文档内容
第 02 讲 一定是直角三角形吗
课程标准 学习目标
1．经历勾股定理的逆定理的探索过程，知道勾股定理与
逆定理的联系与区别；
①理解勾股定理逆定理；
2．能用勾股定理的逆定理解决一些简单的实际问题；
②掌握勾股数。
3．初步认识勾股定理的逆定理的重要意义，会用勾股定
理就解决一些几何问题.
知识点01 勾股定理逆定理
a，b，c a2 b2 c2
1.定义：如果三角形的三条边长 ，满足 ，那么这个三角形是直角三角形.
注意：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.
（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.
2.如何判定一个三角形是否是直角三角形
c
（1）首先确定最大边（如 ）.c2 a2 b2 c2 a2 b2
（2）验证 与 是否具有相等关系.若 ，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若
c2 a2 b2
，则△ABC不是直角三角形.
a2 b2 c2 a2 b2 c2 c
注意：当 时，此三角形为钝角三角形；当 时，此三角形为锐角三角形，其中 为
三角形的最大边.
【即学即练1】
1．（23-24八年级下·河南洛阳·期中）已知 的三边分别为a，b，c，下列条件不能判定 为直角
三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（23-24八年级下·四川泸州·期中）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，
(1)求网格上的 的周长．
(2)请判断 是不是直角三角形，并说明理由．
(3)点P是 边上的一个动点，则线段 的最小值为 ．
知识点02 勾股数
像 15，8，17 这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数.
勾股数满足两个条件：①满足勾股定理 ②三个正整数
【即学即练1】
1．（23-24八年级下·广西桂林·期中）下列各组数是勾股数的是（ ）
A． ， ， B． ， ， C． ， ，52 D． ， ，
题型一 勾股数的判断
【典例1】（23-24八年级下·广东湛江·阶段练习）下列四组数中，是勾股数的是（ ）
A．5，12，13 B．4，5，6 C．2，5，6 D．1，2，3
【变式1】（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（ ）
A．7，8，9 B．5，12，13 C．4，5，6 D．2，3，4
【变式2】（23-24八年级下·广西来宾·期中）下列各组数是勾股数的是（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（23-24八年级下·江西新余·期中）下列各组数中，为勾股数的是（ ）
A．9，40，41 B．5，6，7 C． ， ， D． ， ，
题型二 判断能否构成直角三角形
【典例1】（23-24八年级下·安徽淮北·期中）在 中， ， ， 的对边分别是a，b，c．下列
条件不能说明 是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D． ， ，
【变式1】（23-24八年级上·四川成都·期中）满足下列条件的 ，其中是直角三角形的为（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（23-24八年级下·云南昭通·期中）下列条件中，不能判断 为直角三角形的是（ ）
A． ， ， B．
C． D．
【变式3】（23-24八年级下·内蒙古呼和浩特·期中） 中， 、 、 的对边分别为 、 、 ，
下列条件中，不能判定 是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
题型三 在网格中判断直角三角形
【典例1】 （23-24八年级下·云南昭通·期中）如图， 在每个小正方形边长都为1的网格图中，顶点
都在格点上，下列结论不正确的是（ ）
A． B． 的面积为5C． D．点 到 的距离为
【变式1】（2024八年级下·全国·专题练习）如图，在四个均由十六个小正方形组成的正方形网格中，各
有一个三角形，那么这四个三角形中，不是直角三角形的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（23-24八年级下·辽宁鞍山·期中）如图，在 的正方形网格中，每个小正方形的边长都为
1．
(1)求 的周长；
(2)若点 为直线 上任意一点，则线段 的最小值为________．
【变式3】（23-24八年级下·广东珠海·期中）如图，四边形 的四个顶点都在网格上，且每个小正方
形的边长都为1．
(1)求四边形 的面积；
(2)判断线段 和 的位置关系，并说明理由．
题型四 利用勾股定理的逆定理求解
【典例1】 （23-24八年级下·江西吉安·阶段练习）在四边形 中，已知 ， ，， ．
(1)连接 ，试判断 的形状，并说明理由；
(2)求 的度数．
【变式1】（23-24八年级下·云南昭通·期中）如图，在 中， ，垂足为
．
(1)求 的长；
(2)判断 的形状，并说明理由．
【变式2】（23-24八年级下·重庆长寿·期中）如图，在四边形 中，已知 ， ，
， ， ．
(1)求线段 的长；
(2)求证： 是直角三角形．【变式3】（23-24八年级下·湖北黄石·期中）如图，四边形 中， ， 为对角线，
于E， ．
(1)确定 的度数；
(2)求线段 的长．
题型五 勾股定理逆定理的实际应用
【典例1】（23-24八年级下·广东湛江·阶段练习）如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄 ，河边原
有两个取水点 ， ，由于某种原因，由 到 的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建
一个取水点 （ ， ， ）在同一条直线上），并新修一条路 ，测得 千米， 千米，
千米．问 是否为从村庄 到河边最近的路？请说明理由．
【变式1】（23-24八年级下·陕西西安·期中）如图，阳光中学有一块四边形的空地 ，为了绿化环境，
学校计划在空地上种植草皮．经测量 ，若每平方米草
皮需要100元，种植这块草皮需要投入多少资金?（其他费用不计）【变式2】（23-24八年级下·广东广州·期中）如图，在笔直的公路 旁有一座山，从山另一边的C处到
公路上的停靠站A的距离为 ，与公路上另一停靠站B的距离为 ，停靠站A，B之间
的距离为 ，为方便运输货物现要从公路 上的D处开凿隧道修通一条公路到C处，且
．
(1)求证： ；
(2)求修建的公路 的长．
【变式3】（23-24八年级下·河北衡水·阶段练习）如图，某社区有一块四边形空地 ， ，
， ．从点A修了一条垂直 的小路 （垂足为E），E恰好是 的中点，且
．
(1)求边 的长；
(2)连接 ，判断 的形状；
(3)求这块空地的面积．
题型六 勾股定理逆定理的拓展问题【典例1】 （23-24八年级上·江苏徐州·期中）在 中， ，设 为最长边，当
时， 是直角三角形；当 时，利用代数式 和 的大小关系，探究
的形状（按角分类）．
(1)当 三边分别为6、8、9时， 为________三角形；当 三边分别为6、8、11时，
为________三角形；
(2)猜想：当 ________ 时， 为锐角三角形；当 ________ 时， 为钝角三角形；
（填“>”或“<”或“=”）
(3)判断：当 时，
当 为直角三角形时，则 的取值为________；
当 为锐角三角形时，则 的取值范围________；
当 为钝角三角形时，则 的取值范围________．
【变式1】（21-22八年级下·福建厦门·期中）定义：如图，点M，N（点M在N的左侧）把线段AB分割
成AM，MN，NB．若以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的购股
分割．
(1)已知M、N把线段AB分割成AM，MN，BN，若 ， ， ，则点M、N是线段
AB的勾股分割点吗？请说明理由；
(2)已知点M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若 ， ，求BN的长．
【变式2】阅读下列内容：设a，b，c是一个三角形的三条边的长，且a是最长边，我们可以利用a，b，c
三条边长度之间的关系来判断这个三角形的形状：①若 ，则该三角形是直角三角形；②若
，则该三角形是钝角三角形；③若 ，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角
形的三边长分别是4，5，6，则最长边是6， ，故由③可知该三角形是锐角三角形，请解答
以下问题：
（1）若一个三角形的三边长分别是7，8，9，则该三角形是________三角形．
（2）若一个三角形的三边长分别是5，12，x．且这个三角形是直角三角形，求 的值．
（3）当 ， 时，判断 的形状，并求出对应的 的取值范围．【变式3】（23-24八年级下·福建莆田·阶段练习）定义：若a，b，c是 的三边，且 ，则
称 为“方倍三角形”．
(1)对于①等边三角形②直角三角形，下列说法一定正确的是 ．
A．①一定是“方倍三角形” B．②一定是“方倍三角形”
C．①②都一定是“方倍三角形” D．①②都一定不是“方倍三角形”
(2)如图， 中， ， ，P为 边上一点，将 沿直线 进行折叠，点A
落在点D处，连接 ， ．若 为“方倍三角形”，且 ，求 的面积．
一、单选题
1．（23-24八年级下·吉林白山·阶段练习）下列是勾股数的是（ ）
A．1.5，2，2.5 B．11，12，23 C．9，40，41 D．6，7，8
2．（23-24八年级下·河南信阳·期末）在 中， 的对边分别为a，b，c，下列条件中，不
能判定 是直角 三角形的是（ ）
A． B． ， ，
C． D．
3．（23-24八年级下·福建南平·期末）如图，小正方形组成的 网格中，每个小正方形的顶点称为格点．
点A，B，C，D，M，N均在格点上，其中点A，B，C，D能与点M，N构成一个直角三角形的是（ ）A．点A B．点B C．点C D．点D
4．（23-24八年级下·河北廊坊·期中）如图，某港口M位于东西方向的海岸线上，胜利号，智能号两轮船
同时离开港口，各自沿一固定方向航行，胜利号、智能号两轮船每小时分别航行12海里和16海里，1小
时后胜利号、智能号两轮船分别位于点A，B处，且相距20海里，如果知道胜利号轮船沿北偏西 方向
航行，则智能号轮船的航行方向是（ ）
A．北偏东 B．北偏西 C．北偏东 D．北偏西
5．（2024·山西晋中·二模）如图，在8×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，且点A，B，C均
在格点上，则点B到线段 的距离为（ ）
A．5 B． C．2 D．
二、填空题
6．（23-24八年级下·全国·假期作业）若一个三角形的三边长之比为8∶15∶17，则它为 三角形．
7．（23-24八年级下·四川广安·期中）如图，边长为1的正方形组成的方格网中，A、B、C都在格点上，
则 的度数为 ．
8．（23-24八年级下·湖北咸宁·期中）在 中， 、 、 的对边分别为 、 、 ，且
，若 ，则 的大小是 ．
9．（23-24八年级下·甘肃定西·期中）我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道
题目：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，问这块沙田面积有多大？题中的“里”是
我国市制长度单位，1里 ，则该沙田的面积为 ．
10．（23-24八年级下·广东湛江·阶段练习）如图，在 的正方形网格，其中每个小正方形的边长均为
1，点A、B、C都在格点上， 于点D，则 的长为
三、解答题
11．（23-24八年级下·河南新乡·期末）如图，在 中选一点D，连接 ，使 ．已知
， ， ， ．
(1)求 的度数．
(2)求阴影部分的面积．
12．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中， 的三个顶点均
在格点上，请按要求完成下列各题：
(1)判断 的形状，并说明理由；
(2)求 边上的高．
13．（23-24八年级下·湖北荆门·期中）如图，网格是由小正方形拼成的，每个小正方形的边长都为1，四
边形 的四个点都在格点上．(1)四边形 的周长为 ，面积为 ．
(2)求证： 是直角．
14．（23-24八年级下·云南昭通·阶段练习）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围200千米
的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心由西向东，从 移动到 ，已知点 是一
个海港，且点 与 两点的距离分别为 两点的距离为： ．
(1)求 的度数；
(2)海港 会受到这次台风的影响吗？请说明理由．
15．（23-24八年级下·河北廊坊·期中）有一段关于古代藏宝图的记载（如图）：“从赤石（点A）向一棵
杉树（点B）笔直走去，在其连线上的点D处向右转 前进，到达唐伽山山脚下的一个洞穴（点C），
宝物就在洞穴中．”若 米， 米， 米．
(1)判断赤石、杉树、唐伽山形成的 的形状，并说明理由；
(2)求出洞穴到点D的距离 ．16．（23-24八年级下·福建龙岩·阶段练习）边长为1的正方形的顶点称为格点，如图1，图2中点A，B，
C，D，E均为格点．
(1)在图1中， 的度数为______；
(2)如图1，请仅用无刻度直尺作图，在 上取一点M，使 ；
(3)在图2中，请仅用无刻度直尺作图，作 ， ，并直接写出 的面积为______．
17．（2024·广东清远·二模）综合与实践
主题：检测雕塑(下图)底座正面的边 和边 是否分别垂直于底边 ．
素材：一个雕塑，一把卷尺．
步骤1：利用卷尺测量边 ，边 和底边 的长度，并测量出点 之间的距离；
步骤2：通过计算验证底座正面的边 和边 是否分别垂直于底边 ．
解决问题：
(1)通过测量得到边 的长是60厘米，边 的长是80厘米， 的长是100厘米，边 垂直于边 吗？
为什么？
(2)如果你随身只有一个长度为 的刻度尺，你能有办法检验边 是否垂直于边 吗？如果能，请写
出你的方法，并证明．18．（2024·广东佛山·三模）综合与实践
【提出问题】学习完勾股定理后，思考它的逆命题：两边平方和等于第三边的平方的三角形是直角三角形，
这个命题正确吗？教材是没有证明的．
【先贤智慧】相传我国古代大禹在治水测量工程时，曾用下列的方法确定直角：把一根长绳打上等距离的
13个结，然后以3、4、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角．
【动手操作】 如图，三条线段a、b、c的长度比满足 ，某数学小组利用这三条线段，设计
了如下作图步骤对上述问题开展了验证：
① 作线段 ；
② 以点A为圆心，b为半径画弧．以点B为圆心，a为半径画弧．两弧相交于 C点；
③ 连接 ，得到 ．
(1)根据作图步骤，完成作图（要求：保留作图痕迹）．
【问题解决】
(2)由三线段的长度比可知，（1）中的 三边满足 ．请你证明：边长满足
的 是直角三角形．
