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第 03 讲 直角三角形
课程标准 学习目标
1．学习并掌握勾股定理及其逆定理，能够运用其解决问题．
①勾股定理及逆定理 2．探索并掌握直角三角形全等的判定方法“HL”．
②直角三角形中HL 3．会用直角三角形全等的判定方法“HL”判定两个直角三角形全
等．
知识点01 直角三角形的性质定理及推论
定理1 直角三角形的两个锐角互余；
推论1：在直角三角形中，如果一个锐角等于 ，那么它所对
在直角三角形中，如果一个
的直角边等于斜边的一半；
定理2 角等于300，那么它所对的直
推论2：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那
角边等于斜边的一半.
么这条直角边所对的角等于 .【即学即练1】在 中， ，那么另一个锐角 的度数是 ．
【即学即练2】如图，在 中， ， ，点D在斜边 上，且 ，则
°．
知识点02 勾股定理及逆定理
图形 名称 定理 符号表示
边的定理 在直角三角形中，斜边大于直角边.
在 中，
B
直角三角形两条直角边的平方和，等于斜边
在 中，
勾股定理
的平方.
c a ，
如果三角形的一条边的平方等于其他两条边
勾股定理 在 中，
A b C
的平方和，那么这个三角形是直角三角形.
逆定理
，
【即学即练1】在 中， 、 、 的对应边分别是a、b、c，则不能确定 是直角三角形
的是（ ）
A． B． ，
C． D．
【即学即练2】如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫格点，网格中有以
格点A，B，C为顶点的 ，请根据所学的知识回答下列问题：
(1)判断 的形状，并说明理由；
(2)求 的面积．
【即学即练3】如图，学校有一块三角形空地 ，计划将这块三角形空地分割成四边形 和
，分别摆放“秋海棠”和“天竺葵”两种不同的花卉，经测量， ， ， ，
， ， ，求四边形 的面积．知识点03 直角三角形全等的判定HL法
图形 定理 符号
A A'
如果两个直角三角形的斜边和一条直 在 中，
角边对应相等，那么这两个直角三角
，
形全等（简记：H.L）
B C C' B'
【即学即练1】如图， ，垂足分别为 ．
(1)求证： ；
(2)若 ，求四边形 的面积．
题型01 直角三角形的两个锐角互余
例题：如图，在等腰 中， ， 是 边上的高，若 ，则 的度数为 ．【变式训练】
1．如图，直线 于点A，若 ，则 的度数 ．
2．在 中，AD为边 上的高， ， ，则 的度数为 ．
题型02 锐角互余的三角形是直角三角形
例题：如图，在 中， ，点 在边 上（不与点 ，点 重合）．
(1)若点 在边 上，且 ，求证： ；
(2)请用尺子在图中画出 的边 上的高 ，若 ， ， ，求 的长度．
【变式训练】
1．如图，在 中， 是 上一点，延长 至点 ，使得 ，连接
．
(1)求证： ；
(2)若 ，求 的面积．
2．如图，在 中，D为 上一点， ， ．(1)判断 的形状；
(2)判断 是否与 垂直．
题型03 判断三边能否构成直角三角形
例题：由下列条件不能判定 为直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练】
1．下列说法中，正确的是（ ）
A．若 ，则 是直角三角形
B．若三角形是直角三角形，三角形的三边为a，b，c，则有
C．以三个连续自然数为三边长一定能构成直角三角形
D．在 中，若 ，则 是直角三角形
2． 中， 的对边分别为a、b、c，下列条件中，不能判断 是直角三角形的是（
）
A． B．
C． D．
题型04 在网格中判断直角三角形
例题：如图， 网格中每个小正方形的边长都为 ， 的顶点均在网格的格点上．
(1) ， ， ；
(2) 是直角三角形吗？请作出判断并说明理由．
【变式训练】1．如图，每个格子都是边长为1的小正方形， ，四边形 的四个顶点都在格点上．
(1)求四边形 的周长；
(2)连结 ，试判断 的形状，并说明理由．
2．如图，正方形网格的每个小方格的边长均为1， 的顶点在格点上．
(1)直接写出 ______， ______， ______；
(2)判断 的形状，并说明理由．
题型05 利用勾股定理的逆定理求解
例题：如图，△ABC中， ， ，边 上的中线 ．
(1) 与 互相垂直吗？为什么？
(2)求 的长．
【变式训练】
1．如图， 中， ， ， ，B是 延长线上的点，连接 ，若
，(1)说明 为直角，
(2)求 的长．
2．如图，在四边形 中，已知 ， ， ， ．
(1)求 的长；
(2)证明 ．
题型06 勾股定理逆定理的实际应用
例题： 号台风“烟花”风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中
心沿东西方向 由 向 移动，已知点 为一海港，且点 与直线 上的两点 、 的距离分别为
， ，又 ，经测量，距离台风中心 及以内的地区会受到影响．
(1)海港 受台风影响吗？为什么？
(2)若台风中心的移动速度为 千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？
【变式训练】
1．如图，某中学有一块四边形的空地 ，学校计划在空地上种植草皮，经测量 ， ，
， ， ．
(1)求四边形 的面积；
(2)若每平方米草皮需要 元，问学校需要投入多少资金买草皮？
2．如图，某居民小区有一块四边形空地 ，小道 和CE把这块空地分成了 和三个区域，分别摆放三种不同的花卉．已知 米， 米， 米，
米．
(1)求四边形 的面积；
(2)小明和小林同时以相同的速度同时从点 出发，分别沿 和 两条不同的路径散步，
结果两人同时到达点 ，求线段DE的长度．
题型07 利用HL判定直角三角形全等
例题：如图，在 中， 平分 ， 于 ， 于 ，且 ， ．
(1)求证： ；
(2)求证： ．
【变式训练】
1．已知，如图，点 在同一条直线上， ．
求证： ；
2．如图， ， 是 的高，且 ．(1)求证： 是等腰三角形；
(2)若 ， ，求 的高 ．
题型08 直角三角形全等的性质和HL综合
例题：如图，在 中， ，D为 延长线上一点，点E在 边上，且 ，
．
(1)求证： ；
(2)若 ，求 的度数．
【变式训练】
1．如图， ， ，垂足分别为B，E，且 ， ．
(1)求证： ；
(2)若 ， ， ，求 的长．
2．如图，在四边形 中， ， 是 上的一点，且 ，连接 ， ，
．(1)求证： ；
(2)求 的度数．
一、单选题
1．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）下列条件中，不能判断 为直角三角形的是（ ）
A． ， ， B．
C． D．
2．（24-25八年级上·安徽安庆·阶段练习）如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则
的度数是（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25八年级上·山东淄博·期中）若 ， ， 是直角三角形 的三边长，且
，则 斜边上的高为（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25八年级上·河北廊坊·期末）如图，在 中， ，点 在边 上，点 在边 上，
于点 ，连接 ，若 ，则线段 的长是（ ）A．4 B．6 C．8 D．10
5．（24-25八年级上·辽宁·阶段练习）如图， 是直角三角形， ， ，过 边上一点
剪下 ，点 在 上，当 是直角三角形时，则 的度数是（ ）
A． B． C． D． 或
二、填空题
6．（24-25八年级上·贵州毕节·阶段练习）若 的三边分别是a．b．c，且a，b，c满足 ，
则
7．（2024·北京东城·一模）在 中， ，点D在 上， 于点E，且 ，连
接 ．若 ，则 的度数为 ．
8．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）如图，等腰 中底边 ，D是腰 上一点，且 ，
，则 的长为 ．
9．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，在 中， ， ， 是 边上的动点，
点 关于直线 的对称点为 ，连接 交 于 ，当 为直角三角形时， 的长是 ．10．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，点 为直线 上的一个动点， 于 点， 于 点，
点 在点 右侧，并且点 、 在直线 同侧， ， 当 长为 时， 为直
角三角形．
三、解答题
11．（24-25八年级上·湖北荆州·期中）如图， ，垂足为 ， 交 于 ， ，
．
(1)求证： ；
(2)求 的度数．
12．（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）如图， ， ．
(1)求证： ；
(2)若 ，求 的长．
13．（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）如图所示，已知 ，且点 ， ， 在同一条直线
上，延长 交 于点F．(1)若 ， ，求 的长度；
(2)①求 的度数；②求证： ．
14．（24-25八年级上·贵州毕节·期中）数学课上，老师拿了一张如图所示的等腰三角形纸片 ．已知底
边 ， 为 上一点，且 ， ．
(1)试判断 的形状，并说明理由；
(2)求 的长．
15．（24-25八年级上·山西晋中·期中）如图，某湿地公园有一块四边形草坪 ，公园管理处计划修一
条A到 的小路，经测量， ， ， ， ， ．
(1)求小路 的长；
(2)淇淇带着小狗在草坪上玩耍，淇淇站在点 处，小狗从点 开始以 的速度在小路上沿
的方向奔跑，跑到点A时停止奔跑，当小狗在小路 上奔跑时，小狗需要跑多少秒与淇淇的距离最近？
16．（24-25八年级上·全国·期末）如图①，四边形 中， ，连接 ，且 ，点 在
边 上，连接DE，过点 作 ，垂足为 ，若 ．
(1)求证： ；
(2)如图②，连接 ，且 是 的角平分线，求证： ．17．（23-24八年级下·湖南长沙·期中）在 中， ．
(1)若 ，点M、N在 、 上，将 沿 折叠，使得点C与点A重合，求折痕 的长；
(2)点D在 的延长线上，且 ，若 ，求证： 是直角三角形．
18．（24-25八年级上·福建漳州·期中）如图，在 中， ，D为 边上的点，将 沿 折
叠，得到 ，恰好 ，连接 ， ．
(1)设 ， ，求 的长；
(2)若 ， ，试判断 的形状，并说明理由．
