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第 01 讲 等腰三角形的性质与判定(6 类热点题型讲练)
1.经历“探索一发现一猜想一证明”的过程，逐步掌握综合法证明的方法，发展推理能力.
2.进一步了解作为证明基础的几条基本事实的内容，能证明等腰三角形的性质.
3.有意识地培养学生对文字语言、符号语言和图形语言的转换能力，关注证明过程及其表达的合理性.
知识点01 等腰三角形的性质
（1）等腰三角形性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）
（2）等腰三角形性质2：
文字：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称：等腰三角的三线合一）
图形：如下所示；
A
12
B D C
符号：在 中，AB＝AC，
知识点02 等腰三角形的判定
（1）等腰三角形的判定方法1：（定义法）有两条边相等的三角形是等腰三角形；
（2）等腰三角形的判定方法2：有两个角相等的三角形是等腰三角形；(简称：等角对等边)题型01 根据等腰三角形腰相等求第三边或周长
【例题】（2023上·河南商丘·八年级商丘市实验中学校考阶段练习）一个等腰三角形的两条边长分别为
和 ，则第三边的长为 ．
【答案】8
【分析】本题考查等腰三角形的性质及三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种
情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，是解题的关键．
【详解】解：①若一腰长为 ，则底边为 ，则第三边的长为 ，
，故能组成三角形；
②若一腰长为 ，则底边为 ，则第三边的长为 ，
，故不能组成三角形．
故答案为：8．
【变式训练】
1．（2023上·甘肃陇南·八年级校考阶段练习）一个等腰三角形有两边分别为 和 ，则周长是
．
【答案】19
【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系．等腰三角形两边的长为 和 ，具体哪
条是底边，哪条是腰没有明确说明，因此要分两种情况讨论．
【详解】解：①当腰是 ，底边是 时： ，不满足三角形的三边关系，因此舍去．
②当底边是 ，腰长是 时， ，能构成三角形，
则其周长 ．
故答案为：19．
2．（2023上·山东潍坊·八年级校考阶段练习）若 ，则以a，b为边长的等腰三角形的周
长为 ．
【答案】 或
【分析】本题考查了等腰三角形的概念，非负数的性质，以及三角形的三边关系，注意利用分类讨论思想
解题．
根据非负数的和为零，可得每个非负数同时为零，可得a，b的值，根据等腰三角形的概念进行分类讨论，
可得答案．
【详解】解：∵ ，且 ， ，
∴ ， ，
解得： ， ，
当4为等腰三角形的腰长，5为等腰三角形的底边时，则等腰三角形的周长为 ，当5为等腰三角形的腰长，4为等腰三角形的底边时，则等腰三角形的周长为 ，
故答案为： 或 ．
题型02 根据等腰三角形等边对等角求角的度数
【例题】等腰三角形的底角等于 ，则它的顶角是 ．
【答案】100
【详解】解： 等腰三角形的底角等于 ，
又等腰三角形的底角相等，
顶角等于 ．
故答案为：100．
【变式训练】
1．一个等腰三角形的两条边长分别为 和 ，则第三边的长为 ．
【答案】8
【详解】解：①若一腰长为 ，则底边为 ，则第三边的长为 ，
，故能组成三角形；
②若一腰长为 ，则底边为 ，则第三边的长为 ，
，故不能组成三角形．
故答案为：8．
2．已知等腰三角形一个内角的度数为 ．则这个等腰三角形底角的度数为 ．
【答案】 或
【详解】解：分两种情况：
当 的角为等腰三角形的顶角时，
底角的度数 ；
当 的角为等腰三角形的底角时，其底角为 ，
故它的底角度数是 或 ．
故答案为： 或 ．
题型03 根据等腰三角形三线合一进行求解
【例题】如图，在四边形 中， ， ，对角线 ，则线段 的长
为 ．【答案】
【详解】解：如图，作 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
根据勾股定理， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
【变式训练】
1．如图，在 中， ， 平分 并交 于点 ，则 ．
【答案】10
【详解】解： ， 平分 ，
，，
故答案为：10．
2．两个同样大小的含 角的三角尺，按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个的直
角顶点重合于点 ，且另三个锐角顶点 ， ， 在同一直线上， 为 中点，已知 ．
(1)求 的长．
(2)求 的长．
【详解】（1）解：连接 ，如下图，
根据题意， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ 为 中点，
∴ ，且 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）根据题意， ，
又∵ ， ，
∴在 中， ，
∴ ．
题型04 根据等腰三角形三线合一进行证明
【例题】如图，点 ， 在 的边 上， ，(1)若 求 的度数；
(2)求证：
【详解】（1）解：∵ ， ， ，
∴ ，
，
∴ ，
（2）过点 作 于 .
∵ ，
∴ ，
∴ .
【变式训练】
1．（2023上·山东威海·七年级校联考期中）如图，已知 ，点F是
的中点，连接 ，请判断 与 的位置关系．
【答案】垂直
【分析】此题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形三线合一的性质：连接 ，证明
，得到 ，根据等腰三角形三线合一的性质得到 ，熟练掌握全等三角形的
判定定理及等腰三角形的性质是解题的关键．
【详解】答：
连接∵
∴
∴
又∵点F是 的中点
∴ ．
2．如图，在 中， ， ， 是 边上的高．线段 的垂直平分线交 于点
E，交 于点F，连接 ．
(1)试问：线段 与 的长相等吗？请说明理由；
(2)求 的度数．
【详解】（1）解：线段 与 的长相等，理由如下：
连接 ，如图所示：
∵ ， 是 边上的高，
∴ ，
∴ 为 的垂直平分线，
∵点 在 上，
∴ ，
又∵线段 的垂直平分线交 于点E，交 于点F，∴ ，
∴ ；
（2）解：∵ ， ，
∴ ，
∵ 是 边上的高，
∴ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
题型05 根据等角对等边证明等腰三角形
【例题】（2023上·广西玉林·八年级统考期中）如图，点 在 的延长线上，已知 平分 ，
．求证： 是等腰三角形．
【答案】证明见解析
【分析】本题主要考查了等角对等边，平行线的性质与角平分线的定义，先根据平行线的性质得到
，再由角平分线的定义和等量代换得到 ，即可证明 是等腰三角
形．
【详解】证明：∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰三角形．
【变式训练】
1．（2023上·安徽合肥·九年级校联考阶段练习）如图， 平分 ， ，且，请确定 的形状并说明理由．
【答案】 是等腰三角形，理由见解析
【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定，三角形外角的性质，角平分线的定义，设 ，则
， ，由角平分线的定义得到 ，再由三角形外角的性质得到
， ，根据 得到 ，则可求出
，由此可得结论．
【详解】解： 是等腰三角形，理由如下：
设 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰三角形．
2．（2023上·吉林松原·八年级校联考期中）如图，在四边形 中， 是 的平分线，
，且 ．
求证： 是等腰三角形．【答案】证明见解析
【分析】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的性质和判定，证明 是解题的关键；
根据角平分线的定义可得，以及直线平行的性质证明 ，再根据等角对等边可得证得；
【详解】证明：∵ ，
，
，
∴ ，
又∵ 是 的平分线，
，
∴ ，
∴ ，
即 是等腰三角形．
题型06 等腰三角形的性质和判定综合应用
【例题】如图，在 中， ，D是 边的中点，连接 ， 平分 交 于点E．
(1)若 ，求 的度数；
(2)过点E作 交 于点F，求证： 是等腰三角形．
(3)若 平分 的周长， 的周长为15，求 的周长．
【详解】（1）解： ，
，
∵ ，
∴ ，
， 为 的中点，
，
，
∴ ；
（2）证明： 平分 ，，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
，
是等腰三角形；
（3）解： 的周长为15，
，
，
，
即 ，
平分 的周长，
，
的周长 ．
【变式训练】
1．如图，在 中， ，D为 延长线上一点， 于点E，交 于点F．
(1)求证： 是等腰三角形
(2)若 ，求线段 的长．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰三角形；
（2）∵ ， ，∴ ，
∵ ，
∴ ．
2．如图，将长方形纸片 沿对角线 折叠，使点B落在点E处， ，
(1)试判断折叠后重叠部分 的形状，并说明理由．
(2)求重叠部分 的面积．
【详解】（1）解： 是等腰三角形．理由如下：
∵四边形 是长方形，
∴ ，
∴ ，
由图形折叠的性质可知： ，
∴ ．
∴ 是等腰三角形；
（2）解：设 ，则 ，
在 中，
，
解得： ，
∴ ，
∴ ．
故重叠部分 的面积为10．一、单选题
1．（2023上·河南许昌·八年级统考期中）等腰三角形的一个底角为 ，则这个等腰三角形的顶角为
（ ）．
A． B． C． D． 或
【答案】A
【分析】本题主要查了等腰三角形的性质．根据“等腰三角形两底角相等”，即可求解．
【详解】解：∵等腰三角形的一个底角为 ，
∴等腰三角形的顶角为 ．
故选：A
2．（2024下·全国·七年级假期作业）如图，在 中， 为 边上的中线， ，则
的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】略
3．（2023上·广东珠海·八年级校考阶段练习）下列条件中，可以判定 是等腰三角形的是（ ）
A． ， B．
C． D．三个角的度数之比是
【答案】D
【分析】本题考查了等腰三角形的判定，三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的判定是解题的关键．
利用三角形内角和定理，等腰三角形的判定，进行计算并逐一判断即可解答．
【详解】解：A．∵ ， ，
∴ ，
∴ 不是等腰三角形，
故选项A错误；
B．∵ ， ，
∴ ， ， ，
∴ 不是等腰三角形，
故选项B错误；
C．∵ ， ，
∴ ，∴ ，
而无法判断 与 的大小，
∴ 不是等腰三角形，
故选项C错误；
D．∵三个角的度数之比是 ，
∴三个角的度数分别是 ， ， ，
∴ 是等腰三角形，
故选项D错误；
故选：D．
4．（2023上·广东韶关·八年级统考期中）一个等腰三角形的周长为 ，只知其中一边的长为 ，则
这个等腰三角形的腰长为（ ）
A． B． C． D． 或
【答案】D
【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；分为两种情况： 是等腰三角形的腰或
是等腰三角形的底边，然后进一步根据三角形的三边关系进行分析能否构成三角形．
【详解】解： 若 为等腰三角形的腰长，则底边长为： ，此时三角形的三边长分别为
， ， ，符合三角形的三边关系；
若 为等腰三角形的底边，则腰长为： ，此时三角形的三边长分别为 ， ，
，符合三角形的三边关系；
该等腰三角形的腰长为 或 ，
故选：D．
5．（2023上·山东济宁·八年级统考期中）如图，等腰直角三角形 中， ，D是 的中点，
于点E，交 的延长线于点F，若 ，则 的面积为（ ）
A．16 B．20 C．48 D．32
【答案】A
【分析】此题考查的是全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，解题关键是掌握并会运用全等三角
形的判定与性质、等腰三角形性质定理．
先得出 ，根据 可证 ，推出 ；然后可得出
，进而得到 长，求出 、 长；再根据三角形的面积公式得出 的面积等于 ，代入求出即可．
【详解】 ，
，
，
，
， ， ，
．
在 和 中
，
，
．
， 为 中点，
．
，
，
，
，
的面积是 ．
故选：A．
二、填空题
6．（2024下·全国·七年级假期作业）等腰三角形一边的长是4，另一边的长是8，则它的周长是 ．
【答案】20
【解析】略
7．（2023上·河北廊坊·八年级校考期末）在 中， ，要使 为等腰三角形，写出一个可
添加的条件： ．
【答案】 （或 ）
【分析】本题考查的是等腰三角形的定义，等腰三角形的判定，熟记等腰三角形的定义与判定方法是解本
题的关键．
【详解】解：∵ 中， ，要使 为等腰三角形，
∴可添加 （或 ）．
故答案为： （或 ）
8．（2023上·浙江金华·八年级统考阶段练习）“三等分角”是由古希腊人提出来，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒 、 组成．两根棒在 点相连并可绕 转
动， 点固定， ，点 、 在槽中滑动，若 ，则 ．
【答案】 /28度
【分析】本题考查了等腰三角形的性质以及三角形外角性质，理清各个角之间的关系是解答本题的关键．
由等腰三角形的性质得 ，由三角形外角的性质得 ，然后根据
即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
故答案为： ．
9．（2022上·黑龙江哈尔滨·八年级统考期末）如图，在 中， ， ，延长 至
D，使 ，延长 至E，使 ，连接 和 ，则 的度数为 ．
【答案】 /117度
【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理与外角的性质，根据等边对等角可得
， ， ，再结合三角形外角的性质，可得
， ，由此可解．
【详解】解： 中， ， ，
，
， ，
， ，
又 ， ，
， ，．
故答案为： ．
10．（2023上·浙江杭州·八年级杭州外国语学校校考期中）如图， 的顶点A，C在直线l上，
， ，若点P在直线l上运动，当 是等腰三角形时， 的度数是
．
【答案】 ， ， 或
【详解】本题考查了等腰三角形的性质，先利用三角形内角和定理可得： ，分三种情况：当
时；当 时；当 时，分别讨论是解题的关键．
解：∵ ， ，
∴ ，
分三种情况：
当 时，若点P在 的延长线上，如图：
+
∵ 是 的一个外角，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
当 时，若点P在 上，如图：
∵ ， ，
∴ ；
当 时，如图：∵ ，
∴ ，
∴ ；
当 时，如图：
∵ ，
∴ ；
综上所述：当 是等腰三角形时， 的度数是 ， ， 或 ，
故答案为： ， ， 或 ．
三、解答题
11．（2023上·广东汕尾·八年级校联考阶段练习）用一条长为 的细绳围成一个等腰三角形．
(1)如果腰长是底边长的3倍，那么各边的长是多少?
(2)能围成有一边的长为 的等腰三角形吗?如果能，请求出另两边长．
【答案】(1)三角形的三边分别为
(2)能围成一个底边是 ，腰长是 的等腰三角形
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的周长，难点在于要分情况讨论并利用三角形的三边关系
进行判断．
（1）设底边长为 ，表示出腰长，然后根据周长列出方程求解即可；
（2）分5是底边和腰长两种情况讨论求解．
【详解】（1）设底边长为 ，则腰长为 ，
根据题意得， ，
解得 ；
则
三角形的三边分别为 ．
（2）①若 为底时，腰长 ，
三角形的三边分别为 ，能围成三角形
②若 为腰时，底边 ，三角形的三边分别为 ，
，
不能围成三角形，
综上所述，能围成一个底边是 ，腰长是 的等腰三角形．
12．（2023上·重庆开州·八年级校联考阶段练习）如图，在 和 中， ， ，
， 与 交于点P，点C在 上．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，等边对等角，证明
是解题的关键．
（1）根据 证明 ，由全等三角形的性质得出结论；
（2）由三角形外角的性质求出 ，由（1）知 ，由等腰三角形的性质可求出答案．
【详解】（1）∵ ，
∴ ，
即 ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ．
（2）∵ ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
由（1）知 ，∴ ．
13．（2023上·浙江金华·八年级校联考期中）如图，在 中， ， ，点 在
边 上， ， ，垂足为 ，与 交于点 ，
(1)求 的长．
(2)求 的长．
【答案】(1)4
(2)5
【分析】本题考查了勾股定理、三角形全等的判定与性质、等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识点，添
加适当的辅助线是解此题的关键．
（1）先由勾股定理计算得出 ，再由 ， ，计算即可得出答案；
（2）连接 ，证明 得到 ， ，设 ，则
，由勾股定理可得： ，即 ，求出 的值即可．
【详解】（1）解： 在 中， ， ，
，
，
；
（2）解：如图，连接 ，
，
， ，
平分 ，
，
在 和 中，
，，
， ，
设 ，则 ，
由勾股定理可得： ，
，
解得： ，
．
14．（2023上·浙江宁波·八年级统考期末）如图，在 中， ， ，分别交 、 于
点 、 ，点 在 的延长线上，且 ，
(1)求证： 是等腰三角形；
(2)连接 ，当 ， ， 的周长为 时，求 的周长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，掌握等腰三角形的性质，等腰三角形的三线合一，是解答
本题的关键．
（1）利用等腰三角形的性质得到 ，然后推出 ， ，结合已知条件，得
到结论．
（2）根据等腰三角形的三线合一，得到 ，根据 的周长 ，利用已
知条件，求出答案．
【详解】（1）证明：根据题意得：
在 中， ，
，
，
，
，
，
，
，
是等腰三角形．（2）解：如图，连接 ，
当 时，
，
，
的周长 ， ， ，
的周长 的周长 ．
15．（2023上·湖北武汉·八年级校联考阶段练习）在 中， 是 的中线， 是
的平分线， 交 的延长线于F．
(1)若 ，求 的度数；
(2)求证： 是等腰三角形．
【答案】(1)60度
(2)见解析
【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、角平分线的定义、平行线的性质：
（1）根据等腰三角形的“三线合一”，即可作答．
（2）先由角平分线的定义得 ，结合 ，得 ，因为角的等量代换，
即可作答．
【详解】（1）解：∵ 是 的中线，
∴ ；
（2）证明：∵ 是 的平分线
∴
∵
∴
∴ ，∴
∴ 是等腰三角形．
16．（2023上·广东广州·八年级校考期中）如图，点D、E在 的 边上， ， ．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）作 于点 ，利用等腰三角形三线合一的性质得到 ,相减后即可得
到正确的结论.
（2）由等腰三角形三线合一的性质得到 ， ，即可得到 ，设
，根据三角形的内角和定理可得 ，解题即可．
【详解】（1）过点 作 于 .
∵ .
∴ ,
∴ .
（2）∵ ， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
设 ，则 ，
∴ ，
根据三角形的内角和可得 ，解得： ，
∴ ，
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，方程思想，熟练掌握等腰三角形的三线合一
是解答此题的关键．
17．（2023上·河北石家庄·八年级校考阶段练习）（1）如图1， ， 平分 ，则 的
形状是 三角形；
（2）如图2， 平分 ， ， ，则 ．
（3）如图3，有 中， 是角平分线， 交 于点D．若 ，则 ．
（4）如图4，在 中， 与 的平分线交于点F，过点F作 ，分别交 ， 于
点D，E．若 ，则 的周长为 ．
（5）如图，在 中， cm， 分别是 和 的平分线，且 ， 则
的周长是 ．
【答案】（1）等腰；（2）3；（3）12；（4）30；（5）5cm
【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，对角对等边．
（1）平行线的性质结合角平分线平分角，得到 ，即可得出结果；
（2）平行线的性质结合角平分线平分角，得到 ，进而得到 即可；
（3）同法（2）可得： ，利用 ，求解即可；
（4）同法（2）得到 ，推出 的周长等于 ，即可得出结果；
（5）同法（2）得到 ，推出 的周长等于 的长即可．
掌握平行线加角平分线往往存在等腰三角形，是解题的关键．
【详解】解：（1）∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰三角形；
故答案为：等腰；
（2）∵ 平分 ， ，
∴ ，∴ ，
∴ ；
故答案为：3；
（3）同法（2）可得： ，
∴ ；
故答案为：12；
（4）同法（2）可得： ，
∴ 的周长 ；
故答案为：30；
（5）同法（2）可得： ，
∴ 的周长 ；
故答案为：5cm．
18．（2023上·福建龙岩·八年级校考期中）概念学习
规定：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角
形”．从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三
角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“等角
三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”．
理解概念：
（1）如图1，在 中， ， ，请写出图中两对“等角三角形”；
概念应用：
（2）如图2，在 中， 为角平分线， ， ．求证： 为 的等角分割线；
动手操作：
（3）在 中，若 ， 是 的等角分割线，请求出所有可能的 的度数．
【答案】（1） 与 ， 与 ， 与 是“等角三角形”；（2）见解析；
（3） 或 或 或
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，等腰三角形的性质与判定，三角形外角的性质等等，正确理
解题意利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
（1）根据垂线的定义和三角形内角和定理分别证明 ，
即可得到结论；（2）先利用三角形内角和定理求出 ，则由角平分线的性质得到 ，则
， ，可证明 ，再求出 ，得到 ，由此即可证明
为 的等角分割线；
（3）分当 是等腰三角形， 时，当 是等腰三角形， 时，当 是等腰三角
形， 时，当 是等腰三角形， 时，当 是等腰三角形， 时，五种情
况根据三角形内角和定理以及三角形外角的性质和等边对等角进行讨论求解即可．
【详解】解：（1）∵在 中， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 与 ， 与 ， 与 是“等角三角形”；
（2）∵在 中， ，
∴ ，
∵ 为角平分线，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
在 中， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ， ， ，
∴ 为 的等角分割线；
（3）当 是等腰三角形， 时，如图，则 ，
∴ ；
当 是等腰三角形， 时，如图，
则 ， ，
∴ ；
当 是等腰三角形， 的情况不存在；
当 是等腰三角形， 时，如图，
则 ，
∴ ；
当 是等腰三角形， 时，如图，
则 ，
设 ，则 ，
则 ，
由题意得， ，
解得， ，
∴ ，∴ ，
综上所述： 的度数为 或 或 或 ．
