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第四章 因式分解（B 卷·能力提升练）
（时间：120分钟，满分：120分）
一、选择题（下列各题备选答案中，只有一个答案中是正确的，每小题2分，共20分）
1. 下列由左到右的变形，属于因式分解的是
A． B．
C． D．
【分析】根据因式分解的定义，对各选项作出判断，即可得出正确答案．
【解答】解： ．原变形是整式的乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意；
、原变形符合因式分解的定义，是因式分解，故本选项符合题意；
、等式右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意；
、等式左边不是完全平方式，因式分解错误，故本选项不符合题意．
故选： ．
2. 多项式 与 的公因式是
A． B． C． D．
【分析】先对多项式式 与 进行因式分解，再根据公因式的定义解决此题．
【解答】解： ， ，
多项式 与 的公因式是 ．
故选： ．
3. 下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是
A． B．
C． D．【分析】根据因式分解的意义逐个判断即可．
【解答】解： ． ，从等式的左边到右边的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故
本选项不符合题意；
． ，没有把把一个多项式化成几个整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项
不符合题意；
． ，故本选项不符合题意；
． 由左边到右边的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
故选： ．
4. 下列从左边到右边的变形中，是因式分解的是
A． B．
C． D．
【分析】多项式的因式分解是将多项式变形为几个整式的乘积形式，由此解答即可．
【解答】解： 、符合因式分解的定义，故本选项符合题意；
、右边不是整式的积的形式，不符合因式分解的定义，故本选项不符合题意；
、右边不是整式的积的形式，不符合因式分解的定义，故本选项不符合题意；
、右边不是整式的积的形式（含有分式），不符合因式分解的定义，故本选项不符合题意．
故选： ．
5. 下列各式由左到右的变形中，正确地将多项式进行了因式分解的是
A． B．
C． D．
【分析】对各选项中的多项式进行因式分解并辨别．
【解答】解： ，
选项 不符合题意；，
选项 符合题意；
，
选项 不符合题意；
不能因式分解，
选项 不符合题意，
故选： ．
6. 多项式 分解因式的结果是
A． B． C． D．
【分析】利用提公因式法分解即可．
【解答】解： ，
故选： ．
7. 下列多项式能直接用完全平方公式进行因式分解的是
A． B． C． D．
【分析】利用完全平方公式进行分解逐一判断，即可解答．
【解答】解： 、 ，故 符合题意；
、 ，故 不符合题意；
、 ，故 不符合题意；
、 ，故 不符合题意；
故选： ．
8. 下列多项式不能用公式法分解因式的是A． B． C． D．
【分析】根据平方差公式和完全平方公式的特征判断即可．
【解答】解： ． ，故 不符合题意；
． ，故 不符合题意；
． ，故 不符合题意；
． ，不能用公式法分解，故 符合题意．
故选： ．
9. 下列多项式：① ，② ，③ ，④ ．其中有一个相同因式的多
项式是
A．①和② B．①和④ C．①和③ D．②和④
【分析】分别利用提取公因式法以及公式法分解因式，进而得出符合题意的答案．
【解答】解：① ；
② ；
③ ；
④ ．
故分解因式后，结果含有相同因式的是：①和③．
故选： ．
10. 已知 ， ，求代数式 的值为
A．6 B．18 C．28 D．50
【分析】先提取公因式 ，再根据完全平方公式进行二次分解，然后代入数据进行计算即可得解．
【解答】解：，
将 ， 代入得， ．
故代数式 的值为18．
故选： ．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11. 如果 是 的一个因式，则 的值是 ．
【 分 析 】 设 另 一 个 因 式 是 ， 根 据 多 项 式 乘 多 项 式 法 则 求 出
，根据因式分解得出 ， ，再求出答案即可．
【解答】解：设另一个因式是 ，
则
，
， ，
解得 ， ．
故答案为： ．
12. 分解因式： ．
【分析】用提取公因式法分解因式．
【解答】解：原式 ，
故答案为： ．
13. 单项式 与 的公因式是 ．
【分析】根据找公因式的规律：系数找最大公因数，字母找指数最低次幂，找出即可．【解答】解：单项式 与 的公因式是 ．
故答案为： ．
14. 多项式 的公因式是 ．
【分析】根据公因式的定义，找出系数的最大公因数，相同字母的最低指数次幂，然后即可确定公因式．
【解答】解： 各项系数6、3的最大公因数是3，各项都含有的字母是 与 ， 的最低指数是2， 的最
低指数，2，
该多项式的公因式为： ．
故答案为： ．
15. 若 有一个因式为 ，则 ．
【分析】设多项式 的另一个因式为 ，则 ，可得关于 、 的
方程组，解方程组即可求出 的值．
【解答】解：设多项式 的另一个因式为 ，
则 ，
，
，
解得 ，
故答案为： ．
16. 若关于 的多项式 含有因式 ，则实数 ．
【分析】掌握多项式乘法的基本性质， 中 与6相乘可得到 ，则可知： 含有因式
和 ．【解答】解： ，
所以 的数值是 ．
故答案为： ．
三、解答题（第17小题6分，第18、19小题各8分，共22分）
17. 分解因式： ．
【分析】提取公因式 即可分解因式．
【解答】解： ．
18. 因式分解：
（1） ；
（2） ．
【分析】（1）利用完全平方公式，进行分解即可解答；
（2）先利用平方差公式，再利用完全平方公式继续分解即可解答．
【解答】解：（1） ；
（2）
．
19. （1）计算： ；
（2）分解因式： ．
【分析】（1）分别根据二次根式的性质以及绝对值的性质计算即可；
（2）先根据平方差公式展开，合并同类项后，再利用平方差公式因式分解即可．
【解答】解：（1）；
（2）
．
四、解答题：（第20题10分，第21题12分，共22分）
20. 已知：二次三项式 有一个因式是 ，求另一个因式及 的值．
【分析】利用已知结合因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，假设出另一个因式，进而得出
方程组，可得答案．
【解答】解：设另一个因式为 ，得
则
，
解得： ，
另一个因式为 ， 的值为65．
21. 已知： ， ， ，问多项式 、 、 是否有公因式？若有，
求出其公因式；若没有，请说明理由．
【分析】先将各式因式分解后再判断有没有公因式．
【解答】解：多项式 、 、 有公因式．，
，
．
因此多项式 、 、 的公因式是： ．
五、解答题：（本题12分）
22. 仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式 有一个因式是 ，求另个因式以及 的值．
解：设另一个因式为 ，得： ．
则 ．
．
解得： ， ．
另一个因式为 ， 的值为 ．
问题：仿照以上方法解答下列问题：
已知二次三项式 有一个因式是 ，求另一个因式以及 的值．
【分析】设另一个因式为 ，得 ，可知 ，
，继而求出 和 的值及另一个因式．
【解答】解：另一个因式为 ，
由题意得： ，
即 ，则有 ，
解得 ，
所以另一个因式为 ， 的值是 ．
六、解答题：（本题12分）
23. 小伟同学的错题本上有一道练习题，这道题被除式的第二项和商的第一项不小心被墨水污染了（污染处用
字母 和 表示），污染后的习题如下：
．
（1）请你帮小伟复原被污染的 和 处的代数式，并写出练习题的正确答案；
（2）爱动脑的小芳同学把练习题的正确答案与代数式 相加，请帮小芳求出这两个代数式的和，
并判断所求的和能否进行因式分解？若能，请分解因式；若不能，请说明理由．
【分析】（1）根据多项式与单项式的除法法则计算．
（2）先求正确答案与 的和，再因式分解．
【解答】解：（1）由题意得： ，
．
正确答案为： ．
（2） ．
这个和能够因式分解，
．
七、解答题：(本题12分)24. （1）试说明代数式 的值与 、 的值取值有无关系；
（2）已知多项式 与 的乘积展开式中不含 的一次项，且常数项为 ，试求 的值；
（3）已知二次三项式 有一个因式是 ，求另一个因式以及 的值．
【分析】（1）去括号合、并同类项就可得结果；
（2）先求出多项式乘多项式的积，再根据乘积展开式中不含 的一次项，且常数项为 ，求出 、 值
就可得最后结果；
（3）根据二次三项式中二次项的系数和常数项 可知另一个因式中一定含有 项和常数项，因此设另
一个因式为 ．列出等式求出 、 ．
【解答】解：（1）代数式的值与 的值取值无关系，与 的值取值有关系．
，
代数式的值与 的值取值无关系，与 的值取值有关系．
（2）
，
积展开式中不含 的一次项，且常数项为 ，
， ，
， ．
．
（3）设另一个因式为 ．
根据题意得， ，，
，
， ，
， ，
另一个因式： ， 是20．
