文档内容
考情概览：解读近年命题思路和内容要求，统计真题考查情况。
2024年真题研析：分析命题特点，探寻常考要点，真题分类精讲。
近年真题精选：分类精选近年真题，把握命题趋势。
必备知识速记：归纳串联解题必备知识，总结易错易混点。
名校模拟探源：精选适量名校模拟题，发掘高考命题之源。
命题解读 考向 考查统计
2024·湖北卷，14
2024·湖南卷，15
2024·上海卷，7
2023·浙江 6 月，
18
2023·北京卷，18
2023·全国乙卷，
考向一 碰撞问题 12
2023·山东卷，18
2022·浙江 6 月，
20
2022·全国乙卷，
12
本类试题主要考查动量守恒定律。常
与能量守恒、功能关系进行综合。要
2022·广东卷，13
求体会用守恒定律分析物理问题的方 2022·山东卷，18
法，体会自然界的和谐与统一。 2024·河北卷，16
2024·辽宁卷，14
2023·湖南卷，15
考向二 爆炸、反冲问题
2021·湖南卷，8
2021·山东卷，11
2021·天津卷，11
2024·湖北卷，10
2024·山东卷，17
2023·浙江 1 月，
考向三 板块问题、子穿木问题 18
2023·湖南卷，18
2023·河北卷，8
2023·辽宁卷，152024·山东卷，13
2024·新课标卷，
9
考向四 实验：验证动量守恒定律 2023·辽宁卷，11
2022·浙江 1 月，
23
2022·全国甲卷，
10
2021·全国乙卷，
考向五 动量守恒的判断
1
命题分析
2024年高考各卷区物理试题均考查了动量问题，重点是动量守恒定律的应用。预测2025年高考将会
继续考查这些内容。
试题精讲
考向一 碰撞问题
1. （2024年湖北卷第14题）如图所示，水平传送带以5m/s的速度顺时针匀速转动，传送带左右两端的距
离为 。传送带右端的正上方有一悬点O，用长为 、不可伸长的轻绳悬挂一质量为0.2kg的小球，
小球与传送带上表面平齐但不接触。在O点右侧的P点固定一钉子，P点与O点等高。将质量为0.1kg的
小物块无初速轻放在传送带左端，小物块运动到右端与小球正碰，碰撞时间极短，碰后瞬间小物块的速度
大小为 、方向水平向左。小球碰后绕O点做圆周运动，当轻绳被钉子挡住后，小球继续绕P点向上
运动。已知小物块与传送带间的动摩擦因数为0.5，重力加速度大小 。
（1）求小物块与小球碰撞前瞬间，小物块的速度大小；
（2）求小物块与小球碰撞过程中，两者构成的系统损失的总动能；
（3）若小球运动到P点正上方，绳子不松弛，求P点到O点的最小距离。
2. （2024年湖南卷第15题）如图，半径为R的圆环水平放置并固定，圆环内有质量为 m 和m 的小球A
A B
和B（m >m ）。初始时小球A以初速度v 沿圆环切线方向运动，与静止的小球B发生碰撞。不计小球与
A B 0
圆环之间的摩擦，两小球始终在圆环内运动。（1）若小球A与B碰撞后结合在一起，求碰撞后小球组合体的速度大小及做圆周运动所需向心力的大小；
（2）若小球A与B之间为弹性碰撞，且所有的碰撞位置刚好位于等边三角形的三个顶点，求小球的质量
比 。
（3）若小球A与B之间为非弹性碰撞，每次碰撞后的相对速度大小为碰撞前的相对速度大小的 e倍
（0”或“<”）；
（2）如果测得的 、 、 、 和 在实验误差范围内满足关系式______，则验证了两小球在碰撞
中满足动量守恒定律。实验中，用小球落点与O点的距离来代替小球水平飞出时的速度，依据是______。
考向一 碰撞问题
1、（2023年6月浙江卷第18题）为了探究物体间碰撞特性，设计了如图所示的实验装置。水平直轨道和水平传送带平滑无缝连接，两半径均为 的四分之一圆周组成的竖直细圆弧管道DEF
与轨道CD和足够长的水平直轨道FG平滑相切连接。质量为 的滑块b与质量为 的滑块c用劲度系数
的轻质弹簧连接，静置于轨道 FG 上。现有质量 的滑块 a 以初速度
从 D 处进入，经 DEF 管道后，与 FG 上的滑块 b 碰撞（时间极短）。已知传送带长
，以 的速率顺时针转动，滑块a与传送带间的动摩擦因数 ，其它摩擦和阻力
均不计，各滑块均可视为质点，弹簧的弹性势能 （x为形变量）。
（1）求滑块a到达圆弧管道DEF最低点F时速度大小 和所受支持力大小 ；
（2）若滑块a碰后返回到B点时速度 ，求滑块 碰撞过程中损失的机械能 ；
（3）若滑块a碰到滑块b立即被粘住，求碰撞后弹簧最大长度与最小长度之差 。
2. （2023年北京卷第18题）如图所示，质量为m的小球A用一不可伸长的轻绳悬挂在O点，在O点正下
方的光滑桌面上有一个与A完全相同的静止小球B，B距O点的距离等于绳长L。现将A拉至某一高度，
由静止释放，A以速度v在水平方向和B发生正碰并粘在一起。重力加速度为g。求：
（1）A释放时距桌面的高度H；
（2）碰撞前瞬间绳子的拉力大小F；
（3）碰撞过程中系统损失的机械能 。
3. （2023年全国乙卷第12题）如图，一竖直固定的长直圆管内有一质量为M的静止薄圆盘，圆盘与管的
上端口距离为l，圆管长度为 。一质量为 的小球从管的上端口由静止下落，并撞在圆盘中心，
圆盘向下滑动，所受滑动摩擦力与其所受重力大小相等。小球在管内运动时与管壁不接触，圆盘始终水平，
小球与圆盘发生的碰撞均为弹性碰撞且碰撞时间极短。不计空气阻力，重力加速度大小为g。求
（1）第一次碰撞后瞬间小球和圆盘的速度大小；
（2）在第一次碰撞到第二次碰撞之间，小球与圆盘间的最远距离；
（3）圆盘在管内运动过程中，小球与圆盘碰撞的次数。4. （2023年山东卷第18题）如图所示，物块A和木板B置于水平地面上，固定光滑弧形轨道末端与B的
上表面所在平面相切，竖直挡板P固定在地面上。作用在A上的水平外力，使A与B以相同速度 向右做
匀速直线运动。当B的左端经过轨道末端时，从弧形轨道某处无初速度下滑的滑块C恰好到达最低点，并
以水平速度v滑上B的上表面，同时撤掉外力，此时B右端与P板的距离为s。已知 ， ，
， ，A与地面间无摩擦，B与地面间动摩擦因数 ，C与B间动摩擦因数
，B足够长，使得C不会从B上滑下。B与P、A的碰撞均为弹性碰撞，不计碰撞时间，取重力
加速度大小 。
（1）求C下滑的高度H；
（2）与P碰撞前，若B与C能达到共速，且A、B未发生碰撞，求s的范围；
（3）若 ，求B与P碰撞前，摩擦力对C做的功W；
（4）若 ，自C滑上B开始至A、B、C三个物体都达到平衡状态，求这三个物体总动量的变化
量 的大小。
5. （2022年浙江6月卷第20题）如图所示，在竖直面内，一质量m的物块a静置于悬点O正下方的A点，
以速度v逆时针转动的传送带MN与直轨道AB、CD、FG处于同一水平面上，AB、MN、CD的长度均为
l。圆弧形细管道DE半径为R，EF在竖直直径上，E点高度为H。开始时，与物块a相同的物块b悬挂于
O点，并向左拉开一定的高度h由静止下摆，细线始终张紧，摆到最低点时恰好与a发生弹性正碰。已知
， ， ， ， ，物块与MN、CD之间的动摩擦因数 ，轨
道AB和管道DE均光滑，物块a落到FG时不反弹且静止。忽略M、B和N、C之间的空隙，CD与DE平
滑连接，物块可视为质点，取 。
（1）若 ，求a、b碰撞后瞬时物块a的速度 的大小；
（2）物块a在DE最高点时，求管道对物块的作用力 与h间满足的关系；
（3）若物块b释放高度 ，求物块a最终静止的位置x值的范围（以A点为坐标原点，水平向右为正，建立x轴）。
6.（2022年全国乙卷第12题）如图（a），一质量为m的物块A与轻质弹簧连接，静止在光滑水平面上：
物块B向A运动， 时与弹簧接触，到 时与弹簧分离，第一次碰撞结束，A、B的 图像如图
（b）所示。已知从 到 时间内，物块A运动的距离为 。A、B分离后，A滑上粗糙斜面，
然后滑下，与一直在水平面上运动的B再次碰撞，之后A再次滑上斜面，达到的最高点与前一次相同。斜
面倾角为 ，与水平面光滑连接。碰撞过程中弹簧始终处于弹性限度内。求
（1）第一次碰撞过程中，弹簧弹性势能的最大值；
（2）第一次碰撞过程中，弹簧压缩量的最大值；
（3）物块A与斜面间的动摩擦因数。
7.（2022年广东卷第13题） 某同学受自动雨伞开伞过程的启发，设计了如图所示的物理模型。竖直放置
在水平桌面上的滑杆上套有一个滑块，初始时它们处于静止状态。当滑块从A处以初速度 为 向
上滑动时，受到滑杆的摩擦力f为 ，滑块滑到B处与滑杆发生完全非弹性碰撞，带动滑杆离开桌面一起
竖直向上运动。已知滑块的质量 ，滑杆的质量 ，A、B间的距离 ，重力加
速度g取 ，不计空气阻力。求：
（1）滑块在静止时和向上滑动的过程中，桌面对滑杆支持力的大小 和 ；
（2）滑块碰撞前瞬间的速度大小v；
1
（3）滑杆向上运动的最大高度h。8. （2022年山东卷第18题）如图所示，“L”型平板B静置在地面上，小物块A处于平板B上的 点，
点左侧粗糙，右侧光滑。用不可伸长的轻绳将质量为M的小球悬挂在 点正上方的O点，轻绳处于水
平拉直状态。将小球由静止释放，下摆至最低点与小物块A发生碰撞，碰后小球速度方向与碰前方向相同，
开始做简谐运动（要求摆角小于 ），A以速度 沿平板滑动直至与B右侧挡板发生弹性碰撞。一段时
间后，A返回到O点的正下方时，相对于地面的速度减为零，此时小球恰好第一次上升到最高点。已知A
的质量 ，B的质量 ，A与B的动摩擦因数 ，B与地面间的动摩擦因数
，取重力加速度 。整个过程中A始终在B上，所有碰撞时间忽略不计，
不计空气阻力，求：
（1）A与B的挡板碰撞后，二者的速度大小 与 ；
（2）B光滑部分的长度d；
（3）运动过程中A对B的摩擦力所做的功 ；
（4）实现上述运动过程， 的取值范围（结果用 表示）。
9. （2021年广东卷第13题）算盘是我国古老 计的算工具，中心带孔的相同算珠可在算盘的固定导杆上滑
动，使用前算珠需要归零，如图所示，水平放置的算盘中有甲、乙两颗算珠未在归零位置，甲靠边框b，
甲、乙相隔 ，乙与边框a相隔 ，算珠与导杆间的动摩擦因数 。现
用手指将甲以 的初速度拨出，甲、乙碰撞后甲的速度大小为 ，方向不变，碰撞时间极短且
不计，重力加速度g取 。
（1）通过计算，判断乙算珠能否滑动到边框a；（2）求甲算珠从拨出到停下所需的时间。
考向二 爆炸、反冲问题
10. （2023年湖南卷第15题）如图，质量为 的匀质凹槽放在光滑水平地面上，凹槽内有一个半椭圆形
的光滑轨道，椭圆的半长轴和半短轴分别为 和 ，长轴水平，短轴竖直．质量为 的小球，初始时刻从
椭圆轨道长轴的右端点由静止开始下滑．以初始时刻椭圆中心的位置为坐标原点，在竖直平面内建立固定
于地面的直角坐标系 ，椭圆长轴位于 轴上。整个过程凹槽不翻转，重力加速度为 。
（1）小球第一次运动到轨道最低点时，求凹槽 的速度大小以及凹槽相对于初始时刻运动的距离；
（2）在平面直角坐标系 中，求出小球运动的轨迹方程；
（3）若 ，求小球下降 高度时，小球相对于地面的速度大小（结果用 及 表示）。
11. （2021年湖南卷第8题）（多选）如图（a），质量分别为m 、m 的A、B两物体用轻弹簧连接构成
A B
一个系统，外力 作用在A上，系统静止在光滑水平面上（B靠墙面），此时弹簧形变量为 。撤去外力
并开始计时，A、B两物体运动的 图像如图（b）所示， 表示0到 时间内 的 图线与坐标轴
所围面积大小， 、 分别表示 到 时间内A、B的 图线与坐标轴所围面积大小。A在 时刻的
速度为 。下列说法正确的是（ ）A. 0到 时间内，墙对B 冲的量等于m v
A 0
B. m > m
A B
C. B运动后，弹簧的最大形变量等于
D.
12. （2021年山东卷第11题）（多选）如图所示，载有物资 的热气球静止于距水平地面H的高处，现将
质量为m的物资以相对地面的速度 水平投出，落地时物资与热气球的距离为d。已知投出物资后热气球
的总质量为M，所受浮力不变，重力加速度为g，不计阻力，以下判断正确的是（ ）
A. 投出物资后热气球做匀加速直线运动
B. 投出物资后热气球所受合力大小为
C.
D.
13. （2021年天津卷第11题）一玩具以初速度 从水平地面竖直向上抛出，达到最高点时，用遥控器将
玩具内压缩的轻弹簧弹开，该玩具沿水平方向分裂成质量之比为1∶4的两部分，此时它们的动能之和与玩
具从地面抛出时的动能相等。弹簧弹开的时间极短，不计空气阻力。求（1）玩具上升到最大高度 时的速度大小；
（2）两部分落地时速度大小之比 。
考向三 板块问题、子穿木问题
14、（2023年1月浙江卷第18题）一游戏装置竖直截面如图所示，该装置由固定在水平地面上倾角
的直轨道AB、螺旋圆形轨道BCDE，倾角 的直轨道EF、水平直轨道FG组成，除FG段外各
段轨道均光滑，且各处平滑连接。螺旋圆形轨道与轨道AB、EF相切于B（E）处。凹槽GHIJ底面HI水平光
滑，上面放有一无动力摆渡车，并紧靠在竖直侧壁GH处，摆渡车上表面与直轨道FG、平台JK位于同一水
平面。已知螺旋圆形轨道半径 点高度为 长度 ，HI长度 ，摆
渡车长度 、质量 。将一质量也为m的滑块从倾斜轨道AB上高度 处静止释放，
滑块在FG段运动时的阻力为其重力的0.2倍。（摆渡车碰到竖直侧壁IJ立即静止，滑块视为质点，不计空
气阻力， ， ）
（1）求滑块过C点的速度大小 和轨道对滑块的作用力大小 ；
（2）摆渡车碰到IJ前，滑块恰好不脱离摆渡车，求滑块与摆渡车之间的动摩擦因数μ；
（3）在（2）的条件下，求滑块从G到J所用的时间t。
15. （2023 年海南卷第 18 题）如图所示，有一固定的光滑 圆弧轨道，半径 ，一质量为
的小滑块B从轨道顶端滑下，在其冲上长木板C左端时，给木板一个与小滑块相同的初速度，
已知 ，B、C间动摩擦因数 ，C与地面间的动摩擦因数 ，C右端有一个挡板，C
长为 。
求：
（1） 滑到 的底端时对 的压力是多大？
（2）若 未与 右端挡板碰撞，当 与地面保持相对静止时， 间因摩擦产生的热量是多少？
（3）在 时，B与C右端挡板发生碰撞，且碰后粘在一起，求 从滑上 到最终停止所
用的时间。16. （2023年河北卷第8题）如图，质量为 的薄木板静置于光滑水平地面上，半径为 的竖直光
滑圆弧轨道固定在地面，轨道底端与木板等高，轨道上端点和圆心连线与水平面成 角．质量为 的
小物块 以 的初速度从木板左端水平向右滑行， 与木板间的动摩擦因数为0.5．当 到达木板右
端时，木板恰好与轨道底端相碰并被锁定，同时 沿圆弧切线方向滑上轨道．待 离开轨道后，可随时解
除木板锁定，解除锁定时木板的速度与碰撞前瞬间大小相等、方向相反．已知木板长度为 取
取 ．
（1）求木板与轨道底端碰撞前瞬间，物块 和木板的速度大小；
（2）求物块 到达圆弧轨道最高点时受到轨道的弹力大小及离开轨道后距地面的最大高度；
（3）物块 运动到最大高度时会炸裂成质量比为 的物块 和物块 ，总质量不变，同时系统动能增
加 ，其中一块沿原速度方向运动．为保证 之一落在木板上，求从物块 离开轨道到解除木板锁定
的时间范围．
17. （2023年辽宁卷第15题）如图，质量m = 1kg的木板静止在光滑水平地面上，右侧的竖直墙面固定
1
一劲度系数k = 20N/m的轻弹簧，弹簧处于自然状态。质量m = 4kg的小物块以水平向右的速度
2
滑上木板左端，两者共速时木板恰好与弹簧接触。木板足够长，物块与木板间的动摩擦因数μ
= 0.1，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。弹簧始终处在弹性限度内，弹簧的弹性势能E 与形变量x的关系
p
为 。取重力加速度g = 10m/s2，结果可用根式表示。
（1）求木板刚接触弹簧时速度 的大小及木板运动前右端距弹簧左端的距离x ；
1
（2）求木板与弹簧接触以后，物块与木板之间即将相对滑动时弹簧的压缩量x 及此时木板速度v 的大小；
2 2
（3）已知木板向右运动的速度从v 减小到0所用时间为t 。求木板从速度为v 时到之后与物块加速度首次
2 0 2
相同时的过程中，系统因摩擦转化的内能U（用t 表示）。
0考向四 实验：验证动量守恒定律
18. （2023年辽宁卷第11题）某同学为了验证对心碰撞过程中的动量守恒定律，设计了如下实验：用纸板
搭建如图所示的滑道，使硬币可以平滑地从斜面滑到水平面上，其中OA为水平段。选择相同材质的一元
硬币和一角硬币进行实验。
测量硬币的质量，得到一元和一角硬币的质量分别为 和 ( )。将硬币甲放置在斜面一某一位置，
标记此位置为B。由静止释放甲，当甲停在水平面上某处时，测量甲从O点到停止处的滑行距离OP。将
硬币乙放置在O处，左侧与O点重合，将甲放置于B点由静止释放。当两枚硬币发生碰撞后，分别测量甲
乙从O点到停止处的滑行距离OM和ON。保持释放位置不变，重复实验若干次，得到OP、OM、ON的平
均值分别为 、 、 。
（1）在本实验中，甲选用的是____（填“一元”或“一角”）硬币；
（2）碰撞前，甲到O点时速度的大小可表示为_____（设硬币与纸板间的动摩擦因数为μ，重力加速度为
g）；
（3）若甲、乙碰撞过程中动量守恒，则 _____（用 和 表示），然后通过测得 具体数
的
据验证硬币对心碰撞过程中动量是否守恒；
（4）由于存在某种系统或偶然误差，计算得到碰撞前后甲动量变化量大小与乙动量变化量大小的比值不
是1，写出一条产生这种误差可能的原因____。
19. （2022年浙江1月卷第23题）“探究碰撞中的不变量”的实验装置如图所示，阻力很小的滑轨上有两
辆小车A、B，给小车A一定速度去碰撞静止的小车B，小车A、B碰撞前后的速度大小可由速度传感器测
得。
①实验应进行的操作有_______。A．测量滑轨的长度
B．测量小车的长度和高度
C．碰撞前将滑轨调成水平
②下表是某次实验时测得的数据：
碰撞后B的速
碰撞前A的速度大 碰撞后A的速度
A的质量/kg B的质量/kg 度大小/（
小/（ ） 大小/（ ）
）
0.200 0.300 1.010 0.200 0.800
由表中数据可知，碰撞后小车A、B所构成系统的总动量大小是_______kg·m/s。（结果保留3位有效数
字）
20. （2022年全国甲卷第10题）利用图示的实验装置对碰撞过程进行研究。让质量为 的滑块A与质量
为 的静止滑块B在水平气垫导轨上发生碰撞，碰撞时间极短，比较碰撞后A和B的速度大小 和 ，
进而分析碰撞过程是否为弹性碰撞。完成下列填空：
（1）调节导轨水平；
（2）测得两滑块的质量分别为 和 。要使碰撞后两滑块运动方向相反，应选取质量为
______kg的滑块作为A；
（3）调节B的位置，使得A与B接触时，A的左端到左边挡板的距离 与B的右端到右边挡板的距离
相等；
（4）使A以一定的初速度沿气垫导轨运动，并与B碰撞，分别用传感器记录A和B从碰撞时刻开始到各
自撞到挡板所用的时间 和 ；
（5）将B放回到碰撞前的位置，改变A的初速度大小，重复步骤（4）。多次测量的结果如下表所示；
1 2 3 4 5
0.49 0.67 1.01 1.22 1.39
.
0.15 0.21 033 0.40 0.460.31 0.33 0.33 0.33
（6）表中的 ______（保留2位有效数字）；
（7） 的平均值为______；（保留2位有效数字）
（8）理论研究表明，对本实验的碰撞过程，是否为弹性碰撞可由 判断。若两滑块的碰撞为弹性碰撞，
则 的理论表达式为______（用 和 表示），本实验中其值为______（保留2位有效数字），若该值
与（7）中结果间的差别在允许范围内，则可认为滑块A与滑块B在导轨上的碰撞为弹性碰撞。
考向五 动量守恒的判断
21. （2021年全国乙卷第1题）如图，光滑水平地面上有一小车，一轻弹簧的一端与车厢的挡板相连，另
一端与滑块相连，滑块与车厢的水平底板间有摩擦。用力向右推动车厢使弹簧压缩，撤去推力时滑块在车
厢底板上有相对滑动。在地面参考系（可视为惯性系）中，从撤去推力开始，小车、弹簧和滑块组成的系
统（ ）
A. 动量守恒，机械能守恒
B. 动量守恒，机械能不守恒
C. 动量不守恒，机械能守恒
D. 动量不守恒，机械能不守恒
一、动量守恒定律的理解和基本应用
1．内容
如果一个系统不受外力，或者所受外力的矢量和为0，这个系统的总动量保持不变．
2．表达式
(1)p＝p′或mv＋mv＝mv′＋mv′.系统相互作用前的总动量等于相互作用后的总动量．
1 1 2 2 1 1 2 2
(2)Δp＝－Δp，相互作用的两个物体动量的变化量等大反向．
1 2
3．适用条件
(1)理想守恒：不受外力或所受外力的合力为零．
(2)近似守恒：系统内各物体间相互作用的内力远大于它所受到的外力．
(3)某一方向守恒：如果系统在某一方向上所受外力的合力为零，则系统在这一方向上动量守恒．4．动量守恒定律的五个特性：
矢量性 动量守恒定律的表达式为矢量方程，解题应选取统一的正方向
相对性 各物体的速度必须是相对同一参考系的速度(一般是相对于地面)
动量是一个瞬时量，表达式中的p、p、…应是系统中各物体在相互作用前
1 2
同时性 同一时刻的动量，p′、p′、…应是系统中各物体在相互作用后同一时刻
1 2
的动量
系统性 研究的对象是相互作用的两个或多个物体组成的系统
动量守恒定律不仅适用于低速宏观物体组成的系统，还适用于接近光速运动
普适性
的微观粒子组成的系统
二、爆炸、反冲运动和人船模型
1．爆炸现象的三个规律
动量 爆炸物体间的相互作用力远远大于受到的外力，所以在爆炸过程中，系统的
守恒 总动量守恒
动能 在爆炸过程中，有其他形式的能量(如化学能)转化为机械能，所以系统的机
增加 械能增加
位置 爆炸的时间极短，因而作用过程中物体产生的位移很小，可以认为爆炸后各
不变 部分仍然从爆炸前的位置以新的动量开始运动
2.反冲运动的三点说明
作用
反冲运动是系统内两物体之间的作用力和反作用力产生的效果
原理
动量 反冲运动中系统不受外力或内力远大于外力，所以反冲运动遵循动量
守恒 守恒定律
机械能 反冲运动中，由于有其他形式的能转化为机械能，所以系统的总机械
增加 能增加
三、碰撞问题
1．特点
在碰撞现象中，一般都满足内力远大于外力，可认为相互碰撞的系统动量守恒．
2．分类
动量是否守恒 机械能是否守恒
弹性碰撞 守恒 守恒
非弹性碰撞 守恒 有损失
完全非弹性碰撞 守恒 损失最大
3．弹性碰撞的重要结论
以质量为m、速度为v 的小球与质量为m 的静止小球发生弹性碰撞为例，则有
1 1 2mv＝mv′＋mv′
1 1 1 1 2 2
mv2＝mv′2＋mv′2
1 1 1 1 2 2
联立解得：v′＝v，v′＝v
1 1 2 1
讨论：①若m＝m，则v′＝0，v′＝v(速度交换)；
1 2 1 2 1
②若m>m，则v′>0，v′>0(碰后两小球沿同一方向运动)；当m≫m 时，v′≈v，v′≈2v；
1 2 1 2 1 2 1 1 2 1
③若m0(碰后两小球沿相反方向运动)；当m≪m 时，v′≈－v，v′≈0.
1 2 1 2 1 2 1 1 2
4．静止物体被撞后的速度范围
物体A与静止的物体B发生碰撞，当发生完全非弹性碰撞时损失的机械能最多，物体 B的速度最小，v ＝
B
v，当发生弹性碰撞时，物体B速度最大，v ＝v.则碰后物体B的速度范围为：v≤v ≤v.
0 B 0 0 B 0
5.碰撞问题遵守的三条原则
(1)动量守恒：p＋p＝p′＋p′.
1 2 1 2
(2)动能不增加：E ＋E ≥E ′＋E ′.
k1 k2 k1 k2
(3)速度要符合实际情况
①碰前两物体同向运动，若要发生碰撞，则应有v >v ，碰后原来在前的物体速度一定增大，若碰后两物
后 前
体同向运动，则应有v ′≥v ′.
前 后
②碰前两物体相向运动，碰后两物体的运动方向至少有一个改变．
四、人船模型
1．模型图示
2．模型特点
(1)两物体满足动量守恒定律：mv人 －Mv船 ＝0
(2)两物体的位移大小满足：m－M＝0，
x ＋x ＝L，
人 船
得x ＝L，x ＝L
人 船
3．运动特点
(1)人动则船动，人静则船静，人快船快，人慢船慢，人左船右；
(2)人船位移比等于它们质量的反比；人船平均速度(瞬时速度)比等于它们质量的反比，即＝＝.
五、验证动量守恒定律
1．不变的实验原理
两个物体发生碰撞，测量出两个物体的质量以及碰撞前后两个物体的速度。
2．通用的数据处理方法计算碰撞之前的总动量mv＋mv 和碰撞之后的总动量mv′＋mv′。
1 1 2 2 1 1 2 2
3．共同的注意事项
(1)碰撞的两物体应保证“水平”和“正碰”。
(2)选质量较大的小球作为入射小球，即m ＞m 。
入 被碰
4．一致的误差分析思路
(1)主要来源于质量m、m 的测量。
1 2
(2)小球落点的确定。
(3)小球水平位移的测量。
六、“滑块—弹簧”模型
1．模型图示
2．模型特点
(1)动量守恒：两个物体与弹簧相互作用的过程中，若系统所受外力的矢量和为零，则系统动量守恒．
(2)机械能守恒：系统所受的外力为零或除弹簧弹力以外的内力不做功，系统机械能守恒．
(3)弹簧处于最长(最短)状态时两物体速度相同，弹性势能最大，系统动能通常最小(相当于完全非弹性碰
撞，两物体减少的动能转化为弹簧的弹性势能)．
(4)弹簧恢复原长时，弹性势能为零，系统动能最大(相当于刚完成弹性碰撞)．
七、“滑块—斜(曲)面”模型
1．模型图示
2．模型特点
(1)上升到最大高度：m与M具有共同水平速度v共 ，此时m的竖直速度v
y
＝0.系统水平方向动量守恒，mv
0
＝(M＋m)v共 ；系统机械能守恒，mv
0
2＝(M＋m)v共 2＋mgh，其中h为滑块上升的最大高度，不一定等于弧
形轨道的高度(相当于完全非弹性碰撞，系统减少的动能转化为m的重力势能)．
(2)返回最低点：m与M分离点．水平方向动量守恒，mv ＝mv ＋Mv ；系统机械能守恒，mv2＝mv2＋
0 1 2 0 1
Mv2(相当于完成了弹性碰撞)．
2
八、子弹打木块模型
1．模型图示
2．模型特点
(1)子弹水平打进木块的过程中，系统的动量守恒．(2)系统的机械能有损失．
3．两种情景
(1)子弹嵌入木块中，两者速度相等，机械能损失最多(完全非弹性碰撞)
动量守恒：mv＝(m＋M)v
0
能量守恒：Q＝F·s＝mv2－(M＋m)v2
f 0
(2)子弹穿透木块
动量守恒：mv＝mv＋Mv
0 1 2
能量守恒：Q＝F·d＝mv2－(Mv2＋mv2)
f 0 2 1
九、滑块—木板模型
1．模型图示
2．模型特点
(1)系统的动量守恒，但机械能不守恒，摩擦力与两者相对位移的乘积等于系统减少的机械能．
(2)若滑块未从木板上滑下，当两者速度相同时，木板速度最大，相对位移最大．
3．求解方法
(1)求速度：根据动量守恒定律求解，研究对象为一个系统；
(2)求时间：根据动量定理求解，研究对象为一个物体；
(3)求系统产生的内能或相对位移：根据能量守恒定律Q＝FΔx或Q＝E －E ，研究对象为一个系统．
f 初 末
1. （2024·安徽安庆·三模）如图所示，一质量为M=4kg的木板静止在水平面上，木板上距离其左端点为
L=2.5m处放置一个质量为m=1kg的物块（视为质点），物块与木板之间的动摩擦因数为 。t=0时
刻，给木板一个水平向右的瞬时冲量I=20N•s。物块恰好未从木板上滑落。设最大静摩擦力等于滑动摩擦
力，重力加速度取g=10m/s2。求：
（1）木板与地面之间的动摩擦力大小；
（2）若给木板水平向右的冲量的同时，也给物块水平向右的恒力F=5N。求当木板刚停止时物块的动能。
（物块未从木板上滑落）
2. （2024·安徽安庆·三模）如图所示，光滑水平地面上有一固定的光滑圆弧轨道AB，轨道上A点切线沿水
平方向，忽略A点距地面的高度，轨道右侧有质量 的静止薄木板，上表面与A点平齐。一质量
的小滑块（可视为质点）以初速度 从右端滑上薄木板，重力加速度大小为，小滑块与薄木板之间的动摩擦因数为 。
（1）若薄木板左端与A点距离d足够长，薄木板长度 ，薄木板与轨道A端碰后立即静止，求小
滑块离开薄木板运动到轨道上A点时的速度 ；
（2）在（1）中，小滑块继续沿圆弧轨道AB运动至B点沿切线方向飞出，最后落回水平地面，不计空气
阻力，B点与地面间的高度差 保持不变，圆弧AB对应的圆心角 可调，求小滑块的最大水平射
程 及对应的圆心角 ；
（3）若薄木板长度L足够长，薄木板与轨道A端碰后立即以原速率弹回，调节初始状态薄木板左端与A
点距离d，使得薄木板与轨道A端只能碰撞2次，求d应满足的条件。
3. （2024·北京市海淀区·二模）（2）用如图4所示装置研究两个半径相同的小球在轨道水平部分碰撞前后
的动量关系。图5中O点是小球抛出点在地面上的竖直投影。实验时先让a球多次从斜槽上某一固定位置
C由静止释放，其平均落地点的位置为P。再把b球放在水平轨道末端，将a球仍从位置C由静止释放，a
球和b球碰撞后，分别在白纸上留下各自的落点痕迹，重复操作多次，其平均落地点的位置为M、N。测
量出a、b两个小球的质量分别为m 、m （m >m ），OM、OP、ON的长度分别为x 、x 、x 。
1 2 1 2 1 2 3
①在实验误差允许范围内，若满足关系式____________________________（用所测物理量的字母表示），
则可以认为两球碰撞前后的动量守恒。
②换用不同材质的小球再次进行上述实验，计算得出 ，若碰撞过程满足动量守恒，请分析说明
两球碰撞过程机械能是否守恒_____。
4. （2024·北京市海淀区·三模）如图所示，在粗糙水平地面上静止放置着物块B和C，相距 ，
在物块B的左侧固定有少量炸药，在物块B的左边有一弹簧枪，弹簧的弹性势能 ，弹簧枪将小
球A水平发射出去后，小球A与B发生碰撞并导致炸药爆炸使小球A又恰好返回到弹簧枪中将弹簧压缩到初位置，物块B再与物块C发生正碰，碰后瞬间物块C的速度 。已知物块A和物块B的质量
均为 ，若C的质量为B质量的k倍，物块与地面的动摩擦因数 。（设碰撞时间很短，g
取 ）
（1）计算A与B碰撞后瞬间B的速度 ；
（2）计算B与C碰撞前瞬间的速度 ；
（3）根据B与C的碰撞过程分析k的取值范围，并讨论B与C碰撞后B的可能运动方向。
5. （2024·北京市海淀区·一模）如图所示，水平地面上固定着光滑斜槽，斜槽的末端和粗糙地面平滑连接，
设物块通过连接处时速率不发生改变。质量m =0.4kg的物块A从斜槽上端距水平地面高度h=0.8m 处由静
1
止下滑，并与静止在斜槽末端的质量m =0.8kg 的物块B相碰，相碰后物块A立即停止运动，物块 B 滑行
2
一段距离后停止运动。取重力加速度g=10m/s2，两物块均可视为质点。求：
（1）物块A 与物块B 碰撞前瞬间的速度大小。
（2）物块A 与物块B 碰撞过程中A、B 系统损失的机械能。
（3）滑动摩擦力对物块B 做的功。
6. （2024·福建省三明市·一模）如图，固定在竖直面内的导轨PQR，由半径为r的光滑半圆环和足够长水
平导轨组成，水平导轨上的N点左侧光滑、右侧粗糙，半圆环与水平轨道在Q点相切。一根自然长度恰为
r、劲度系数 的轻质弹性绳，一端固定在圆环的顶点P，另一端与一个穿在圆环上、质量为m的
小球 相连。在水平轨道的Q、N两点间依次套着质量均为2m的b、c两个小球，两小球大小相同。开始
时将小球 移到某一位置M，使弹性绳刚好处于原长且伸直状态，然后由静止释放小球a，当小球 在圆
环上达到最大速度时，弹性绳自动脱落。已知弹性绳的弹性势能 与其伸长量x间满足 ，各个
小球与导轨粗糙部分间的动摩擦因数均 ，小球间的碰撞均为弹性碰撞，且碰撞时间极短，重力加速
度为g。求：
（1）释放小球 瞬间，圆环对小球 的作用力F 大小；
N1
（2）弹性绳自动脱落时，小球 沿圆环下滑的速率v ；
m
（3）最终 两球间的距离 。7. （2024·广东多校联考·三模）（多选）如图所示，叠放在一起的a、b两物块从距地面一定高度处由静止
下落，经碰撞后物块b静止在地面上。不考虑空气阻力的影响，b与地面仅碰撞一次，假定所有的碰撞均
为弹性碰撞，则（ ）
A. 下落过程中物块a、b间存在弹力作用
B. 物块b的质量是a的3倍
C. 物块a能反弹的最大高度是其初始下落高度的5倍
D. 物块a反弹的速度是物块b落地速度的2倍
8. （2024·广东4月名校联考）如图，光滑水平地面上有一固定墙壁，紧靠墙面左侧停放一长为L=4m ，
质量为M=0.2kg 的长木板，在距长木板左端为kL（ ）处放置着A、B两小木块，A、B质量均为
m=0.2kg。某时刻，A、B在强大内力作用下突然分开，分开瞬间A的速度为v =4m/s，方向水平向左。 B
A
与墙壁碰撞瞬间不损失机械能，A、B与长木板间的动摩擦因数分别为μ =0.2和μ =0. 3。
A B
（1）求AB分离瞬间，B的速度v；
1
（2）若 ，求A离开木板时，B的速度大小v；
2
（3）若 ，试讨论摩擦力对B所做的功。
9. （2024·广西南宁市、河池市等校联考·二模）如图所示，两物体A、B之间有一压缩的轻质弹簧并置于
光滑的水平面上，两物体与轻弹簧不连接，开始用细线将两物体拴接，某时刻将细线烧断。已知弹簧储存
的弹性势能为 ，物体A、B的质量分别为3m、m。则下列说法正确的是（ ）A. 两物体与弹簧分离时，物体A的速度为 B. 两物体与弹簧分离时，物体B的速度为
C. 轻弹簧对两物体做的功相同 D. 轻弹簧对两物体的冲量大小相等
10. （2024·河北·三模）滑雪是人们在冬季喜爱的户外运动。如图所示，斜面的倾角为 ，滑车甲（含坐
在里面的人）的总质量 ，从距斜面底端高度 处的A点沿斜面由静止开始匀加速下滑，
下滑到B点时的速度大小 ，然后滑车甲进入水平滑道，滑车甲在水平滑道上滑行的距离
时与静止于C点、质量 的空滑车乙相碰（碰撞时间可忽略不计），两车碰后速度
相同，两滑车与斜面和水平滑道间的动摩擦因数相同，两滑车均可视为质点，不计空气阻力，不计滑车甲
通过B点时的机械能损失。求：
（1）滑车甲与斜面间的动摩擦因数 ；
（2）两滑车碰后滑行的距离s。
11. （2024·湖北省十一校联考·二模）下图是大型户外水上竞技闯关活动中“渡河”环节的简化图。固定在
地面上的圆弧轨道上表面光滑。质量 的平板浮于河面上，其左端紧靠着圆弧轨道，且其上表面
高度差 处由静止滑下，人与A碰撞后经 与平板速度相等，此时A恰好冲出平板并沉入
水中，不影响平板运动。已知人、橡胶块与平板间的动摩擦因数均为 ；平板受到水的阻力是其所
受浮力的k倍 。平板碰到河岸立即被锁定。河面平静，水的流速忽略不计，整个过程中有足够的
安全保障措施。人、橡胶块A可看作质点，重力加速度g取 ，求：
（1）人与橡胶块A相撞之后，A冲出平板之前，平板的加速度多大；
（2）人与橡胶块A相撞之后瞬间，A的速度多大；
（3）若“渡河”过程中，平板能够碰到河岸，河岸宽度的最大值。
