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第 01 讲 等腰三角形的性质与判定(6 类热点题型讲练)
1.经历“探索一发现一猜想一证明”的过程，逐步掌握综合法证明的方法，发展推理能力.
2.进一步了解作为证明基础的几条基本事实的内容，能证明等腰三角形的性质.
3.有意识地培养学生对文字语言、符号语言和图形语言的转换能力，关注证明过程及其表达的合理性.
知识点01 等腰三角形的性质
（1）等腰三角形性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）
（2）等腰三角形性质2：
文字：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称：等腰三角的三线合一）
图形：如下所示；
A
12
B D C
符号：在 中，AB＝AC，
知识点02 等腰三角形的判定
（1）等腰三角形的判定方法1：（定义法）有两条边相等的三角形是等腰三角形；
（2）等腰三角形的判定方法2：有两个角相等的三角形是等腰三角形；(简称：等角对等边)题型01 根据等腰三角形腰相等求第三边或周长
【例题】（2023上·河南商丘·八年级商丘市实验中学校考阶段练习）一个等腰三角形的两条边长分别为
和 ，则第三边的长为 ．
【变式训练】
1．（2023上·甘肃陇南·八年级校考阶段练习）一个等腰三角形有两边分别为 和 ，则周长是
．
2．（2023上·山东潍坊·八年级校考阶段练习）若 ，则以a，b为边长的等腰三角形的周
长为 ．
题型02 根据等腰三角形等边对等角求角的度数
【例题】等腰三角形的底角等于 ，则它的顶角是 ．
【变式训练】
1．一个等腰三角形的两条边长分别为 和 ，则第三边的长为 ．
2．已知等腰三角形一个内角的度数为 ．则这个等腰三角形底角的度数为 ．
题型03 根据等腰三角形三线合一进行求解
【例题】如图，在四边形 中， ， ，对角线 ，则线段 的长
为 ．
【变式训练】
1．如图，在 中， ， 平分 并交 于点 ，则 ．
2．两个同样大小的含 角的三角尺，按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个的直
角顶点重合于点 ，且另三个锐角顶点 ， ， 在同一直线上， 为 中点，已知 ．(1)求 的长．
(2)求 的长．
题型04 根据等腰三角形三线合一进行证明
【例题】如图，点 ， 在 的边 上， ，
(1)若 求 的度数；
(2)求证：
【变式训练】
1．（2023上·山东威海·七年级校联考期中）如图，已知 ，点F是
的中点，连接 ，请判断 与 的位置关系．
2．如图，在 中， ， ， 是 边上的高．线段 的垂直平分线交 于点
E，交 于点F，连接 ．(1)试问：线段 与 的长相等吗？请说明理由；
(2)求 的度数．
题型05 根据等角对等边证明等腰三角形
【例题】（2023上·广西玉林·八年级统考期中）如图，点 在 的延长线上，已知 平分 ，
．求证： 是等腰三角形．
【变式训练】
1．（2023上·安徽合肥·九年级校联考阶段练习）如图， 平分 ， ，且
，请确定 的形状并说明理由．
2．（2023上·吉林松原·八年级校联考期中）如图，在四边形 中， 是 的平分线，，且 ．
求证： 是等腰三角形．
题型06 等腰三角形的性质和判定综合应用
【例题】如图，在 中， ，D是 边的中点，连接 ， 平分 交 于点E．
(1)若 ，求 的度数；
(2)过点E作 交 于点F，求证： 是等腰三角形．
(3)若 平分 的周长， 的周长为15，求 的周长．
【变式训练】
1．如图，在 中， ，D为 延长线上一点， 于点E，交 于点F．
(1)求证： 是等腰三角形
(2)若 ，求线段 的长．
2．如图，将长方形纸片 沿对角线 折叠，使点B落在点E处， ，(1)试判断折叠后重叠部分 的形状，并说明理由．
(2)求重叠部分 的面积．
一、单选题
1．（2023上·河南许昌·八年级统考期中）等腰三角形的一个底角为 ，则这个等腰三角形的顶角为
（ ）．
A． B． C． D． 或
2．（2024下·全国·七年级假期作业）如图，在 中， 为 边上的中线， ，则
的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023上·广东珠海·八年级校考阶段练习）下列条件中，可以判定 是等腰三角形的是（ ）
A． ， B．
C． D．三个角的度数之比是
4．（2023上·广东韶关·八年级统考期中）一个等腰三角形的周长为 ，只知其中一边的长为 ，则
这个等腰三角形的腰长为（ ）
A． B． C． D． 或5．（2023上·山东济宁·八年级统考期中）如图，等腰直角三角形 中， ，D是 的中点，
于点E，交 的延长线于点F，若 ，则 的面积为（ ）
A．16 B．20 C．48 D．32
二、填空题
6．（2024下·全国·七年级假期作业）等腰三角形一边的长是4，另一边的长是8，则它的周长是 ．
7．（2023上·河北廊坊·八年级校考期末）在 中， ，要使 为等腰三角形，写出一个可
添加的条件： ．
8．（2023上·浙江金华·八年级统考阶段练习）“三等分角”是由古希腊人提出来，借助如图所示的“三等
分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒 、 组成．两根棒在 点相连并可绕 转
动， 点固定， ，点 、 在槽中滑动，若 ，则 ．
9．（2022上·黑龙江哈尔滨·八年级统考期末）如图，在 中， ， ，延长 至
D，使 ，延长 至E，使 ，连接 和 ，则 的度数为 ．
10．（2023上·浙江杭州·八年级杭州外国语学校校考期中）如图， 的顶点A，C在直线l上，
， ，若点P在直线l上运动，当 是等腰三角形时， 的度数是
．
三、解答题
11．（2023上·广东汕尾·八年级校联考阶段练习）用一条长为 的细绳围成一个等腰三角形．
(1)如果腰长是底边长的3倍，那么各边的长是多少?(2)能围成有一边的长为 的等腰三角形吗?如果能，请求出另两边长．
12．（2023上·重庆开州·八年级校联考阶段练习）如图，在 和 中， ， ，
， 与 交于点P，点C在 上．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的度数．
13．（2023上·浙江金华·八年级校联考期中）如图，在 中， ， ，点 在
边 上， ， ，垂足为 ，与 交于点 ，
(1)求 的长．
(2)求 的长．
14．（2023上·浙江宁波·八年级统考期末）如图，在 中， ， ，分别交 、 于
点 、 ，点 在 的延长线上，且 ，(1)求证： 是等腰三角形；
(2)连接 ，当 ， ， 的周长为 时，求 的周长．
15．（2023上·湖北武汉·八年级校联考阶段练习）在 中， 是 的中线， 是
的平分线， 交 的延长线于F．
(1)若 ，求 的度数；
(2)求证： 是等腰三角形．
16．（2023上·广东广州·八年级校考期中）如图，点D、E在 的 边上， ， ．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的度数．
17．（2023上·河北石家庄·八年级校考阶段练习）（1）如图1， ， 平分 ，则 的
形状是 三角形；
（2）如图2， 平分 ， ， ，则 ．
（3）如图3，有 中， 是角平分线， 交 于点D．若 ，则 ．
（4）如图4，在 中， 与 的平分线交于点F，过点F作 ，分别交 ， 于点D，E．若 ，则 的周长为 ．
（5）如图，在 中， cm， 分别是 和 的平分线，且 ， 则
的周长是 ．
18．（2023上·福建龙岩·八年级校考期中）概念学习
规定：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角
形”．从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三
角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“等角
三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”．
理解概念：
（1）如图1，在 中， ， ，请写出图中两对“等角三角形”；
概念应用：
（2）如图2，在 中， 为角平分线， ， ．求证： 为 的等角分割线；
动手操作：
（3）在 中，若 ， 是 的等角分割线，请求出所有可能的 的度数．
