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二十五 探索与表达规律
【A层 基础夯实】
知识点1 数字规律
1.用计算机可以制作电子表格.电子表格通常由一些行和列组成,行用数字
1,2,3,…表示,列用字母 A,B,C,…表示,行和列相交的部分叫做单元格,单元格用列
号和行号表示,如 A2 表示 A 列第 2 行,利用电子表格可以进行数据计算.如图,是
按照一定规律进行计算的结果,则C8中表示的数是(C)
A.8 B.60 C.72 D.80
5 10 17 26
2.(2024·德州质检)观察下列数据:-2, ,- , ,- ,…,它们是按一定规律排列的,依
2 3 4 5
照此规律,第11个数是 (D)
101 101 122 122
A. B.- C. D.-
10 10 11 11
3.下面每个表格中的四个数都是按相同规律填写的:根据此规律确定a的值为 (B)
A.10 B.9 C.8 D.7
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
4.(2024·长春期末)观察下列各式: = = - , = = - , = = - , =
6 2×3 2 3 12 3×4 3 4 20 4×5 4 5 30
1 1 1
= - ,…
5×6 5 6
1
(1)由此可推测: =________;
42
1
(2)依照上述规律,写出 的推测过程;
240
(3)请你猜想出能表示以上式子的一般规律,用含m(m表示整数)的等式表示出来,
并说明理由;
1 2 1
(4)请直接用(3)中的规律计算 - + 的值.
(x−2)(x−3) (x−1)(x−3) (x−1)(x−2)
1 1 1 1
【解析】(1)由题意知, = = - ;
42 6×7 6 7
1 1
答案: -
6 7
1 1
(2)由题意知, =
240 2×2×2×2×3×5
1
=
(3×5)×(2×2×2×2)
1
=
15×16
1 1
= - ;
15 161 1 1
(3) = - ,理由如下:
m(m+1) m m+1
1 1 m+1 m m+1−m 1
右边= - = - = = =左边.
m m+1 m(m+1) m(m+1) m(m+1) m(m+1)
1 1 1
所以 = - ;
m(m+1) m m+1
1 2 1 1 1 1 1 1 1
(4) - + =( - )-( - )+( - )=0.
(x−2)(x−3) (x−1)(x−3) (x−1)(x−2) x−3 x−2 x−3 x−1 x−2 x−1
知识点2 图形规律
5.如图图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律组成的,其中第①个图形中共有
6个小圆圈,第②个图形中共有 9个小圆圈,第③个图形中共有 12个小圆圈,…,按
此规律,则第 个图形中小圆圈的个数为 (A)
A.60 B.63 C.66 D.69
6.下列图形按一定规律排列,观察并回答:
(1)依照此规律,第4个图形共有________个 ,第7个图形共有________个 ;
(2)第n个图形中有________个 ;
(3)根据(2)中的结论,第几个图形中有2 023个 ?【解析】(1)观察发现,第1个图形中五角星的个数是1+3=4,
第2个图形中五角星的个数是1+3×2=7,
第3个图形中五角星的个数是1+3×3=10,
第4个图形中五角星的个数是1+3×4=13,
…,
第6个图形中五角星的个数是1+3×6=19,
第7个图形中五角星的个数是1+3×7=22;
答案:13 22
(2)第n个图形中五角星的个数是1+3×n=3n+1;
答案:1+3n
(3)3n+1=2 023,
解得n=674.
答:第674个图形中有2 023个 .
【B层 能力进阶】
7.一组数 1,1,2,x,5,m,y,…满足“从第三个数起,每个数都等于它前面的两个数之
和”,那么这组数中y表示的数为 (C)
A.8 B.9 C.13 D.158.(2024·六安质检)求 1+2+22+23+…+22 022 的值,可令 S=1+2+22+23+…+22 022,则
2S=2+22+23+24+…+22 023,因此2S-S=22 023-1.仿照以上推理,计算出1+5+52+53+…+52
022的值为 (C)
A.52 022-1 B.52 023-1
52 023−1 52 022−1
C. D.
4 4
1 3 9 27 81 243
9.按下面一组数的排列规律,在横线上填上适当的数: , , , , , .
2 4 8 16 32 64
10.(2023·恩施中考)观察下列两行数,探究第②行数与第①行数的关系:
第①行数:-2,4,-8,16,-32,64,…
第②行数:0,7,-4,21,-26,71,…
根据你的发现,完成填空:第①行数的第 10 个数为 ( - 2 ) 1 0 ;取每行数的第 2 023
个数,则这两个数的和为 - 2 2 02 4 + 2 024 .
11.如图图形都是由大小相同的小正方形按一定的规律组成的,且每个小正方形
的边长是1,则第7个图形的周长是 42 .
12.我们把正n边形(n≥3)的各边三等分,分别以居中的那条线段为一边向外作正 n
边形,并去掉居中的那条线段,得到一个新的图形叫做正 n 边形的“扩展图形”,并将它的边数记为 a .如图 1,将正三角形进行上述操作后得到其“扩展图形”,
n
我们易得 a =12.图2、图3、图4分别是正方形、正五边形、正六边形的“扩展
3
图形”.
(1)已知a =12,a =20,a =30,则图4中a = 42 .
3 4 5 6
(2)根据以上规律,正 n 边形的“扩展图形”中 a = n ( n+ 1 ) .(用含 n 的式子表
n
示)
13.探索规律.
(1)观察上面的图,发现:
图①空白部分小正方形的个数是22-12=2+1;
图②空白部分小正方形的个数是42-32=4+3;
图③空白部分小正方形的个数是52-42= 5 + 4 .
(2)像这样继续排列下去,你会发现一些有趣的规律,请你再写出一道算式: 10 2 -9 2 = 10 + 9( 答案不唯一 ) .
【C层 创新挑战(选做)】
14.(模型观念、推理能力、运算能力)
用相同的菱形按如图的方式搭图形.
(1)按图示规律完成下表:
图形 1 2 3 4 5 6 …
所用菱形个数 1 3 4 6 __ __ …
(2)按这种方式搭下去,搭第2n+1(n为自然数)个图形需要________个菱形;(用含n
的式子表示)
(3)小亮同学说他按这种方式搭出来的一个图形用了 2 023个菱形,你认为可能吗?
如果可能那是第几个图形?如果不可能请说明理由.
【解析】(1)根据题表中的数据得,图形5中有7个菱形,图形6中有9个菱形;
答案:7 9
(2)根据(1)中的规律,第(2n+1)个图形中有(3n+1)个菱形;
答案:(3n+1)
(3)可能.当3n+1=2 023时,解得:n=674,
2n+1=1 349,
所以第1 349个图形中有2 023个菱形.
