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2022-2023 学年九年级数学上册第四单元检测卷（A 卷）
（考试时间：60分钟 试卷满分：100分）
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）。
1．已知5x＝6y（y≠0），那么下列比例式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：A、 ＝ ，则5y＝6x，故此选项错误；
B、 ＝ ，则5x＝6y，故此选项正确；
C、 ＝ ，则5y＝6x，故此选项错误；
D、 ＝ ，则xy＝30，故此选项错误；
故选：B．
2．如图，直线a，b，c被直线l ，l 所截，交点分别为点A，C，E和点B，D，F．已知a∥b∥c，且
1 2
AC＝3，CE＝4，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：∵a∥b∥c，
∴ ，
∴ ，
故选：C．3．如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与图中△ABC相似的是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解答】解：由勾股定理得：AB＝ ＝ ，BC＝2，AC＝ ＝ ，
∴AC：BC：AB＝1： ： ，
A、三边之比为1： ：2 ，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；
B、三边之比：1： ： ，图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似；
C、三边之比为 ： ：3，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；
D、三边之比为2： ： ，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似．
故选：B．
4．如图，点P是 ABCD边AB上的一点，射线CP交DA的延长线于点E，则图中相似的三角形有（
）
▱
A．0对 B．1对 C．2对 D．3对
【答案】D
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AD∥BC，
∴△EAP∽△EDC，△EAP∽△CBP，
∴△EDC∽△CBP，
故有3对相似三角形．故选：D．
5．如图，已知△ABC和△PBD都是正方形网格上的格点三角形（顶点为网格线的交点），要使
△ABC∽△PBD，则点P的位置应落在（ ）
A．点P 上 B．点P 上 C．点P 上 D．点P 上
1 2 3 4
【答案】B
【解答】解：由图知：∠BAC是钝角，又△ABC∽△PBD，
则∠BPD一定是钝角，∠BPD＝∠BAC，
又BA＝2，AC＝2 ，
∴BA：AC＝1： ，
∴BP：PD＝1： 或BP：PD＝ ：1，
只有P 符合这样的要求，故P点应该在P ．
2 2
故选：B．
6．制作一块3m×2m长方形广告牌的成本是120元，在每平方米制作成本相同的情况下，若将此广告
牌的四边都扩大为原来的3倍，那么扩大后长方形广告牌的成本是（ ）
A．360元 B．720元 C．1080元 D．2160元
【答案】C
【解答】解：3m×2m＝6m2，
∴长方形广告牌的成本是120÷6＝20元/m2，
将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，
则面积扩大为原来的9倍，
∴扩大后长方形广告牌的面积＝9×6＝54m2，
∴扩大后长方形广告牌的成本是54×20＝1080元，
故选：C．
7．如图，在△ABC中，CD，BE是△ABC的两条中线，则 的值为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：∵CD，BE分别是△ABC的边AB，AC上中线，
∴D是AB的中点，E是AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DE＝ BC，
∴△DEF∽△CBF，
∴ ＝ ＝ ，
故选：D．
8．在平面直角坐标系中，已知点E（﹣4，2），F（﹣2，﹣2）．若△OE′F′与△OEF关于点O位
似，且S△OE′F′ ：S△OEF ＝1：4，则点E′的坐标为（ ）
A．（2，﹣1）或（﹣2，1） B．（8，﹣4）或（﹣8，4）
C．（2，﹣1） D．（8，﹣4）
【答案】A
【解答】解：∵△OE′F′与△OEF关于点O位似，且S△OE′F′ ：S△OEF ＝1：4，
∴△OE′F′与△OEF的相似比为1：2，∵点E的坐标为（﹣4，2），
∴点E′的坐标为（﹣4× ，2× ）或（﹣4×（﹣ ），2×（﹣ ）），
即（﹣2，1）或（2，﹣1），
故选：A．
9．《九章算术》是中国古代的数学专著，它奠定了中国古代数学的基本框架，以计算为中心，密切联
系实际，以解决人们生产、生活中的数学问题为目的．书中记载了这样一个问题：“今有勾五步，
股十二步，问勾中容方几何．”其大意是：如图，Rt△ABC的两条直角边的长分别为5和12，则它
的内接正方形CDEF的边长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：∵四边形CDEF是正方形，
∴CD＝ED，DE∥CF，
设ED＝x，则CD＝x，AD＝5﹣x，
∵DE∥CF，
∴∠ADE＝∠C，∠AED＝∠B，
∴△ADE∽△ACB，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴x＝ ，
∴正方形CDEF的边长为 ．
故选：B．10．正方形ABCD的边长AB＝2，E为AB的中点，F为BC的中点，AF分别与DE、BD相交于点M，
N，则MN的长为（ ）
A． B． ﹣1 C． D．
【答案】C
【解答】解：过F作FH⊥AD于H，交ED于O，则FH＝AB＝2，
∵BF＝FC，BC＝AD＝2，
∴BF＝AH＝1，FC＝HD＝1，
∴AF＝ ＝ ＝ ，
∵△ADN∽△FBN，
∴ ＝ ＝2，
即AN＝2FN，
∴NF＝ AF＝ ，
∵OH∥AE，
∴ ＝ ＝ ，∴OH＝ AE＝ ，
∴OF＝FH﹣OH＝2﹣ ＝ ，
∵AE∥FO，
∴△AME∽FMO，
∴ ＝ ＝ ，
∴AM＝ AF＝ ，
∵AD∥BF，
∴△AND∽△FNB，
∴ ＝ ＝2，
∴AN＝2NF＝ ，
∴MN＝AN﹣AM＝ ﹣ ＝ ．
故选：C．
二、填空题(本题共6题，每小题3分，共18分）。
27．如图，△ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，则△ADE与△ABC的相似比为 ．
【答案】
【解答】解：∵D、E分别为AB、AC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE∥BC，且 ＝ ，
∴△ADE∽△ABC，∴△ADE与△ABC的相似比为 ．
故答案为： ．
29．如图，已知△ABC与△DEF位似，位似中心为O，且△ABC的面积与△DEF的面积之比是16：9，
则AO：OD＝ ．
【答案】 4 ： 3
【解答】解：∵△ABC与△DEF位似，位似中心为O，且△ABC的面积与△DEF的面积之比是16：
9，
∴AO：OD的值为：4：3，
故答案为：4：3．
30．如图，点P在△ABC的边AC上，请添加一个条件 使得△ABP∽△ACB．
【答案】 ∠ ABP ＝∠ C （答案不唯一）
【解答】解：在△ABP与△ACB中，∠A为两三角形的公共角，只需再有一对应角相等即可，即
∠ABP＝∠C，
故答案为：∠ABP＝∠C（答案不唯一）．
28．如图，阳光通过窗口AB照射到室内，在地面上留下4m宽的区域DE，已知点E到窗口下的墙脚
C的距离为5m，窗口AB高2m，那么窗口底端B距离墙脚C m．
【答案】2.5
【解答】解：∵AD∥BE，∴△BCE∽△ACD，
∴ ＝ ，CD＝CE+ED＝4+5＝9，AC＝BC+AB＝BC+2，
∴ ＝ ．
解得BC＝2.5．
故答案为：2.5．
33．如图，一块直角三角形木板，一条直角边AC的长1.5m，面积为1.5m2．按图中要求加工成一个正
方形桌面，则桌面的边长为 m．
【答案】
【解答】解：∵一块直角三角形木板，一条直角边AC的长1.5m，面积为1.5m2，
∴另一直角边长为： ＝2（m），
则斜边长为： ＝2.5，
设点C到AB的距离为h，
则S△ABC ＝ ×2.5h＝1.5，
解得：h＝1.2，
∵正方形GFDE的边DE∥GF，
∴△ACB∽△DCE，
＝ ，
即 ＝ ，
解得：x＝ ，故答案为： ．
34．如图，在△ABC中，AB＝6cm，BC＝12cm，动点P从A开始沿AB边运动，速度为2cm/s；动点Q
从点B开始沿BC边运动，速度为4cm/s；t＝ s，由P、B、Q三点连成的三角形与△ABC相
似．
【答案】 s 或
【解答】解：如图，AP＝2t，BQ＝4t，BP＝6﹣2t，
∵∠PBC＝∠ABC，
∴当 ＝ 时，△BPC∽△BAC，即 ＝ ，解得t＝ ，
当 ＝ 时，△BPC∽△BCA，即 ＝ ，解得t＝ ，
即当t＝ s或 s时，由P、B、Q三点连成的三角形与△ABC相似．
故答案为 s或 ．
三、解答题（本题共6题，17、18题6分，19-22题10分）。
17．如图，在△ABC和△DEC中，∠A＝∠D，∠BCE＝∠ACD．
（1）求证：△ABC∽△DEC；
（2）若S△ABC ：S△DEC ＝4：9，BC＝6，求EC的长．
【解答】证明：（1）∵∠BCE＝∠ACD．
∴∠BCE+∠ACE＝∠ACD+∠ACE，
∴∠DCE＝∠ACB，又∵∠A＝∠D，
∴△ABC∽△DEC；
（2）∵△ABC∽△DEC；
∴ ＝（ ）2＝ ，
又∵BC＝6，
∴CE＝9．
18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AD＝2，CD＝4．求BD的长．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠CDB＝∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCD＝90°，∠BCD+∠B＝90°，
∴∠ACD＝∠B，
∴△ACD∽△CBD，
∴ ＝ ，
∵AD＝2，CD＝4，
∴ ＝ ，
∴BD＝8．
19．如图所示的平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣3，2），B（﹣1，3），C
（﹣1，1），请按如下要求画图：
（1）以坐标原点O为旋转中心，将△ABC顺时针旋转90°，得到△A B C ，请画出△A B C ；
1 1 1 1 1 1
（2）以坐标原点O为位似中心，在x轴下方，画出△ABC的位似图形△A B C ，使它与△ABC的
2 2 2
位似比为2：1．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．
（2）如图，△A2B2C2即为所求．
20．如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF来测量操场旗杆AB的高度，他们通
过调整测量位置，使斜边DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶点A在同一直线上，已知DE＝
0.5米，EF＝0.25米，目测点D到地面的距离DG＝1.5米，到旗杆的水平距离DC＝20米，求旗杆
的高度．
【解答】解：由题意可得：△DEF∽△DCA，
则 ＝ ，∵DE＝0.5米，EF＝0.25米，DG＝1.5m，DC＝20m，
∴ ＝ ，
解得：AC＝10，
故AB＝AC+BC＝10+1.5＝11.5（m），
答：旗杆的高度为11.5m．
21．如图，已知在 ABCD中，AE：EB＝1：2．
（1）求△AEF与△CDF的周长之比；
▱
（2）如果S△AEF ＝6cm2，求S△CDF 的值．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，DC∥AB．
∴∠CAB＝∠DCA，∠DEA＝∠CDE．
∴△AEF∽△CDF．
∵AE：EB＝1：2，
∴AE：AB＝AE：CD＝1：3．
∴△AEF与△CDF的周长之比为1：3．
（2）∵△AEF∽△CDF，AE：CD＝1：3，
∴S△AEF ：S△CDF ＝1：9．
∵S△AEF ＝6cm2，
∴S△CDF ＝54cm2．
22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D为边CB上的一个动点（点D不与点
B重合），过D作DO⊥AB，垂足为O，点B′在边AB上，且与点B关于直线DO对称，连接
DB′，AD．
（1）求证：△DOB∽△ACB；
（2）若AD平分∠CAB，求线段BD的长；
（3）当△AB′D为等腰三角形时，求线段BD的长．【解答】（1）证明：∵DO⊥AB，
∴∠DOB＝∠DOA＝90°，
∴∠DOB＝∠ACB＝90°，
又∵∠B＝∠B，
∴△DOB∽△ACB；
（2）解：∵∠ACB＝90°，
∴AB＝ ＝ ＝10，
∵AD平分∠CAB，DC⊥AC，DO⊥AB，
∴DC＝DO，
在Rt△ACD和Rt△AOD中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△AOD（HL），
∴AC＝AO＝6，
设BD＝x，则DC＝DO＝8﹣x，OB＝AB﹣AO＝4，
在Rt△BOD中，根据勾股定理得：DO2+OB2＝BD2，
即（8﹣x）2+42＝x2，
解得：x＝5，
∴BD的长为5；
（3）解：∵点B′与点B关于直线DO对称，
∴∠B＝∠OB′D，BO＝B′O，BD＝B′D，
∵∠B为锐角，
∴∠OB′D也为锐角，
∴∠AB′D为钝角，
∴当△AB′D为等腰三角形时，AB′＝DB′，
∵△DOB∽△ACB，
∴ ＝ ＝ ，设BD＝5x，
则AB′＝DB′＝5x，BO＝B′O＝4x，
∵AB′+B′O+BO＝AB，
∴5x+4x+4x＝10，
解得：x＝ ，
∴BD＝ ．
