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第四章 重点突破训练：因式分解类型题举例
典例体系 （本专题 6 6 题 2 4 页）
考点1：由因式分解的结果求参数
典例：（2018·安徽初一期中）已知多项式kx2-6xy-8y2可写成（2mx+2y）(x-4y)的形式，求k，m的值．
【答案】k=2，m=1．
【解析】解：∵多项式kx2-6xy-8y2可写成（2mx+2y）（x-4y）的形式，
∴kx2-6xy-8y2=（2mx+2y）（x-4y），
=2mx2-8mxy+2xy-8y2，
=2mx2-（8m-2）xy-8y2，
∴8m-2=6，
解得：m=1，
故k=2，m=1．
方法或规律点拨
此题主要考查了多项式乘以多项式，正确得出m的值是解题关键．
巩固练习1．（2020·福建宁德·初二期末）多项式x2+mx﹣21因式分解的结果为（x+3）（x﹣7），则m的值是（
）
A．4 B．﹣4 C．10 D．﹣10
【答案】B
【解析】解：∵多项式x2+mx﹣21因式分解的结果为（x+3）（x﹣7），
∴m＝﹣7+3＝﹣4．
故选：B．
2．（2020·江苏相城·初一期末）若代数式x2﹣mx+4因式分解的结果是（x+2）2，则m的值是（ ）
A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．±4
【答案】A
【解析】解：因为（x+2）2＝x2+4x+4，
所以m的值为：﹣4．
故选：A．
3．（2020·贵州铜仁·初一期末）多项式 可因式分解为 ，则 的值为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解：∵ = =x2-5x+6，
∴m=-5
故选D
4．（2019·四川大邑·初二期末）已知多项式x2+bx+c分解因式为（x+3）（x﹣1），则b、c的值为
（ ）
A．b＝3，c＝﹣2 B．b＝﹣2，c＝3 C．b＝2，c＝﹣3 D．b＝﹣3，c＝﹣2
【答案】C
【解析】解：根据题意得：x2+bx+c＝(x+3)(x-1)＝x2+2x-3，
则b＝2，c＝﹣3，
故选：C．
5．（2020·山东中区·济南外国语学校初二期中）已知多项式x2+ax﹣6因式分解的结果为（x+2）（x+b），
则a+b的值为（ ）
A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4
【答案】A
【解析】解：根据题意得：x2+ax﹣6＝（x+2）（x+b）＝x2+（b+2）x+2b，
∴a＝b+2，2b＝﹣6，
解得：a＝﹣1，b＝﹣3，
∴a+b＝﹣1﹣3＝﹣4，
故选：A．6．（2020·江苏广陵·初一期中）若 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：∵ ，
∴（3x+2）（x+p）=3x2+（3p+2）x+2p=mx2-nx-2，
∴m=3，p=-1，3p+2=-n，
∴n=1，
故选B.
7．（2020·重庆南开中学期末）若 ，则 __________．
【答案】-3
【解析】解：∵x2+x+m=（x-2）（x+n）=x2+（n-2）x-2n，
∴n-2=1，m=-2n，
解得n=3，m=-2×3=-6，
∴m+n=-6+3=-3．
故答案为-3．
8．（2020·江苏南京·初一期中）若x2＋ax﹣2＝（x﹣1）（x＋2），则a＝_____．
【答案】1
【解析】由题意知，a＝﹣1＋2＝1；
故答案是：1．
9．（2020·黑龙江虎林·初二期末）多项式kx2－9xy－10y2可分解因式得(mx＋2y)(3x－5y)，则k=_______，
m=________．
【答案】k=9 m=3
【解析】解：∵kx2-9xy-10y2=（mx+2y）（3x-5y），
∴kx2-9xy-10y2=3mx2-5mxy+6xy-10y2=3mx2-（5mxy-6xy）-10y2，
∴
解得：
故答案为：9，3．
10．（2020·常德市淮阳中学初一期中）若多项式 可以因式分解成 ，那么
a=_____．
【答案】1
【解析】解： ，即 ，
，
解得： ．
故答案为：1．
11．（2019·深圳市罗湖外语学校初中部初二期中）多项式 因式分解得 ，则
a=_______，b=________．
【答案】6 1
【解析】解：∵（x+5）（x+b）=x2+（b+5）x+5b，∴x2+ax+5=x2+（b+5）x+5b．
∴
解得
故答案为：6；1．
考点2：利用因式分解进行简便计算
典例：（2019·湖南邵东·初一期中）计算：
①2032﹣203×206+1032
②20192﹣2018×2020．
【答案】①10000；②1．
【解析】解：①原式＝2032﹣2×203×103+1032
＝（203﹣103）2
＝1002
＝10000；
②原式＝20192﹣（2019﹣1）×（2019+1）
＝20192﹣（20192﹣1）
＝20192﹣20192+1
＝1．
方法或规律点拨
本题主要考查了平方差公式以及完全平方公式，熟记公式是解答本题的关键．平方差公式：
．完全平方公式： ．
巩固练习
1．（2020·广西兴宾·初一期中）计算： 的结果是（
）
A． B． C． D．【答案】B
【解析】解：原式=
=
=
= ．
故选：B．
2．（2020·全国初二课时练习）计算：1252-50×125+252=( )
A．100 B．150 C．10000 D．22500
【答案】C
【解析】1252﹣2×25×125＋252＝(125－25)2＝1002＝10000．
故选C．
3．（2020·全国初二课时练习）计算：752-252=（ ）
A．50 B．500 C．5000 D．7100
【答案】C
【解析】原式=（75+25）×（75-25）=100×50=5000，
故选C．
4．（2020·河南初二期末）已知 ，那么 的值为（ ）
A．2018 B．2019 C．2020 D．2021．
【答案】B
【解析】解：
∴
∴x=2019
故选：B．
5．（2020·河北定兴·初一期末）利用因式分解计算 __________．
【答案】500【解析】解： ．
故答案为：500．
6．（2020·江苏锡山·初一期末）计算： __．
【答案】2
【解析】
．
故答案为： ．
7．（2020·辽宁省丹东市第二十一中学初二期中）计算2018×512﹣2018×492的结果是_____．
【答案】403600
【解析】2018×512－2018×492
=2018×(512－492)
=2018×(51+49) ×(51-49)
=2018×100×2
=403600.
故答案为：403600
8．（2020·重庆沙坪坝·初三期末）计算： __________．
【答案】55
【解析】
=
=19+15+11+7+3
=55
故答案为：55
9．（2018·湖南靖州·初一期末）计算：6002-599×601=__________．
【答案】1
【解析】解： ．
故答案为：1．10．（2019·四川恩阳·期末）用简便方法计算20082﹣4016×2007+20072的结果是_____．
【答案】1．
【解析】20082﹣4016×2007+20072，
＝20082﹣2×2008×2007+20072，
＝（2008﹣2007）2，
＝1．
11．（2019·河南遂平·初二期中）计算： __________.
【答案】10000
【解析】解：原式=
故答案为：10000.
12．（2020·沭阳县马厂实验学校初一期中）利用因式分解计算：
（1）342+34×32+162
（2）38.92-2×38.9×48.9+48.92
【答案】（1）2500；（2）100．
【解析】解：（1）342+34×32+162=342+2×34×16+162=(34+16)2=502=2500；
（2）38.92-2×38.9×48.9+48.92=(38.9-48.9)2=(-10)2=100．
13．（2019·湖南芷江·初一期末） 把 分解因式．
把 分解因式．
计算:
【答案】（1）2（x＋2）（x−2）（2）（8m＋3n）2（3）−1009
【解析】（1）2x3−8x
＝2（x2−4）
＝2（x＋2）（x−2）；
（2） ＝[4（2m＋n）-n]2＝（8m＋3n）2；
（3）
＝
＝1−2＋3−4＋5−6＋…＋2017−2018
＝−1×1009
＝−1009．考点3：利用十字相乘法进行因式分解
典例：（2019·河北涿鹿·期末）阅读与思考
x2+（p+q）x+pq型式子的因式分解
x2+（p+q）x+pq型式子是数学学习中常见的一类多项式，如何将这种类型的式子分解因式呢？
我们通过学习，利用多项式的乘法法则可知：（x+p）（x+q）＝x2+（p+q）x+pq，因式分解是整式乘法相
反方向的变形，利用这种关系可得x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）．
利用这个结果可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式，例如，将x2﹣x﹣6分解因式．这个式子
的二次项系数是1，常数项﹣6＝2×（﹣3），一次项系数﹣1＝2+（﹣3），因此这是一个x2+（p+q）x+pq
型的式子．所以x2﹣x﹣6＝（x+2）（x﹣3）．
上述过程可用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；
再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数，
如图所示．
这样我们也可以得到x2﹣x﹣6＝（x+2）（x﹣3）．这种分解二次三项式的方法叫“十字相乘法”．
请同学们认真观察，分析理解后，解答下列问题：
（1）分解因式：y2﹣2y﹣24．
（2）若x2+mx﹣12（m为常数）可分解为两个一次因式的积，请直接写出整数m的所有可能值．
【答案】（1）（y+4）（y﹣6）；（2）﹣1，1，﹣4，4，11，﹣11
【解析】解：（1）y2﹣2y﹣24＝（y+4）（y﹣6）；
（2）若 ，此时
若 ，此时
若 ，此时
若 ，此时
若 ，此时
，此时
综上所述，若x2+mx﹣12（m为常数）可分解为两个一次因式的积，
m的值可能是﹣1，1，﹣4，4，11，﹣11．
方法或规律点拨
本题主要考查了十字相乘法分解因式，读懂题意，理解题中给出的例子是解题的关键.
巩固练习
1．（2020·四川成都实外开学考试）计算结果为a2﹣5a﹣6的是（ ）
A．（a﹣6）（a+1） B．（a﹣2）（a+3） C．（a+6）（a﹣1） D．（a+2）（a﹣3）
【答案】A【解析】解：a2﹣5a﹣6＝（a﹣6）（a+1）．
故选：A．
2．（2020·湖南鹤城·初一期末）将下列多项式因式分解，结果中不含有因式 的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解： ，
，
，
结果中不含有因式 的是选项D；
故选：D．
3．（2020·上海市静安区实验中学初一课时练习）已知 ，则 ， 的值是（
）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】C
【解析】解：由x2-4x-m=（x-5）（x-n），
得：-5-n=-4，（-5）（-n）=-m
所以n=-1，m=5．
故选：C．
4．（2020·全国初二课时练习）下列各式中，计算结果是 的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】原式=（x－2）（x＋9）
故选D.
5．（2020·湖南茶陵·初一期末）分解因式x2+3x+2的过程，可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二
次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下
角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数（如右图）．这样，我们可以得到x2+3x+2＝（x+1）
（x+2）．请利用这种方法，分解因式2x2﹣3x﹣2＝_____．
【答案】（2x+1）（x﹣2）【解析】
解：原式＝（2x+1）（x﹣2），
故答案为（2x+1）（x﹣2）
6．（2020·上海市静安区实验中学初一课时练习）因式分解：
【答案】
【解析】
= ．
7．（2020·上海市静安区实验中学初一课时练习）
【答案】
【解析】原式
8．（2020·上海市静安区实验中学初一课时练习）因式分解：
【答案】
【解析】
= ．
9．（2020·上海市静安区实验中学初一课时练习）
【答案】
【解析】解：原式
．
10．（2020·上海市静安区实验中学初一课时练习）因式分解：
【答案】
【解析】
= ．
11．（2020·上海市静安区实验中学初一课时练习）因式分解
【答案】【解析】解：
12．（2019·湖南广益实验中学初二月考）阅读下面材料，解答后面的问题：“十字相乘法”能将二次三项
式分解因式，对于形如 的关于 ， 的二次三项式来说，方法的关键是将 项系数 分解
成两个因数 ， 的积，即 ，将 项系数 分解成两个因式 ， 的积，即 ，并使
正好等于 项的系数 ，那么可以直接写成结果：
例：分解因式：
解：如图1，其中 ， ，而
所以
而对于形如 的关于 ， 的二元二次式也可以用十字相乘法来分解．如图
2．将 分解成 乘积作为一列， 分解成 乘积作为第二列， 分解成 乘积作为第三列，如果
， ，即第1、2列，第2、3列和第1、3列都满足十字相乘规则，则原式
例：分解因式
解：如图3，其中 ， ，
而 ， ，
所以请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题：
（1）分解因式：① ．
② ．
（2）若关于 ， 的二元二次式 可以分解成两个一次因式的积，求 的
值．
【答案】（1） ； ；（2）61或-82．
【解析】解：（1）①如下图，其中 ，
所以， ；
②如下图，其中 ，
而 ，
所以， ；
（2）如下图，其中 ，
而
或 ，∴若关于 ， 的二元二次式 可以分解成两个一次因式的积， 的值为61
或-82．
13．（2020· 全国初二课时练习）运用十字相乘法分解因式：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ．
【答案】（1） ；（2） ；（3） ；（4）
．
【解析】（1） ．
（2） ．
（3） ．
（4） ．
考点4：利用分组分解法进行因式分解
典例：（2020·全国初二课时练习）将下列各式因式分解：
（1） ；
（2） ．
【答案】（1） ；（2） ．
【解析】解：（1）原式
；
（2）原式．
方法或规律点拨
本题考查了多项式的因式分解，正确变形、熟练掌握分解因式的方法是解题的关键．
巩固练习
1．（2019·河南太康·期中）已知a＝2019x+2016，b＝2019x+2017，c＝2019x+2018，则多项式a2+b2+c2﹣ab
﹣bc﹣ac的值为_____．
【答案】3
【解析】解：∵a=2019x+2016，b=2019x+2017，c=2019x+2018，
∴a-b=-1，a-c=-2，b-c=-1，
∴a2+b2+c2-ab-bc-ac
=
=
=
=3，
故答案为：3．
2．（2020·全国初二课时练习）分解因式： __________.
【答案】
【解析】解：原式=（a+b）2-22
=（a+b+2）（a+b-2），
故答案为：（a+b+2）（a+b-2）．
3．（2020·全国初二课时练习）分解因式： _______．
【答案】
【解析】解：原式 ．
故答案为：
4．（2020·湖南天元·建宁实验中学初一开学考试）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字
相乘法，但有更多的多项式只用上述方法就无法分解，如 ，我们细心观察这个式子就
会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后
提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了。过程为： ；
这种分解因式的方法叫做分组分解法，利用这种方法解决下列问题：
（1）分解因式： ；
（2） 三边a，b，c满足 ，判断 的形状.
【答案】（1）（3x-y+4）（3x-y-4）；（2）等腰三角形或等边三角形
【解析】解：（1）9x2-6xy+y2-16
=（3x-y）2-42
=（3x-y+4）（3x-y-4）；
（2）∵a2-ab-ac+bc=0
∴a（a-b）-c（a-b）=0，
∴（a-b）（a-c）=0，
∴a=b或a=c或a=b=c，
∴△ABC的形状是等腰三角形或等边三角形．
5．（2020·上海市静安区实验中学初一课时练习）先分解因式，再求值： ，其中 ，
．
【答案】 ， ．
【解析】原式 ，
，
，
当 ， 时，原式 ，
，
．
6．（2020·上海市静安区实验中学初一课时练习）分解因式：
【答案】
【解析】解：7．（2020·上海市静安区实验中学初一课时练习）
【答案】
【解析】解：原式
．
8．（2020·上海市静安区实验中学初一课时练习）
【答案】 ．
【解析】原式 ，
，
．
9．（2020·上海市静安区实验中学初一课时练习）
【答案】
【解析】解：原式
考点5：应用因式分解解决问题
典例：（2019·南阳市第三中学月考）阅读材料：若 ，求m、n的值．
解：∵ ，
∴
∴ ，而 ， ，
∴ 且 ，
∴n=4，m=4．
根据你的观察，探究下面的问题：
(1) ，则a=______；b=_________．
(2)已知△ABC的三边a，b，c满足 =0，
关于此三角形的形状的以下命题：①它是等边三角形；②它属于等腰三角形：③它属于锐角三角形；④它
不是直角三角形．其中所有正确命题的序号为________________．(3)已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且 ，求△ABC的周长．
【答案】（1）2,0；（2）①②③④；（3）7.
【解析】(1)已知等式整理得：
解得：a=2，b=0；
故答案为2；0；
(2)∵
①它是等边三角形；②它属于等腰三角形：③它属于锐角三角形；④它不是直角三角形．都正确.
故答案为①②③④
(3)∵
∴
∴
则a-1=0，b-3=0，解得：a=1，b=3，
由三角形三边关系可知，三角形三边分别为1、3、3，
则△ABC的周长为1+3+3=7．
方法或规律点拨
考查因式分解的应用，非负数的性质，几个非负数的和为0，则它们都为0.
巩固练习
1．（2019·广西玉林·期末）设 是三角形的三边长，且满足 ，关于此三
角形的形状有以下判断：①是直角三角形； ②是等边三角形； ③是锐角三角形；④是钝角三角形，其中
正确的说法的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】∵ ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
∴此三角形为等边三角形，同时也是锐角三角形．故选：B．
2．（2020·四川省射洪县射洪中学外国语实验学校期中）若 、 、 为一个三角形的三条边，则
的值（ ）
A．一定为正数 B．一定为负数
C．可能为0 D．可能为正数，也可能为负数
【答案】B
【解析】解：首先运用因式分解，得：原式=（a-c+b）（a-c-b）．
再根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．
即a-c+b＞0，a-c-b＜0，两数相乘，异号得负，故代数式的值小于0．
故选：B．
3．（2020·丹阳市珥陵初级中学初一期末）已知d＝x4﹣2x3+x2﹣10x﹣4，则当x2﹣2x﹣4＝0时，d的值为
（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
【答案】D
【解析】解：∵x2﹣2x﹣4＝0，
∴x2﹣2x＝4，
∴d＝x4﹣2x3+x2﹣10x﹣4＝x2（x2﹣2x）+（x2﹣2x）﹣8x﹣4＝4x2+4﹣8x﹣4＝4（x2﹣2x）＝4×4＝16．
故选：D．
4．（2020·全国初二课时练习）若 是三角形的三边长，则式子 的值（ ）.
A．小于0 B．等于0 C．大于0 D．不能确定
【答案】A
【解析】解： =(a-b+c)(a-b-c)
根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，
(a-c+b)(a-c-b)<0
故选A.
5．（2020·全国初二课时练习）若多项式 可因式分解成 ，其中 、 、 均
为整数，则 之值为何？（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解：利用十字交乘法将 因式分解，
可得： ．
， ，
．故选：A．
6．（2020·河北河间·初二期末）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法,但有更多的多项式只用上
述方法就无法分解,如 ,我们细心观察这个式子就会发现,前两项符合平方差公式,后两项
可提取公因式,前后两部分分别分解因式后会产生公因式,然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式
了,过程为： ，这种分解因式的
方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题．
(1)分解因式： ；
(2) ABC三边a、b、c满足 ，判断△ABC的形状．
【答△案】（1） ；（2）△ABC的形状是等腰三角形；
【解析】（1） ；
（2）∵ ，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的形状是等腰三角形.
7．（2020·山东平阴·初二期末）王老师安排喜欢探究问题的小明同学解决某个问题前，先让小明看了一个
有解答过程的例题．
例：若m2＋2mn＋2n2－6n＋9＝0，求m和n的值．
解：∵m2＋2mn＋2n2－6n＋9＝0，
∴m2＋2mn＋n2＋n2－6n＋9＝0．
即： （m＋n）2＋（n－3）2＝0，
∴m＋n＝0，n－3＝0，
∴m＝－3，n＝3．
为什么要对2n2进行了拆项呢？聪明的小明理解了例题解决问题的方法，很快解决了下面两个问题．相信
你也能很好的解决下面的这两个问题，请写出你的解题过程．
（1）若x2－4xy＋5y2 ＋2y＋1＝0，求xy的值；
（2）已知a、b、c是等腰△ABC的三边长，且满足a2－10a＋b2－12b＋61＝0，求此三角形的周长．
【答案】（1）- ；（2）△ABC的周长为16或17.
【解析】（1）∵x2－4xy＋5y2＋2y＋1＝0，∴x2－4xy＋4y2 ＋y2＋2y＋1＝0．
即：（x-2y）2＋（y+1）2＝0，
∴x-2y＝0，y+1＝0，
∴x＝－2，y＝-1，
∴xy=(-2)-1=- ；
（2）∵a2－10a＋b2－12b＋61＝0，
∴a2－10a＋25＋b2－12b＋36＝0，
即：（a-5）2＋（b-6）2＝0，
∴a-5＝0，b-6＝0，
∴a＝5，b＝6，
∵a、b、c是等腰△ABC的三边长，
∴当a=c=5时，△ABC的周长为5+5+6=16，
当b=c=6时，△ABC的周长为5+6+6=17，
故△ABC的周长为16或17．
8．（2020·山东章丘·初二期末）阅读下面的材料：
常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法等，但有的多项式只用上述方法无法分解．如x2－4y2－2x
＋4y，细心观察这个式子，会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公园式，前、后两部分分别分解
因式后又出现新的公因式，提取公因式就可以完成整个式子的分解因式．具体过程如下：
x2－4y2－2x＋4y
＝(x2－4y2)－(2x－4y)
＝(x＋2y)(x－2y)－2(x－2y)
＝(x－2y)(x＋2y－2)．
像这种将一个多项式适当分组后，进行分解因式的方法叫做分组分解法．
利用分组分解法解决下面的问题：
（1）分解因式：x2－2xy＋y2－4：
（2）已知△ABC的三边长a、b、c满足a2－ab－ac＋bc＝0，判断△ABC的形状并说明理由．
【答案】(1) ；(2)等腰三角形，理由见解析．
【解析】解：(1)原式 ，
故答案为 ．
(2)∵
∴ ，
∴ ，
∴ 或 ，
∴ 或 ，∴△ABC为等腰三角形．
故答案为等腰三角形．
9．（2020·渠县崇德实验学校初一期末）在学习整式乘法的拓展知识时，老师让各学习小组先阅读以下材
料：若 ，求 m， n 的值．
解：因为
所以（m²+2mn+n²）+（n²－6n+9）=0 即：（m+n)²+（n－3)²=0
所以 解得 n＝3，m=－3
请你根据以上解题思路，发挥你的聪明才智，解决下列问题：求当 a，b 取何值时，代数式 a²+b²－
2a+4b+8 的值最小，最小值多少．
【答案】当a=1，b=-2时， 有最小值，为3．
【解析】 = = ，
∵ ， ，
∴当a=1，b=-2时， 即 有最小值，为3．
10．（2020·江阴市祝塘中学初一月考）我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公
式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、字相乘法等等，将一个多项式适当分组后，可提公
因式或运用公式继续分解的方法叫做分组分解．
例如：
利用这种分组的思想方法解决下列问题：
（1）分解因式 ；
（2） 三边a，b，c满足 判断 的形状，并说明理由．
【答案】（1） ；（2） 是等腰三角形，理由见解析
【解析】解：（1）
=
=
=
（2） 是等腰三角形，理由如下
∵
∴
∴∴
∵a，b，c是△ABC的三边
∴
∴
∴
∴ 是等腰三角形
11．（2020·沙坪坝·重庆八中课时练习）若正整数 是4的倍数，那么规定正整数 为“四季数”，例如：
64是4的倍数，所以64是“四季数”．
（1）已知正整数 是任意两个连续偶数的平方差，求证： 是“四季数”；
（2）已知一个两位正整数 （ ，其中 ， 为自然数），将其个位上的数字与十
位上的数字交换，得到新数 ，若 与 的差是“四季数”，请求出所有符合条件的两位正整数 ．
【答案】（1）见解析；（2）所有符合条件的两位正整数k有：15，26，37，48，59，19
【解析】解：（1）证明：设任意两个连续偶数为2n和2n+2（n≥0，且为整数）
则p=(2n+2)2-(2n)2
=[(2n+2)+2n][(2n+2)-2n]
=(4n+2)×2
=4(2n+1)，
∵n≥0，且为整数，
∴2n+1必为正整数，
∴4(2n+1)一定是4的倍数，
∴P是“四季数”；
（2）由题意得：m=10y+x，
则m-k=10y+x-(10x+y)=4n(n≥0，且n为整数)，
∴9(y-x)=4n，
y-x= ，
∵1≤x＜y≤9，其中x，y为自然数，
∴1≤y-x≤8，
当n=9时，y-x=4，
∴ ， ， ， ， ；
当n=18时，y-x=8，
∴ ．∴所有符合条件的两位正整数k有：15，26，37，48，59，19．
12．（2020·广东高州·期中）下面是某同学对多项式（x2-4x+2）（x2-4x+6）+4进行因式分解的过程．
解：设x2-4x=y
原式=（y+2）（y+6）+4（第一步）
=y2+8y+16（第二步）
=（y+4）2（第三步）
=（x2-4x+4）2（第四步）
请问：
（1）该同学因式分解的结果是否彻底？______（填“彻底”或“不彻底”）．若不彻底，请直接写出因
式分解的最后结果．
（2）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2-2x）（x2-2x+2）+1进行因式分解．
【答案】（1）不彻底； ；（2）
【解析】（1）该同学因式分解的结果不彻底，
原式=（x2-4x+4）2=[（x-2）2]2=（x-2）4，
故答案为不彻底、（x-2）4．
（2）设：x2-2x=m，
原式=m（m+2）+1=m2+2m+1=（m+1）2=（x2-2x+1）2=（x-1）4．
13．（2020·树德中学都江堰外国语实验学校期中）先阅读下列材料，再解答下列问题：
材料：因式分解：(x＋y)2＋2(x＋y)＋1.
解：将“x＋y”看成整体，令x＋y＝A，则
原式＝A2＋2A＋1＝(A＋1)2.
再将“A”还原，得原式＝(x＋y＋1)2.
上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题：
(1)因式分解：1＋2(x－y)＋(x－y)2＝_______________；
(2)因式分解：(a＋b)(a＋b－4)＋4；
(3)求证：若n为正整数，则式子(n＋1)(n＋2)(n2＋3n)＋1的值一定是某一个整数的平方．
【答案】(1)(x－y＋1)2；（2）见解析；（3）见解析.
【解析】(1).1+2(x-y)+(x+y) ²=（x﹣y+1）2；
（2）令A=a+b，则原式变为A（A﹣4）+4=A2﹣4A+4=（A﹣2）2，
故（a+b）（a+b﹣4）+4=（a+b﹣2）2；
（3）（n+1）（n+2）（n2+3n）+1=（n2+3n）[（n+1）（n+2）]+1
=（n2+3n）（n2+3n+2）+1
=（n2+3n）2+2（n2+3n）+1
=（n2+3n+1）2，
∵n为正整数，
∴n2+3n+1也为正整数，∴代数式（n+1）（n+2）（n2+3n）+1的值一定是某一个整数的平方．
14．（2020·江苏相城·初一期末）如图1示．用两块a×b型长方形和a×a型、b×b型正方形硬纸片拼成一个
新的正方形．
（1）用两种不同的方法计算图1中正方形的面积；
（2）如图2示，用若干块a×b型长方形和a×a型、b×b型正方形硬纸片拼成一个新的长方形，试由图形推
出2a2+3ab+b2因式分解的结果；
（3）请你用拼图等方法推出3a2+5ab+2b2因式分解的结果，画出你的拼图．
【答案】（1） ；（a+b）2 （2） （3）见解析
【解析】解：（1）从整体上看，图1是边长（a+b）的正方形，其面积为（a+b）2，
各个部分的面积之和：a2+2ab+b2；
（2）根据计算图2面积的不同计算方法可得，2a2+3ab+b2＝（a+b）（2a+b）；
（3）3a2+5ab+2b2＝（a+b）（3a+2b），
