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第 03 讲 直角三角形
课程标准 学习目标
1．学习并掌握勾股定理及其逆定理，能够运用其解决问题．
①勾股定理及逆定理 2．探索并掌握直角三角形全等的判定方法“HL”．
②直角三角形中HL 3．会用直角三角形全等的判定方法“HL”判定两个直角三角形全
等．
知识点01 直角三角形的性质定理及推论
定理1 直角三角形的两个锐角互余；
推论1：在直角三角形中，如果一个锐角等于 ，那么它所对
在直角三角形中，如果一个
的直角边等于斜边的一半；
定理2 角等于300，那么它所对的直
推论2：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那
角边等于斜边的一半.
么这条直角边所对的角等于 .【即学即练1】在 中， ，那么另一个锐角 的度数是 ．
【答案】 /20度
【分析】本题考查的是直角三角形的性质，掌握直角三角形两锐角互余是解题的关键．根据直角三角形两
锐角互余进行计算即可．
【详解】解：在 中， ，
．
故答案为： ．
【即学即练2】如图，在 中， ， ，点D在斜边 上，且 ，则
°．
【答案】
【分析】本题考查直角三角形性质、等腰三角的性质及三角形内角和定理，根据直角三角形的性质得到
，根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理得出 ，即可求解，熟练掌握等腰三
角的性质及三角形内角和定理是解答的关键．
【详解】解：∵在 中， ， ，
∴ ，
，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
知识点02 勾股定理及逆定理
图形 名称 定理 符号表示
边的定理 在直角三角形中，斜边大于直角边.
在 中，
B
直角三角形两条直角边的平方和，等于斜边
在 中，
勾股定理
的平方.
c a ，
如果三角形的一条边的平方等于其他两条边
勾股定理 在 中，
A b C
的平方和，那么这个三角形是直角三角形.
逆定理
，
【即学即练1】在 中， 、 、 的对应边分别是a、b、c，则不能确定 是直角三角形
的是（ ）A． B． ，
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了直角三角形的性质、分别根据勾股定理的逆定理，三角形的内角和定理可以判断出结
果，熟练运用三角形的性质是解题的关键．
【详解】解：A、设 ，则 ， ， ，
∵ ，
∴ 是直角三角形，能确定，该选项不符合题意；
B、∵ ， ， ，
∴ 是直角三角形，能确定，该选项不符合题意；
C、设 ，则 ， ，
∵ ，
即 ，
解得 ，
则 ，
∴ 是直角三角形，能确定，该选项不符合题意；
D、∵ ， ，
∴ 即 ，
此时不能确定 或 是否为 ，
∴ 不确定是直角三角形，该选项符合题意；
故选：D．
【即学即练2】如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫格点，网格中有以
格点A，B，C为顶点的 ，请根据所学的知识回答下列问题：
(1)判断 的形状，并说明理由；
(2)求 的面积．
【详解】（1）解： 是直角三角形，
理由： ， ， ，
所以 ，
所以 是直角三角形；（2） 的面积： ．
【即学即练3】如图，学校有一块三角形空地 ，计划将这块三角形空地分割成四边形 和
，分别摆放“秋海棠”和“天竺葵”两种不同的花卉，经测量， ， ， ，
， ， ，求四边形 的面积．
【详解】解：由题意得： ，
，
在 中，由勾股定理得： ，
，
，
是直角三角形，且 ，
．
答：四边形 的面积为18．
知识点03 直角三角形全等的判定HL法
图形 定理 符号
A A'
如果两个直角三角形的斜边和一条直 在 中，
角边对应相等，那么这两个直角三角
，
形全等（简记：H.L）
B C C' B'
【即学即练1】如图， ，垂足分别为 ．(1)求证： ；
(2)若 ，求四边形 的面积．
【答案】(1)见解析
(2)12
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，掌握直角三角形全等的判定方法是解题的关键．
（1）根据 “如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等”，即可
证明；
（2）利用全等三角形的对应边相等，面积相等，即可求解．
【详解】（1）证明：在 和 中，
，
∴ ；
（2）解：由（1）知： ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
即四边形 的面积是12．
题型01 直角三角形的两个锐角互余
例题：如图，在等腰 中， ， 是 边上的高，若 ，则 的度数为 ．
【答案】
【知识点】等边对等角、三角形内角和定理的应用、直角三角形的两个锐角互余
【分析】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和，熟练掌握等边对等角是解题的关键．利用等腰三角形的性质及三角形内角和即可求解．
【详解】解： 是等腰三角形，且 ， ，
，
又 是 边上的高，
，
，
，
故答案为： ．
【变式训练】
1．如图，直线 于点A，若 ，则 的度数 ．
【答案】 /58度
【知识点】垂线的定义理解、根据平行线的性质求角的度数、直角三角形的两个锐角互余
【分析】本题主要考查了平行线的性质，垂线，直角三角形的性质等知识点，由平行线的性质可得
，根据垂直定义可得 ，根据直角三角形的两个锐角互余即可解答，熟练掌握平行
线的性质，直角三角形的性质是解决此题的关键．
【详解】∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
2．在 中，AD为边 上的高， ， ，则 的度数为 ．
【答案】 或
【知识点】直角三角形的两个锐角互余
【分析】本题考查了直角三角形的性质、角的和与差．本题分 为锐角三角形和 为钝角三角形
两种情况，画出相应的图形再根据三角形的高以及直角三角形两锐角互余，由图形中角的和差关系进行计
算即可．
【详解】解：如下图所示，当 为锐角三角形时，， ，
，
，
又 ，
；
如下图所示，当 为钝角三角形时，
， ，
，
，
又 ，
．
故答案为： 或 ．
题型02 锐角互余的三角形是直角三角形
例题：如图，在 中， ，点 在边 上（不与点 ，点 重合）．
(1)若点 在边 上，且 ，求证： ；
(2)请用尺子在图中画出 的边 上的高 ，若 ， ， ，求 的长度．
【答案】(1)证明见解析；
(2) 的长为 ．
【知识点】画三角形的高、直角三角形的两个锐角互余、锐角互余的三角形是直角三角形
【分析】（ ）由 ，则 ，故有 ，从而可得 ，根据直角三角形的判定方法即可求证；
（ ）先画出图形，再根据 即可求解；
本题考查了直角三角形的性质和判定，等面积法，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：如图，
∵ ，
∴ ，
∴
∴ 的长为 ．
【变式训练】
1．如图，在 中， 是 上一点，延长 至点 ，使得 ，连接
．
(1)求证： ；
(2)若 ，求 的面积．
【答案】(1)见解析；
(2) ．【知识点】垂线的定义理解、直角三角形的两个锐角互余、全等的性质和SAS综合（SAS）、锐角互余的三
角形是直角三角形
【分析】（1）延长 交CD于点 ，证明 ，得 ，由
， ，得 ，进而 ，即可得证；
（2）根据 ， ，得 ，从而 ，
，进而利用面积公式即可得解．
【详解】（1）解：如图，延长 交CD于点 ，
∵ ，
∴ ， ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了邻补角的性质，全等三角形的判定及性质，垂线定义，直角三角形的两锐角互余，
熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键．
2．如图，在 中，D为 上一点， ， ．(1)判断 的形状；
(2)判断 是否与 垂直．
【答案】(1) 是直角三角形
(2)
【知识点】锐角互余的三角形是直角三角形、三角形内角和定理的应用
【分析】本题考查了直角三角形的性质，三角形内角和定理，垂直的定义，熟练掌握三角形内角和定理是
解题的关键，（1）证出 即可得到结论，（2）求出 ，可得出 ．
【详解】（1）解： 是直角三角形，理由如下：
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是直角三角形．
（2）解： ，理由如下：
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
题型03 判断三边能否构成直角三角形
例题：由下列条件不能判定 为直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理的应用、判断三边能否构成直角三角形
【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用，三角形的内角和定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，
已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．由勾股定理的逆定理，三角形的内角和
定理逐一分析判断即可．
【详解】解：A、∵ ， ，
∴ ， 是直角三角形，不符合题意；B、∵ ， ，
∴ ， 是直角三角形，不符合题意；
C、∵ ，
∴ 故不能判定 是直角三角形，符合题意；
D、∵ ，
∴ ，即 ，故 是直角三角形，不符合题意；
故选：C．
【变式训练】
1．下列说法中，正确的是（ ）
A．若 ，则 是直角三角形
B．若三角形是直角三角形，三角形的三边为a，b，c，则有
C．以三个连续自然数为三边长一定能构成直角三角形
D．在 中，若 ，则 是直角三角形
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理的应用、用勾股定理解三角形、判断三边能否构成直角三角形
【分析】本题主要考查了直角三角形的性质和判定，三角形内角和定理应用，勾股定理及其逆定理，注意
在叙述命题时要叙述准确．根据直角三角形的判定进行分析，从而得到答案．
【详解】解：A、∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是直角三角形，故A正确；
B、三角形是直角三角形，当直角边分别为a、b，斜边为c时，则有 ，故B错误；
C、以三个连续自然数为三边长不一定能构成直角三角形，如：边长分别为4，5，6时，因为 ，
所以此时不能构成直角三角形，故C错误；
D、在 中，若 ，则 ,
，
，
因此 不是直角三角形，故D错误．
故选：A．
2． 中， 的对边分别为a、b、c，下列条件中，不能判断 是直角三角形的是（）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理的应用、判断三边能否构成直角三角形
【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理和三角形的内角和定理，解题的关键在于能够熟练掌握勾股定
理的逆定理．利用勾股定理的逆定理可以判断AD；根据 即可推出 即可判断
B；利用三角形内角和等于180度，即可求出 ，即可判断C．
【详解】解：A、∵在 中， 、 、 的对边分别为 、 、 ，
∴当 ， ， 时， ，
∴此时 是直角三角形，故本选项不符合题意；
B、∵ ，
∴ 即 ，
∴此时 是直角三角形，故本选项不符合题意；
C、∵ ， ，
∴ ，
∴此时 不是直角三角形，故本选项符合题意；
D、∵ ， ， ，
∴ ，
∴此时 是直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：C．
题型04 在网格中判断直角三角形
例题：如图， 网格中每个小正方形的边长都为 ， 的顶点均在网格的格点上．
(1) ， ， ；
(2) 是直角三角形吗？请作出判断并说明理由．
【答案】(1) ， ，(2) 是直角三角形，理由见解析
【知识点】勾股定理与网格问题、在网格中判断直角三角形
【分析】（ ）利用勾股定理计算即可；
（ ）利用勾股定理的逆定理判断即可；
本题考查了勾股定理及其逆定理，掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键．
【详解】（1）解：由网格得， ， ， ，
故答案为： ， ， ；
（2）解： 是直角三角形，理由如下：
∵ ， ，
∴ ，
∴ 是直角三角形．
【变式训练】
1．如图，每个格子都是边长为1的小正方形， ，四边形 的四个顶点都在格点上．
(1)求四边形 的周长；
(2)连结 ，试判断 的形状，并说明理由．
【答案】(1)
(2) 是直角三角形
【知识点】等腰三角形的定义、在网格中判断直角三角形、勾股定理与网格问题
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，等腰三角形的定义，正确计算是解题的关键．
（ ）利用网格和勾股定理求出四边形 的各边长即可求解；
（ ）利用勾股定理的逆定理和等腰三角形的定义可得 是等腰直角三角形．
【详解】（1）解： ， ， ， ，
∴ ；
（2）解： 是等腰直角三角形，理由如下，
∵ ， ， ，
∴ ， ，∴ ，
∴ 是等腰直角三角形， ．
2．如图，正方形网格的每个小方格的边长均为1， 的顶点在格点上．
(1)直接写出 ______， ______， ______；
(2)判断 的形状，并说明理由．
【答案】(1)13、52、65；
(2) 是直角三角形，证明见解析．
【知识点】在网格中判断直角三角形、勾股定理与网格问题
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及勾股定理是解题的
关键．
（1）利用勾股定理，进行计算即可解答；
（2）利用勾股定理的逆定理，进行计算即可解答．
【详解】（1）解：由题意得：
，
，
，
故答案为：13、52、65；
（2）解： 是直角三角形．
证明： ， ，
，
是直角三角形，且 ．
题型05 利用勾股定理的逆定理求解
例题：如图，△ABC中， ， ，边 上的中线 ．
(1) 与 互相垂直吗？为什么？(2)求 的长．
【答案】(1) 与 互相垂直，理由见解析
(2) ．
【知识点】利用勾股定理的逆定理求解、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，关键是利用勾股定理的逆定理证得 ．
（1）先根据三角形中线的定义得出 ，然后在 中，根据勾股定理的逆定理即可证
明 ；
（2）由（1）可得 ，再根据勾股定理即可求出 的长．
【详解】（1）解： 与 互相垂直，
证明：∵ 是 边上的中线， ，
∴ ，
∵ ，
，
∴ ，
∴ 是直角三角形，且 ，
∴ ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
在 中， ．
【变式训练】
1．如图， 中， ， ， ，B是 延长线上的点，连接 ，若
，
(1)说明 为直角，
(2)求 的长．
【答案】(1)
(2)
【知识点】用勾股定理解三角形、利用勾股定理的逆定理求解
【分析】本题考查勾股定理定理及逆定理，根据逆定理得到 是直角三角形，利用勾股定理求出是解题关键．
（1）根据勾股定理逆定理确定 即可得出结果；
（2）利用勾股定理得出 ，结合图形即可求解．
【详解】（1）解：∵ ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ；
（2）∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
2．如图，在四边形 中，已知 ， ， ， ．
(1)求 的长；
(2)证明 ．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【知识点】用勾股定理解三角形、利用勾股定理的逆定理求解
【分析】此题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理．
（1）利用勾股定理即可求出 的长；
（2）利用勾股定理的逆定理即可判断 是直角三角形， 是斜边，即可证明结论成立．
【详解】（1）解：在 中， ， ．
∴ ．
（2）在 中， ， ，
∴ ，
∴ 是直角三角形， 是斜边，
∴ ．
题型06 勾股定理逆定理的实际应用例题： 号台风“烟花”风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中
心沿东西方向 由 向 移动，已知点 为一海港，且点 与直线 上的两点 、 的距离分别为
， ，又 ，经测量，距离台风中心 及以内的地区会受到影响．
(1)海港 受台风影响吗？为什么？
(2)若台风中心的移动速度为 千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？
【答案】(1)受影响，理由见解析
(2) 小时
【知识点】用勾股定理解三角形、判断是否受台风影响(勾股定理的应用)、勾股定理逆定理的实际应用
【分析】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用
勾股定理解答．
（1）利用勾股定理的逆定理得出 是直角三角形，进而得出 的度数；利用三角形面积得出
的长，进而得出海港 是否受台风影响；
（2）利用勾股定理得出 以及 的长，进而得出台风影响该海港持续的时间
【详解】（1）解：海港 受台风影响，
理由： ， ， ，
，
是直角三角形， ；
过点 作 于 ，
是直角三角形，
，
，
，
以台风中心为圆心周围 以内为受影响区域，
海港C受台风影响；
（2）解：当 时，正好影响 港口，
，
，
台风的速度为 千米/小时，
(小时)．答：台风影响该海港持续的时间为 小时．
【变式训练】
1．如图，某中学有一块四边形的空地 ，学校计划在空地上种植草皮，经测量 ， ，
， ， ．
(1)求四边形 的面积；
(2)若每平方米草皮需要 元，问学校需要投入多少资金买草皮？
【答案】(1)
(2)学校需要投入 元买草皮
【知识点】勾股定理逆定理的实际应用、用勾股定理解三角形、有理数乘法的实际应用
【分析】此题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理的应用，通过勾股定理由边与边的关系也可证明直角三
角形是解题的关键．
（1）连接 ，利用勾股定理求出 ，由 、AB、 的长度关系可得三角形 为一直角三角形，
用 即可解答；
（2）根据总价 单价 数量计算即可求解．
【详解】（1）解：如图，连接 ，
， ， ，
在 中， ，
， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是直角三角形，且 ，
∴四边形 的面积为： ，；
（2）解：根据题意： （元）
答：学校需要投入 元买草皮．
2．如图，某居民小区有一块四边形空地 ，小道 和CE把这块空地分成了 和
三个区域，分别摆放三种不同的花卉．已知 米， 米， 米，
米．
(1)求四边形 的面积；
(2)小明和小林同时以相同的速度同时从点 出发，分别沿 和 两条不同的路径散步，
结果两人同时到达点 ，求线段DE的长度．
【答案】(1) 平方米
(2)线段DE的长度为 米
【知识点】勾股定理逆定理的实际应用、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用；
（1）根据勾股定理求得 ，进而根据勾股定理的逆定理证明 是直角三角形，再根据三角形的面
积公式，即可求解；
（2）根据题意得出 米，设 米，则 米，在 中，根据勾股定理建
立方程，解方程，即可求解．
【详解】（1）解：∵ 米， 米
∴ 米
∵
∴ 是直角三角形，且
∴四边形 的面积为 平方
米
（2）解：由（1）可得 是直角三角形，
依题意， 米，
设 米，则 米
在 中，
∴解得： ，即线段DE的长度为 米．
题型07 利用HL判定直角三角形全等
例题：如图，在 中， 平分 ， 于 ， 于 ，且 ， ．
(1)求证： ；
(2)求证： ．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【知识点】三角形角平分线的定义、根据三线合一证明、用HL证全等（HL）、全等的性质和ASA（AAS）
综合（ASA或者AAS）
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的三线合一性质，
（1）根据角平分线的定义得 ，证明 ，由全等三角形的性质即可得证；
（2）根据等腰三角形的三线合一性质得 ，继而得到 ，利用 证明全等即可；
解题的关键是掌握全等三角形的判定的一般方法： 、 、 、 、 （仅用于证明直角三角
形全等）．
【详解】（1）证明：∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ；
（2）∵ ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，在 和 中，
，
∴ ．
【变式训练】
1．已知，如图，点 在同一条直线上， ．
求证： ；
【答案】见解析
【知识点】用HL证全等（HL）
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键，先证 ，
再证 即可．
【详解】证明： ，
和 是直角三角形，
，
，即 ，
在 和 中，
，
．
2．如图， ， 是 的高，且 ．
(1)求证： 是等腰三角形；
(2)若 ， ，求 的高 ．【答案】(1)见解析；
(2) ．
【知识点】用HL证全等（HL）、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、等腰三角形的定义
【分析】（ ）由“ ”可证 ，可得 ，再根据等腰三角形的定义即可
求解；
（ ）由直角三角形的性质可求 的长，最后由勾股定理可求解；
本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质和勾股定理，熟练掌握知识点的应用是解题的关
键．
【详解】（1）证明：∵ ， 是 的高，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰三角形；
（2）解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
题型08 直角三角形全等的性质和HL综合
例题：如图，在 中， ，D为 延长线上一点，点E在 边上，且 ，
．
(1)求证： ；
(2)若 ，求 的度数．
【答案】(1)证明见解析；
(2)【知识点】等边对等角、用HL证全等（HL）
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形．全等三角形的判定是结合全等三角形的
性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（1）由全等三角形的判定定理 证得结论；
（2）利用①中全等三角形的对应角相等，等腰直角三角形的性质可以求得
【详解】（1）证明：∵ ， 为 延长线上一点，
∴
在 和 中，
，
∴ ( )．
（2）∵ ，
∴
∵ ， ，
∴
∴ ，
∴
【变式训练】
1．如图， ， ，垂足分别为B，E，且 ， ．
(1)求证： ；
(2)若 ， ， ，求 的长．
【答案】(1)见解析；
(2) ．
【知识点】用HL证全等（HL）、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质和勾股定理．
（1）利用 证明 即可；
（2）利用全等三角形的性质求得 ，再利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求得
，据此求解即可．
【详解】（1）证明：∵ ，∴ ，即 ．
∵ ， ， ．
在 和 中，
，
∴ ；
（2）解：由（1）知 ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
2．如图，在四边形 中， ， 是 上的一点，且 ，连接 ， ，
．
(1)求证： ；
(2)求 的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【知识点】等边对等角、全等的性质和HL综合（HL）、用HL证全等（HL）
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定定理．
（1）根据证明直角三角形全等的“ ”定理，证明即可．
（2）根据全等三角形的性质，对应角相等求值即可．
【详解】（1） ，
和 均为直角三角形．
在 和 中，
，．
（2） ，
， ，
，
，
，
，
在 中， ，
．
一、单选题
1．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）下列条件中，不能判断 为直角三角形的是（ ）
A． ， ， B．
C． D．
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理的应用、判断三边能否构成直角三角形
【分析】本题考查了直角三角形的判定，掌握勾股定理的逆定理，三角形内角和定理是解题的关键．利用
勾股定理的逆定理，三角形内角和，直角三角形两个锐角互余，逐项分析即可．
【详解】解：A． ，
，
故该选项能判断 为直角三角形，不符合题意；
B． ，
设 ，
则 ，
，故该选项能判断 为直角三角形，不符合题意；
C． ， ，
，
故该选项能判断 为直角三角形，不符合题意；
D． ，
设 ，
，
解得
故该选项不能判断 为直角三角形，符合题意；
故选：D．
2．（24-25八年级上·安徽安庆·阶段练习）如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则
的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】等边对等角、勾股定理与网格问题、用HL证全等（HL）
【分析】本题考查了网格与勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，掌握网格的
特点，全等三角形的判定和性质是解题的关键．
根据题意可证 ，得到 ，则有 ，由网格的性质
可得 是等腰直角三角形， ，由此即可求解．
【详解】解：如图所示，
∵网格是正方形网格，∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
故选：A ．
3．（24-25八年级上·山东淄博·期中）若 ， ， 是直角三角形 的三边长，且
，则 斜边上的高为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】因式分解的应用、判断三边能否构成直角三角形
【分析】本题考查因式分解的应用，非负数的性质，勾股定理的逆定理的应用；先利用完全平方式进行变
形求a，b，c的值，再证明 进而根据等面积法，即可求解．
【详解】解：∵ ．
∴ ．
∴ ．
∴ ， ， ．
∴ ， ， ．
∴ 斜边上的高为
4．（24-25八年级上·河北廊坊·期末）如图，在 中， ，点 在边 上，点 在边 上，
于点 ，连接 ，若 ，则线段 的长是（ ）A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】B
【知识点】用HL证全等（HL）
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握其判定的方法和性质是解题的关键．
根据题意，可证 ，得到 ，则有 ，再证 ，得
到 ，由 ，即可求解．
【详解】解：在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：B ．
5．（24-25八年级上·辽宁·阶段练习）如图， 是直角三角形， ， ，过 边上一点
剪下 ，点 在 上，当 是直角三角形时，则 的度数是（ ）
A． B． C． D． 或
【答案】D
【知识点】直角三角形的两个锐角互余
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理的应用，解题的关键是熟练掌握三角形内角和为 ．分两种
情况讨论：当 点为直角顶点时，当点D为直角顶点时，分别求出结果即可．
【详解】解：当点D为直角顶点时，如图所示：则 ，
∵ ，
∴ ；
当点E为直角顶点时，如图所示：
则 ；
综上分析可知： 或 ．
故选：D．
二、填空题
6．（24-25八年级上·贵州毕节·阶段练习）若 的三边分别是a．b．c，且a，b，c满足 ，
则
【答案】B
【知识点】判断三边能否构成直角三角形
【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握，如果一个三角形的三条边a、b、c
满足 ，那么这个三角形为直角三角形．根据勾股定理的逆定理进行判断即可．
【详解】解：∵ ，
∴ 为直角三角形， ．
故答案为：
7．（2024·北京东城·一模）在 中， ，点D在 上， 于点E，且 ，连
接 ．若 ，则 的度数为 ．【答案】35
【知识点】用HL证全等（HL）
【分析】本题考查了直角三角形的两个锐角互余、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握以上知识点，
学会通过全等三角形证明角相等是解题的关键．由 ， ，求得 ，然后证明
，推导出 ，即可求解．
【详解】解： ， ，
，
于点E，
，
在 和 中，
，
，
，
．
故答案为：35．
8．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）如图，等腰 中底边 ，D是腰 上一点，且 ，
，则 的长为 ．
【答案】 /
【知识点】用勾股定理解三角形、判断三边能否构成直角三角形
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理、勾股定理等知识点，能根据勾股定理的逆定理求得
是正确解决本题的关键．
根据勾股定理的逆定理求出 ，即 ，设 ，在 中，由勾股定理得
出 ，求出 即可．
【详解】解：设 ，， ， ，
，
，
，
在 中，由勾股定理得： ，
，
，
，
故答案为： ．
9．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，在 中， ， ， 是 边上的动点，
点 关于直线 的对称点为 ，连接 交 于 ，当 为直角三角形时， 的长是 ．
【答案】 或
【知识点】用勾股定理解三角形、根据成轴对称图形的特征进行求解、直角三角形的两个锐角互余、三线
合一
【分析】分两种情况讨论： 当 时，由三线合一可得 ，由勾股定理可得
，由轴对称的性质可得 ， ，进而可得 ，设
，则 ，在 中，根据勾股定理可得 ，即
，解方程即可求出 的长； 当 时，作 于点 ，利用邻补角互补
可得 ，由轴对称的性质可得 ，利用邻
补角互补可得 ，由直角三角形的两个锐角互余可得 ，
进而可得 ，由等角对等边可得 ，根据 即可求出 的长；综
上，即可得出答案．
【详解】解：分两种情况讨论：
当 时，
如图，，
， ，
，
，
，
由轴对称的性质可得： ， ，
，
设 ，则 ，
在 中，根据勾股定理可得：
，
即： ，
解得： ，
；
当 时，
如图，作 于点 ，
，
，
，
由轴对称的性质可得：
，
，
，
，
，
；
综上， 的长是 或 ，故答案为： 或 ．
【点睛】本题主要考查了三线合一，勾股定理，轴对称的性质，线段的和与差，解一元一次方程，垂线的
性质，利用邻补角互补求角度，直角三角形的两个锐角互余，等角对等边等知识点，运用分类讨论思想是
解题的关键．
10．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，点 为直线 上的一个动点， 于 点， 于 点，
点 在点 右侧，并且点 、 在直线 同侧， ， 当 长为 时， 为直
角三角形．
【答案】 或 或
【知识点】利用勾股定理的逆定理求解、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查的是勾股定理及其逆定理，作 于 ，根据矩形的性质得到 ，
，根据勾股定理用CD表示出 、 ，分类讨论，根据勾股定理的逆定理列式计算，得到
答案．
【详解】解：作 于 ，
则四边形 为矩形，
∴ ， ，
∴ ，
由勾股定理得，
当 为直角三角形时，
即
解得， ，
同理可得：当 时，由勾股定理得，
∴
∴
解得：
当 时，
由 得：
解得：
综上： 的长为： 或 或 ．
故答案为： 或 或 ．
三、解答题
11．（24-25八年级上·湖北荆州·期中）如图， ，垂足为 ， 交 于 ， ，
．
(1)求证： ；
(2)求 的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、全等三角形的性质
【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握斜边直角判定两个三角形全等是解题的关键．
（1）根据题意证明 即可求解；（2）由 ，得到 ， ，再根据三角形内角和定理即可求解．
【详解】（1）证明： ，
，
在 和 中，
，
，
；
（2）解： ，
，
，
，
，
．
12．（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）如图， ， ．
(1)求证： ；
(2)若 ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)2
【知识点】用HL证全等（HL）、根据等角对等边证明等腰三角形、全等三角形的性质
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定等知识；熟练掌握等腰三角形的判定，
证明三角形全等是解题的关键．
（1）由 证明 即可；
（2）由全等三角形的性质得 ，再由等腰三角形的判定得 ，即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ 和 是直角三角形，
在 和 中，
，
∴ ；（2）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
13．（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）如图所示，已知 ，且点 ， ， 在同一条直线
上，延长 交 于点F．
(1)若 ， ，求 的长度；
(2)①求 的度数；②求证： ．
【答案】(1) ；
(2) ；②见解析
【知识点】直角三角形的两个锐角互余、全等三角形的性质
①
【分析】本题考查三角形全等的性质．掌握两个全等三角形的对应角相等和对应边相等是解题关键．
（1）由三角形全等的性质可得出 ， ，从而可求出 ；
（2） 由三角形全等的性质可得出 ， ．根据点B，C，D在同一条直线上，
即可求出 ；
①
②由 得 ．由对顶角相等即得出 ，从而即可求出 ，
即可证明 ．
①
【详解】（1）解；∵ ，
∴ ， ，
∴ ；
（2）证明： ∵ ，
∴ ， ．
①
∵点B，C，D在同一条直线上，
∴ ；
②∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ．14．（24-25八年级上·贵州毕节·期中）数学课上，老师拿了一张如图所示的等腰三角形纸片 ．已知底
边 ， 为 上一点，且 ， ．
(1)试判断 的形状，并说明理由；
(2)求 的长．
【答案】(1)直角三角形
(2)
【知识点】等腰三角形的定义、判断三边能否构成直角三角形、用勾股定理解三角形
【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，勾股定理的逆定理应用，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的
关键．
（1）根据勾股定理逆定理得到 ，即可证明结论；
（2）设 ，根据等腰三角形的性质得到 ，由勾股定理列出等式计算即可得到答案．
【详解】（1）证明：直角三角形，理由如下：
， ， ，
，
，
故 是直角三角形；
（2）解：设 ，
，
等腰三角形纸片 ，
，
是直角三角形，
，
是直角三角形，
，
，
解得 ，
故 ．
15．（24-25八年级上·山西晋中·期中）如图，某湿地公园有一块四边形草坪 ，公园管理处计划修一条A到 的小路，经测量， ， ， ， ， ．
(1)求小路 的长；
(2)淇淇带着小狗在草坪上玩耍，淇淇站在点 处，小狗从点 开始以 的速度在小路上沿
的方向奔跑，跑到点A时停止奔跑，当小狗在小路 上奔跑时，小狗需要跑多少秒与淇淇的距离最近？
【答案】(1)
(2)当小狗在小路 上奔跑时，小狗需要跑 秒与淇淇的距离最近．
【知识点】用勾股定理解三角形、勾股定理逆定理的实际应用
【分析】本题考查了勾股定理与勾股逆定理，等面积法，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先运用勾股定理列式计算，即可作答．
（2）先证明 ，再运用面积法，得出 ，根据勾股定理列式计算得出
，最后结合运动速度，即可作答．
【详解】（1）解：∵ ， ， ，
∴在 中， ，
∴小路 的长为 ；
（2）解：如图所示：过B作 ，
依题意，当小狗在小路 上奔跑，且跑到点 的位置时，小狗淇淇的距离最近．
∵ ， ． ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
则 ，
即 ，∴
∵小狗从点 开始以 的速度在小路上沿 的方向奔跑，跑到点A时停止奔跑，
∴ ，
则
当小狗在小路 上奔跑时，小狗需要跑 秒与淇淇的距离最近．
16．（24-25八年级上·全国·期末）如图①，四边形 中， ，连接 ，且 ，点 在
边 上，连接DE，过点 作 ，垂足为 ，若 ．
(1)求证： ；
(2)如图②，连接 ，且 是 的角平分线，求证： ．
【答案】(1)详见解析
(2)详见解析
【知识点】全等的性质和HL综合（HL）
【分析】（1）根据题意证明 ，进而根据 证明 ，即可求解；
（2）连接 ，由（1）证明可得 ， ，证明 ，得出 ，进
而即可得证．
【详解】（1）证明： ，
，
，
，
在 和 中，
．
∴ ；
（2）证明：连接 ，
由（1）证明可得 ，
，
在 和 中，．
，
，
．
17．（23-24八年级下·湖南长沙·期中）在 中， ．
(1)若 ，点M、N在 、 上，将 沿 折叠，使得点C与点A重合，求折痕 的长；
(2)点D在 的延长线上，且 ，若 ，求证： 是直角三角形．
【答案】(1) ；
(2)见解析
【知识点】判断三边能否构成直角三角形、折叠问题、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形
【分析】（1）如图1，过 作 于 ，根据等腰三角形的性质得到 ，求得 ，根
据折叠的性质得到 ， ，设 ，根据勾股定理即可得到结论；
（2）如图2，过 作 于 ，根据等腰三角形的性质得到 ，设 ， ，
，得到 ，根据勾股定理和勾股定理的逆定理即可得到结论．
【详解】（1）如图1，过 作 于 ，
， ，
，
，
将 沿 折叠，使得点 与点 重合，
， ，
设 ，，
，
，
解得： ，
；
（2）如图2，过 作 于 ，
，
，
，
设 ， ， ，
，
， ，
， ，
联立方程组解得， （负值舍去），
，
，
是直角三角形．
【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），等腰三角形的性质，勾股定理的逆定理，勾股定理，正确的
作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
18．（24-25八年级上·福建漳州·期中）如图，在 中， ，D为 边上的点，将 沿 折
叠，得到 ，恰好 ，连接 ， ．
(1)设 ， ，求 的长；(2)若 ， ，试判断 的形状，并说明理由．
【答案】(1)6
(2)直角三角形，见解析
【知识点】用勾股定理解三角形、判断三边能否构成直角三角形、运用完全平方公式进行运算、折叠问题
【分析】本题考查了翻折变换，三角形的面积，勾股定理及逆定理等知识．
（1）由翻折性质可得 ，根据勾股定理得 ，然后根据 ，得
，再整体代入计算即可解决问题；
（2）根据勾股定理逆定理即可判断 是直角三角形．
【详解】（1）解：由翻折可知： ，
， ， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解： 是直角三角形，理由如下：
由翻折可知： ，
，
， ，
，
，
是直角三角形．
