文档内容
第 02 讲 一定是直角三角形吗
课程标准 学习目标
1．经历勾股定理的逆定理的探索过程，知道勾股定理与
逆定理的联系与区别；
①理解勾股定理逆定理；
2．能用勾股定理的逆定理解决一些简单的实际问题；
②掌握勾股数。
3．初步认识勾股定理的逆定理的重要意义，会用勾股定
理就解决一些几何问题.
知识点01 勾股定理逆定理
a，b，c a2 b2 c2
1.定义：如果三角形的三条边长 ，满足 ，那么这个三角形是直角三角形.
注意：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.
（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.
2.如何判定一个三角形是否是直角三角形
c
（1）首先确定最大边（如 ）.c2 a2 b2 c2 a2 b2
（2）验证 与 是否具有相等关系.若 ，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若
c2 a2 b2
，则△ABC不是直角三角形.
a2 b2 c2 a2 b2 c2 c
注意：当 时，此三角形为钝角三角形；当 时，此三角形为锐角三角形，其中 为
三角形的最大边.
【即学即练1】
1．（23-24八年级下·河南洛阳·期中）已知 的三边分别为a，b，c，下列条件不能判定 为直角
三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了三角形的内角和，勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练运用三角形的性质，本题属
于基础题型．
【详解】A、∵ ， ， ， ，则
∴ ， ， ，
∴ 不是直角三角形，故符合题意；
B、 ， ,
∴ ，
∴ 是直角三角形，故不符合题意；
C、∵ ，即 ，
∴ 是直角三角形，故不符合题意；
D、∵ ，
∴ ，
∴ 是直角三角形，故不符合题意；
故选：A．
2．（23-24八年级下·四川泸州·期中）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，
(1)求网格上的 的周长．
(2)请判断 是不是直角三角形，并说明理由．
(3)点P是 边上的一个动点，则线段 的最小值为 ．【答案】(1)
(2)是直角三角形，理由见解析；
(3)4
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，以及垂线段最短．先根据勾股定理求出的三条边长，再根据勾
股定理的逆定理判定即可，灵活运用勾股定理及其逆定理是解题的关键．
（1）利用勾股定理求出 的三边长，即可求出周长；
（2）利用勾股定理逆定理判定即可；
（3）根据点到直线的距离，垂线段最短即可求解；
【详解】（1）利用勾股定理可得，
， ， ，
的周长为 ．
（2） ,
是直角三角形．
（3）过点 作 于点 ，
则此时线段 取得最小值，
，
．
知识点02 勾股数
像 15，8，17 这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数.
勾股数满足两个条件：①满足勾股定理 ②三个正整数
【即学即练1】
1．（23-24八年级下·广西桂林·期中）下列各组数是勾股数的是（ ）
A． ， ， B． ， ， C． ， ，52 D． ， ，
【答案】B
【分析】本题考查了勾股数的定义、勾股定理的逆定理，根据勾股数的定义“凡是可以构成一个直角三角
形三边的一组正整数，称之为勾股数”，逐项验证即可，掌握勾股数的定义、计算判断是解题的关键．【详解】解：A、 ，故该组数不是勾股数，不符合题意；
B、 ，故该组数是勾股数，符合题意；
C、 ，故该组数不是勾股数，不符合题意；
D、 ，故该组数不是勾股数，不符合题意；
故选：B．
题型一 勾股数的判断
【典例1】（23-24八年级下·广东湛江·阶段练习）下列四组数中，是勾股数的是（ ）
A．5，12，13 B．4，5，6 C．2，5，6 D．1，2，3
【答案】A
【分析】本题考查了勾股数．解题的关键是理解勾股数的定义：有a，b，c三个正整数，满足 ，
称为勾股数．想要判定是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两条较短边的平方和是否
等于最长边的平方．
【详解】解：A． ，能构成勾股数，故该选项正确；
B． ，不能构成勾股数，故该选项错误；
C． ，不能构成勾股数，故该选项错误；
D． ，不能构成勾股数，故该选项错误．
故选A．
【变式1】（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国
古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（ ）
A．7，8，9 B．5，12，13 C．4，5，6 D．2，3，4
【答案】B
【分析】本题主要考查了勾股数，关键是掌握勾股数的定义：若三个正整数 、 、 满足 ，则
称 、 、 为勾股数．根据“勾股数”的定义，逐项判断，即可求解．
【详解】解：A、 ，不是“勾股数”，不符合题意；
B、 ，是“勾股数”，符合题意；
C、 ，不是“勾股数”，不符合题意；
D、 ，不是“勾股数”，不符合题意；故选：B．
【变式2】（23-24八年级下·广西来宾·期中）下列各组数是勾股数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查勾股数，根据勾股数是满足 的三个正整数逐项判断即可．
【详解】解：A、∵ ，∴ 不是勾股数，不符合题意；
B、∵ ，∴ 不是勾股数，不符合题意；
C、∵ 都不是整数，∴ 不是勾股数，不符合题意；
D、∵ ，∴ 是勾股数，符合题意；
故选：D．
【变式3】（23-24八年级下·江西新余·期中）下列各组数中，为勾股数的是（ ）
A．9，40，41 B．5，6，7 C． ， ， D． ， ，
【答案】A
【分析】本题考查了勾股数的定义，勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，根据勾股数
的定义逐项判断即可．
【详解】解：A、 ， 9，40，41是勾股数，故此选项符合题意；
B、 ， 5，6，7不是勾股数，故此选项不符合题意；
C、 ， 不是正整数， ， ， 不是勾股数，故此选项不符合题意；
D、 ， ， 不是正整数， ， ， 不是勾股数，故此选项不符合题意；
故选：A．
题型二 判断能否构成直角三角形
【典例1】（23-24八年级下·安徽淮北·期中）在 中， ， ， 的对边分别是a，b，c．下列
条件不能说明 是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D． ， ，
【答案】D
【分析】本题考查了直角三角形的判定，勾股定理的逆定理，正确理解勾股定理的逆定理是解题的关键．
判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
【详解】A、 ，
，
，，
，
是直角三角形，
故此选项正确，不符合题意；
B、设 ，则 ， ，
，
是直角三角形，
故此选项正确，不符合题意；
C、 ，
，
，
是直角三角形，
故此选项正确，不符合题意；
D、 ， ， ，
，
不是直角三角形，
故此选项错误，符合题意．
故选D．
【变式1】（23-24八年级上·四川成都·期中）满足下列条件的 ，其中是直角三角形的为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理和三角形的内角和定理，能理解勾股定理的逆定理的内容是解此题
的关键．
根据三角形的内角和定理和勾股定理的逆定理逐个判断即可．
【详解】解：A、 ， ，
∴最大角为 ，
不是直角三角形，
故该选项不符合题意；
B、设 分别为 ，
，
，
是直角三角形，
故本选项符合题意；C、 ，
∴不符合三角形三边关系，
故本选项不符合题意；
D、 ，
，
不是直角三角形，
故该选项不符合题意；
故选：B．
【变式2】（23-24八年级下·云南昭通·期中）下列条件中，不能判断 为直角三角形的是（ ）
A． ， ， B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查勾股定理和三角形内角和定理，掌握判定直角三角形的方法是解题的关键，
A、根据勾股定理的逆定理进行判定即可，
B、根据比值并结合勾股定理的逆定理即可判断出三角形的形状，
C、根据三角形的内角和为 度，即可计算出 的值，
D、根据角的比值求出各角的度数，便可判断出三角形的形状．
【详解】A、当 ， ， ，
，故 是直角三角形；
B、当 时，设 ， ， ，
则 ，故 是直角三角形，
C、当 时，
∵ ，
∴ ，则 ，故 是直角三角形，
D、当 时，
∵ ，
则最大角为 ，故 不是直角三角形，
故选：D．
【变式3】（23-24八年级下·内蒙古呼和浩特·期中） 中， 、 、 的对边分别为 、 、 ，
下列条件中，不能判定 是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A【分析】本题主要考查了三角形内角和定理和勾股定理的逆定理，根据三角形内角和定理即可判断A、
C；如果三角形的三边长 ， ， 满足 ，那么这个三角形就是直角三角形，据此可判断B、
D．
【详解】解：A、∵ ， ，
∴ ， ， ，
∴ 不是直角三角形，符合题意；
B、∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是直角三角形，不符合题意；
C、∵ ，且 ，
∴ ，
∴ 是直角三角形，不符合题意；
D、∵ ，
∴设 ， ， ，且 ，
∴ 是直角三角形，不符合题意；
故选：A．
题型三 在网格中判断直角三角形
【典例1】 （23-24八年级下·云南昭通·期中）如图， 在每个小正方形边长都为1的网格图中，顶点
都在格点上，下列结论不正确的是（ ）
A． B． 的面积为5
C． D．点 到 的距离为
【答案】D
【分析】本题考查的是勾股定理及其逆定理，利用网格图计算三角形的面积，点到直线的距离．熟练掌握
勾股定理及其逆定理是解题的关键．利用勾股定理求出 长可判定A，利用网格图计算三角形的面积可判定B，利用勾股定理及其逆定理判定
C；利用面积公式求出 边 的高，即可利用点到直线的距离判定D．
【详解】解：A． ∵ ，
∴ ，本选项结论正确，不符合题意；
B． ，本选项结论正确，不符合题意；
C． ， ， ，
，
，本选项结论正确，不符合题意；
D．点A到 的距离 ，本选项结论错误，符合题意；
故答案为：D
【变式1】（2024八年级下·全国·专题练习）如图，在四个均由十六个小正方形组成的正方形网格中，各
有一个三角形，那么这四个三角形中，不是直角三角形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查的是勾股定理及其逆定理，熟知如果三角形的三边长 ， ， 满足 ，那么这
个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．
根据勾股定理及其逆定理对各选项进行逐一判断即可．
【详解】解： A、如图：
， ， ，
不是直角三角形，故本选项符合题意；
B、如图：
， ， ，
是直角三角形，故本选项不符合题意；
C、如图：， ， ，
是直角三角形，故本选项不符合题意；
D、如图：
， ， ，
是直角三角形，故本选项不符合题意．
故选：A．
【变式2】（23-24八年级下·辽宁鞍山·期中）如图，在 的正方形网格中，每个小正方形的边长都为
1．
(1)求 的周长；
(2)若点 为直线 上任意一点，则线段 的最小值为________．
【答案】(1)
(2)2
【分析】此题考查了勾股定理与网格、勾股定理逆定理等知识，准确掌握勾股定理及其逆定理是解题的关
键．
（1）利用勾股定理求出各边的长，求和即可得到 的周长；
（2）过 作 ，证明 是直角三角形， 为斜边，利用等积法即可求出答案．
【详解】（1）解： ， ， ，
的周长 ；
（2）过 作 ，∵ ，
∴ 是直角三角形， 为斜边，
的面积 ，
即 ，
解得 ，
即线段 的最小值为 ．
【变式3】（23-24八年级下·广东珠海·期中）如图，四边形 的四个顶点都在网格上，且每个小正方
形的边长都为1．
(1)求四边形 的面积；
(2)判断线段 和 的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)17.5
(2) ，理由见解析
【分析】本题考查了四边形的面积，三角形的面积，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解
题的关键．
（1）根据四边形 的面积等于长方形的面积减去四个直角三角形的面积和一个小长方形的面积计算
即可；
（2）根据勾股定理的逆定理判断即可．
【详解】（1）解：四边形 的面积为：；
（2）解： ，
理由：如图，连接 ，
， ， ，
，
是直角三角形且 ，
即 ．
题型四 利用勾股定理的逆定理求解
【典例1】 （23-24八年级下·江西吉安·阶段练习）在四边形 中，已知 ， ，
， ．
(1)连接 ，试判断 的形状，并说明理由；
(2)求 的度数．
【答案】(1) 为等边三角形，理由见解析.
(2) ．
【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，直角三角形的判定和性质．
（1）连接 ，根据 ， ，得出 是等边三角形即可；
（2）根据勾股定理的逆定理判断三角形 是直角三角形，从而求得 ．
【详解】（1）解： 是等边三角形．
， ，
是等边三角形；
（2）解： 是等边三角形，
， ，
在 中， ， ，，
，
．
【变式1】（23-24八年级下·云南昭通·期中）如图，在 中， ，垂足为
．
(1)求 的长；
(2)判断 的形状，并说明理由．
【答案】(1)20
(2) 是直角三角形，理由见解析
【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，正确理解定理是关键．
（1）在直角 中利用勾股定理即可求解．
（2）利用勾股定理的逆定理即可判断．
【详解】（1）解： ，
是直角三角形， ．
．
（2） 是直角三角形，理由如下：
，
是直角三角形， ．
，
．
，
是直角三角形， 是直角．
【变式2】（23-24八年级下·重庆长寿·期中）如图，在四边形 中，已知 ， ，
， ， ．(1)求线段 的长；
(2)求证： 是直角三角形．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】本题考查勾股定理，勾股定理的逆定理：
（1）先根据含30度角的直角三角形的性质得出 ，再根据勾股定理得出答案即可；
（2）得出 ，即 ，即可得出结论．
【详解】（1）解：∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ；
（2）证明：∵ ， ， ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ 是直角三角形．
【变式3】（23-24八年级下·湖北黄石·期中）如图，四边形 中， ， 为对角线，
于E， ．
(1)确定 的度数；
(2)求线段 的长．
【答案】(1) ；
(2) ．
【分析】（1）由勾股定理求出 的长，再利用勾股定理的逆定理即可作出判断；
（2）利用等面积法即可求解．
本题考查了勾股定理及其逆定理，掌握等积法是关键．
【详解】（1）证明：在直角 中， ， ， ，
．， ，
，
是直角三角形，且 ．
（2）解： ，
．
题型五 勾股定理逆定理的实际应用
【典例1】（23-24八年级下·广东湛江·阶段练习）如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄 ，河边原
有两个取水点 ， ，由于某种原因，由 到 的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建
一个取水点 （ ， ， ）在同一条直线上），并新修一条路 ，测得 千米， 千米，
千米．问 是否为从村庄 到河边最近的路？请说明理由．
【答案】是，理由见解析
【分析】此题考查勾股定理的逆定理的应用、垂线段最短，熟练掌握勾股逆定理是解决本题的关键．根据
勾股定理的逆定理验证 为直角三角形，进而得到 ，再根据点到直线的距离垂线段最短即可
解答；
【详解】解：是，理由如下：
在 中，∵ ，
即 ，
∴ 为直角三角形，且 ，
∴ ，
由点到直线的距离垂线段最短可知， 是从村庄 到河边 的最近路；
【变式1】（23-24八年级下·陕西西安·期中）如图，阳光中学有一块四边形的空地 ，为了绿化环境，
学校计划在空地上种植草皮．经测量 ，若每平方米草
皮需要100元，种植这块草皮需要投入多少资金?（其他费用不计）【答案】11400元
【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理及逆定理是解本题的关键．连接 ，在
中，利用勾股定理求出 ，再利用勾股定理的逆定理判断得到 ，最后利用
即可解答．
【详解】解：解：如图，连接 ，
在 中， ，
在 中， ， ，
而 ，
即 ，
为直角三角形，
，
，
所以需费用 (元)．
【变式2】（23-24八年级下·广东广州·期中）如图，在笔直的公路 旁有一座山，从山另一边的C处到
公路上的停靠站A的距离为 ，与公路上另一停靠站B的距离为 ，停靠站A，B之间
的距离为 ，为方便运输货物现要从公路 上的D处开凿隧道修通一条公路到C处，且
．
(1)求证： ；
(2)求修建的公路 的长．
【答案】(1)见解析
(2)【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理逆定理的应用，以及三角形的面积公式等知识，熟练掌握这两个
定理是解题关键．
（1）根据勾股定理的逆定理，由 得到 是直角三角形，进而得解；
（2）利用 的面积公式可得， ，从而求出 的长．
【详解】（1）解：证明：∵ ， ， ， ，
∴ ，
∴ ．
（2）∵ ，
∴ ，
∴ ．
答：修建的公路 的长是 ．
【变式3】（23-24八年级下·河北衡水·阶段练习）如图，某社区有一块四边形空地 ， ，
， ．从点A修了一条垂直 的小路 （垂足为E），E恰好是 的中点，且
．
(1)求边 的长；
(2)连接 ，判断 的形状；
(3)求这块空地的面积．
【答案】(1)
(2) 是直角三角形
(3)这块空地的面积为
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，三角形的面积计算，掌握勾股定理和三角形面积公式是解题关
键．
（1）利用勾股定理以及线段中点的性质即可．
（2）通过计算三条边的长度，根据勾股定理的逆定理来判断三角形的形状．
（3）把四边形的面积分割成两个三角形的面积来计算．
【详解】（1）解： ，
．在 中，
， ，
．
是 的中点，
．
（2）解： ， 是 的中点，
．
， ，
，
，
是直角三角形．
（3）解：由（2）可知， 是直角三角形， ，
，
由（1）可知， ，
这块空地得面积为： ．
题型六 勾股定理逆定理的拓展问题
【典例1】 （23-24八年级上·江苏徐州·期中）在 中， ，设 为最长边，当
时， 是直角三角形；当 时，利用代数式 和 的大小关系，探究
的形状（按角分类）．
(1)当 三边分别为6、8、9时， 为________三角形；当 三边分别为6、8、11时，
为________三角形；
(2)猜想：当 ________ 时， 为锐角三角形；当 ________ 时， 为钝角三角形；
（填“>”或“<”或“=”）
(3)判断：当 时，
当 为直角三角形时，则 的取值为________；
当 为锐角三角形时，则 的取值范围________；
当 为钝角三角形时，则 的取值范围________．
【答案】(1)锐角；钝角
(2)(3)① ；② ；③
【分析】本题主要考查勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
（1）当两直角边为6、8时，利用勾股定理可得斜边的长度，当三角形最长的边小于所求边为锐角三角形，
反之为钝角三角形；
（2）根据勾股定理的逆定理即可得出结论；
（3）当为直角三角形时，可求出 ，再根据勾股定理的逆定理求出下面情况的取值范围．
【详解】（1）解：当两直角边为6、8时，斜边
当 三边分别为6、8、9时， 为锐角三角形
当 三边分别为6、8、11时， 为钝角三角形
（2）解：由勾股定理逆定理可得，
当 时， 为锐角三角形；
当 时， 为钝角三角形；
（3）解：当为直角三角形时， ；
当 为锐角三角形时， ，
；
当 为钝角三角形时， ，
则 的取值范围为 ，
两边之和大于第三边，
．
【变式1】（21-22八年级下·福建厦门·期中）定义：如图，点M，N（点M在N的左侧）把线段AB分割
成AM，MN，NB．若以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的购股
分割．
(1)已知M、N把线段AB分割成AM，MN，BN，若 ， ， ，则点M、N是线段
AB的勾股分割点吗？请说明理由；
(2)已知点M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若 ， ，求BN的长．
【答案】(1)是，理由见解析
(2)BN＝12或13
【分析】（1）根据勾股定理逆定理，即可判断点M、N是线段AB的勾股分割点．
（2）设BN＝x，则MN＝30−AM−BN＝25−x，分三种情形①当AM为最大线段时，依题意AM2＝MN2＋
BN2，②当MN为最大线段时，依题意MN2＝AM2＋NB2，③当BN为最大线段时，依题意BN2＝AM2＋
MN2，分别列出方程即可解决问题．【详解】（1）是．理由如下：
∵AM2＋BN2＝1.52＋22＝6.25，MN2＝2.52＝6.25，
∴AM2＋NB2＝MN2，
∴AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形，
∴点M、N是线段AB的勾股分割点．
（2）设BN＝x，则MN＝30−AM−BN＝25−x，
①当MN为最大线段时，依题意MN2＝AM2＋NB2，
即（25−x）2＝x2＋25，
解得x＝12；
②当BN为最大线段时，依题意BN2＝AM2＋MN2．
即x2＝25＋（25−x）2，
解得x＝13，
综上所述，BN＝12或13．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理的运用，解题的关键是理解题意，学会分类讨论，注意不能漏解．
【变式2】阅读下列内容：设a，b，c是一个三角形的三条边的长，且a是最长边，我们可以利用a，b，c
三条边长度之间的关系来判断这个三角形的形状：①若 ，则该三角形是直角三角形；②若
，则该三角形是钝角三角形；③若 ，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角
形的三边长分别是4，5，6，则最长边是6， ，故由③可知该三角形是锐角三角形，请解答
以下问题：
（1）若一个三角形的三边长分别是7，8，9，则该三角形是________三角形．
（2）若一个三角形的三边长分别是5，12，x．且这个三角形是直角三角形，求 的值．
（3）当 ， 时，判断 的形状，并求出对应的 的取值范围．
【答案】（1）锐角；（2）169或119；（3）见解析
【分析】（1）直接利用定义结合三角形三边得出答案；
（2）直接利用勾股定理得出x2的值；
（3）分△ABC为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形结合三边关系得出答案．
【详解】解：（1）∵72+82=49+64=113＞92，
∴三角形是锐角三角形，
故答案为：锐角；
（2）∵这个三角形是直角三角形，当x为斜边，
∴52+122=x2，
∴x2=169，
当12是斜边，
则52+x2=122，
解得：x2=119，故x2的值为169或119；
（3）∵a=2，b=4，
∴ ，
∴ ，
若△ABC是钝角三角形，
则 或 ，
则 或 ，
∴ 或 ；
若△ABC是直角三角形，
则 或 ，
则 或 ；
若△ABC是锐角三角形，
则 或 ，
则 或 ，
∴ ．
【点睛】此题主要考查了勾股定理及其逆定理以及三角形的三边关系，正确进行相关计算是解题关键．
【变式3】（23-24八年级下·福建莆田·阶段练习）定义：若a，b，c是 的三边，且 ，则
称 为“方倍三角形”．
(1)对于①等边三角形②直角三角形，下列说法一定正确的是 ．
A．①一定是“方倍三角形” B．②一定是“方倍三角形”
C．①②都一定是“方倍三角形” D．①②都一定不是“方倍三角形”
(2)如图， 中， ， ，P为 边上一点，将 沿直线 进行折叠，点A
落在点D处，连接 ， ．若 为“方倍三角形”，且 ，求 的面积．
【答案】(1)A
(2)
【分析】本题考查了翻折变换、等边三角形的性质，解决本题的关键是掌握等边三角形的性质．
（1）根据“方倍三角形”定义可得，等边三角形一定是“方倍三角形”，直角三角形不一定是“方倍三角形”进而可以判断；
（2）根据题意可得 ，根据“方倍三角形”定义可得 为等边三角形，从而证明
为等腰直角三角形，可得 ，延长 交 于点 ，根据勾股定理求出 的长，根据
为等腰直角三角形，可得 ，进而可以求 的面积．
【详解】（1）解：对于①等边三角形，三边相等，
设边长为 ，
则 ，
根据“方倍三角形”定义可知：
等边三角形一定是“方倍三角形”；
对于②直角三角形，三边满足关系式：
，
根据“方倍三角形”定义可知：
直角三角形不一定是“方倍三角形”；
故答案为： ；
（2）由题意可知：
，
， ，
根据“方倍三角形”定义可知：
，
，
为等边三角形， ，
，
，
，
，
，
， ，
，
，
为等腰直角三角形，
，
，
延长 交 于点 ，如图，，
， ，
，
，
，
为等腰直角三角形，
，
．
一、单选题
1．（23-24八年级下·吉林白山·阶段练习）下列是勾股数的是（ ）
A．1.5，2，2.5 B．11，12，23 C．9，40，41 D．6，7，8
【答案】C
【分析】此题主要考查了勾股数．判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的
平方和是否等于最长边的平方．
【详解】解：A、三边长 ， ， 不都是正整数，不是勾股数，不合题意；
B、 ，则11，12，23不是勾股数，不合题意；
C、 ，则9，40，41能构成直角三角形，符合题意；D、三边长 ，则6，7，8不是勾股数，不合题意；
故选：C．
2．（23-24八年级下·河南信阳·期末）在 中， 的对边分别为a，b，c，下列条件中，不
能判定 是直角 三角形的是（ ）
A． B． ， ，
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理、三角形内角和定理等知识点，灵活运用勾股定理逆定理判定三
角形是直角三角形成为解题的关键．
根据三角形内角和定理、勾股定理逆定理逐项判断即可．
【详解】解：A、 ，则最大角为 ,即 是直角三角形，不符
合题意；
B、由 ，符合勾股定理的逆定理，即 是直角三角形，不符合题意；
C、 ，不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形，符合题意；
D、由 ，则 ,即 是直角三角形，不符合题意．
故选：C．
3．（23-24八年级下·福建南平·期末）如图，小正方形组成的 网格中，每个小正方形的顶点称为格点．
点A，B，C，D，M，N均在格点上，其中点A，B，C，D能与点M，N构成一个直角三角形的是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
【答案】D
【分析】此题考查勾股定理及其逆定理，证明 直角三角形，即可得到答案.
【详解】解：连接 ，
，
∴ ，
∴ 直角三角形，
∴点 符合题意，用同样的方法证明其它点不符合要求，
故选：D
4．（23-24八年级下·河北廊坊·期中）如图，某港口M位于东西方向的海岸线上，胜利号，智能号两轮船
同时离开港口，各自沿一固定方向航行，胜利号、智能号两轮船每小时分别航行12海里和16海里，1小
时后胜利号、智能号两轮船分别位于点A，B处，且相距20海里，如果知道胜利号轮船沿北偏西 方向
航行，则智能号轮船的航行方向是（ ）
A．北偏东 B．北偏西 C．北偏东 D．北偏西
【答案】A
【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，先根据题意得到 海里， 海里，
海里，则可得 ，由勾股定理的逆定理得到 ，进而求出 ，则智
能号轮船的航行方向是北偏东 ．
【详解】解：由题意得， 海里， 海里， 海里，
∴ ，
∴ 是直角三角形，且 ，
∵胜利号轮船沿北偏西 方向航行，
∴ ，
∴ ，
∴智能号轮船的航行方向是北偏东 ，
故选：A．
5．（2024·山西晋中·二模）如图，在8×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，且点A，B，C均
在格点上，则点B到线段 的距离为（ ）
A．5 B． C．2 D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了勾股定理和逆定理，在线段 上取一点D，连接 ，根据勾股定理求出， ，再根据勾股定理的逆定理得出 是直角三角形，
，即可求出结果．
【详解】解：如图，在线段 上取一点D，连接 ，点D为格点，
在 中， ， ， ，
∴ ，
∴ 是直角三角形， ，
∴点B到线段 的距离即为线段 的长，
∴点B线段 的距离为 ．
故选：B．
二、填空题
6．（23-24八年级下·全国·假期作业）若一个三角形的三边长之比为8∶15∶17，则它为 三角形．
【答案】直角
【分析】此题考查勾股定理的逆定理的应用．解题关键在于判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三
边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
【详解】解：∵一个三角形的三边长之比为8∶15∶17，
设三边分别为 ， ， ，
而 ，
∴三角形构成直角三角形，
故答案为：直角
7．（23-24八年级下·四川广安·期中）如图，边长为1的正方形组成的方格网中，A、B、C都在格点上，
则 的度数为 ．
【答案】 /45度
【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，解题的关键是掌握勾股定理和勾股定理的逆定理的运用．根据勾
股定理，求出 ， ， ，再根据勾股定理的逆定理，即可求出 是等腰直角三角形，从而可得
答案．
【详解】解：如图，连接 ，∵ 在边长为 的小正方形组成的网格中，
∴ ， ， ，
∴ ， ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ， ．
故答案为：
8．（23-24八年级下·湖北咸宁·期中）在 中， 、 、 的对边分别为 、 、 ，且
，若 ，则 的大小是 ．
【答案】 /20度
【分析】本题考查勾股定理的逆定理．注意掌握如果三角形的三边长a，b，c满足 ，那么这个
三角形就是直角三角形．根据题意直接利用勾股定理的逆定理进行判断即可得出答案．
【详解】解：∵在 中， ， ， 的对边分别是a，b，c，且 ，
∴ ．
∴a、c是两直角边，b是斜边，
∴ ．
∴ ；
故答案为： ．
9．（23-24八年级下·甘肃定西·期中）我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道
题目：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲
的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，问这块沙田面积有多大？题中的“里”是
我国市制长度单位，1里 ，则该沙田的面积为 ．
【答案】
【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出三角形的形状是解题关键．直接利用勾股定理的逆定
理进而结合直角三角形面积求法得出答案．
【详解】解：∵ ，
∴三条边长分别为5里，12里，13里，构成了直角三角形，
∴这块沙田面积为： （平方米） （平方千米）．
故答案为 ．
10．（23-24八年级下·广东湛江·阶段练习）如图，在 的正方形网格，其中每个小正方形的边长均为1，点A、B、C都在格点上， 于点D，则 的长为
【答案】2
【分析】本题考查勾股定理、勾股定理得逆定理和直角三角形斜边高的求法，掌握勾股定理及其逆定理是
本题关键．根据勾股定理计算 的长，再利用面积差可得三角形 的面积，由三角形的面积公式即可
得到结论．
【详解】由勾股定理得： ， ， ，
， ， ， ，
是直角三角形， ，
，
，
，
故答案为：2．
三、解答题
11．（23-24八年级下·河南新乡·期末）如图，在 中选一点D，连接 ，使 ．已知
， ， ， ．
(1)求 的度数．
(2)求阴影部分的面积．
【答案】(1)
(2)96
【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形的面积，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）先在 中由勾股定理求得 ，由 ， ，可以得到 ，故
根据勾股定理逆定理得到 ；
（2）利用 ，代入求解即可．
【详解】（1）解：∵ ，∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：由 得 ，
∵ ，
∴ ．
12．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中， 的三个顶点均
在格点上，请按要求完成下列各题：
(1)判断 的形状，并说明理由；
(2)求 边上的高．
【答案】(1) 是直角三角形；理由见解析
(2) 边上的高为2
【分析】本题考查勾股定理及其逆定理：
（1）勾股定理求出三边长，勾股定理逆定理，判断三角形形状即可；
（2）等积法求高即可．
【详解】（1）解： 是直角三角形；理由如下：
由勾股定理，得： ，
∴ ，
∴ 是直角三角形；
（2）设 边上的高为 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；即： 边上的高为2．
13．（23-24八年级下·湖北荆门·期中）如图，网格是由小正方形拼成的，每个小正方形的边长都为1，四
边形 的四个点都在格点上．
(1)四边形 的周长为 ，面积为 ．
(2)求证： 是直角．
【答案】(1) ，10.5
(2)见解析
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理等知识．
（1）根据勾股定理即可求出 ， ， ， ，即可求出四边形 的周长
为 ；利用割补法即可求出四边形 的面积为 ；
（2）连接 ，根据勾股定理求出 ，即可得到 ，根据勾股定理逆定理即可证明
是直角．
【详解】（1）解：根据勾股定理得 ， ， ，
，
∴四边形 的周长为 ；
如图，四边形 的面积为 ．
故答案为： ，10.5；
（2）解：如图，连接 ，根据勾股定理得 ，
∵ ，
∴ ，
∴ 为直角三角形，
∴ 是直角．
14．（23-24八年级下·云南昭通·阶段练习）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围200千米
的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心由西向东，从 移动到 ，已知点 是一
个海港，且点 与 两点的距离分别为 两点的距离为： ．
(1)求 的度数；
(2)海港 会受到这次台风的影响吗？请说明理由．
【答案】(1)
(2)不受影响，见解析
【分析】本题主要考查勾股定理的逆定理：
（1）利用勾股定理的逆定理可证 是直角三角形；
（2）过点 作 于点 ，求出 长度即可判断．
【详解】（1）解： ，
．
是直角三角形．
；
（2）解：海港C不受台风的影响，理由如下：
如图，过点 作 于点 ．
，
即 ．
解得： ，
．
海港C不受台风的影响．
15．（23-24八年级下·河北廊坊·期中）有一段关于古代藏宝图的记载（如图）：“从赤石（点A）向一棵杉树（点B）笔直走去，在其连线上的点D处向右转 前进，到达唐伽山山脚下的一个洞穴（点C），宝
物就在洞穴中．”若 米， 米， 米．
(1)判断赤石、杉树、唐伽山形成的 的形状，并说明理由；
(2)求出洞穴到点D的距离 ．
【答案】(1)直角三角形，见解析
(2)120米
【分析】（1）利用勾股定理的逆定理计算判断即可；
（2）利用直角三角形的性质和面积公式计算即可．
本题考查了勾股定理的逆定理，直角三角形的性质和面积公式，熟练掌握定理是解题的关键．
【详解】（1） 是直角三角形．
理由如下：
米， 米， 米，
，
，
，
即 是直角三角形．
（2） ，
，
（米），
故洞穴到点D的距离 是120米．
16．（23-24八年级下·福建龙岩·阶段练习）边长为1的正方形的顶点称为格点，如图1，图2中点A，B，
C，D，E均为格点．(1)在图1中， 的度数为______；
(2)如图1，请仅用无刻度直尺作图，在 上取一点M，使 ；
(3)在图2中，请仅用无刻度直尺作图，作 ， ，并直接写出 的面积为______．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)2，图见解析
【分析】本题考查了作图，勾股定理及其逆定理：
（1）利用勾股定理的逆定理即可求解；
（2）取个点 ，连接 、 ， 与 相交于 ，进而可求解；
（3）利用勾股定理，取 、 ，再连接 即可求解；
熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键．
【详解】（1）解： ， ， ，
，即： ，
，
故答案为： ．
（2）取个点 ，连接 、 ， 与 相交于 ，
， ，
， ，
，
，
如图所示，点 即为所求：
（3） ， ，则：如图所示， 即为所求：
，
故答案为：2．
17．（2024·广东清远·二模）综合与实践
主题：检测雕塑(下图)底座正面的边 和边 是否分别垂直于底边 ．
素材：一个雕塑，一把卷尺．
步骤1：利用卷尺测量边 ，边 和底边 的长度，并测量出点 之间的距离；
步骤2：通过计算验证底座正面的边 和边 是否分别垂直于底边 ．
解决问题：
(1)通过测量得到边 的长是60厘米，边 的长是80厘米， 的长是100厘米，边 垂直于边 吗？
为什么？
(2)如果你随身只有一个长度为 的刻度尺，你能有办法检验边 是否垂直于边 吗？如果能，请写
出你的方法，并证明．
【答案】(1) ，理由见解析
(2)能，理由见解析
【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用，
（1）由勾股定理逆定理求出 ，则可得出结论；
（2）在 边上量一小段 ，在 边上量一小段 ，这时只要量一下 是否等于
即可．
【详解】（1）解：垂直，理由为：
在 中，因为 ， ， ，
所以 ，，
所以 ，
所以 ．
（2）解：在 边上量一小段 ，
在 边上量一小段 ， ，
这时只要量一下 是否等于 即可．
18．（2024·广东佛山·三模）综合与实践
【提出问题】学习完勾股定理后，思考它的逆命题：两边平方和等于第三边的平方的三角形是直角三角形，
这个命题正确吗？教材是没有证明的．
【先贤智慧】相传我国古代大禹在治水测量工程时，曾用下列的方法确定直角：把一根长绳打上等距离的
13个结，然后以3、4、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角．
【动手操作】 如图，三条线段a、b、c的长度比满足 ，某数学小组利用这三条线段，设计
了如下作图步骤对上述问题开展了验证：
① 作线段 ；
② 以点A为圆心，b为半径画弧．以点B为圆心，a为半径画弧．两弧相交于 C点；
③ 连接 ，得到 ．
(1)根据作图步骤，完成作图（要求：保留作图痕迹）．
【问题解决】
(2)由三线段的长度比可知，（1）中的 三边满足 ．请你证明：边长满足
的 是直角三角形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查尺规作图，勾股定理的逆定理的证明：
（1）按照所给步骤作图即可；
（2）构造 ，使得 ， ， ，利用 证明 ，推出
，即可证明 是直角三角形．
【详解】（1）解：如图， 即为所求．（2）证明：如图，作 ，使得 ， ， ，
由勾股定理得 ，
，
，
，
，
边长满足 的 是直角三角形．
