专题1.9第1章三角形的证明单元测试（能力过关卷）-八年级数学下册尖子生同步培优题典（解析版）北师大版_北师大初中数学_8下-北师大版初中数学_旧版-可参考_05习题试卷_2单元试卷

2021-2022学年八年级数学下册尖子生同步培优题典【北师大版】 专题1.9第1章三角形的证明单元测试（能力过关卷） 姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________ 注意事项： 本试卷满分120分，试题共26题，选择10道、填空8道、解答8道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑 色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的． 1．（2020秋•安居区期末）等腰三角形的周长是 ，其中一边长 ，则腰长为 A． B． C． 或 D．无法确定 【分析】此题分为两种情况： 是等腰三角形的底边或 是等腰三角形的腰．然后进一步根据三角形 的三边关系进行分析能否构成三角形． 【解析】若 为等腰三角形的腰长，则底边长为 ， ，不符合三角形的三 边关系； 若 为等腰三角形的底边，则腰长为 ，此时三角形的三边长分别为 ， ， ， 符合三角形的三边关系； 该等腰三角形的腰长为 ， 故选： ． 2．（2020秋•铁力市期末）到三角形的三个顶点距离相等的点是 A．三条角平分线的交点 B．三条中线的交点 C．三条高的交点 D．三条边的垂直平分线的交点 【分析】根据垂直平分线的性质，可得到三角形的三个顶点距离相等的点是三条边的垂直平分线的交点． 【解析】三角形的三个顶点距离相等的点是三条边的垂直平分线的交点． 故选： ． 3．（2021春•靖远县期末）如图，在 中， 是 的垂直平分线， ，且 的周长为 ，则 的周长为 ．A．13 B．19 C．10 D．16 【分析】根据线段垂直平分线得出 ，求出三角形 周长 ，即可求出答案． 【解析】 是 的垂直平分线， ， 的周长为 ， ， ， 的周长为 ， 故选： ． 4．（2020秋•渝中区期末）下列说法错误的是 A．有两边相等的三角形是等腰三角形 B．直角三角形不可能是等腰三角形 C．有两个角为 的三角形是等边三角形 D．有一个角为 的等腰三角形是等边三角形 【分析】依据等腰三角形以及等边三角形的判定方法，即可得出结论． 【解析】 ．有两边相等的三角形是等腰三角形，该说法正确，故本选项不合题意； ．直角三角形可能是等腰三角形，原说法错误，故本选项符合题意； ．有两个角为 的三角形是等边三角形，该说法正确，故本选项不合题意； ．有一个角为 的等腰三角形是等边三角形，该说法正确，故本选项不合题意； 故选： ． 5．（2021•柳南区校级模拟）如图， 中， ， 是 中点，下列结论中不正确的是 A． B． 平分 C． D．【分析】由等腰三角形的性质可求解． 【解析】 ，点 是 的中点， ， 平分 ， ， 故选： ． 6．（2020秋•齐河县期末）如图，在等腰 中， ， 的垂直平分线 交 于点 ， 交 于点 ， 的垂直平分线 交 于点 ，交 于点 ，连接 ， ，则 A． B． C． D． 【分析】首先根据等腰三角形的顶角的度数求得底角的度数，然后利用垂直平分线的性质得到 ，从而得到 ． 【解析】等腰 中， ， ， 的垂直平分线 交 于点 ，交 于点 ， 的垂直平分线 交 于点 ，交 于点 ， ， ， ， ， 故选： ． 7．（2019秋•伊犁州期末）已知 的周长是24，且 ，又 ， 为垂足，若 的 周长是20，则 的长为 A．6 B．8 C．10 D．12 【分析】首先我们根据已知推出 ，再根据两个三角形的周长进而得出 的长． 【解析】 ，且， 解得 故选： ． 8．（2019春•江岸区校级月考）如图， ， 的平分线 与 的平分线 相交于点 ， 作 于点 ，若 ，则两平行线 与 间的距离为 A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】过点 作 于 ，作 于 ，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得 ， ，再根据平行线之间的距离的定义判断出 的长即为 、 间的距离． 【解析】如图，过点 作 于 ，作 于 ， 是 的平分线， ， ， 同理可得 ， ， 点 、 、 三点共线， 的长即为 、 间的距离， 平行线 与 间的距离为 ． 故选： ．9．（2021秋•黄石期中）如图， 中， ， ， 的平分线与 的外 角平分线交于 点，连接 ， 的度数是 A． B． C． D． 【分析】作 交 的延长线于 ， 于 ， 交 的延长线于 ，根据角平分 线的性质和判定得到 平分 ，求出 的度数，根据角平分线的定义求出 的度数，根据 三角形内角和定理计算得到答案． 【解析】作 交 的延长线于 ， 于 ， 交 的延长线于 ， 平分 ， 平分 ， ， ， ． 又 ， ， 平分 ， ， ， ， ， ， ， ，又 平分 ， ， ， 故选： ．10．（2021•高青县一模）如图， 中，边 ， 的垂直平分线相交于点 ．以下结论：① ；② ；③ ；④ ．一定正确的 有 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到 ，根据线段垂直平分线的判定定理、等腰三角形 的性质即可． 【解析】 边 、 的垂直平分线交于点 ， ， ， ，①正确； ， ， ， ， ， ，故②错误； 同理： ，故④正确； ， ，， ， ；③正确； 故选： ． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上 11．（2021春•无锡期末）写出命题“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题： 两个锐角互余的三角形 是直角三角形 ． 【分析】把原命题的题设与结论部分交换即可得到其逆命题． 【解析】命题“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题为“两个锐角互余的三角形是直角三角形”． 故答案为：两个锐角互余的三角形是直角三角形． 12．（2016秋•青浦区校级期末）如果等腰三角形腰上的高是腰长的一半，那么它顶角的度数是 或 ． 【分析】分三角形是锐角三角形和钝角三角形，两种情况，即可求解． 【解析】①如图， 中， ， 且 ， 中， 且 ， ， ， ． ②如图， 中， ， 的延长线于点 ，且 ， ， ， ， ， ， ． 故答案为： 或 ．13．（2020 秋•蚌埠期末）如图，在 中， ， ， 是 的平分线，若 ， ，则 ． 【分析】过点 作 于 ，根据直角三角形的性质求出 ，根据线段垂直平分线的性质求出 根据三角形的面积公式计算，得到答案． 【解析】过点 作 于 ， 在 中， ， ， ， ， 是 的平分线， ， ， ， ， 故答案为： ． 14．（2020秋•饶平县校级期末）如图， 中， ， ， 的中垂线 交 于 ， 交 于 ，下述结论：（1） 平分 ；（2） ；（3） 的周长等于 ；（4） 是 中点．其中正确的命题序号是 （ 1 ）（ 2 ）（ 3 ） ． 【分析】根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形 的顶角为 ，求出各角的度数，然后对各选项分 析判断后利用排除法求解． 【解析】 ， ， ， 是 的垂直平分线， ， ， ， ， ； （1） 平分 正确； （2） 正确； （3） 的周长 ，正确； （4） ，所以 不是 的中点，故本选项错误． 故正确的命题是（1）（2）（3）． 15．（2020秋•成华区期末）如图，线段 ， 的垂直平分线 ， 相交于点 ，若 ，则 ． 【分析】根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质即可得到结论．【解析】如图，连接 ， 垂直平分 ， ， ， ， 垂直平分 ， ， ， ， ， ， 故答案为： ． 16．（2020秋•连山区期末）如图， 是 的平分线， 垂直平分 交 的延长线于点 ，若 ，则 的度数为 ． 【分析】根据角平分线的定义得出 ，根据线段垂直平分线的性质得出 ，推出 ，根据三角形的外角性质得出 ，代入求出即可． 【解析】 平分 ， ， 设 ，垂直平分 ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为： ． 17．（2021春•罗湖区校级期末）如图， 中， 平分 ， 的中垂线交 于点 ，交 于点 ，连接 ．若 ， ，则 的度数为 ． 【分析】根据角平分线的性质可得 ，再根据线段垂直平分线的性质可得 ，进而可 得 ，然后可算出 的度数． 【解析】 平分 ， ， ， ， ， 的中垂线交 于点 ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：18．（2020秋•西丰县期末）如图， 是 中边 的垂直平分线，垂足为 ， 是 的平分 线，且 与 交于点 ．连接 并延长交 于点 ．某同学分析图形后得出下列结论：① ；② ；③ ；④ ．上述结论一定正确的是 ①③④ （填序号）． 【分析】先根据角平分线的性质判断出 、 的正误；再根据线段垂直平分线的性质判断 、 的正误即 可． 【解析】 是边 的垂直平分线， ， ， ①③正确； 是 的平分线， ， ④正确； 不一定垂直 ， 无法判断 、 是否相等， ②错误； 正确的有①③④， 故答案为：①③④． 三、解答题（本大题共8小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（2020秋•镇原县期末）如图，在 中， ， ． （1）请用尺规作图在平面内确定一点 ，使得点 到 、 两边的距离相等，且点 到 ， 两点的 距离也相等；（保留作图痕迹，不写作法） （2）若 ，求点 到 的距离．【分析】（1）作 的平分线和线段 的垂直平分线，它们的交点为 点； （2）先计算 ，则 ，然后利用含30的直角三角形三边的关系确定点 到 的距 离． 【解析】（1）如图，点 为所作； （2）过 点作 于 ，如图， ， ， ， 点 到 、 两边的距离相等， 平分 ， ， ， 即点 到 的距离为3． 20．（2021春•古丈县期末）如图， 是一个边长为6的等边三角形， 是 的高，求 的长． 【分析】根据等边三角形的性质和勾股定理解答即可． 【解析】 是一个边长为6的等边三角形， 是 的高， ， 在 中， ． 21．（2018秋•巨野县期中）如图，已知 为等腰三角形 的底角的平分线， ，求证： ．【分析】作 于 ，根据等腰三角形的性质证明 ，根据角平分线的性质得到 ， 证明 ，得到 ，得到答案． 【解析】证明：作 于 ， 是等腰直角三角形， ，又 ， ， 为 的底角的平分线， ， ， ， 则 ， 在 和 中， ， ， ， ． 22．（2020秋•官渡区校级月考）如图，在 中， ， 是 的中点， 于点 ， 于点 ． （1）若 ，求证： 是等边三角形； （2）如果 ， ，求 的长．【分析】（1）由条件可得出 ，可证明 ，可得出 ，再由等边三角形的判 定可得出结论． （2）根据三角形中线的性质和三角形的面积解答即可． 【解析】（1）证明： 平分 ， 于点 ， 于点 ， ， 在 和 中， ， ， ， 为等腰三角形， ， ， 是等边三角形； （2）解： ，点 是 边上的中点， ， ， ， ． 23．（2021•丰台区二模）已知 ，点 ， 分别在射线 ， 上（不与点 重合），且 ， 平分 ，线段 的垂直平分线分别与 ， ， 交于点 ， ， ，连接 ， 在射线 上取点 ，使得 ，连接 ． （1）依题意补全图形； （2）求证： ；（3）用等式表示线段 与 之间的数量关系，并证明． 【分析】（1）根据几何语言画出对应的几何图形； （2）过点 作 垂直平分 ， ，垂足分别为 ， ，根据线段的垂直平分线的性质得到 ，根据角平分线的定义得到 ，则可判断 ，从而得到 ； （3）证明 ，结合（2）证明三角形 是等腰直角三角形，进而可得线段 与 之间的数 量关系． 【解析】（1）解：如图即为补全的图形； （2）证明：连接 ， 是 的平分线， ， 在 和 中， ， ， ， 是线段 的垂直平分线， ，； （3） ， 证明： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ． 24．（2020春•东平县期末）已知：如图， 中， ， 垂直平分 交 于点 ， 平分 ，且 于 ，与 相交于点 ． （1）求证： ； （2）求证： ． 【分析】（1）由 证 ，进而可得出第（1）问的结论； （2）在 中由垂直平分线可得 ，即点 是 的中点，再结合第一问的结论即可求解． 【解析】证明：（1） 垂直平分 ，且 ，，且 ， ， ， ， 在 和 中， ， ， ． （2）由（1）得 ， 平分 ，且 ， 在 和 中， ， ， ． 25．（2020秋•湖里区校级期中）在等边三角形 中，点 在 边上，点 在 的延长线上，且 ． （1）如图1，当 为 中点时，求证： ； （2）如图2，若 ， ，求 的长． 【分析】（1）由 为等边三角形 边的中点，利用三线合一得到 垂直于 ，且 为角平分线，由，利用等边对等角及等腰三角形的性质得到一对角相等，利用等角对等边即可得； （2）根据 可得 ，由 求出 的长即可． 【解析】（1） 为等边三角形， ， ， ， 是 的角平分线， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）如图2，过点 作 ，交 于点 ， 为等边三角形， ， 为等边三角形， ， ， ， ， ， ， 在 和 中， ， ，， ， ． 26．（2013秋•宣州区校级期末）如图，点 为线段 上任意一点（不与点 、 重合），分别以 、 为一腰在 的同侧作等腰三角形 和等腰三角形 ， ， ， 与 都是锐角，且 ，连接 交 于点 ，连接 交 于点 ， 与 相交 于点 ，连接 ．求证： （1） ； （2） ． 【分析】（1）由已知可得 ，然后根据 即可证明 ； （2）由（1）证得的 可知 ，根据全等三角形的面积相等，从而证得 和 边上 的高相等，即 ，最后根据角的平分线定理的逆定理即可证得 ． 【解析】（1）证明： ， ， ， 在 和 中 ， ，（2）证明：如图，分别过点 作 于 ， 于 ， ， ， ， 和 边上的高相等，即 ， ；