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第四章过关测试
一、选择题(每题3分，共30分)
1．下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是( )
A．x2－6x＋9＝(x－3)2
B．(x＋3)(x－1)＝x2＋2x－3
C．x2－9＋6x＝(x＋3)(x－3)＋6x
D．6ab＝2a·3b
【答案】A
2．下列四个多项式中，能因式分解的是( )
A．a－1 B．a2＋1 C．x2－4y D．x2－4x＋4
【答案】D
3．下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是( )
A．x2＋x＋1 B．x2＋2x－1 C．x2－1 D．x2－10x＋25
【答案】D
4．分解因式－2m(n－p)2＋6m2(p－n)时，应提取的公因式为( )
A．－2m2(n－p)2 B．2m(n－p)2 C．－2m(n－p) D．－2m
【答案】C
5．一次课堂练习，小红同学做了如下4道因式分解题，你认为小红做得不够完整的一
题是( )
A．a3－a＝a(a2－1)
B．m2－2mn＋n2＝(m－n)2
C．x2y－xy2＝xy(x－y)
D．x2－y2＝(x－y)(x＋y)
【答案】A
6．下列因式分解正确的是( )
A．3ax2－6ax＝3(ax2－2ax) B．x2＋y2＝(－x＋y)(－x－y)
C．a2＋2ab－4b2＝(a＋2b)2 D．－ax2＋2ax－a＝－a(x－1)2
【答案】D
【解析】：A.3ax2－6ax＝3ax(x－2)，故此选项错误；
B．x2＋y2无法分解因式，故此选项错误；
C．a2＋2ab－4b2无法分解因式，故此选项错误；
D．－ax2＋2ax－a＝－a(x－1)2，故此选项正确．7．分解因式am－am＋1(m为正整数)的结果为( )
A．am(1＋a) B．am(1－a) C．a(1－am) D．am＋1
【答案】B
8．若a为实数，则整式a2(a2－1)－a2＋1的值( )
A．不是负数 B．恒为正数 C．恒为负数 D．不等于0
【答案】A
9．从边长为a的正方形纸板中挖去一个边长为b的小正方形纸板后，将其裁成四个相
同的等腰梯形，如图①所示，然后拼成一个平行四边形，如图②所示，那么通过计算两个
图形阴影部分的面积，可以验证成立的为( )
A．a2－b2＝(a－b)2 B．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2
C．(a－b)2＝a2－2ab＋b2 D．a2－b2＝(a＋b)(a－b)
【答案】D
10．已知a，b，c为△ABC的三边长，且满足a2c2－b2c2＝a4－b4，则△ABC的形状为(
)
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
【答案】D
二、填空题(每题3分，共30分)
11．分解因式：3m3＋6m2＋9m＝____________．
【答案】3m(m2＋2m＋3)
12．把多项式－提取公因式x－1后，余下的部分是__________．
【答案】.－x－2
13．分解因式：(2a＋1)2－a2＝__________________．
【答案】(3a＋1)(a＋1)
14．若关于x的二次三项式x2＋ax＋是完全平方式，则a的值是________．
【答案】±1
15．已知二元一次方程组不解方程组直接求出代数式x2－4y2的值为________．【答案】
16．已知 a，b满足 |a＋2|＋＝ 0，分解因式： (x2＋y2)－(axy＋b)＝
________________．
【答案】(x＋y＋2)(x＋y－2)
17．在对多项式x2＋ax＋b进行因式分解时，小明看错了b，分解的结果是(x－10)(x
＋2)；小亮看错了a，分解的结果是(x－8)(x－2)，则多项式x2＋ax＋b进行因式分解的正
确结果为__________．
【答案】(x－4)2
18．计算：123 456 7892－123 456 788×123 456 790＝________．
【答案】 1
19．甲、乙两农户各有两块地，如图所示.2019年，这两个农户决定共同投资饲养业，
为此，他们准备将4块土地换成一块地，所换土地的长为(a＋b)m，为了使所换土地的面积
与原来4块地的总面积相等，所换土地的宽应该是__________m.
【答案】(a＋c)
20．观察下列各式：x2－1＝(x－1)(x＋1)，x3－1＝(x－1)(x2＋x＋1)，x4－1＝(x－
1)(x3 ＋ x2 ＋ x＋ 1) ， 根 据 前 面 各 式 的 规 律 可 猜 想 ： xn ＋ 1 － 1 ＝
____________________________________．
【答案】(x－1)(xn＋xn－1＋…＋x＋1)
三、解答题(21题16分，26题12分，其余每题8分，共60分)
21．把下列各式因式分解：
(1)4x2－64； (2)a3b＋2a2b2＋ab3；
(3)(a－b)2－2(b－a)＋1; (4)x2－2xy＋y2－16z2.
【答案】解：(1)原式＝4(x2－16)＝4(x＋4)(x－4)；
(2)原式＝ab(a2＋2ab＋b2)＝ab(a＋b)2；
(3)原式＝(a－b)2＋2(a－b)＋1＝(a－b＋1)2；
(4)原式＝(x－y)2－(4z)2＝(x－y＋4z)(x－y－4z)．22．给出三个多项式：x3＋2x2－x，x3＋4x2＋x，x3－2x2，请选择你喜欢的两个多项式
进行加法运算，再把结果因式分解．
【答案】解：x3＋2x2－x＋x3＋4x2＋x＝x3＋6x2＝x2(x＋6)；
或x3＋2x2－x＋x3－2x2＝x3－x＝x(x2－1)＝x(x＋1)(x－1)；
或x3＋4x2＋x＋x3－2x2＝x3＋2x2＋x＝x(x2＋2x＋1)＝x(x＋1)2.
23．已知x＋y＝4，x2＋y2＝14，求x3y－2x2y2＋xy3的值．
【答案】解：∵x＋y＝4，∴(x＋y)2＝16.
∴x2＋y2＋2xy＝16.
而x2＋y2＝14，∴xy＝1.
∴x3y－2x2y2＋xy3＝xy(x2－2xy＋y2)＝14－2＝12.
24．已知a，b是一个等腰三角形的两边长，且满足a2＋b2－4a－6b＋13＝0，求这个
等腰三角形的周长．
【答案】解：a2＋b2－4a－6b＋13＝(a－2)2＋(b－3)2＝0，故a＝2，b＝3.
由题意可知第三边长为2或3，
所以所求三角形的周长为7或8.
25．先阅读下列材料，再解答问题：
材料：因式分解：(x＋y)2＋2(x＋y)＋1.
解：将“x＋y”看成整体，令x＋y＝A，
则原式＝A2＋2A＋1＝(A＋1)2.
再将“A”还原，得原式＝(x＋y＋1)2.
上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方
法，请你解答下列问题：
(1)分解因式：1＋2(x－y)＋(x－y)2＝____________；
(2)分解因式：(a＋b)(a＋b－4)＋4；
(3)求证：若n为正整数，则式子(n＋1)(n＋2)(n2＋3n)＋1的值一定是某一个整数的
平方．
【答案】(1)(x－y＋1)2
(2)解：令a＋b＝A，
则原式变为A(A－4)＋4＝A2－4A＋4＝(A－2)2.
故(a＋b)(a＋b－4)＋4＝(a＋b－2)2.
(3)证明：(n＋1)(n＋2)(n2＋3n)＋1＝(n2＋3n)[(n＋1)(n＋2)]＋1＝(n2＋3n)(n2＋3n
＋2)＋1＝(n2＋3n)2＋2(n2＋3n)＋1＝(n2＋3n＋1)2.
∵n为正整数，
∴n2＋3n＋1也为正整数．
∴式子(n＋1)(n＋2)(n2＋3n)＋1的值一定是某一个整数的平方．26．观察猜想
如图，大长方形是由四个小长方形拼成的，请根据此图填空：
x2＋(p＋q)x＋pq＝x2＋px＋qx＋pq＝(______)(______)．
说理验证
事实上，我们也可以用如下方法进行变形：
x2＋(p＋q)x＋pq＝x2＋px＋qx＋pq＝(x2＋px)＋(qx＋pq)＝________________＝
(______)(______)．
于是，我们可以利用上面的方法进行多项式的因式分解．
尝试运用
例题：把x2＋3x＋2因式分解．
解：x2＋3x＋2＝x2＋(2＋1)x＋2×1＝(x＋2)(x＋1)．
请利用上述方法将下列多项式因式分解：
(1)x2－7x＋12； (2)(y2＋y)2＋7(y2＋y)－18.
【答案】解：x＋p；x＋q；x(x＋p)＋q(x＋p)；x＋p；x＋q
(1)原式＝(x－3)(x－4)；
(2)原式＝(y2＋y＋9)(y2＋y－2)＝(y2＋y＋9)(y＋2)(y－1)．
