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第 01 讲 等腰三角形的性质与判定
课程标准 学习目标
1.经历“探索一发现一猜想一证明”的过程，逐步掌握综合法证明的方法，
发展推理能力.
①推理能力
2.进一步了解作为证明基础的几条基本事实的内容，能证明等腰三角形的性
②等腰三角形的性质
质.
③等腰三角形的判定
3.有意识地培养学生对文字语言、符号语言和图形语言的转换能力，关注证
明过程及其表达的合理性.
知识点01 等腰三角形的性质
性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）．
等腰三角形的其他性质：
（1）等腰三角形两腰上的中线、高分别相等．（2）等腰三角形两底角的平分线相等．
（3）等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高．
（4）当等腰三角形的顶角为90°时，此等腰三角形为等腰直角三角形，它的两条直角边相等，两个锐角
都是45°．
【即学即练1】（24-25八年级上·湖南岳阳·期中）在等腰三角形 中， ，则 ，
如果 ， ．
【即学即练2】（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图， 中， ， ，AD
是中线， ，则 是 度．
【即学即练3】（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在 中， ， 是 的平分
线交 于点 ， ， ， ，则 ．
知识点02 等腰三角形的判定
判定等腰三角形的方法：
（1）定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形；
（2）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．
数学语言：在△ABC中，∵∠B=∠C，∴AB=AC（等角对等边）．
【注意】
（1）“等角对等边”不能叙述为：如果一个三角形有两个底角相等，那么它的两腰也相等．因为在没有
判定出它是等腰三角形之前，不能用“底角”“腰”这些名词，只有等腰三角形才有“底角”“腰”．
（2）“等角对等边”与“等边对等角”的区别：由两边相等得出它们所对的角相等，是等腰三角形的性
质；由三角形有两角相等得出它是等腰三角形，是等腰三角形的判定．
【即学即练1】（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，在 中， ， 是 的平分线，
，交 于点E，且 ．
(1)求证： 是等腰三角形；
(2)求 的度数．
【即学即练2】（23-24八年级上·浙江杭州·期中）如图，在锐角 中，点E是 边上一点，
， 于点D， 与 交于点G．(1)求证： 是等腰三角形．
(2)若 ，G为 中点，求 的长．
题型01 根据等腰三角形等边对等角求角的度数
例题：（24-25八年级上·江苏淮安·阶段练习）等腰三角形的顶角为 ，底角的度数为 ．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·河南漯河·期中）一个等腰三角形的内角为 ，则其顶角的度数为 ．
2．（24-25八年级上·广东东莞·阶段练习）等腰三角形中一个角为 ，则这个等腰三角形的顶角的度数为
．
3．（23-24八年级上·全国·课后作业）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 ，则该等腰三角形顶角
的度数为 ．
题型02 根据等腰三角形腰相等求第三边或周长
例题：（24-25八年级上·全国·随堂练习）已知一个三角形的两边长分别是2和5，且第三边为奇数，则第
三边长为 ．按边分类，这个三角形是 三角形．
【变式训练】
1．（24-25七年级上·山东济南·期中）等腰三角形的两边长为7和16，则它的周长为 ．
2．（24-25八年级上·内蒙古兴安盟·期中）若一个等腰三角形的周长为26，一边长为8，则它的腰长
．
3．（2023·四川达州·模拟预测）已知实数 ， 满足 ，则以 ， 的值为两边长的等腰三
角形的周长为 ．
题型03 根据等角对等边求边的长度
例题：（24-25八年级上·全国·期末）如图，在 中， 的平分线相交于点
O， 过点O，且 ，分别交 于点M、N．则 的周长为 ．【变式训练】
1．（24-25九年级上·重庆·期中）如图，在 中， ， ， 平分 交 于点 ，
若 ，则 的长度为 ．
2．（24-25八年级上·湖北荆州·期中）如图，在 中， ， 交 于点 ，
，则 ．
3．（24-25八年级上·湖北襄阳·期中）在 中，点D，E分别在 上， ， 的平
分线交 于点F， 的平分线交 于点G，若 ，则 的长是 ．
题型04 根据等腰三角形三线合一进行求解
例题：（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知在 中， 是 边上的高，垂足为点 ，
点 在射线 上，连接 ，若 ， ， ，则 ．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·全国·期末）如图，在 中， ， ， 于 ，则BD的长为
．
2．（24-25八年级上·云南曲靖·阶段练习）如图， ， ，若 ，则 的度数为
．3．（24-25八年级上·山西大同·期中）如图，在 中，点E是边 上一点，连接 ，且 ，
过点E作 于点D，若 的周长为20， ，则 的周长为 ．
题型05 根据等腰三角形三线合一进行证明
例题：（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）已知，如图 ， ， ， 平分
，求证： ．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·四川绵阳·期中）如图， 是等腰直角三角形， ，D为斜边 的中点，
E，F分别为 边上的点，且 ．若 ， ．求 的长．
2．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）如图，在 中， ，点 是 的中点，点
在 的延长线上，点 在 的延长线上， ．(1)求证： ；
(2)连接 ，若 ，求 的值．
3．（23-24八年级上·湖北荆门·期末）如图， 中， ．
(1)求 的面积；
(2)点E，D分别为 上的点，且满是 ．判断 和 的大小关系，并证明你的结论．
题型06 与等腰三角形的定义有关的多解题
例题：（24-25八年级上·青海海东·期中）如图， ，点 A 是 的反向延长线上的一点，
，动点P从点A出发沿射线 以 的速度移动，动点Q从点O出发沿射线 以
的速度移动，如果点P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间，当 时， 是等腰三角形．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·河南驻马店·期中）如图，已知直线 与 轴、 轴分别交于点 、A，在第
一象限内，存在点 ，使得 是以 为腰的等腰直角三角形，则点 的坐标是 ．
2．（24-25八年级上·河南驻马店·期中）如图，点 是射线 上一点， ， ，动点从点 开始出发沿射线 的方向以 的速度运动，动点 从点 出发沿射线 以 的速度
运动，点 ， 同时出发，设运动时间为 ，则当 为等腰三角形时，运动时间 的值为
．
3．（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，直线 ， 相交于点 ， ，点 是直线 上的一个定
点，点 在直线 上运动，若以点 ， ， 为顶点的三角形是等腰三角形，则 的度数是
．
题型07 根据等角对等边证明等腰三角形
例题：（24-25八年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，在 中， ，以 为边，作 ，
满足 ，点 为 上一点，连接 ， ，连接DE．下列结论中正确的是（ ）
① ；② ；③若 ，则 ；④ ．
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④
【变式训练】
1．（24-25八年级上·全国·期末）已知，如图， 为 的角平分线，且 ，E为 延长线上
的一点， ，过E作 ，F为垂足，下列结论：① ；② ；
③ ；④ ，其中正确的是（ ）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
2．（24-25八年级上·全国·阶段练习）如图，在 中， ， ， 是AB边上的中点，
点 ， 分别是 ， 边上的动点，DE与 相交于点 ，且 ．以下 个结论：①图中
共有 对全等三角形；② ；③ ；④ ．其中不正确的结论有
（ ）个
A． B． C． D．
3．（24-25八年级上·福建泉州·期末）如图，等腰 中， ，D、E分别在线段 、
上， ， 和 交于点N， 交 于点F， 交 于点M，交 的延长线于点
G．下列说法：① ；② ；③ ；④ ；⑤
．其中正确的是 ．
题型08 与等腰三角形性质和判定的多结论题
例题：（24-25八年级上·全国·期末）如图，在 中， 平分 ，过线段 上一点E作
，交 于点F，交 的延长线于点G．
(1)求证： 是等腰三角形．(2)若 ， ，求 的度数．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·辽宁辽阳·期中）如图1，在 中， 和 的平分线相交于点 ，过点
作 ，分别交 和 于点 和 ．
(1)求证： 是等腰三角形．
(2)若 ， ，求 的周长．
2．（24-25八年级上·江西南昌·期中）如图，在 中，点D为AB上一点，点E为 的中点，连接
DE并延长到点F使得 ，连接CF．
(1)求证： ；
(2)若 平分 ，求证： 为等腰三角形．
3．（24-25八年级上·江西吉安·期中）如图，长方形纸片 ， ， ，现将该纸片折叠，
使点C与点A重合，折痕为 ，
(1)试判断 的形状，并说明理由；
(2)求线段 的长；
(3)求折痕 的长．
题型09 等腰三角形的性质和判定综合应用例题：（24-25八年级上·云南昭通·期中）如图，在 中， ，点 在边CB上，且
．
(1)如图1， ____ ， ____ ．
(2)如图2，若 为线段 上的点，过点 作直线 于点 ，分别交直线AB、 于点 、 ．
①求证： 是等腰三角形．
②试猜想线段 、CE、CD之间的数量关系，并加以证明．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·全国·期中）如图，已知等腰 中， ，D为 外一点，且 ，
．
(1)如图1，当 ，求 ；
(2)如图2，作 于E交 于F，当 ， ， ，求 ；
(3)若 ，且 是等腰三角形，求 的值．
2．（24-25八年级上·北京·阶段练习）在 中， ， ， 是 边的中线，
是 边上一点， ， 交 于点 ．
(1)如图①，判断 的形状并证明；
(2)如图②， ，①补全图形；
②用等式表示 ， ， 之间的数量关系并证明．
3．（24-25八年级上·云南昭通·期中）在 中， ， ， 的平分线 交边
于点D．
(1)如图1，求证： 为等腰三角形；
(2)如图2，若 的平分线 交边 于点E，在 上截取 ，连接 ，求证： ；
(3)如图3，若 外角的平分线 交 延长线于点E，求证： ．
一、单选题
1．（24-25八年级上·全国·期末）等腰三角形一边长等于 ，一边长等于 ，则它的周长是 （ ）
A．6 B．10 C．8或10 D．8
2．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如果等腰三角形的一个角是 ，则它的顶角度数是（ ）
A． B． 或 C． 或 D．
3．（24-25八年级上·山东日照·阶段练习）如图，在三角形 中，过点 ， 作 ， ，
BD， 交于点 ，若 ， ， ，则线段 的长度为( )A．2 B． C．3 D．
4．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借
助如图所示的“三等分角仪“能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒 、 组成，两根棒在
点相连并可绕 转动， 点固定， ，点 、 可在槽中滑动，若 ，则
的度数是（ ）
A． B．72° C． D．
5．（24-25八年级上·四川南充·期中）如图，在 中， ， 是 上的一点，在 上分
别截取 ，连接 ．有下列结论：① ；②
；③ ；④ ．其中正确结论的序号是（ ）
A．①② B．②④ C．①②③ D．①②④
二、填空题
6．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）等腰三角形的周长为20，其中一边为5，则另两边的长分别为
．
7．（24-25八年级上·全国·期末）如图，在 中， ， ， 是 的平分线，则
．
8．（24-25八年级上·全国·期末） 中， ．若 边上的高 ，则底边 ．9．（24-25九年级下·全国·期中）如图，在 中， 是 的平分线，M是
的中点， 交 于F，交 的延长线于E．则
10．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等
腰三角形的“特征值”若等腰 中， ，则它的特征值 ．
三、解答题
11．（24-25八年级上·广西南宁·期中）如图，厂房屋顶钢架是等腰三角形，其中 ，立柱 ，
且顶角 ．求 和 的度数．
12．（23-24八年级上·山西大同·阶段练习）已知：如图 中， ， ， 平分
， 平分 ，过 作直线平行于 ，交 ， 于 ， ．
(1)求证： 是等腰三角形；
(2)求 的周长．
13．（23-24八年级上·河南商丘·阶段练习）如图，已知点D，E分别是 的边 和 延长线上的点，
平分 ，且 ．
(1)判断 的形状并说明理由；
(2) 平分 交 于点G，若 ，求 的度数．
14．（23-24八年级下·陕西商洛·阶段练习）如图，在 中， ， ， ，点 从点 出发，沿射线 以每秒2个单位长度的速度运动．设点 的运动时间为 秒 ．
(1)若点 在 的角平分线上，求 的值；
(2)在整个运动中，求出当 是等腰三角形时 的值．
15．（23-24八年级上·陕西安康·期末）如图，在 中， ，点 是 上一点， 于点
， 于点 ．
(1)若点 是 的中点，求证： ；
(2)若 ，求 的度数．
16．（22-23七年级上·陕西咸阳·期末）如图，在四边形 中，对角线 与 交于点D，已知
．
(1)试说明： 是等腰三角形；
(2)若 ，求 的长；
(3)若 ，求 的度数．
17．（23-24八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在直角坐标系中，长方形纸片 的边 ，点
B坐标为 ，若把图形按如图所示折叠，使B、D两点重合，折痕为 ．(1)求证： 为等腰三角形；
(2)求三角形 面积；
(3)求 的函数表达式．
18．（2024·甘肃兰州·模拟预测）综合与实践
【思考尝试】（1）如图1，在 和 中，D是 边上的一点，
，连接 ．用等式写出线段 的数量关系，并说明
理由；
【实践探究】（2）小睿受此问题启发，思考提出新的问题：如图2，在 中， ，
E，F为边 上的点，且 ．用等式写出线段 的数量关系，并说明理由；
【拓展迁移】（3）小博深入研究小睿提出的问题，发现并提出新的探究点：如图3，在 中，
为直角， ，平面内存在一点D，使 ．若 ， ，求 的面积．
