文档内容
第 04 讲 解题技巧专题：勾股定理与面积问题、方程思想
目录
【典型例题】.....................................................................................................................................................1
【考点一 三角形中，利用面积求斜边上的高】............................................................................................1
【考点二 结合乘法公式巧求面积或长度】....................................................................................................7
【考点三 巧妙割补求面积】............................................................................................................................9
【考点四 “勾股树”及其拓展类型求面积】..............................................................................................12
【考点五 几何图形中的方程思想—折叠问题（利用等边建立方程）】...................................................18
【考点六 几何图形中的方程思想—公边问题（利用公边建立方程）】...................................................22
【考点七 实际问题中的方程思想】..............................................................................................................25
【考点一 三角形中，利用面积求斜边上的高】
例题：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，则点C到AB的距离是________．
【变式训练】
1．一个直角三角形的两条直角边边长分别为6和8，则斜边上的高为（ ）
A．4.5 B．4.6 C．4.8 D．5
2．（2022·黑龙江牡丹江·八年级期中） 在由边长为1的小正方形构成网格中的位置如图所示，则
边上的高是（ ）
A．5 B． C．6 D．
3．（2022·全国·八年级课时练习）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1．点A、B，C都在格点上，
若BD是△ABC的高，则BD的长为__________．4．如图，在 中， ， ， 是 的边 上的高，且 ， ， ，
求 的边 上的高．
5．如图，在 中， ， ，在 中， 是 边上的高， ， ．
(1)求 的长．
(2)求斜边 边上的高．
6．我们新定义一种三角形：若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方，则称这个三角形
为勾股高三角形，这两边交点为勾股顶点．
（1）特例感知
如图1，已知△ABC为勾股高三角形，其中A为勾股顶点，AD是BC边上的高．若BD＝3，CD＝1，试求
线段AD的长度．
（2）深入探究如图2，已知△ABC为勾股高三角形，其中A为勾股顶点且AC＞AB，AD是BC边上的高．试探究线段CD
与AB的数量关系，并给予证明．
【考点二 结合乘法公式巧求面积或长度】
例题：已知在 中， 所对的边分别为a，b，c，若 ，则
的面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1．在 中，AD是BC边上的高， ，则 的面积为（ ）
A．18 B．24 C．18或24 D．18或30
3．直角 三边长分别是x， 和5，则 的面积为__________．
【考点三 巧妙割补求面积】
例题：如图，是一块草坪，已知AD=12m，CD=9m，∠ADC=90°，AB=39m，BC=36m，求这块草坪的面积．
【变式训练】
1．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝6，AD＝8，BC＝24，DC＝26，求四边形ABCD的面积．2．如图，在5×5的方格纸中，每一个小正方形的边长都为1
（1）线段BC＝ ，线段CD＝ ；
（2）求四边形ABCD的面积．（可以根据需要添加字母）
3．）如图，方格纸中小正方形的边长为1，△ABC的三个顶点都在小正方形格点上，
（1）边AC、AB、BC的长；
（2）求△ABC的面积；
（3）点C到AB边的距离
【考点四 “勾股树”及其拓展类型求面积】
例题：（2023秋·重庆渝中·八年级重庆巴蜀中学校考期末）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角
形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别是6、10、4、6，则最大正方形E的面积是（ ）A．20 B．26 C．30 D．52
【变式训练】
1．（2023·广西柳州·校考一模）如图， ，正方形 和正方形 的面积分别是289和
225，则以 为直径的半圆的面积是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023春·新疆阿克苏·八年级校考期中）如图，三个正方形中的两个的面积 ， ，则另一
个的正方形的面积 为_____________
3．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，以 的三边向外作正方形，其面积分别为 且
，则 ___________；以 的三边向外作等边三角形，其面积分别为 ，则
三者之间的关系为___________．4．（2023春·八年级课时练习）已知：在 中， ， 、 、 所对的边分别记作
a、b、c．如图1，分别以 的三条边为边长向外作正方形，其正方形的面积由小到大分别记作 、 、
，则有 ，
(1)如图2，分别以 的三条边为直径向外作半圆，其半圆的面积由小到大分 、 、 ，请问
与 有怎样的数量关系，并证明你的结论；
(2)分别以直角三角形的三条边为直径作半圆，如图3所示，其面积由小到大分别记作S1、S2Sa，根据
（2）中的探索，直接回答 与 有怎样的数量关系；
(3)若 中， ， ，求出图4中阴影部分的面积．
5．（2023春·江西南昌·八年级南昌市第三中学校考期中）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西
方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国
汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至
今．(1)①如图2，3，4，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，面积分
别为 ， ， ，利用勾股定理，判断这3个图形中面积关系满足 的有________个．
②如图5，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月牙形图案（图中阴影部分）的面积分别为
， ，直角三角形面积为 ，也满足 吗？若满足，请证明；若不满足，请求出 ， ， 的
数量关系．
(2)如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这
一过程就可以得到如图6所示的“勾股树”．在如图7所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形M
的边长为定值m，四个小正方形A，B，C，D的边长分别为a，b，c，d，则 __________．
【考点五 几何图形中的方程思想—折叠问题（利用等边建立方程）】
例题：如图，将直角三角形纸片沿AD折叠，使点B落在AC延长线上的点E处．若AC＝3，BC=4，则图
中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．【变式训练】
1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6cm，AC＝8cm，按图中所示方法将△BCD沿BD折叠，使点C
落在AB边的C′点，那么△ADC′的面积是________ cm2．
2．如图，三角形纸片 中， ， ， ． 是 边上一点，连接 ，把 沿
翻折，点 恰好落在 延长线上的点 处，则 的长为__________．
3．在长方形ABCD中，AB＝8，BC＝10，P是边AD上一点，将△ABP沿着直线BP翻折得到△A'BP．
(1)如图1，当A'在BC上时，连接AA'，求AA'的长；
(2)如图2，当AP＝6时，连接A'D，求A'D的长．
【考点六 几何图形中的方程思想—公边问题（利用公边建立方程）】
例题：如图，在△ABC中，AB＝10，BC＝9， AC＝17，则BC边上的高为_______．
【变式训练】1．已知：如图，在 中， 是 的角平分线， ，则 ____．
2．如图，在 和 中， ， ， ，延长 ， 交于点 ．
(1)求证：点A在 的平分线上；
(2)若 ， ， ，求 的长．
【考点七 实际问题中的方程思想】
例题：（2022·全国·八年级）明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的
词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地……”翻译成现代文为：
如图，秋千绳索OA悬挂于O点，静止时竖直下垂，A点为踏板位置，踏板离地高度为一尺（AC＝1尺）．
将它往前推进两步（EB⊥OC于点E，且EB＝10尺），踏板升高到点B位置，此时踏板离地五尺（BD＝
CE＝5尺），则秋千绳索（OA或OB）长______尺．
【变式训练】
1．（2022·全国·八年级课时练习）如图1、2（图2为图1的平面示意图），推开双门，双门间隙CD的距
离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺（1尺＝10寸），则AB的长是（ ）A．50.5寸 B．52寸 C．101寸 D．104寸
2．（2022·河南·金明中小学八年级期中）《九章算术》是我国古代数学名著，有题译文如下：今有门，不
知其高宽；有竿，不知其长短．横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高短2尺；斜放，门对角线长恰
好是竿长的 倍．问门高、门宽各为多少？
3．（2022·重庆市求精中学校八年级期中）在一条东西走向的河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点
A，B，其中 ，由于某种原由C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个
取水点H（A、H、B在一条直线上），并新修一条路CH，测得 千米， 千米， 千
米．
(1)问CH是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明．
(2)求原来的路线AC的长．
4．（2022·浙江·浦江县实验中学八年级期中）图1是一张可以折叠的小床展开后支撑起来放在地面的示意
图，此时点A、B、C在同一直线上，且∠ACD＝90°，图2是小床支撑脚CD折叠的示意图，在折叠过程中，
△ACD变形为四边形ABC'D'，最后折叠形成一条线段 ．某家装厂设计的折叠床是AB＝4cm，BC＝8cm，
（1）此时CD为_________ cm；
（2）折叠时，当AB⊥BC′时，四边形ABC′D′的面积为_______cm2 ．
