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北师大版八年级下册数学期末检测提升 B 卷
（范围：全册，时间：120分钟，满分：120分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的.
1．下列等式中，从左到右的变形属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】判断是否是因式分解
【分析】本题考查了因式分解的判定，掌握因式分解的概念是关键．
因式分解：将多项式分解为几个单项式的积的形式，根据概念辨析即可求解．
【详解】解：A、等号右边不是单项式的积的形式，不是因式分解，不符合题意；
B、 不是单项式，不是因式分解，不符合题意；
C、等号右边不是单项式的积的形式，不是因式分解，不符合题意；
D、运用的是公式法因式分解，符合题意；
故选：D ．
2．中国传统文化博大精深．下面四个图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形的识别、中心对称图形的识别
【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形和中心对
称图形的定义．根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的
部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转
，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称
中心，根据定义进行逐一判断即可．
【详解】解：A、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项不合题意；
B、不轴对称图形，是中心对称图形，故B选项不符合题意；
C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故C选项合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项不合题意．故选：C．
3．若 ，则下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】不等式的性质
【分析】本题主要考查了不等式的性质，熟知不等式的性质是解题的关键：不等式两边同时加上或减去一
个数或者式子，不等号不改变方向，不等式两边乘以乘以或除以一个正数，不等号不改变方向，不等式两
边同时乘以或除以一个负数，不等号改变方向．
【详解】解：A、若 ，则 ，原不等式不成立，不符合题意；
B、若 ，则 ，原不等式成立，符合题意；
C、若 ，则 ，原不等式不成立，不符合题意；
D、若 ，则 ，原不等式不成立，不符合题意；
故选：B．
4．如图，在四边形 中，对角线 和 相交于点O，下列条件不能判断四边形 是平行四边
形的是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】D
【知识点】判断能否构成平行四边形
【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．根据平行四边形
的判定定理，逐项分析判断，即可求解．
【详解】解：A、∵ ， ，
∴四边形 是平行四边形，故该选项不符合题意；
B、∵ ，
∴四边形 是平行四边形，故该选项不符合题意；
C、∵ ， ，
∴四边形 是平行四边形，故该选项不符合题意；
D、∵ ， ，∴四边形 不一定是平行四边形，也可能是等腰梯形，故该选项符合题意；
故选：D．
5．如图，在 中， ， 的平分线 交 于点 ，如果 垂直平分 ，那么
的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、线段垂直平分线的性质、等边对等角
【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，角平分线的定义．由垂直平分线的性质可得 ，
由三角形的内角和可求得 ，从而可求得 ，再由角平分线的定义得
，利用三角形的外角性质，即可求 的度数．
【详解】解：∵ 垂直平分 ， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ 是 的外角，
∴ ，
∴ ．
故选：A．
6．下列式子从左到右变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】判断分式变形是否正确
【分析】本题考查了分式的性质，平方差公式，分式乘方等知识，掌握运算法则和性质是解题的关键．
根据分式的基本性质：分式的分子与分母同时乘以或除以一个不等于0的整式，分式值不变据此逐项判断
即可得出答案．【详解】解：A、 ，原变形错误，故此选项不符合题意；
B、 ，正确，故此选项符合题意；
C、 ，原变形错误，故此选项不符合题意；
D、 ， 与 不一定相等，原变形错误，故此选项不符合题意；
故选：B．
7．下列判断中，错误的是（ ）
A．代数式 是分式 B．当 时， 的值为0
C．当 时， 有意义 D．当 时， 没有意义
【答案】B
【知识点】分式有意义的条件
【分析】本题主要考查了分式的定义，分式的值为零的条件，分式有意义的条件，分式的基本性质等知识
点，熟练掌握分式的性质是解题的关键．
根据分式的定义，分式的值为零的条件，分式有意义的条件，分式的基本性质逐项判断即可．
【详解】解：A. 代数式 是分式，正确，故选项不符合题意；
B. 当 时，分式 没有意义，错误，故选项符合题意；
C. 当 时，分式 有意义，正确，故选项不符合题意；
D. 当 时， ， 没有意义，正确，故选项不符合题意；
故选： ．
8．如图， 的对角线 ， 相交于点 ，点 是 的中点．若 ， ，
的周长为32，则 的周长为（ ）
A．7 B．10 C．12 D．14
【答案】C
【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解、与三角形中位线有关的求解问题【分析】本题考查平行四边形的性质，勾股定理，三角形的中位线，求出 的长是解题的关键．
先根据平行四边形的周长公式求出 ，再由勾股定理求出 ，然后根据平行四边形的性质求
，根据中位线性质求出 ，即可由三角形周长公式求解．
【详解】解：∵ 的周长为32，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，即点O是 的中点，
∵点 是 的中点．
∴ ， ，
∴ 的周长 ，
故选：C．
9．已知关于 的分式方程 的解是正数，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． 且 D． 且
【答案】C
【知识点】根据分式方程解的情况求值、求不等式组的解集
【分析】此题考查了分式方程的解，分式方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值，本题注意
这个隐含条件．
先把分式方程转化为整式方程求出用含有a的代数式表示的x，根据x的取值求a的范围．
【详解】解：原分式方程可化为 ，
方程两边同乘 得， ，
去括号得， ，
移项得， ，
系数化为1得 ，
∵原分式方程的解为正数，
∴ ，即 ，
解得 且 ，
故选：C．
10．如图，在 中，点D为边AB的延长线上一点， ， 与 的平分线相交于点
E，连接CD，CE，过点E作 ，交BC于点G，交AB于点F，下列结论：① ；②
；③ ；④ ；⑤ ，其中正确的有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④⑤ D．①②③④⑤
【答案】D
【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、角平分线的性质定理、等腰三角形的性质和判定
【分析】本题考查了等腰三角形的性质与判定，角平分线的性质，角平分线的定义，熟练掌握角平分线的
性质是解答本题的关键．
根据角平分线的定义和三角形内角和可判断①正确；根据角平分线的性质和面积法可判断②正确；根据等
腰三角形的性质、角平分线的定义、三角形内角和可判断③正确；根据面积法证明 可判断④正确；
证明 ，结合④可判断⑤正确．
【详解】①∵ 与 的平分线相交于点E，
∴ ，
∴
，即 ，故①正确；
作 于点H，作 于点M，作 交的延长线于点N，
∵ 与 的平分线相交于点E，
∴ ．
∵ ，
∴ ，故②正确；
∵ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故③正确；
∵ ，
∴ ，
∴ ，故④正确；
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，故⑤正确．
故选D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分.
11．若代数式 有意义，则实数 的取值范围是 .
【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件、求一元一次不等式的解集
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，
根据题意可知 ，再求出解集即可．
【详解】解：根据题意，得 ，
解得 ．
故答案为： ．
12．如图，制作椅子时，横截面为正五边形的水平木梁必须安装在支撑柱的槽口中，为使木梁能够准确咬
合在槽口中，则支撑柱的一个角 的度数为 ．【答案】 /108度
【知识点】正多边形的内角问题
【分析】本题考查了正多边形的内角问题，根据多边形内角和公式进行计算即可求解．先根据多边形的内
角和公式 求出内角和，然后除以 即可．
【详解】解： ， ；
故答案为： ．
13．已知 ， ，则多项式 ．
【答案】
【知识点】已知式子的值，求代数式的值、提公因式法分解因式
【分析】本题考查因式分解，代数式求值，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．将 因式分
解得 ，再把已知条件代入即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
故答案为： ．
14．如图，在平面直角坐标系中， 的顶点均为格点（网格线的交点），将 绕某点顺时针旋转，
得到 （点 均为格点），则旋转中心的坐标为 ．
【答案】
【知识点】找旋转中心、旋转角、对应点
【分析】本题考查了坐标与图形变化—旋转，由旋转的性质可得 的对应点为 ， 的对应点为 ， 的
对应点为 ，同时旋转中心在 和 的垂直平分线上，进而求出旋转中心坐标，掌握知识点的应用是解
题的关键．
【详解】解：由旋转的性质可得 的对应点为 ， 的对应点为 ， 的对应点为 ，∴交点在 和 的垂直平分线上，如图，
∴旋转中心的坐标为 ，
故答案为： ．
15．若关于x的不等式组 解集为 ，且关于y的方程 的解为正整数，则符合
题意的所有整数a的和为 ．
【答案】
【知识点】解分式方程（化为一元一次）、由一元一次不等式组的解集求参数
【分析】本题考查解一元一次不等式组，以及解分式方程，由不等式组解集为 确定 取值范围，由方
程的解是正整数，并结合 取值范围，确定整数 的取值，即可解题．
【详解】解： ，
由①得 ，
由②得 ，
关于 的不等式组解集为 ，
，
解得 ；
∴
∴
解得 ，
，解得 ，即 ，
方程的解为正整数， ，
或 或 或则符合题意的所有整数 的和为 ．
故答案为： ．
16．在 中， ， ， ，若 是 三边所在直线上的一点，且 ，则
的长为 ．
【答案】 或10或5．
【知识点】线段垂直平分线的性质、用勾股定理解三角形、判断三边能否构成直角三角形
【分析】本题考查了勾股定理逆定理，垂直平分线的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点并得到 点的
两种情况是解题的关键．先根据勾股定理逆定理得到 ，然后由垂直平分线的性质和 是
三边所在直线上的一点，推出点 在线段 的中点或者在线段 的垂直平分线和直线 和 的交点
上，当点 在线段 上时，易得 的长；当点 在 上时，利用勾股定理和三角形面积法即可求得
的长；当点 在 上时， 利用勾股定理即可求解．
【详解】解： ， ， ，
， ， ，
，
，
，
点 在线段 的垂直平分线上，
又 是 三边所在直线上的一点，
如图所示，点 、 、 符合题意，
①当点 在 上时，如上图点 ，
， ，
；
②当点 在 上时，如上图点 ，
为线段 的垂直平分线，
，
设 ，则 ，，
，即 ，
解得 ，（负值已舍去）
，
③当点 在 上时，如上图点 ，
设 ，那么 ，
， ，
，
，
．
综上所述， 的长为 或10或 ．
三、解答题（一）：本大题共4小题，每小题6分，共24分.
17．（1）因式分解： ；
（2）解不等式组 ．
【答案】（1） ；（2）
【知识点】平方差公式分解因式、求不等式组的解集
【分析】本题考查了因式分解，解不等式组，解题的关键是：
（1）根据平方差公式进行因式分解即可；
（2）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无
解）”求出不等式组的解集即可．
【详解】解：（1）原式 ；
（2）解不等式 ，得 ，
解不等式 ，得 ，
∴不等式组的解集为 ．
18．先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】 ；
【知识点】分式化简求值、分母有理化【分析】本题考查了分式的化简求值，以及二次根式的运算，先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，
再把x的值代入进行计算即可．
【详解】解：
；
当 时，原式 ．
19．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为 、 、 ．
(1)画出将 向左平移5个单位，再向上平移3个单位后的 ，并写出点B的对应点 的坐标
____________；
(2)在网格中画出 关于点 成中心对称得到的 ，并写出点 的对应点 的坐标
____________；
(3)若 与 关于点P成中心对称，写出点P坐标____________（非格点）．
(4) 面积为 ．
【答案】(1) ，图见解析(2) ，图见解析
(3)
(4)
【知识点】求一次函数解析式、由平移方式确定点的坐标、画已知图形关于某点对称的图形、利用网格求
三角形面积
【分析】题目主要考查平移及中心对称图形的作法，求一次函数解析式，利用网格求三角形面积，理解题
意，熟练掌握作图方法是解题关键．
（1）根据平移的作图方法作图，然后读出点的坐标即可；
（2）根据中心对称图形的作法作图，然后读出点的坐标即可；
（3）利用待定系数法确定直线 的解析式为 ，直线 的解析式为： ，然后联立
求出交点即可；
（4）利用网格求三角形面积即可．
【详解】（1）解：如图所示： 即为所求， ，
故答案为： ；
（2）如图所示： 即为所求， ，
故答案为： ；
（3）连接 交于点P，
设直线 的解析式为 ，
将点 ， 代入得：
，解得： ，
∴ ，
同理得：直线 的解析式为： ，
联立两个函数解析式为： ，解得 ，
∴ ，
故答案为：
（4）由图得： 面积为： ，
故答案为： ．
20．如图，在 中， 平分 ，交 于点 ，交 的延长线于点 ．
(1)求证： ；
(2)若 ， ， ，求 的长和 的面积．
【答案】(1)见解析
(2) ，
【知识点】利用平行四边形的性质证明、用勾股定理解三角形、根据等角对等边证明边相等、含30度角的
直角三角形
【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形面积的计算，等腰三角形的判定和性质，正确地作出辅助
线是解题的关键．
（1）根据平行线的性质得到 ，根据角平分线的定义得到 ，求得 ，
根据等腰三角形的判定定理即可得到 ，
（2）根据线段的和差得到 ；过D作 交 的延长线于H，根据直角三角形的性质得到 ， ，根据三角形的面积公式即可得到△ADF的面积
【详解】（1）证明：在 中， ，
，
平分 ，
，
，
，
（2）解： ， ，
；
过 作 交FA的延长线于 ，
，
，
，
，
，
的面积 ．
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题8分，共24分.
21．如图 ， 是 的角平分线，与 交于点 ，过点 分别作 ， ，交
、 于点 、 ，连接 ，交 于点 ．(1)试说明 垂直平分 ；
(2)若 ， ，则 的长为多少？
【答案】(1)见解析
(2)
【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的性质定理、线段垂直平分线的判定、含30度角的直
角三角形
【分析】（1）根据角平分线的性质可得 ， ，根据公共边 ，即可证
明 得出 ，根据三线合一即可证明 垂直平分 ；
（2）根据三角形内角和可得 ，根据含 度角的直角三角形的性质得出 ，在
中 ，则 ，根据 ，得出 ，即可求解．
【详解】（1）（1）解： 平分 ， ， ，
，
又
（ ）
，
又 平分 ，
垂直平分 ；
（2） ，
在 中， ，
平分 ，
，
，
，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
由（1）知 垂直平分 ，
，在 中， ，
，
，
又 ，
，
，
【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，垂直平
分线的性质与判定，等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
22．已知a，b，c为 的三条边，
(1)若 ， ， 的周长是小于17的奇数，求c的长．
(2)若 为等腰三角形，且a，b满足 ，求 的周长．
【答案】(1) 或
(2)7或8
【知识点】完全平方公式分解因式、三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义
【分析】本题主要考查了构成三角形的条件，等腰三角形的定义，因式分解的应用，非负数的性质，熟知
构成三角形的条件是解题的关键．
（1）三角形中任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，据此求出c的范围，再根据周长是小
于17的奇数进一步确定c的范围以及c是偶数，据此可得答案；
（2）利用完全平方公式得到 ，则由非负数的性质可求出a、b的值，再分腰长为a何
腰长为b两种情况，结合构成三角形的条件讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵a，b，c为 的三条边，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ 的周长是小于17的奇数，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 且c是偶数，
∴ 或 ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
当腰长为2时，则该等腰三角形的三边长为2，2，3，
∵ ，
∴此时能构成三角形，
∴该三角形的周长为 ；
当腰长为3时，则该等腰三角形的三边长为2，3，3，
∵ ，
∴此时能构成三角形，
∴该三角形的周长为 ；
综上所述，该三角形的周长为7或8．
23．2025年4月27日，第20届中国电影华表奖在山东青岛市举行颁奖典礼．某文创店准备采购一批华表
奖主题纪念品用于推广：已知“经典套装A型”的进价比“豪华套装B型”的进价低80元．如果文创店同
样用6000元购进A型套装的数量是B型套装的数量的2倍．
(1)求A型套装和B型套装的进价分别是多少元？
(2)文创店计划购买A型套装和B型套装共400件，且A型套装的数量不少于B型套装数量的3倍，将A型
套装和B型套装分别按进价提高 销售，如何购买这两种型号套装才能使全部售出后总利润最大？
【答案】(1)A型套装的进价是80元，B型套装的进价是160元
(2)购买A型300件，B型100件，总利润最大
【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、最大利润问题(一次函数的实际应用)、分式方程的经济问题
【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用，理解题意正确列出方程
和不等式是解题的关键．
（1）设A型套装的进价是 元，则B型套装的进价是 元，根据题意列出分式方程，解出 的值即
可解答；
（2）设购买A型套装 件，B型套装 件，根据题意得到 ，解得 ，设总利润为
元，列式可得 ，再利用一次函数的性质即可解答．
【详解】（1）解：设A型套装的进价是 元，则B型套装的进价是 元，
由题意得， ，
解得： ，
经检验， 是方程的解且符合题意，
则 ，答：A型套装的进价是80元，B型套装的进价是160元
（2）解：设购买A型套装 件，B型套装 件，
由题意得， ，
解得： ，
设总利润为 元，
则
，
，
随a增大而减小，
当 时，W取最大值，此时400－300＝100（件），
答：购买A型300件，B型100件，总利润最大．
五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分.
24．阅读理解:
定义：若分式 和分式 满足 （ 为正整数），则称 是 的“ 差分式”．
例如： 我们称 是 的“ 差分式”，
解答下列问题：
(1)分式 是分式 的“ 差分式”．
(2)分式 是分式 的“ 差分式”．
① （含 的代数式表示）；
②若 的值为正整数， 为正整数，求 的值．
(3)已知 ，分式 是 的“ 差分式”（其中 为正数），求 的值．
【答案】(1)
(2)① ；② ，则 ； ，则 ；
(3)
【知识点】同分母分式加减法、异分母分式加减法
【分析】本题主要考查定义新运算，分式的混合运算，乘法公式的运用，
（1）根据材料提示进行计算即可求解；
（2）根据“ 差分式”的计算方法可得 ，结合分式的混合运算即可求解；
（3）根据“ 差分式”的计算方法可得 ，根据分式的混合运算，乘法公式的运算可得，结合 ，由此即可求解．
【详解】（1）解： ，
故答案为： ；
（2）解：① ，
∴ ，
解得， ；
② ， 为正整数，
∴当 时， ，则 ；
当 时， ，则 ；
当 时， ，不符合题意，舍去；
当 时， ，不符合题意，舍去；
∴ 的值为 或 ；
（3）解： ，
，且 ，
∴ ，
∵ 为正数，
∴ ，
∴ 的值为 ．
25．在 中， ， ， ，将 绕点B顺时针旋转得到 ，其中点 、 的
对应点分别为点 、 ，连接 ．(1)如图1，当点 落在 的延长线上时，求 的长．
(2)如图2，连接 交 于点 ，求证：点 是 的中点．
(3)在旋转过程中，图2中的四边形 能否形成平行四边形？若能，请求出 长；若不能，请说明理
由．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)能形成平行四边形，
【知识点】全等三角形综合问题、判断三边能否构成直角三角形、利用平行四边形性质和判定证明、根据
旋转的性质求解
【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理及逆定理，全等三角形的判定与性质，矩形的性质，解题的关
键是熟练掌握相关的性质定理，
（ ）由勾股定理的逆定理可得 ，再证明 即可求解，
（2）作 ，交 的延长线于点F，利用旋转的性质得出相对应的边角关系，利用 证明
，即可求解；
（3）先证明四边形 为矩形，得出 ，过点 作 ，由面积法求出
，进而由勾股定理求出 ，由此可得 ．
【详解】（1）解：∵ ， ， ，
∴ ，
∴ 为直角三角形， ，
∵ ，即
∴ ，
又由旋转可得， ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ；（2）解：在 的延长线取点F，使 ，如图所示：
，
由旋转性质可知： ， ， ，
， ， ，
，
在 和 中，
点 是 的中点；
（3）解：四边形 能形成平行四边形，如图所示：
当将 绕点 顺时针旋转 度数时，得到 ，此时四边形 能形成平行四边
形，
由旋转可知： ， ， ，
∴ ，
，
由（2）可知： ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
，∴
又∵
∴四边形 ，四边形 是平行四边形，
又
四边形 为矩形，
， ，
过点 作 ，
∵ ，
∴ ，
，即
∴
在 中，由勾股定理得：
