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第四章 因式分解
4.3 公式法
基础篇
一、单选题
1．（2023春·七年级单元测试）下列各式中，不能进行因式分解的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据分解因式的方法求解即可．
【详解】解：A、 ，可以因式分解，不符合题意；
B、 ，可以因式分解，不符合题意；
C、 ，可以因式分解，不符合题意；
D、 不可以因式分解，符合题意．
故选：D．
【点睛】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公
因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．
2．（2023春·江苏·七年级专题练习）分解因式： ，其中□表示一个常数，则□
的值是( )
A．7 B．2 C． D．
【答案】C
【分析】利用十字相乘法因式分解即可．
【详解】解： ，
∴ 表示 ，
故选：C．【点睛】本题考查因式分解，熟练掌握利用十字相乘法进行因式分解是解题的关键．
3．（2023春·江苏·七年级专题练习）下列算式计算结果为 的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】依据因式分解法进行计算即可．
【详解】解： ，
故选：A．
【点睛】本题考查了因式分解；解题的关键是正确进行因式分解．
4．（2022秋·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）下列多项式中能用平方差公式因式分解的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相
反．
【详解】解：A、 ，能用平方差公式因式分解，故A符合题意；
B、 ，用提取公因式法因式分解，故B不符合题意；
C、 ，不能用平方差公式因式分解，故C不符合题意；
D、 ，不能用平方差公式因式分解，故D不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题主要考查了平方差公式分解因式，关键是正确把握平方差公式的特点：
．
5．（2022秋·湖北武汉·八年级校考期末）下列因式分解正确的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】C
【分析】选择合适因式分解方法分解后，即可进行判断．
【详解】解：A． ，故选项错误，不符合题意；
B． ，故选项错误，不符合题意；
C． ，故选项正确，符合题意；
D． ，故选项错误，不符合题意．
故选：C．
【点睛】此题考查了因式分解，根据题目特点选择合适的方法是解题的关键．
6．（2022秋·吉林长春·八年级校考阶段练习）下列多项式中，能用平方差公式进行因式分解的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据平方差公式的形式： 逐项判断即得答案．
【详解】解：A、 不能用平方差公式进行因式分解，所以本选项不符合题意；
B、 ，所以本选项符合题意；
C、 不能用平方差公式进行因式分解，所以本选项不符合题意；
D、 不能用平方差公式进行因式分解，所以本选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了多项式的因式分解，属于基础题型，熟知平方差公式的形式是解题关键．
二、填空题
7．（2023春·重庆沙坪坝·八年级重庆南开中学校考开学考试）若 ， ，则 ______．【答案】
【分析】先把 分解因式，再整体代入进行计算即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查的是利用因式分解求解代数式的值，掌握“提公因式的方法分解因式”是解本题的关键．
8．（2023春·江苏·七年级专题练习）分解因式： ______．
【答案】
【分析】利用完全平方公式分解因式即可．
【详解】解： ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了分解因式，熟知完全平方公式是解题的关键．
9．（2023秋·陕西延安·八年级校考期末）因式分解： ___________．
【答案】
【分析】先提取公因式，再用平方差公式因式分解即可．
【详解】解：
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查因式分解，解题的关键是熟练掌握提取公因式法，公式法因式分解的方法．
10．（2021春·重庆大渡口·八年级校考期中）把多项式 分解因式，其中一个因式为 ，则k
的值为______
【答案】
【分析】根据因数分解的方法，其中一个因式是 ，则设另一个因式为 ，即
，由此即可求解．
【详解】解：根据题意得， 分解因式，其中一个因式为 ，设另一个因式为 ，∴ ，即 ，
∴ ， ，
∴ ，则 ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查因式分解法求参数值，掌握因式分解法的形式和解题技巧是解题的关键．
三、解答题
11．（2022春·江苏淮安·七年级统考期末）因式分解：
（1）
（2）
【答案】（1） ；（2）
【分析】（1）直接利用平方差公式 进行因式分解即可得；
（2）直接利用完全平方公式 进行因式分解即可得．
【详解】解：（1） ；
（2） ．
【点睛】本题考查了因式分解，熟记乘法公式是解题关键．
12．（2022秋·海南海口·八年级校考期中）因式分解：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）先提公因式，再利用完全平方公式继续分解即可解答；
（2）先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答；
（3）先提公因式，再利用完全平方公式继续分解即可解答；
（4）先提公因式，再利用完全平方公式继续分解即可解答．
【详解】（1）
,
；
（2）
,
；
（3）
，
；
（4）
，．
【点睛】本题考查因式分解，注意有公因式先提取公因式，再运用公式，最后分解到每个因式都不能再分
解为止．
提升篇
一、填空题
1．（2023·广东云浮·校考一模）已知 （ ），则代数式 _____．
【答案】6
【分析】先将 变形为 ，再根据 得出 即 ，最后对
进行因式分解即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵
，
故答案为：6．【点睛】本题主要考查了完全平方公式及因式分解，掌握完全平方公式及因式分解的方法是解题的关键．
2．（2023秋·江西宜春·八年级统考期末）已知 ，则 _________．
【答案】
【分析】根据完全平方公式结合已知条件得出 ，将代数式因式分解进而即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了完全平方公式变形求值，因式分解的应用，掌握以上知识是解题的关键．
3．（2022秋·福建福州·八年级校考期中）已知 分别是等腰 三边的长，且满足 ．若
均为正整数，则这样的等腰 存在______个．
【答案】4
【分析】根据等腰三角形的定义，以及已知条件得出 根据 均为正整数，三角形的三边关
系，分类讨论即可求解．
【详解】解：
，
，
又 均为正整数，
或 或
当 时，等腰 三边长分别为： ， ， 或 ， ， 舍去 ，当 时，等腰 三边长分别为： ， ， 或 ， ， 舍去 ，
当 时，等腰 三边长分别为： ， ， 或 ， ， ，
存在的等腰三角形共 个，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，三角形的三边关系，二元一次方程的应用，分类讨论是解题的关
键．
4．（2023秋·福建泉州·八年级统考期末）若实数a，b满足 ， ，则代数式 的值是
__________．
【答案】10
【分析】先将多项式的相关因式分解后，整体代入求解即可．
【详解】
．
【点睛】本题考查因式分解的应用，因式分解将次是求解本题的关键．
5．（2023秋·福建宁德·八年级校考阶段练习）已知 ， ，且 ，则 值为 _______．
【答案】7
【分析】首先求出 的值，再根据 求出 的值．
【详解】解： ①， ②，
① ②，得
，
，
，因为 ，
所以 ，
即 ③，
① ②，得
，
④，
③平方，得
⑤，
⑤ ④，得
，
，
．
【点睛】本题主要考查因式分解的运用，求出 的值是解答本题的关键．
二、解答题
6．（2023春·江苏·七年级专题练习）分解因式：
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1) ；
(2) ；(3) ；
(4) ．
【分析】（1）利用十字相乘法因式分解即可；
（2）根据十字相乘法因式分解即可；
（3）将 作为一组， 作为一组，利用分组分解法因式分解即可；
（4）将 作为一个整体先因式分解，再将所得结果因式分解即可
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
【点睛】本题考查的是因式分解的提公因式法、十字相乘法以及分组分解法，解题关键是掌握十字相乘法
的运算规律．
7．（2023秋·河南南阳·八年级统考期末）学完因式分解后，小亮同学总结出了因式分解的流程图，如图．下面是小亮同学的因式分解过程：
①
②
＝_______③
回答下面的问题：
(1)上述因式分解过程中的①完成了上面流程图的第_______步；②完成了上面流程图的第_______步；将③
的结果写在横线上_______．
(2)把下列各式进行因式分解：
①
②
【答案】(1)三，四，
(2)① ；②
【分析】(1)根据流程图即可解答；
(2)①利用提公因式法及公式法，即可分解；②利用提公因式法及公式法，即可分解．【详解】（1）解：上述因式分解过程中的①完成了上面流程图的第三步；②完成了上面流程图的第四步；
故答案为：三，四， ；
（2）解：①
②
【点睛】本题考查了因式分解的方法，熟练掌握和运用因式分解的方法是解决本题的关键．
8．（2023秋·辽宁沈阳·八年级校考期末）（1） 把一个多项式写成两数和（或差）的平方的形式叫做配方
法．
阅读下列有配方法分解因式的过程：仿照上面方法，将下式因式分解 ；
（2）读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：
①上述分解因式的方法是 ，共应用了 次．
②若分解 ，则需应用上述方法 次，结果是 ．
③分解因式： (n为正整数)．
【答案】（1） ；（2）①提取公因式，3；②2005， ；③
【分析】（1）仿照材料中的方法，利用配方法、平方差公式进行因式分解；
（2）观察可知，材料中采用了提取公因式法分解因式， 经过
次提取公因式，可得 ．
【详解】解：（1）
；
（2）①上述分解因式的方法是提取公因式，共应用了3次；
故答案为：提取公因式，3；②若分解 ，则需应用上述方法2005次，结果是 ，
故答案为：2005， ；
③由题意知：
．
【点睛】本题主要考查分解因式，解题的关键是看懂材料，能够仿照材料中的方法求解．
