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2021-2022学年八年级数学下册尖子生同步培优题典【北师大版】
专题5.3分式的乘除
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑
色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
−x
1．（2021春•宝丰县期末）分式 可化简为（ ）
x2−xy
1 1 1 1
A．− B．− C． D．
x−y x+ y x+ y x−y
【分析】利用分式的基本性质进行化简计算，从而作出判断．
−x 1
【解答】解：原式= =− ，
x(x−y) x−y
故选：A．
m+1 1+m
2．（2021秋•南皮县校级月考）计算 ÷ 的结果为（ ）
m2 (−m) 3
A．﹣m B．m C． 1 D．(m+1) 2
−
m m2
【分析】根据分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘化简即
可．
m+1 −m3
【解答】解：原式= •
m2 1+m
＝﹣m，
故选：A．
3．（2021•张店区二模）化简x2+4x+4 x2+2x的结果是（ ）
÷
x2−4 x−2
x 1 1 1
A． B． C． D．
x+2 x x+2 x−2
【分析】把分式的分子、分母因式分解，再根据分式的除法法则计算即可．【解答】解：原式 (x+2) 2 • x−2
=
(x+2)(x−2) x(x+2)
1
= ，
x
故选：B．
x2 y2
4．（2020•西城区校级模拟）如果y＝﹣x+3，且x≠y，那么代数式 + 的值为（ ）
x−y y−x
1 1
A．3 B．﹣3 C． D．−
3 3
【分析】直接利用分式的加减运算法则化简，再把已知代入求出答案即可．
x2 y2
【解答】解： +
x−y y−x
x2−y2
=
x−y
(x−y)(x+ y)
=
x−y
＝x+y，
∵y＝﹣x+3，且x≠y，
∴原式＝x﹣x+3＝3．
故选：A．
5．（2021秋•二道区月考）下列分式运算或化简错误的是（ ）
1−3x 3x−1
A． =
−x−2 x+2
B． 2x3y x
− =−
4x2y2 2y
x−y
C．(x2−xy)÷ =(x−y) 2
x
4 x+2
D． + =−1
x−2 2−x
【分析】根据分式的混合运算顺序和运算法则逐一计算即可．
1−3x −(3x−1) 3x−1
【解答】解：A． = = ，此选项正确，不符合题意；
−x−2 −(x+2) x+2B． 2x3 y 2x2y⋅x x ，此选项正确，不符合题意；
− =− =−
4x2y2 2x2y⋅2y 2y
x
C．原式＝x（x﹣y）• =x2，此选项错误，符合题意；
x−y
4 x+2 4−x−2 2−x
D．原式= − = = =−1，此选项正确，不符合题意；
x−2 x−2 x−2 x−2
故选：C．
6．（2020春•三水区期末）化简x2−y2的结果为（ ）
x2+xy
y x+ y x−y
A．− B．﹣y C． D．
x x x
【分析】先因式分解，再约分即可得．
【解答】解：x2−y2 (x+ y)(x−y) x−y，
= =
x2+xy x(x+ y) x
故选：D．
a2−b2
7．（2019秋•白云区期末）计算(ab2+b3 )÷ 的结果是（ ）
a−b
1
A．b2 B． C．b2（a+b）2 D．b2（a﹣b）2
b2
【分析】直接利用分式的乘除运算法则化简得出答案．
a−b
【解答】解：原式＝b2（a+b）•
(a+b)(a−b)
＝b2．
故选：A．
x+2 x
8．（2017秋•青州市期末）代数式 ÷ 有意义，则x的取值范围是（ ）
x−1 x−1
A．x≠1 B．x≠1且x≠0 C．x≠﹣2且x≠1 D．x≠﹣2且x≠0
【分析】要使代数式有意义，那么分式的分母不能为 0，即x﹣1≠0，即x≠1；而且除数不能为0，即
x
≠0，即x≠0；
x−1
【解答】解：由题意可得：{ x≠0
，即x≠1且x≠0；故选B．
x−1≠0
9．（2019•邢台三模）若化简（ b □） a2b−b 的结果为 a ，则“□”是（ ）
− ÷
a+1 a2+2a+1 1−a
A．﹣a B．﹣b C．a D．b
【分析】直接利用分式的混合运算法则计算得出答案．
【解答】解：∵（ b □） a2b−b a ，
− ÷ =
a+1 a2+2a+1 1−a
∴ b □ a •b(a+1)(a−1)，
− =
a+1 1−a (a+1) 2
b ab
故 −□=− ，
a+1 a+1
b ab b(1+a)
∴□= + = =b．
a+1 a+1 a+1
故选：D．
1
10．（2019春•工业园区期中）已知：a2﹣3a+1＝0，则a+ 的值为（ ）
a
A．3 B．5 C．7 D．9
【分析】方程a2﹣3a+1＝0，两边除以a，即可解决问题；
【解答】解：∵a2﹣3a+1＝0，
两边除以a得到，
1
a﹣3+ =0，
a
1
∴a+ =3，
a
故选：A．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
2x2 x
11．（2021秋•怀柔区期末）约分： = ．
10xy 5 y
【分析】直接利用分式的性质化简得出答案．
2x⋅x x
【解答】解：原式= = ．
5 y⋅2x 5 yx
故答案为： ．
5 y
12．（2018秋•岳阳楼区校级期中） b 6a6 ．
6a3b÷(
)
3=
a b2
【分析】原式先计算乘方运算，再计算除法运算即可得到结果．
【解答】解：原式＝6a3b b3
÷
a3
＝6a3b•a3
b3
6a6．
=
b2
故答案为：6a6．
b2
3a 16b 4
13．（2019秋•西宁期末）计算： • = ．
4b 9a2 3a
【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．
4
【解答】解：原式= ，
3a
4
故答案为： ．
3a
x 1
14．（2019春•沙坪坝区校级月考）若 ÷M= ，则M应为 x ﹣ 2 ．
x2+2x x2−4
【分析】直接利用分式的乘除运算法则进而计算得出答案．
x 1
【解答】解：∵ ÷M= ，
x2+2x x2−4
x
∴M= •（x2﹣4）
x2+2x
x
= •（x+2）（x﹣2）
x(x+2)
＝x﹣2．
故答案为：x﹣2．15．（2020秋•平江县期中）化简 x−1 1 ；x2−2xy+ y2 x−y ．
= =
x2−1 x+1 x2−xy x
【分析】首先把分子分母分解因式，再约分即可．
x−1 x−1 1
【解答】解： = = ；
x2−1 (x+1)(x−1) x+1
x2−2xy+ y2 (x−y) 2 x−y，
= =
x2−xy x(x−y) x
1 x−y
故答案为： ； ．
x+1 x
2a 4a a
16．（2020秋•莫旗期末）计算（− ）3÷（− ）2的结果是 − ．
b2 b 2b4
【分析】原式先计算乘方运算，再计算除法运算即可得到结果．
【解答】解：原式 8a3 16a2 8a3• b2 a ．
=− ÷ =− =−
b6 b2 b6 16a2 2b4
a
故答案为：− ．
2b4
2 1 1 1
17．（2020春•梁溪区期末）已知a =− ，a = ，a = ，a = ，……，以此类推，则a
1 3 2 1−a 3 1−a 4 1−a 2020
1 2 3
2
的值为 − ．
3
【分析】直接根据计算公式分别得出a的值，进而得出规律求出答案．
2
【解答】解：∵a =− ，
1
3
1 1 3
= = =
∴a 1−a 2 5，
2
1 1−(− )
3
1 1 5
= = =
a 1−a 3 2，
3
2 1−
5
1 1 2
= = =−
a 1−a 5 3；
4
3 1−
2
……，∴每3个a的值循环一轮，
∵2020÷3＝673…1，
2
∴a 和a 的值相等为− ．
2020 1
3
2
故答案为：− ．
3
2 2 7 n m 3
18．（2020秋•崇川区校级月考）已知 + = ，则 + 的值等于 ．
m n m+n m n 2
【分析】先将已知等式利用等式的性质和分式加法运算法则进行变形，然后利用整体思想代入求值．
2n+2m 7
【解答】解：由题意： = ，
mn m+n
∴2（m+n）2＝7mn，
7
（m+n）2= mn，
2
7
m2+n2= mn−2mn，
2
3
即m2+n2= mn，
2
3
mn
原式 n2+m2 2 3，
= = =
mn mn 2
3
故答案为： ．
2
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2021春•长清区期中）计算：
4x y
（1） ⋅ ．
3 y 2x3
（2） x2 x ．
÷
x2−1 x−1
【分析】（1）根据分式的乘法法则进行计算即可得出答案；
（2）根据分式的除法法则进行计算即可得出答案；
2
【解答】解：（1）原式= ；
3x2x2 x−1 x
（2）原式= × = ．
(x+1)(x−1) x x+1
20．计算：
（1）−3a• ab2 （ 6b）
÷ −
b −a3b2 a2
（2） a2−25 a2−1•a2+2a+1
− ÷
a2+10a+25 a+5 a−5
【分析】（1）先把分式的除法变成乘法，再根据分式的乘法法则求出即可；
（2）先把分式的除法变成乘法，再根据分式的乘法法则求出即可．
【解答】解：（1）原式 −3a• ab2 •（ a2 ）
= −
b −a3b2 6b
a
=− ；
2b2
（2）原式 (a+5)(a−5)• a+5 •(a+1) 2
=−
(a+5) 2 (a+1)(a−1) a−5
a+1
=− ．
a−1
21．（2021春•沙坪坝区校级月考）计算下列各式：
（1） 5c2 •3a2b；
6a2b c
x2−4 1
（2） ÷（x﹣2）• ．
x+2 x−2
【分析】（1）按照分式乘除法法则进行约分化简即可；
（2）先将分式中的除法转化为乘法，再进行化简即可．
5c
【解答】解：（1）原式= ；
2
x2−4 1 1 1
（2）原式= • • = ．
x+2 x−2 x−2 x−2
22．计算：（1）12x2y• −2xy ；
x y2 18x3 y
b 3b 2a
（2）− ÷ • ；
2a 4a 3b
（3） x x2y ；
÷
x2y−y x2+x
（4） 16−m2 m−4 •m−2；
÷
16+8m+m2 2m+8 m+2
x+ y
（5） ÷（xy+x2）．
x−y
【分析】根据分式的乘除法法则计算，得到答案．
【解答】解：（1）12x2y• −2xy 12×2•x3y2 4 ；
=− =−
x y2 18x3 y 18 x4 y3 3xy
b 3b 2a b 4a 2a 4a
（2）− ÷ • =− • • =− ；
2a 4a 3b 2a 3b 3b 9b
（3） x x2y x •x(x+1) 1 ；
÷ = =
x2y−y x2+x y(x+1)(x−1) x2y y2 (x−1)
（4） 16−m2 m−4 •m−2 (4+m)(4−m)•2(m+4)•m−2 2m−4；
÷ = =−
16+8m+m2 2m+8 m+2 (4+m) 2 m−4 m+2 m+2
x+ y x+ y 1 1
（5） ÷（xy+x2）= • = ．
x−y x−y x(x+ y) x2−xy
23．（2019春•西湖区校级月考）已知 6x−9 (3−x) 2
A⋅( −x)=
x x2+3x
（1）求代数式A；
（2）在0，1，2，3中选一个使题目有意义的数字代入求A的值．
【分析】（1）根据分式的除法法则把原式化简，求出求代数式A；
（2）根据分式有意义的条件选择一个数，代入计算即可．
【解答】解：（1）A (3−x) 2 （6x−9 x）
= ÷ −
x2+3x x(3−x) 2 • x
=
x(x+3) −(x−3) 2
1
=− ，
x+3
1
（2）当x＝1时，原式=− ．
4
24．（2021春•苏州期中）阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分
8 6+2 2 2
数”，而假分数都可以化为带分数，如： = =2+ =2 ．我们定义：在分式中，对于只含有一个
3 3 3 3
字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母
x−1 x2 3 2x
的次数时，我们称之为“真分式”．如 ， ，这样的分式就是假分式；再如： ， 这
x+1 x−1 x+1 x2+1
样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式），如：
x−1 (x+1)−2 2
= =1− ．
x+1 x+1 x+1
解决下列问题：
1
（1）分式 是 真 （填“真分式”或“假分式”）；
5x
x2+4x−3
（2）将假分式 化为带分式；
x+2
（3）先化简3x−6 x+1 x2−1 ，并求x取什么整数时，该式的值为整数．
− ÷
x−1 x x2−3x
1
【分析】（1）根据题意，可以判断分式 是真分式还是假分式；
5x
x2+4x−3
（2）根据题目中的例子，可以将假分式 化为带分式；
x+2
（3）根据分式的除法和减法可以将式子化简，然后化为带分式，从而可以求得 x取什么整数时，该式
的值为整数．
【解答】解：（1）由题意可得，
1
分式 是真分式，
5x
故答案为：真；x2+4x−3
（2）
x+2
(x2+4x+4)−7
=
x+2
(x+2) 2−7
=
x+2
7
＝x+2− ；
x+2
（3）3x−6 x+1 x2−1
− ÷
x−1 x x2−3x
3(x−2) x+1 x(x−3)
= − ⋅
x−1 x (x+1)(x−1)
3(x−2) x−3
= −
x−1 x−1
3x−6−(x−3)
=
x−1
3x−6−x+3
=
x−1
2x−3
= ，
x−1
2x−3 2(x−1)−1 1
∵ = =2− ，
x−1 x−1 x−1
1
∴当x＝0或2时，2− 的值为整数，
x−1
又∵原分式中（x+1）（x﹣1）≠0，x（x﹣3）≠0，
∴x≠0，±1，3，
1
由上可得，当x＝2时，2− 的值为整数．
x−1
