文档内容
第一章 三角形的证明
1.2 直角三角形
第1课时 直角三角形的性质与判定
学习目标：
1．复习直角三角形的相关知识，归纳并掌握直角三角形的性质和判定；
2．学习并掌握勾股定理及其逆定理，能够运用其解决问题．(重点，难点)
自主学习
一、情境导入
问题：前面我们探究过直角三角形的哪些性质？
合作探究
一、要点探究
知识点一：直角三角形的性质与判定
问题1：直角三角形的两个锐角有怎样的关系？为什么？
问题2：如果一个三角形有两个角互余，那么这个三角形是直角三角形吗? 为什么?
1总结：
定理1
定理2
上面两个定理的条件和结论有什么关系？
知识点二：勾股定理及其逆定理
勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. 即 a2 + b2 = c2. 勾股定理在
西方文献中又称为毕达哥拉斯定理.
证明欣赏
证法1 毕达哥拉斯证法
证法2 赵爽弦图
大正方形的面积可以表示为 ；
也可以表示为 ．
勾股定理反过来，怎么叙述呢？
这个命题是真命题吗？为什么？
2例1 证明此命题：
已知：
求证：
归纳总结：
勾股定理：
定理：
知识点三：互逆命题与互逆定理
合作探究：
观察上面第一个定理和第二个定理，它们的条件和结论之间有怎样的关系？
第三个定理和第四个定理呢？与同伴交流.
说出下列命题的条件和结论：
如果两个角是对顶角，那么它们相等；
如果两个角相等，那么它们是对顶角.
如果小明患了肺炎，那么他一定会发烧；
如果小明发烧，那么他一定患了肺炎.
一个三角形中相等的边所对的角相等；
一个三角形中相等的角所对的边相等.
观察上面三组命题，你发现了什么?
3归纳总结：
想一想： 你能写出命题“如果两个有理数相等，那么它们的平方相等”的逆命题吗? 它们
都是真命题吗？
练一练：
1. 说出下列命题的逆命题，这些逆命题成立吗？
(1) 两条直线平行，内错角相等；
(2) 如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等.
归纳总结：
二、课堂小结
4当堂检测
1. 如图是一张直角三角形的纸片，两直角边 AC ＝ 6 cm，BC＝8 cm，现将 △ABC 折
叠，使点 B 与点 A 重合，折痕为 DE，则 BE 的长为 ( )
A. 4 cm B. 5 cm
C. 6 cm D. 10 cm
2. 在你学过的定理中，有哪些定理的逆命题是真命题？试举出几个例子说明.
(1) 同旁内角互补，两直线平行.
(2) 有两个角相等的三角形是等腰三角形.
5参考答案
二、要点探究
知识点一：直角三角形的性质与判定
问题1：直角三角形的两个锐角有怎样的关系？为什么？
证明：△ABC 是直角三角形，
∵∠A +∠B +∠C = 180°，
又∵∠C = 90°，
∴∠A +∠B = 90°.
问题2：如果一个三角形有两个角互余，那么这个三角形是直角三角形吗? 为什么?
∵∠A +∠B +∠C = 180°，
又∵∠A +∠B = 90°，
∴∠C = 90°.
∴△ABC 是直角三角形.
总结：
定理1 直角三角形的两个锐角互余.
定理2 有两个角互余的三角形是直角三角形.
知识点二：勾股定理及其逆定理
证法1 毕达哥拉斯证法
证明：∵ S = (a + b)2 = a2 + b2 + 2ab，
大正方形
S = 4S + S
大正方形 直角三角形 小正方形
= 4× ab + c2
= c2 + 2ab，
∴ a2 + b2 + 2ab = c2 + 2ab.
∴ a2 +b2 = c2.
证法2 赵爽弦图
大正方形的面积可以表示为 c 2 ；
也可以表示为 4 × a b + ( b - a ) 2．
∵ c2 = 4 × ab + ( b - a )2
c2 = 2ab + b2 - 2ab + a2 ，
c2 = a2 + b2，
∴ a2 + b2 = c2.
勾股定理反过来，怎么叙述呢？
如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
这个命题是真命题吗？为什么？
6例1 证明此命题：
已知：如图，在 △ABC 中，AC 2 + BC2 = AB 2.
求证：△ABC 是直角三角形．
分析：构造一个直角三角形与 △ABC 全等，你能自己写出证明过程吗？
证明：作 Rt△DEF，使∠E = 90°，
DE = AC，FE = BC，
则 DE 2 + EF 2 = DF 2 (勾股定理).
∵ AC 2 + BC 2 = AB 2 (已知)，DE = AC，FE = BC (作图)，
∴ AB2 = DF2.
∴ AB = DF.
∴△ABC≌△DFE (SSS).
∴∠C =∠E = 90°.
∴△ABC 是直角三角形．
归纳总结：
勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．(定理3)
定理：如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
(定理4)
知识点三：互逆命题与互逆定理
想一想： 你能写出命题“如果两个有理数相等，那么它们的平方相等”的逆命题吗? 它们
都是真命题吗?
逆命题：如果两个有理数的平方相等，那么这两个有理数相等.
举特例：
原命题：2 = 2，22 = 22；
逆命题：(2)2 = (-2)2，2≠-2.
此原命题是真命题；逆命题是假命题.
练一练：
1. 说出下列命题的逆命题，这些逆命题成立吗？
(1) 两条直线平行，内错角相等；
(2) 如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等；
内错角相等，两条直线平行. 成立
如果两个实数的绝对值相等，那么它们相等. 不成立
归纳总结：
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，其中一个定理称为
另一个定理的逆定理. 如：“定理1与定理2”“定理3与定理4”都为互逆定理.
7注意：
(1) 命题有真有假，而定理都是真命题；
(2) 每个命题都有逆命题，但不是所有的定理都有逆定理；
(3) 原命题的真假与其逆命题的真假没有关系.
当堂检测
1. 如图是一张直角三角形的纸片，两直角边 AC ＝ 6 cm，BC＝8 cm，现将 △ABC 折
叠，使点 B 与点 A 重合，折痕为 DE，则 BE 的长为 ( B )
A. 4 cm B. 5 cm
C. 6 cm D. 10 cm
2. 在你学过的定理中，有哪些定理的逆命题是真命题？试举出几个例子说明.
(1) 同旁内角互补，两直线平行.
(2) 有两个角相等的三角形是等腰三角形.
答案：逆命题：两直线平行，同旁内角互补. 真命题
逆命题：如果一个三角形是等腰三角形，那么它有两个角相等. 真命题
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