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第五章 一元一次方程知识归纳与题型突破（题型清单）
01 思维导图
02 知识速记
一、基本概念
1、等式的概念：含有等号，表示相等关系的式子
2、方程的概念：含有未知数的等式
3、一元一次方程的概念：（1）只含有1个未知数；
（2）未知数的最高次数为1次；
（3）等式两边都是整式．
二、等式的性质
若 ，则 、 、 、 ．
特别注意：等式两边须同时乘以或除以一个不为0的数．
三、解一元一次方程
1、去分母（不漏乘不含分母的项，去分母应加括号）2、去括号（带着符号计算，不要漏乘）
3、移项（移项要变号；未知数移到左边，常数移到右边；先后顺序不重要）
4、合并同类项
5、系数化为1（系数不能为0，若未知数的系数含有字母则需要讨论）
四、列方程解应用题的步骤
①审：审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间关系
②设：设未知数（一般求什么，就设什么为x）
③找：找出能够表示应用题全部意义的一个相等关系
④列：根据这个相等关系列出需要的代数式，进而列出方程
⑤解：解所列出的方程，求出未知数的值
⑥答：检验所求解是否符合题意，写出答案（包括单位名称）
五、一元一次方程的应用
一元一次方程解应用题的类型有：
（1）探索规律型问题；
（2）数字问题；
利润
（3）销售问题（利润=售价-进价，利润率= ×100%；
进价
（4）工程问题（①工作量=人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作
量的和=工作总量）；
（5）行程问题（路程=速度×时间）；
（6）等值变换问题；
（7）和，差，倍，分问题；
（8）分配问题；
（9）比赛积分问题；
（10）水流航行问题（顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度）．
03 题型归纳
题型一 判断是否是一元一次方程
例题：（24-25七年级上·全国·单元测试）下列各式：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ．其中，一元一次方程有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【知识点】一元一次方程的定义
【分析】本题考查的是一元一次方程的定义，掌握一元一次方程的定义是解题的关键．根据一元一次方程
的定义进行判定．
【详解】解：①是二元一次方程，不符合题意；
②是一元二次方程，不符合题意；
③是一元一次方程，符合题意；
④是分式方程，不符合题意；
⑤是代数式，不是方程，不符合题意．
故选：A．
巩固训练
1．（23-24七年级下·全国·期中）下列各式中，属于一元一次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】一元一次方程的定义
【分析】本题考查了一元一次方程的定义的应用，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高
次数是1次的整式方程，叫一元一次方程．根据一元一次方程的定义逐个判断即可．
【详解】解：A、 有两个未知数，不是一元一次方程，故本选项不符合题意；
B、 未知数次数为2，不是一元一次方程，故本选项不符合题意；
C、 不是整式方程，不是一元一次方程，故本选项不符合题意；
D、整理方程 得 ，是一元一次方程，故本选项符合题意；
故选：D．
2．（23-24七年级上·全国·单元测试）在方程 ， x=0， ，
① ② ③ ④中，一元一次方程共有（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【答案】A
【知识点】一元一次方程的定义
【分析】本题考查了一元一次方程，根据一元一次方程的定义“只含有一个未知数、未知数的最高次数为
1且两边都为整式的等式”即可求解．
【详解】解：① ，含有一个未知数，未知数的最高次数是2，不是一元一次方程，不符合题意；
②x=0，含有一个未知数，未知数的最高次数是1，是一元一次方程，符合题意；
③ ，含有两个未知数，未知数的最高次数是1次，不是一元一次方程，不符合题意；
④ ， 不是整式，不是一元一次方程，不符合题意；
综上所述，一元一次方程的共有1个，
故选：A ．
3．（23-24七年级上·全国·单元测试） ； ； ； ；
① ② ③ ④ ⑤
； ．其中一元一次方程的个数是（ ）
⑥
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一元一次方程的定义
【分析】本题考查了一元一次方程的识别，判断一个方程是否是一元一次方程，看它是否具备以下三个条
件：①只含有一个未知数，②含未知数项的最高次数是1，③未知数不能在分母里，这三个条件缺一不可．
据此逐个分析即可．
【详解】解：① 的分母含有未知数，故不是一元一次方程；
② 不是等式，故不是一元一次方程；
③ 中未知数的最高次数是2，故不是一元一次方程；
④ 是一元一次方程；；
⑤ 是一元一次方程；⑥ 含2个未知数，故不是一元一次方程；
故选A．
题型二 根据一元一次方程的定义求参数的值
例题：（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知 是关于 的一元一次方程，则 的值是
．
【答案】2
【知识点】一元一次方程的定义
【分析】本题考查了一元一次方程的概念，根据一元一次方程的定义得到 ，求出m即可．
【详解】解：根据题意得： ，
解得： ，
故答案为：2．
巩固训练
1．（23-24七年级上·全国·单元测试）若 是关于 的一元一次方程，则 ．
【答案】
【知识点】一元一次方程的定义
【分析】本题考查了一元一次方程的定义，方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的次数
都是1，象这样的方程叫做一元一次方程，熟练掌握定义是解答本题的关键根据未知数的次数等于1且系
数不等于0列式求解即可．
【详解】解：∵ 是关于 的一元一次方程，
∴ 且 ，
解得 ．
故答案为： ．
2．（23-24七年级上·河南漯河·期中）已知关于x的方程 是一元一次方程，则m的值为
．
【答案】1
【知识点】一元一次方程的定义、绝对值方程【分析】此题考查了一元一次方程的概念，解题的关键是掌握一元一次方程的概念，只含有一个未知数且
未知数最高次数为1的整式方程．
根据一元一次方程的概念，可得 且 ，求解即可．
【详解】解：由题意可得 且 ，
由 可得 ，
由 可得 或
综上：
故答案为：
3．（23-24七年级上·全国·单元测试）若关于 的方程 是一元一次方程，则 的值
为 ．
【答案】 或
【知识点】一元一次方程的定义
【分析】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，且未知数的指数是1，一次项系
数不是0，这是这类题目考查的重点．根据一元一次方程的一般形式即可判定有 种情况，分别讨论①当
且 时，②当 且 时，③当 时是否满足该方程为一元一次方程即可．
【详解】解： 关于 的方程 是一元一次方程，
可考虑三种情况，
①当 且 时，
即 且 ，
则 ，解得： ，
此时 ，故排除；
②当 且 时，
即 且 ，
，符合条件；
③当 即 时，
，符合条件；
综上： 的值为 或 ，
故答案为： 或 ．题型三 已知一元一次方程的解求参数的值
例题：（23-24七年级下·全国·期中）关于x的一元一次方程 有解，则m的值为 ．
【答案】
【知识点】方程的解
【分析】本题考查了一元一次方程的解，利用了一元一次方程中一次项的系数不等于零．根据一元一次方
程有解，可得一次项的系数不等于零．
【详解】解：由 ，可得 ，
关于 的一元一次方程 有解，
，
解得： ．
故答案为： ．
巩固训练
1．（23-24七年级上·浙江金华·期末）已知 是方程 的解，则 ．
【答案】2
【知识点】方程的解
【分析】本题考查了方程解的定义，使方程的左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解．
将 代入原方程，可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出a的值．
【详解】解：将 代入原方程得 ，
解得： ，
∴a的值为2．
故答案为：2．
2．（23-24七年级下·四川宜宾·期中）整式 的值随着 的取值的变化而变化，下表是当 取不同的值
时对应的整式的值：
0 1 2 3
0 4 8
则关于 的方程 的解是 ．
【答案】
【知识点】方程的解【分析】此题考查了方程的解，根据表格中的数据求解即可．
【详解】根据题意可得，
当 时，
∴关于 的方程 的解是 ．
故答案为： ．
3．（23-24七年级上·浙江·期末）若关于x的方程 的解为 ，则方程 的解为
．
【答案】
【知识点】方程的解
【分析】本题考查一元一次方程的解：能使一元一次方程左右两边相等的未知数的值称为一元一次方程的
解．将 代入方程即可求解．
【详解】解：将 代入方程 得： ，
解得： ，
∴ ，
解得： ，
故答案为： ．
题型四 列一元一次方程
例题：（23-24六年级下·全国·单元测试）设某数为x，如果某数的2倍比它的相反数大1，那么列方程是
．
【答案】
【知识点】列方程
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，数x的2倍为 ，相反数为 ，据此根据题意列出方程
即可．
【详解】解：由题意得， ，
故答案为： ．
巩固训练
1．（23-24七年级上·福建福州·期末）“ 的 倍与 的和等于 的 与 的差”，用等式表示为【答案】
【知识点】列方程
【分析】本题考查了列一元一次方程； 的 倍与 的和可以表示为 ， 的 与 的差可以表示为
，由两个代数式相等，即可列出关于 的一元一次方程，此题得解．
【详解】解：依题意，得 ，
故答案为： ．
2．（2024·湖南益阳·模拟预测）《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，二车空：二人共车，
九人步，问人车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，刚好每车坐满后还剩余2辆车没人
坐；若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘只能步行，问共有多少人，多少辆车？设共有x辆车，
则可列方程 ．
【答案】
【知识点】古代问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程．根据人数不变，即可得出关于 的一元一次方程，
此题得解．
【详解】解：依题意，得： ．
故答案为： ．
3．（2023·吉林长春·模拟预测） 算法统宗 是中国古代重要的数学著作，其中记载：我问开店李三公，
众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空，其大意为：今有若干人住店，若每间住 人，则余
下 人无房可住：若每间住 人，则余下一间无人住，设店中共有 间房，可列方程为 ．
【答案】
【知识点】古代问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查一元一次方程的应用，理清题中的等量关系是解题的关键．由等量关系“一房七客多七
客，一房九客一房空”，即可列出一元一次方程即可．
【详解】解： 每间住 人，则余下 人无房可住：若每间住 人，则余下一间无人住，
客人可表示为 个，也可表示为 个，，
故答案为： ．
题型五 等式的基本性质
例题：（23-24七年级上·天津·期中）下列说法错误的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】B
【知识点】等式的性质
【分析】本题考查了等式的基本性质，根据等式的基本性质逐项判断即可求解，掌握等式的基本性质是解
题的关键．
【详解】解： 、∵ ，根据等式的基本性质：“等式两边同时除以同一个不为 的数，两边仍
然相等”可得 ，
∴ 正确，不符合题意；
、∵ ，当 时，根据等式的基本性质：“等式两边同时除以同一个不为 的数，两边仍然相
等”，可得 ；当x=0时， ，可得x=0，
∴x=0或 ，
∴ 错误，符合题意；
、∵ ，根据等式的基本性质：“等式两边减去同一个数，两边仍然相等”，可得 ，
∴ 正确，不符合题意；
、∵ ，根据等式的基本性质：“等式两边乘以同一个数，两边仍然相等”，可得 ，
∴ 正确，不符合题意；
故选： ．
巩固训练
1．（23-24七年级下·广西南宁·开学考试）下列是根据等式的性质进行变形，正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】C
【知识点】等式的性质
【分析】本题考查了等式的基本性质，解题的关键是熟练掌握等式的基本性质进行解题．
根据等式的基本性质，分别进行判断，即可得到答案．
【详解】解：A、若 ，则 ，故A错误；
B、若 ，则 ，故B错误；
C、若 ，则 ，故C正确；
D、 ，当 时， 不成立，故D错误；
故选：C．
2．（23-24七年级上·安徽·单元测试）下列运用等式的性质变形中正确的是（ ）
A．如果 ，则 B．如果 ，则
C．如果 ，则 D．如果 ，则
【答案】D
【知识点】等式的性质
【分析】本题考查了等式的性质，根据等式的性质逐项判断即可，解题的关键是熟记等式性质 ：等式两
边加同一个数（或式子）结果仍得等式；性质 ：等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得
等式．
【详解】解： 、如果 ，则 或 ，原选项变形错误，不符合题意；
、如果 ，当 时，则 ，原选项变形错误，不符合题意；
、如果 ，当 时，则 ，原选项变形错误，不符合题意；
、如果 ，则 ，原选项变形正确，符合题意；
故选： ．
3．（22-23七年级上·山东济南·阶段练习）下列变形正确的是（ ）
A． 变形得B． 变形得
C． 变形得
D． 变形得
【答案】D
【知识点】等式的性质
【分析】本题主要考查等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键．根据等式的性质进行判断即可．
【详解】解： 变形得 ，选项A错误，不符合题意；
变形得 ，选项B错误，不符合题意；
变形得 ，选项C错误，不符合题意；
变形得 ，选项D正确，符合题意；
故选D．
4．（2024·贵州贵阳·一模）用“□”“△”“○”表示三种不同的物体，现用天平称了两次，情况如图所
示．设a，b，c均为正数，则能正确表示天平从左到右变化过程的等式变形为（ ）
A．如果 ，那么 B．如果 ，那么
C．如果 ，那么 D．如果 ，那么
【答案】A
【知识点】等式的性质
【分析】本题考查等式的性质，根据天平两端相等即可求得答案．
【详解】解：由图形可得如果 ，那么 ，
故选：A．
题型六 解一元一次方程
例题1：解方程：
(1) ； (2) .【答案】(1)
(2)
【分析】 方程移项合并，把 系数化为 ，即可求解；
方程移项合并，把 系数化为 ，即可求解．
【详解】（1）移项，得 ，
合并同类项，得 ，
系数化为 ，得 ．
（2）移项，得 ，
合并同类项，得 ，
系数化为 ，得 ．
【点睛】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
例题2：解方程：
(1) ； (2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据等式的基本性质依次去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得；
（2）根据等式的基本性质依次去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得．
【详解】（1）解： ，
去括号，得 ．
移项，得 ．
合并同类项，得 ．
系数化为1，得 ．（2） ．
去括号，得 ．
移项，得 ．
合并同类项，得 ．
系数化为1，得 ．
【点睛】本题主要考查解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握等式的基本性质和解一元一次方程的基本
步骤．
例题3：解下列方程：
(1) ； (2) ．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：去分母，得： ，
去括号，得： ，
移项，合并，得： ，
系数化1，得： ；
（2）解：去分母，得： ，
去括号，得： ，
移项，合并，得： ，
系数化1，得： ．
【点睛】本题考查解一元一次方程．解题的关键是掌握解一元一次方程的步骤，正确的进行计算．
巩固训练
1．解方程：
(1) ； (2) ．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：合并同类项，得 ，系数化为1，得 ；
（2）解：合并同类项，得 ，
系数化为1，得 ．
【点睛】本题考查解一元一次方程．熟练掌握解一元一次方程的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类
项，系数化1，正确的计算，是解题的关键．
2．解下列方程：
(1) ； (2) ； (3) ；
(4) ； (5) ； (6) ．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
【分析】（1）先去括号，再移项，合并同类项，把未知数的系数化1即可．
（2）先去括号，再移项，合并同类项，把未知数的系数化1即可．
（3）先去括号，再移项，合并同类项，把未知数的系数化1即可．
（4）先去括号，再移项，合并同类项，把未知数的系数化1即可．
（5）先去括号，再移项，合并同类项，把未知数的系数化1即可．
（6）先去括号，再移项，合并同类项，把未知数的系数化1即可．
【详解】（1）解： ，
去括号得： ，
移项得： ，
合并得： ，
解得： ；（2） ，
去括号得： ，
移项得： ，
合并得： ，
解得： ；
（3）
去括号得： ，
移项得： ，
合并得： ，
解得： ；
（4） ，
去括号得： ，
移项得： ，
合并得： ，
解得： ；
（5） ，
去括号得： ，
移项得： ，
合并得： ，
解得： ；
（6） ，
去括号得： ，
移项得： ．
【点睛】本题考查的是一元一次方程的解法，掌握解一元一次方程的步骤与方法是解本题的关键．3．解下列方程：
(1) ； (2) ；
(3) ； (4) ．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【详解】（1）解：去分母，得： ，
移项，合并，得： ，
系数化1，得： ．
（2）去分母，得： ，
去括号，得： ，
移项，合并，得： ，
系数化1，得： ．
（3）去分母，得： ，
去括号，得： ，
移项，合并，得： ，
系数化1，得： ．
（4）去分母，得： ，
去括号，得： ，
移项，合并，得： ，
系数化1，得： ．
【点睛】本题考查解一元一次方程．解题的关键是掌握解一元一次方程的步骤，正确的计算．
题型七 解一元一次方程中的错解复原问题例题：（2024上·河北邯郸·七年级校考期末）关于方程 ，嘉嘉的解法如下．
解：去分母，得 ，…①
去括号，得 ，…②
合并同类项，得 ，
，…③
两边同时除以 ，得3=0．…④
所以方程无解．
(1)嘉嘉从第_________步开始出错（填序号），理由是___________________；
(2)请正确求解该方程．
【答案】(1)④，两边同时除以 时，未考虑 的情况
(2)见详解．
【分析】本题主要考查了解一元一次方程．
（1）按照解一元一次方程的步骤分析判断即可得出答案．
（2）按照解一元一次方程的步骤解方程即可．
【详解】（1）解：嘉嘉从第④步开始出错，理由是方程两边同时除以 时，未考虑 的情况．
故答案为：④，两边同时除以 时，未考虑 的情况
（2）
去分母得： ，
去括号，得 ，
移项合并同类项得： ，
化系数为1∶ ，
巩固训练
1．（2024上·辽宁大连·七年级统考期末）下面是小董同学解一元一次方程 的过程，请
认真阅读并回答问题．解： ，……第一步
，……第二步
，……第三步
．……第四步
(1)①以上求解过程中，第______步进行的是移项，移项的依据是______；
②第______步开始出现错误，这一步错误的原因是______；
(2)求该一元一次方程的解；
(3)除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就解一元一次方程时还需要注意的事项给其他同学提一
条建议（一条即可）．
【答案】(1)详见解析
(2)
(3)详见解析
【分析】本题考查的是解一元一次方程，熟练掌握解方程的步骤是解题关键．
（1）①根据移项的基本方法即可求解；②根据解方程的步骤即可判断；
（2）依次去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化1，即可解方程；
（3）解一元一次方程，去分母时，不要漏乘；去括号时，括号外的数要与括号里的每一项相乘，移项需
要变号．
【详解】（1）解：①以上求解过程中，第三步进行的是移项，移项的依据是等式性质1；
②第二步开始出现错误，这一步错误的原因是等式右边括号里的第二项没有变号；
故答案为：①第三步，等式性质1；②第二步，去括号后，等式右边括号里的第二项没有变号；
（2）解： ，
，
，
，
；
（3）解一元一次方程，去分母时，不要漏乘；去括号时，括号外的数要与括号里的每一项相乘，移项需
要变号等（答案不唯一）．2．（2023上·山东威海·六年级统考期末）计算：
(1)下面是解方程 的主要过程
解：原方程化为 ______，
去分母，得 ②，
去括号，得 ______，
移项，得 ______，
合并同类项，得 （合并同类项法则），
把未知数x的系数化为1，得 ______．
请从长方形框中选择与方程变形对应的依据，并将依据的序号填在相应的横线上；
(2)仿照上例解方程： （不需要指出每步的依据）
【答案】(1)③④①②
(2)
【分析】本题主要考查解一元一次方程的步骤：“去分母，去括号，移项、合并同类项，系数化为1”．掌
握解一元一次方程的步骤是解题关键．
（1）根据解一元一次方程的步骤结合各依据填空即可；
（2）根据解一元一次方程的步骤解答即可．
【详解】（1）解：解：原方程化为 ③，
去分母，得 ②，
去括号，得 ④，
移项，得 ①，
合并同类项，得 （合并同类项法则），
把未知数x的系数化为1，得 ②．
故答案为：③④①②；（2）解：原方程化为： ，
去分母，得： ，
去括号，得： ，
移项，得： ，
合并同类项，得： ，
把未知数x的系数化为1，得： ．
题型八 用一元一次方程解决实际问题
例题：（2024上·辽宁大连·七年级统考期末）某车间生产一批螺钉和螺母，由一个人操作机器做需要
完成．现计划由一部分人先做 ，然后增加 人与他们一起做 ，完成这项工作．假设这些人的工作效率
相同．
(1)求具体应先安排多少人工作？
(2)在增加 人一起工作后，若每人每天使用机器可以生产 个螺钉或 个螺母， 个螺钉需要配 个
螺母成为一个完整的产品，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名？
(3)若该车间有 台 型和 台 型机器可以生产这种产品，每台 型机器比 型机器一天多生产 个产品．
已知 台 型机器一天的产品装满 箱后还剩 个， 台 型机器一天的产品装满 箱后还剩 个，且每箱
装的产品数相同．某天有 台 型机器和 台 型机器同时开工，请问一天生产的产品能否恰好装满 箱．
若能，请计算出 的值；若不能，请说明理由．
【答案】(1)具体应先安排 人工作
(2)应安排 名工人生产螺钉， 名工人生产螺母
(3)一天不能恰好装满 箱
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意找出等量关系．
（1）设应先安排 人工作，根据题意得 ，即可求解；
（2）设应安排 名工人生产螺钉， 名工人生产螺母，根据题意得 ，即可
求解；
（3）先求出每箱装的产品个数，再分别求出 、 型机器一天的产量，最后列出关于 的一元一次方程
即可求解．【详解】（1）解：设应先安排 人工作，
根据题意得， ，
解得： ，
应先安排 人工作；
（2）设应安排 名工人生产螺钉， 名工人生产螺母，
根据题意得， ，
解得： ，
，
应安排10名工人生产螺钉，12名工人生产螺母，
（3）设每箱装 个产品，
根据题意得， ，
解得： ，
型机器一天生产的产品个数： ，
型机器一天生产的产品个数： ，
根据题意列方程得： ，
解得： ，
，
一天不能恰好装满 箱．
巩固训练
1．（2024上·甘肃酒泉·七年级统考期末）合肥庐阳区实验学校七（6）班为迎接学校秋季运动会计划购买
30支签字笔，若干本笔记本（笔记本数量超过签字笔数量），用来奖励运动会中表现出色的运动员和志愿
者，甲、乙两家文具店的标价都是签字笔8元/支、笔记本2元/本，甲店的优惠方式是签字笔打九折，笔记
本打八折；乙店的优惠方式是每买5支签字笔送1本笔记本，签字笔不打折，购买的笔记本打七五折．
(1)请用含x的代数式分别表示学校在甲、乙两家店购物所付的费用；
(2)如果购买笔记本数量为60本，并且只在一家店购买的话，请通过计算说明，到哪家店购买更合算？
(3)若都在同一家店购买签字笔和笔记本，试问购买笔记本数量是多少时，两家店的费用一样？【答案】(1) ；
(2)到甲店购买更合算，见解析
(3)购买150本笔记本时，两家店的费用一样
【分析】本题主要考查一元一次方程的实际应用，找准等量关系是解题的关键．
（1）根据题意列代数式即可；
（2）求出分别需要的费用，比较大小即可得到答案；
（3）设购买x本笔记本，根据题意列出方程即可得到答案．
【详解】（1）解： ，
．
（2）解：到甲店购买所需费用为 （元），
到乙店购买所需费用为 （元），
，
到甲店购买更合算；
（3）解： （本）．
设购买x本笔记本时，两家店的费用一样，
依题意，得： ，
解得： ．
答：购买 本笔记本时，两家店的费用一样．
2．（2024上·浙江嘉兴·七年级校联考期末）某超市第一次用10500元购进甲、乙两种商品，其中甲商品的
件数是乙商品件数的2倍，甲、乙两种商品的进价和售价如表：
甲 乙
进价（元/件） 40 60
售价（元/件） 50 80
(1)该超市第一次购进的甲、乙两种商品各多少件？
(2)该超市第一次购进的甲、乙两种商品售完后，第二次又以第一次的进价购进甲、乙两种商品，其中甲商
品的件数不变，乙商品的件数是第一次的3倍．甲商品按原价销售，乙商品打折销售，第二次两种商品都售完以后获得的总利润比第一次获得的总利润少600元，求第二次乙商品是按原价打几折销售？
【答案】(1)第一次购进甲商品150件，乙商品75件；
(2)打8折销售．
【分析】本题考查一元一次方程实际问题．
（1）根据题意设超市第一次购进乙商品 件，甲商品 件，再根据题干信息即可求出本题答案；
（2）根据题干及第（1）问结果可列出方程即为本题答案．
【详解】（1）解：设超市第一次购进乙商品 件，甲商品 件，
∵第一次用10500元购进甲、乙两种商品，再根据表中进价信息可列方程为：
，解得： ，
∴甲商品进 （件），
综上所述：甲商品购进 件，乙商品购进 件；
（2）解：设第二次乙商品按原价打 折销售，
∵第一次获利为： （元），
由题意得： ，
解得：
答：第二次乙商品按原价打8折销售．
3．（2023上·湖南邵阳·七年级校考阶段练习）为落实水资源管理制度，大力促进水资源节约，某市居民用
水实行阶梯水价，按年度用水量计算，将居民家庭全年用水量划分为三档，水价分档递增，实施细则如下
表：
某市居民用水阶梯水价表（单位：元/立方米）
供水类
阶梯 户年用水量 （立方米） 水价
型
第一阶梯
自来水 第二阶梯
第三阶梯
若某户居民去年用水量为 立方米，则其应缴纳水费为 元．
(1)小明家一年用水 立方米，这一年应缴纳水费 元；
(2)小亮家—年缴纳水费 元，则小亮家这一年用水多少立方米？(3)小红家去年和今年共用水 立方米，共缴纳水费 元，并且今年的用水量超过去年的用水量，则小
红家今年和去年各用水多少立方米？
【答案】(1)
(2)小亮家这一年用水 立方米
(3)小红家去年和今年用水分别为 立方米、 立方米
【分析】本题考查了一元一次方程的应用的水费电费问题．
（1）根据题意列式计算即可求解；
（2）先求得小亮家这一年的用水阶梯，再列式计算即可求解；
（3）设小红家去年用水 立方米，则今年用水 立方米，分情况讨论，列出一元一次方程，解方程
即可求解．
【详解】（1）解：根据题意得 元
故答案为： ；
（2）解：设小明家共用水 立方米，
因为 ，
所以 ．
则 ，
解得 ．
答：小亮家这一年用水 立方米；
（3）解：设小红家去年用水 立方米，则今年用水 立方米．
当 ，则 时，
，
解得 （舍去）；
当 ，则 时，
，
解得 ， ．
答：小红家去年和今年用水分别为 立方米、 立方米．
