第一章三角形的证明及其应用（必备知识+14题型+分层检测）（复习讲义）（原卷版）_北师大初中数学_8下-北师大版初中数学_2026春新版_第二套-东方_02.北师大数学8下试题+复习26春

第一章 三角形的证明及其应用（复习讲义） 1. 了解三角形内角和定理及其证明思路，体会利用平行线转化角度、将未知问题转化为已知问题的数学思 想。 2. 能运用三角形内角和定理及外角性质求角度大小，能利用多边形内角和公式与外角和定理解决多边形的 边数与角度计算问题。 3. 理解并运用等腰三角形“等边对等角”与“三线合一”的性质进行推理与计算，能根据边、角条件判定 等腰三角形或等边三角形。 4. 理解并利用角的平分线的性质（点到角两边的距离相等）及其逆定理解决与角平分线相关的几何证明与 计算问题。【知识点01】三角形的内角和定理与外角和定理 1.三角形内角和定理：三角形的三个内角的和等于 180°. 2.证明思路（一种经典证法）：过三角形的一个顶点作对边的平行线，利用同位角、内错角相等的性质， 将三个内角转化成一个平角（180°）. 3.三角形外角定义： 三角形每个顶点处，一个内角的两条边中的一条反向延长，与另一条边所夹的角称 为该顶点的一个外角.每个顶点有两个外角（它们相等，因为是对顶角），通常我们讨论的是三个顶点各 取一个外角（共三个）. 4.三角形外角和定理：三角形的三个外角（每个顶点取一个）的和等于 360°. 【知识点02】多边形的概念及内外角 1．多边形定义：在平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做多边形．其中， 各个角相等、各条边相等的多边形叫做正多边形． 2．相关概念：边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边． 顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点． 内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n边形有n个内角. 外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角. 对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线． 凹多边形 凸多边形 3.多边形的分类:画出多边形的任何一边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个 多边形就是凸多边形，如果整个多边形不在直线的同一侧，这个多边形叫凹多边形．如图： 特别说明： (1)正多边形必须同时满足“各边相等”，“各角相等”两个条件，二者缺一不可； n(n3) (2)过n边形的一个顶点可以引(n-3)条对角线，n边形对角线的条数为 ； 2 (3)过n边形的一个顶点的对角线可以把n边形分成(n-2)个三角形． 4.多边形内角和：n边形的内角和为(n-2)·180°(n≥3)． 特别说明： (1)内角和公式的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数； (n2) 180°  (2)正多边形的每个内角都相等，都等于 ； n 5.多边形的外角和：多边形的外角和为360°． 特别说明：(1)在一个多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和．n边形的 外角和恒等于360°，它与边数的多少无关； 360° (2)正n边形的每个内角都相等，所以它的每个外角都相等，都等于 ； n (3)多边形的外角和为360°的作用是：①已知各相等外角度数求多边形边数；②已知多边形 边数求各相等外角的度数． 【知识点03】等腰三角形 1．等腰三角形的性质 性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）． 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）． 等腰三角形的其他性质： （1）等腰三角形两腰上的中线、高分别相等． （2）等腰三角形两底角的平分线相等． （3）等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高． （4）当等腰三角形的顶角为90°时，此等腰三角形为等腰直角三角形，它的两条直角边相等，两个 锐角都是45°． 2．等腰三角形的判定 （1）定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形； （2）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）． 数学语言：在△ABC中，∵∠B=∠C，∴AB=AC（等角对等边）． 【注意】（1）“等角对等边”不能叙述为：如果一个三角形有两个底角相等，那么它的两腰也相等．因为在 没有判定出它是等腰三角形之前，不能用“底角”“腰”这些名词，只有等腰三角形才有“底 角”“腰”． （2）“等角对等边”与“等边对等角”的区别：由两边相等得出它们所对的角相等，是等腰三角形 的性质；由三角形有两角相等得出它是等腰三角形，是等腰三角形的判定． 【知识点04】等边三角形 1．等边三角形及其性质 等边三角形的概念：三边都相等的三角形是等边三角形． 等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60° ． 【注意】 （1）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴； （2）等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质． 2．等边三角形的判定 （1）定义法：三边都相等的三角形是等边三角形． （2）三个角都相等的三角形是等边三角形． （3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 3．含30°角的直角三角形的性质 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 【注意】 （1）该性质是含30°角的特殊直角三角形的性质，一般的直角三角形或非直角三角形没有这个性质， 更不能应用． （2）这个性质主要应用于计算或证明线段的倍分关系． （3）该性质的证明出自于等边三角形，所以它与等边三角形联系密切． （4）在有些题目中，若给出的角是15°时，往往运用一个外角等于和它不相邻的两个内角的和将15° 的角转化后，再利用这个性质解决问题． 【知识点05】线段垂直平分线 1．线段垂直平分线的定义及其性质 （1）线段垂直平分线的定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线． （2）性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．书写格式：如图所示，点P在线 段AB的垂直平分线上，则PA=PB． （3）判定：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．书写格式：如图所示，若 PA=PB，则点P在线段AB的垂直平分线上． 【知识点06】角的平分线的性质 1．作已知角的平分线 用尺规作已知角的平分线．已知：∠AOB，求作：∠AOB的平分线． 作法：（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N． （2）分别以点M，N为圆心，大于1/2MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点 C．（3）画射线OC．射线OC即为所求． 如图所示： ★作图依据：构造△OMC≌△ONC（SSS）． 2．角的平分线的性质 内容：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 【提示】 （1）这里的距离指的是点到角的两边垂线段的长； （2）该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，不需要再用全等三角形； （3）使用该结论的前提条件是图中有角平分线、有垂直； （4）运用角的平分线时常添加的辅助线：由角的平分线上的已知点向两边作垂线段，利用其相等来推 导其他结论． 3．角的平分线的判定 （1）内容：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上． （2）角的平分线的判定的前提条件是指在角的内部的点到角两边的距离相等时，它才是在角的平分线上， 角的外部的点不会在角的平分线上． 【知识点07】最短路问题 （1）求直线异侧的两点到直线上一点距离的和最小的问题，只要连接这两点，所得线段与直线的交点 即为所求的位置． （2）求直线同侧的两点到直线上一点距离的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称 点，连接对称点与另一个点，所得线段与该直线的交点即为所求的位置． 题型一 利用三角形的内角和求角度 【例1】（25-26八年级上·广东惠州·期末）如图， 中， ， ．若 ，则 的度数为 ． 【变式1-1】（25-26七年级上·江苏淮安·期末）将一副三角板如图放置，点 在 上， ，如果 ，那么 的度数是 ．【变式1-2】（25-26八年级下·全国·周测）如图，在 中， ， 平分 交 于点 ， ，交 于点 ．若 ，则 的度数是 ． 【变式1-3】（24-25七年级下·贵州遵义·期末）如图，将三角形纸片 的一角沿着 折叠，使点 的 对应点 落在 靠近 的三等分线 上，且 ， ， ，则 的度 数为 ． 题型二 三角形的外角的性质求角 【例2】（25-26八年级上·湖南长沙·期末）如图， 是 的外角，若 ， 则 °． 【变式2-1】（25-26八年级上·北京密云·期末）如图， 是 的外角 的平分线，且 交 延长线于点E．若 ， ，则 ．【变式2-2】（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）一副直角三角板，按如图所示的方式摆放， ， 在边 上，点 在边 上， ， 相交于点 ， ， ，则 的度数为 ． 【变式2-3】（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）如图，数学活动课上，小李同学分别延长 和 的边，边 、 的延长线交于点 ，边 、 的延长线交于点 ，测得 ， ，则 的值为 ． 题型三 三角形内角和与外角和综合问题 【例3】（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图， 平分 的外角 ，且 交 的延长线于 点 ． (1)若 ， ，求 的度数； (2)试猜想 、 、 三个角之间存在的等量关系，并证明你的猜想． 【变式3-1】（25-26八年级上·福建福州·期末）如图，在 中，满足 ， 平分 ， P为线段 上的一个动点，过点P作 交 的延长线于点E．(1)若 ， ，求 的度数； (2)当P点在线段 上运动时，试探究 与 ， 之间的等量关系，并证明． 【变式3-2】（25-26八年级上·湖南岳阳·期末）【初步认识】 （1）如图①，在 中， 平分 ， 平分 ．若 ，则 ______；如图②， 平分 ， 平分外角 ，则 与 的数量关系是______； 【继续探索】 （2）如图③， 平分外角 ， 平分外角 ．请探索 与 之间的数量关系； 【拓展应用】 （3）如图④，点P是 两内角平分线的交点，点N是 两外角平分线的交点，延长 交 于点M．在 中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求 的度数． 【变式3-3】（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·期末）【背景】数学兴趣小组在学习对顶角知识时， 发现若两个三角形存在对顶角的关系时，则这两个三角形的内角存在某种关系．对此数学兴趣小组展开探 究． 【发现】（1）如图1，在 和 中，点 为 与 的交点． ①若 ，则 ___________； ②若 ，则 与 之间的数量关系是___________； 【应用】（2）如图2， 在同一直线上， ， 交 于点 ， ．求证： ； （3）如图3，在等腰 中， ， ， 是 边上一点，将 沿 折叠至 ， 的对应边 与 交于点 ，当 为等腰三角形时，直接写出 的度数为___________ 题型四 多边形内角和与外角和问题 【例4】（2026七年级下·全国·专题练习）一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，这个多边形是 边形． 【变式4-1】（25-26八年级下·全国·周测）将正三角形、正五边形和正八边形按如图所示的位置摆放，则 的度数为 ． 【变式4-2】（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）如图，在正五边形 的外部，以 为边作正六边形 ，连结 ，则 的度数为 ．【变式4-3】（25-26九年级上·陕西西安·月考）如图， ， 是四边形 的外角， ， 分别平分 和 且相交于点P．若 ， ，则 ． 题型五 利用等腰（等边）三角形的性质求解 【例5】（25-26八年级上·四川广元·期末）如图，在等腰三角形 中， ， ， 交 于点D， 则 的长为 ． 【变式5-1】（25-26八年级上·湖北孝感·期末）如图，在等边三角形 中， ， 分别是 ， 上 的动点（不在端点），且 ， 交 于点 ，则 的大小为 ． 【变式5-2】（25-26八年级上·湖北恩施·期末）如图，在等腰 中， ， 于点 ，两 动点 ， 分别在线段 、 上运动，若 ，则当 取得最小值时， 的度数为 ．【变式5-3】（25-26八年级上·贵州遵义·期末）如图， 中， ， ，过点 作 交 于 ，过点 作 交 的延长线于 ，若 恰为 的中点，则 的长为 ． 题型六 含30°的直角三角形性质的应用 【例6】（25-26九年级上·江苏无锡·月考）在 中， ， ， ，则 的长为 ． 【变式6-1】（25-26八年级上·广西玉林·期末）如图，有一棵高为15米的松树（垂直于地面）在 处断裂， 松树顶部落在地面 处，通过测量可知 ，则松树断裂处 离地面的距离 的长为 米． 【变式6-2】（25-26八年级上·广东珠海·期末）如图，等边 中， 是 的中点， 于点 ， ，则 ． 【变式6-3】（25-26八年级上·黑龙江牡丹江·期末）已知 是等边三角形，点 在 上，点 在 的延长线上， ， 交 于点 ， ，若 ，且 ，则 的长为 ．题型七 利用垂直平分线的性质求解 【例7】（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图，在 中，点 在 的垂直平分线上， ， 若 ，则 的度数为 ． 【变式7-1】（25-26八年级上·陕西渭南·期末）如图， 是等边三角形， 是 的高， 边的 垂直平分线分别交 于点E、F，若 ，则 的长为 ． 【变式7-2】（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，在 中，以点A为圆心， 的长为半径作弧 交 于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧分别交于点M和点N，连接 交 于点E，若 ， ，则 的周长为 ． 【变式7-3】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图， ， 分别垂直平分 ， ，垂足分别为 ， ，且 ， ， ，连接 ． 的度数为 ．题型八 利用角平分线的性质求解 【例8】（25-26八年级上·上海黄浦·期末）如图，在 中， ，点 是 、 平分线 的交点，且 ， ，则点 到边 的距离为 ． 【变式8-1】（25-26八年级上·广东惠州·期末）如图，在 中， ，以顶点 为圆心，适当长 为半径画弧，分别交 ， 于点 ， ，再分别以点 ， 为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧 在 内部交于点 ，作射线 交 于点 ．若 ， ，则 的长为 ． 【变式8-2】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，在 中， 的平分线交于点D， 于点E， 于点F， 则CE的长为 ．【变式8-3】（25-26八年级下·全国·周测）如图，在 中， ， ， 分别是 和 的平分线， 交 于点 ， 于点 ．若 ， ，则 的面 积是 ． 题型九 全等的性质和HL综合问题 【例9】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，在 中， ，点D为 外一点， ， ，过点D作 于点E，延长 交 于点F． (1)求证： ； (2)若 ， ，求 的长． 【变式9-1】（25-26八年级下·全国·周测）如图， ， ， ， ， 是 上 一点， ． (1)求证： ． (2)若 ， ，求 的长． 【变式9-2】（25-26八年级上·山东济南·期末）如图， ， ， ， ， 交于 点 ．(1)求证： ． (2)若 ，求 的度数． 【变式9-3】（25-26八年级上·江苏连云港·期末）如图， ， 相交于点O， ， 于点 M， ，与 交于点N， ． (1)求证： ； (2)若 ， ， ，求线段 的长． 题型十 垂直平分线与角平分线的综合问题 【例10】在 中 ，AD是 的平分线，DE是线段AB的垂直平分线． (1)求 的大小； (2)求证： ． 【变式10-1】已知：如图， 角平分线与 的垂直平分线 交于点D， ， ，垂 足分别为E、F．(1)求证： ； (2)若 ， ，求 的长． 【变式10-2】如图， 的外角 的平分线交 边的垂直平分线于P点， 于D， 于E． (1)求证： ； (2)若 ， ，求 的长． 【变式10-3】如图，在 中， 是高， ， 是角平分线， 交 于点 ， ， ． (1) ______°； (2)若 ， ，求 的面积； (3)作图：在线段 上求作一点 ，使得 最小（保留作图痕迹）． 题型十一 等腰三角形性质和判定的综合问题 【例11】如图，在四边形 中，对角线 与 交于点 ，已知 ， ， ．(1)试说明： 是等腰三角形； (2)若 ， ，求 的长； (3)若 ， ，求 的度数． 【变式11-1】如图，在等腰 中， ， ，点D在线段 上运动（D不与B、C重 合），连接 ，作 ， 交线段 于点E． (1)当 时， °；点D从点B向点C运动时， 逐渐变 （填“大”或 “小”）； (2)当 等于多少时， ，请说明理由； (3)在点D的运动过程中， 的形状也在改变，判断当 等于多少度时， 是等腰三角形． 【变式11-2】（1）阅读理解：为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小曲在组 内做了如下尝试：如图1， 是 的中线，延长 至点 ，使 ，连接 ．利用全等将边 转化到 ．在这个过程中小曲同学证三角形全等，用到的全等判定方法是 ，另外他还得到了 和 的位置关系是 ； （2）问题解决：如图2， 是 的中线， ，点 在 的延长线上， ，求 证： ； （3）问题拓展：如图3， 中， ， ，点 在线段 上，连接 ， ， ．若点 为 中点， 交 于点 ，求 和 的数量关系．题型十二 等边三角形性质和判定的综合问题 【例12】已知 是等边三角形， 是 的中点，点 在射线 上，点 在射线 上， ． (1)如图①，若点 与点 重合，求证： ； (2)如图②，若点 在线段 上，点 在线段 上， ，求 的值． 【变式12-1】已知， 中， ． (1)如图①，求证： ； (2)如图②， 是 外一点，连接 、 ，且 ，作 的平分线交 于点 ，若 ，则 ________； (3)如图③，在（2）的条件下，连接 交 于点 ，若 ， ，求 的长． 【变式12-2】如图，在 中， ，D为直线 上一动点（不与点B，C重合），在 的右侧作 ，使得 ，连接 ． (1)当D在线段 上时，求证： ． (2)请判断点D在何处时， ，并说明理由． (3)当 时，若 中最小角为 ，直接写出 的度数． 题型十三 等腰（等边）三角形中的动点问题 【例13】如图，在等边三角形 中，点 在直线 上， ，点 是直线 上一动点，以线段 为一 边在其右侧作等边三角形 ，连接 、 ． (1)如图①，当点 在点 右侧时， 的度数是______； (2)如图②，当点 在点 左侧时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，说明理由；若不成立，写出你 认为正确的结论，并说明理由； (3)若条件中的等边三角形改为等腰三角形（如图③）， ， ，且 ， 其它条件不变，在点 运动的过程中，当 时，请直接写出 的度数． 【变式13-1】【问题情境】 在等边 中，射线 平分 ，交 于点O，点E是 上一动点， ， ，连 接 ，CF．【探究发现】 （1）如图Ⅰ，若点E在线段 上． ①求证： ； ②直接写出 与 间的数量关系： ； （2）如图Ⅱ，若点E在射线 上，（1）中 与 间的数量关系是否成立？若成立，说明理由； 若不成立，写出新的数量关系，并进行证明； 【拓广延伸】 （3）如图Ⅲ，点E，D在射线 上， ， ，连接 ，求 的度数． 【变式13-2】综合与实践课上，李老师以“发现−探究−拓展”的形式，培养学生数学思想，训练学生数 学思维．以下是李老师的课堂主题展示： （1）如图，在等腰 中， ，点D为线段 上的一动点（点D不与A，B重合），以 为 边作等腰 ， ， ，连接 ．解答下列问题： 【观察发现】 ①如图11−1，当 时，线段 ， 的数量关系为 ， °； 【类比探究】 ②如图11−2，当 时，试探究线段 与 的位置关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （2）如图11−3，四边形 中， ， ，连接 ，若 ，则四边形 的面积为多少？（直接写出结果）．题型十四 与等腰（等边）三角形有关的新定义型问题 【例14】小普同学在课外阅读时，读到了三角形内有一个特殊点“布洛卡点”，关于“布洛卡点”有很多 重要的结论．小普同学对“布洛卡点”也很感兴趣，决定利用学过的知识和方法研究“布洛卡点”在一些 特殊三角形中的性质．让我们尝试与小普同学一起来研究，完成以下问题的解答或有关的填空． 【阅读定义】如图1， 内有一点P，满足 ，那么点P称为 的“布洛卡 点”，其中 、 、 被称为“布洛卡角”．如图2，当 时，点Q 也是 的“布洛卡点”．一般情况下，任意三角形会有两个“布洛卡点”． 【解决问题】（说明：说理过程可以不写理由） 问题1：等边三角形的“布洛卡点”有 个，“布洛卡角”的度数为 度； 问题2：在等腰三角形 中，已知 ，点M是 的一个“布洛卡点”， 是“布洛卡 角”． （1） 与 的底角有怎样的数量关系？请在图3中，画出必要的点和线段，完成示意图后进行 说理． （2）当 （如图4所示）， 时，求点C到直线 的距离． 【变式14-1】阅读与思考 阅读下列材料，并解决相应的问题． 定义：如图1，线段 把等腰三角形 分成 与 ，如果 与 均为等腰三角形，那 么线段 叫做 的完美分割线． (1)如图1，在 中， ， ， 为 的完美分割线，则 ______ ，______ ． (2)如图2，在 中， ， 为 的完美分割线， ，求 的度数． (3)如图3，在等腰三角形纸片 中， ， 是它的一条完美分割线， ，将 沿 折叠，使点 落在点 处， 交 于点 ，请直接写出图中所有以 为边的等腰三角形． 【变式14-2】问题情境： 定义：如果两个等腰三角形的顶角互补，顶角的顶点又是同一个点，而且这两个等腰三角形的腰也分别相 等，则称这两个三角形互为“顶补等腰三角形”． 特例证明： （1）如图1，若 与 互为“顶补等腰三角形”． ， 于 ， 于 ， 求证： ； 拓展运用： （2）如图2，在四边形 中， ， ， ， ，在四边形 的内部 是否存在点 ，使得 与 互为“顶补等腰三角形”？若存在，请给予证明；若不存在，请说明 理由． 基础巩固通关测 一、单选题 1．（2026·广东中山·模拟预测）若正多边形的一个内角是 ，则该多边形的边数是（ ） A．6 B．12 C．16 D．18 2．（25-26八年级上·福建厦门·期末）如图所示的三等分角仪由两根有槽的棒 ， 组成，两根棒在 点相连并可绕 转动、 点固定， ，点 ， 可在槽中滑动．若 ，则的度数是（ ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·广东佛山·期末）如图，在等腰 中， ，点 在线段 上，过点 作 ，交 延长线于点 ，过点 作 交 于点 ，连接 ．若 ，则 的长为（ ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·湖北孝感·期末）如图，在 中， ， ，以点 为圆心，适当长 为半径画弧分别交 、 于点 和 ，再分别以 为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧交 于点 ，连接 并延长交 于点 ，则下列说法中正确的个数有（ ） ① 是 的平分线； ② ； ③点 在 的垂直平分线上； ④ ．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 5．（25-26八年级上·山东聊城·期末）如图， 为等腰三角形， ，点 是 延长线上的一 点， ，则 的度数为 ． 6．（25-26八年级上·山东滨州·期末）如图，在 中， ， ， ， ， 则 长为 ． 7．（25-26七年级下·全国·周测）如图， 为等边三角形， ， 分别是 ， 上的点， 与 相交于点 ．若 ，则 的度数为 ． 8．（25-26八年级上·福建厦门·期末）如图，在 中， ， ，点 在 上运动，点 是 上一定点．将 沿 所在直线折叠，点 的对应点为点 ，当 时， ．三、解答题 9．（25-26八年级下·全国·周测）如图， ， 和 的平分线交于点 ，连接 ． (1)求证： 平分 ． (2)若 ，求点 到 的距离． 10．（25-26八年级上·湖南邵阳·期末）如图，在 中， 垂直平分 于点 ， 是边 的垂直 平分线交 ， ， 于点 ， ， ，连接 、 ． (1)求证： 为等腰三角形； (2)若 ，求 的度数． 11．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在 中， ， 是边 的中点， 交 于点 ，交 于点 ， 的平分线 在 内交 于点 ，交 于点 ，连接 ． (1)若 ，求 的度数． (2)若 ， ，求 ， 满足的关系式． 12．（25-26八年级上·湖北武汉·期末）已知 为等边三角形，E为 延长线上一点，D为 边上一 点，连 ， ， ． (1)如图 ，若 为 中点，直接写出 ， ， 间的数量关系，不需要说明理由；(2)如图 ， 不是线段 中点，先写出线段 ， ， 间的数量关系，再说明理由； (3)如图 ， 为 中点，连接 ，求证： ． 能力提升进阶练 一、单选题 1．（25-26八年级上·河南洛阳·期末）已知等腰三角形的一个内角为 ，则这个等腰三角形的顶角为 （ ） A． B． C． 或 D． 或 2．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在 中， ，交 于点 ．若 ，则 的长为（ ）A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·浙江台州·期末）如图，在 中， ，点D是 边上的点，若 ， 的角平分线 交 于点E，则 的度数为（ ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·江西赣州·期末）如图， 中， 和 的平分线交于点 ，过点 作 的平行线交 于点 ，交 于点 ．下列结论不一定成立的是（ ） A． B．点 在 的平分线上 C． D．若 ，点 到 的距离为 ，则 5．（25-26八年级上·黑龙江牡丹江·期末）如图，在 中， ， ， ， 点 是 的中点， ，交直线 于点 ， 于点 ， 于点 ．则下列结论： ①△CBD≌△MFD；② ；③ ；④若 ，则 ．其中结论正确的个数是（ ）A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 6．（25-26七年级上·山东威海·期末）在 中，若 ，则 的度数为 ． 7．（25-26八年级上·江苏南京·期末）已知 为等腰三角形， ， ，若 ， 则 ． 8．（25-26八年级上·广东湛江·期末）一个零件的形状如图，按规定 ， ，判断这个 零件是否合格，只要检验 的度数就可以了．量得 ，这个零件 （填“合格”或 “不合格”）． 9．（25-26八年级上·浙江金华·期末）如图，在 中， ， ， 上有一点 ，且 ．过点 作 的垂线交 的延长线于点 ，则 的值为 ． 10．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，一次函数 的图象分别交 轴正半轴于点 ，交 轴正半轴于点 ．作 的平分线交 轴于点 ，点 在 轴上，点 在射线 上，若 是以 为直角边的等腰直角三角形，则点 的坐标为 ．三、解答题 11．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图所示，在 中， ， ， 是边 上 的中线， 的垂直平分线 交 于点E，交 于点F，点G是 上一点，且 ． (1)求证： ； (2)若 ，求 的长． 12．（25-26八年级上·安徽阜阳·期末）如图，在 中， ，且 ， 是 边上动点 （不与 ， 重合），点 在 边上，连接 平分 ． (1)当 为等边三角形时，求 的度数； (2)探究 与 之间的数量关系，并说明理由． 13．（25-26八年级上·福建漳州·期末）综合与实践 数学活动课上，老师带领同学们以等腰直角三角形为背景，探究线段之间的关系．【实践探究】 （1）如图1， 和 均为等腰直角三角形，试判断 与 的数量关系，并说明理由． 【拓展应用】 （2）如图2， 和 中， ， ，D为 上的一点，连结 并延长 交 的延长线于M，若 ， ． ①求证： ②试探究线段 ， ， 之间的数量关系，并说明理由． 14．（25-26八年级上·河北邯郸·期末）【问题情境】如图 ，在 中， ， 是 的中点， 点 ， 分别在边 ， 上，连接 ． 【特例解答】 （1）若 ，求 的度数； （2）在 ； 是 的高线； 既是 的角平分线又是 的高线，能使 为等边三角形的条件是___________； （3）已知 的周长为 ， ，若 与 全等，求出 的长（用含 ， 的式子表示）； 【拓展探究】 （4）当点 ， 分别在射线 ，射线 上（不与点 ， 重合），且满足 时，若 ， ，直接写出 的度数． 15．（25-26八年级上·福建漳州·期末）我们定义： 在一个三角形中，若一个角的度数是另一个角度数的4倍，则这样的三角形称之为“和谐三角形”．如： 三个内角分别为 ， ， 的三角形是“和谐三角形”．【概念理解】 如图1， ，点 在边 上，过点 作 交 于点 ，以 为端点作射线 ，交线 段 于点 （点 不与 ， 重合） （1） 的度数为 ， “和谐三角形”（填“是”或“不是”）； （2）若 ，试说明： 是“和谐三角形”； 【应用拓展】 （3）如图2，点 在 的边 上，连接 ，作 的平分线交 于点 ，在 上取点 ， 使 ， ．若△ 是“和谐三角形”，请直接写出 的度数．