数列 的前n项和为 ，求证： .
4．（23-24高三·河北承德·期末）已知正项数列 满足 ，数列 的前n项和为 ，且
．
(1)求 的通项公式；
(2)证明： ．
题型十五：先放缩再求和证明数列不等式
先放缩后裂项，放缩的目的是为了“求和”，这也是凑配放缩形式的目标。对于递推公式，不放缩难以
求和，所以放缩成能求和的形式。
1．（23-24高三·天津北辰·模拟）已知数列 为等差数列， ， ，数列 的前 项和为 ，
且S =2b −2(n∈N*)，
n n
(1)求 的通项公式．
{
a b ,n为奇数
n n
(2)已知 c n = (3a n −4)b n,n为偶数 ，求数列 的前 项和 ．
a a
n n+2
(3)求证： ．
4．（2024·山东·二模）记 为数列 的前 项和， ．
(1)求 和 的通项公式；
(2)设数列 的前 项和为 ，证明： ．3．（2024·广东肇庆·一模）已知数列{a }为等差数列，数列{b }为等比数列，且 ， ，
n n
， .(1)求 ；
(2)已知 ，求数列 的前 项和 ；(3)求证： .
4．（23-24高三·辽宁·期末）已知函数 ，数列{a }满足 正整
n
数
(1)求 的最大值；
(2)求证： ；
(3)求证： ．
题型十六：利用导数不等式证明数列不等式
1．（2024·全国·模拟预测）设整数 ， 且 ，函数 ．
(1)证明： ；
(2)设 ，证明： ；
(3)设 ，证明： ．
2．（24-25高三·四川成都·开学考试）已知 .
(1)求 的定义域；
(2)若 恒成立，求 能够取得的最大整数值；
(3)证明： .
3．（24-25高三·河北·开学考试）已知函数 .
(1)求证 ；
(2)求方程 解的个数；
(3)设 ，证明 .
4．（23-24高三·山东日照·期中）已知数列 满足 ，且对任意正整数 都有 .
(1)写出 ，并求数列 的通项公式；
(2)设数列 的前 项和为 ，若存在正整数 ，使得 ，求 的值；(3)设 是数列 的前 项和，求证： .
