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专题 05 抛体模型的运动学问题与功能动量
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一．平抛运动的运动描述
二．平抛与斜面、台阶、圆问题
三．平抛的临界问题
四．平抛运动与功能动量
五、平抛运动的轨迹
一．平抛运动的运动描述
1． 平抛运动中的物理量
两个三角形，速度与位移；
九个物理量，知二能求一；
时间和角度，桥梁和纽带；
时间为明线，角度为暗线。
2．平抛运动时间和水平射程
(1)运动时间：由 知，运动时间取决于下落高度h，与初速度v 无关。
0
(2)水平射程：x＝vt＝v ，即水平射程由初速度v 和下落高度h共同决定。
0 0 0
3．速度和位移的变化规律
(1)速度的变化规律
任一时刻的速度水平分量均等于初速度v。
0
任一相等时间间隔Δt内的速度变化量方向竖直向下，大小Δv＝Δv＝gΔt。
① y
(2)位移的变化规律
②
任一相等时间间隔内，水平位移相同，即Δx＝vΔt。
0
连续相等的时间间隔Δt内，竖直方向上的位移差不变，即Δy＝gΔt2。
①
4.平抛运动常用三种解法
②
正交分解法：分解位移（位移三角形）：若已知h、x，可求出 ；
①
分解速度（速度三角形）：若已知v、θ，可求出 ；
0
推论法：若已知h、x，可求出 ；
②
动能定理法：若已知h、v，动能定理： ，可求出 。
0
5． 重要推论的两种表述
③
(1)做平抛(或类平抛)运动的物体任意时刻速度的反向延长线一
定通过此时水平位移的中点，如图甲中A点和B点所示。
(2)做平抛(或类平抛)运动的物体在任一时刻任一位置处，设其速度方向与水平方向的夹角为θ，位移与水平方向的夹角为α，则tan θ＝2tan α，如图乙所示。
二．平抛与斜面、台阶、圆问题
1． 斜面上平抛运动的时间的计算
斜面上的平抛(如图)，分解位移（位移三角形）
x＝vt ，y＝ gt2，
0
tan θ＝ ，可求得t＝ 。
2． 斜面上平抛运动的推论
根据推论可知，tanα=2tanθ，同一个斜面同一个θ，所以，无论平抛初速度大小如何，落到斜面速度方向
相同。
3． 与斜面的最大距离问题
两种分解方法：
4． 垂直撞斜面平抛运动的时间的计算
5． 撞斜面平抛运动中的最小位移问题
6． 底端正上方平抛撞斜面中的几何三角形
7． 台阶平抛运动问题
方法 临界速度法 虚构斜面法
① ②
示意图
8． 半圆模型的平抛运动时间的计算
（1）在半圆内的平抛运动(如图)，由半径和几何关系制约时间t: h＝ gt2，R± ＝vt，联立
0
两方程可求t。（2）或借助角度θ，分解位移可得：x: R(1+cosθ)=vt，y: Rsinθ=½gt2，联立两方程可求t或
0
v。
0
9． 平抛与圆相切问题10．半圆模型平抛运动的推论
从半圆端点平抛 ，落在圆面时的速度不可能垂直圆面。根据推论速度的反向延长线交于水平位移的中
点，则不可能过圆心，也就不可 能垂直圆面。
三．平抛的临界问题
1．平抛运动中的临界速度问题
从网上擦过的临界速度
出界的临界速度
2．既擦网又压 线的双临界问题
根 据 ，可得比值：
3．撞墙平抛运动的时间的计算
若已知x和v ，根据水平方向匀速运动，可求得时间 ，则竖直速度为v=gt、高度
0。
为 .
撞墙末速度的反向延长线，交于水平位移的中点，好像是从同一点沿直线发出来的一样，如图。
5． 平抛的相遇问题
平抛与自由落体 平抛与竖直上抛 平抛与平抛 平抛与匀速
x:l=vt; x:s=v t; 球1比球2先抛 球 3、4 同时 x:l=(v-t )t;
1 1 2
y:½gt2+v 2 t-½gt2=H, t 1 >t 2 、v 1 v 4；
y:t=
联立得H/v=s/t
2
联立得
6． 斜抛运动一分为二:从最高点分为两个平抛运动
水平方向——匀速直线运动 ；
逆向思维
①
竖直方向——竖直上抛运动
②
四．平抛运动与功能动量
1.做平抛运动的物体：
2.做平抛运动的物体重力的瞬时功率：
3.做平抛运动的物体重力的平均功率：
4.做平抛运动的物体：
5.做平抛运动的物体动量变化率恒定：
6.做平抛运动的物体处于完全失重状态；只有重力做功机械能守恒。
五、平抛运动的轨迹
1．平抛轨迹完整(即含有抛出点)
在轨迹上任取一点，测出该点离原点的水平位移 x及竖直位移y，就可求出初速度v ，因x＝vt，y＝
0 0
gt2，故v＝x 。
0
2.平抛轨迹残缺(即无抛出点)
如图所示，在轨迹上任取三点A、B、C，使A、B间及B、C间的水平距离相等，由平抛
运动的规律可知，A、B间与B、C间所用时间相等，设为t，则Δh＝h －h ＝gt2，所以
BC AB
t＝ ，所以初速度v＝ ＝x 。
0
【模型演练1】（2023·山西·统考高考真题）将扁平的石子向水面快速抛出，石子可能会在水面上一跳一
跳地飞向远方，俗称“打水漂”。要使石子从水面跳起产生“水漂”效果，石子接触水面时的速度方向与水面
的夹角不能大于θ。为了观察到“水漂”，一同学将一石子从距水面高度为h处水平抛出，抛出速度的最小
值为多少？（不计石子在空中飞行时的空气阻力，重力加速度大小为g）
【模型演练2】（2023上·云南昆明·高三云南师大附中校考阶段练习）如图所示，竖直面内有一正方形区
域，其 边和 边水平。一小球 自 点由静止释放，从 点以速率 穿出
区域。现将 等若干个小球自
点，先后以不同的水平速度平行该竖直面抛入区域，小球从 边上除 两点以外
的各处穿出 边。忽略空气阻力，重力加速度的大小为 。（1）求该正方形区域的边长 ；
（2）小球 是所有穿过正方形区域过程中动量变化量为 的小球中，穿出时速度最大的小球，
求其进入正方形区域时速度的大小 ；
（3）小球 穿过正方形区域的过程中，它们的动能变化量之比为 ，求小球 穿出正方
形区域时速度的大小 。
【模型演练3】（2023·山东潍坊·统考模拟预测）如图甲是风洞实验室全景图，风洞实验室是可量度气流
对实体作用效果以及观察物理现象的一种管道状实验设备。图乙为风洞实验室的侧视图，两水平面（虚
线）之间的距离为H，其间为风洞区域，物体进入该区域会受到水平方向的恒力，自该区域下边界的O
点将质量为m的小球以一定的初速度竖直上抛，从M点离开风洞区域，经过最高点Q后小球再次从N点
返回风洞区域后做直线运动，落在风洞区域的下边界P处，NP与水平方向的夹角为37°，
， ，重力加速度大小为g。求；
（1）风洞区域小球受到水平方向恒力的大小；
（2）小球运动过程中离风洞下边界OP的最大高度；
（3）OP的距离。
【模型演练4】（2024·湖北武汉·校联考模拟预测）“中国载人月球探测工程”计划在2030年前实现中国人
首次登陆月球。设想在地球和月球上有两个倾角相同的山坡，简化为如图所示的足够长的倾角为θ的斜
面。现分别从这两个山坡上以相同大小的速度v0 水平抛出两个完全相同的小球，小球再次落到山坡上时
速度大
小分别记为v1 、v2 ，速度方向与坡面的夹角分别记为θ1 、θ2 。已知地球与月球表面重力加速度分别为g、
，不计小球在地球上运动时的空气阻力，以下关系正确的是（ ）
A．θ2 ＞θ1 B．θ2 ＜θ1 C．v2 ＜v1 D．v2 ＝v11．（2024上·江苏苏州·高三统考期末）如图甲，我国某些农村地区人们用手抛撒谷粒进行水稻播种。某
次抛出的谷粒中有两颗的运动轨迹如图乙所示，其轨迹在同一竖直平面内，抛出点均为O，且轨迹交于P
点，抛出时谷粒1和谷粒2的初速度分别为 和 ，其中 方向水平， 方向斜向上。忽
略空气阻力，关于两谷粒在空中的运动，下列说法正确的是 （ ）
A．从O到P两谷粒的动量变化相同
B．从O到P两谷粒的动能变化相同
C．从O到P两谷粒的运动时间相等
D．谷粒2在最高点的速度小于
2．（2024上·江苏常州·高三统考期末）在海边的山坡高处的岸防炮，可以同时向两个方向投出弹丸，射
击海面上的不同目标。如图所示，在一次投射中，岸防炮以相同大小的初速度v0 在同一竖直面内同时射
出两颗弹丸，速度方向与水平方向夹角均为θ，不计空气阻力。则（ ）
A．到达海面时两炮弹的速度大小相同方向不同
B．到达海面前两炮弹之间的距离越来越小
C．到达海面前两炮弹的相对速度越来越大
D．到达海面前两炮弹总在同一竖直线上
3．（2024上·河北保定·高三统考期末）将弹性小球以某初速度从O点水平抛出，与地面发生弹性碰撞
（碰后竖直速度与碰前等大反向，水平速度不变），反弹后在下降过程中恰好经过固定于水平面上的竖直
挡板的顶端。已知O点高度为1.25m，与挡板的水平距离为6.5m，挡板高度为0.8m， ，
不计空气阻力的影响。下列说法中正确的是（ ）
A．小球水平方向的速率为5m/s
B．小球第一次落地时速度与水平方向的夹角为30°
C．小球经过挡板上端时，速度与水平方向夹角的正切值为1
D．小球从挡板上端运动到水平地面经历的时间为0.4s4．（2024上·北京昌平·高三统考期末）一小球做平抛运动，小球的速度大小v、加速度大小a、动能Ek 和
机械能E随时间t的变化关系图像如图所示，其中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024·广东惠州·统考三模）图（a）为某景区的蛙口喷泉，两次喷出水的轨迹A、B如图（b）所示，
最
大高度相同，轨迹A的落点M恰好在轨迹B最高点的正下方，不计空气阻力，对轨迹A、B的说法正确的
是（ ）
A．水滴在空中运动的时间不相同
B．水滴的初速度大小相等
C．水滴在最高点速度均为0
D．质量相同的水滴在空中运动过程中动量的变化量相同
6．（2023上·广东茂名·高三统考阶段练习）在足球场上罚任意球时，防守运动员会在球门与罚球点之间
站成一堵“人墙”，以增加防守面积，防守运动员会在足球踢出瞬间高高跃起，以增加防守高度。如图所
示，虚线是某次射门时足球的运动轨迹，足球恰好擦着横梁下沿进入球门，忽略空气阻力和足球的旋转，
下列说法正确的是（ ）
A．足球上升到最高点时的速度为0
B．足球下降过程中重力的功率一直在增大
C．足球在飞行过程中机械能先减小后增大
D．只要防守运动员跳起的最大高度超过轨迹最高点，就一定能“拦截”到足球
7.（2024·河南郑州·统考一模）如图所示，正方体框架 的底面 处于水平
地面上。从顶点A沿不同方向水平抛出小球（可视为质点），不计空气阻力。关于小球的运动，下列说法
正确的是（ ）A．落点在 上的小球，落在 点时平抛的初速度最大
B．落点在 内的小球，落在 点的运动时间最长
C．落点在 上的小球，平抛初速度的最小值与最大值之比是
D．落点在 上的小球，落地时重力的瞬时功率均不相同
8．（2023上·江苏南通·高三江苏省如东高级中学校联考学业考试）如图所示为某名运动员保持固定姿势
欲骑车飞跃宽度d=2 m的壕沟AB。已知两沟沿的高度差h=0.4 m，g取10 m/s2 ，不计空气阻力。下列说法
正确的是（ ）
A．运动员在空中飞行的过程中，重力的功率逐渐增大
B．运动员离开A点时的速度越大，在空中运动的时间越长
C．运动员在空中飞行的过程中，动量变化量的方向斜向右下方
D．运动员离开A点时的速度大于5 m/s就能安全越过壕沟
9．（2023上·广西·高三校联考阶段练习）“投壶”是中国古代士大夫宴饮时做的一种投掷游戏。如图所
示，若将投壶用的箭（质量均相等）视为质点，投壶时箭距壶口的高度为 ，与壶边缘的最近水平距
离为 ，壶的口径为 。若将箭的运动视为平抛运动，假设箭都投入壶中，重力加速度为
，则（ ）
A．若箭的初速度为 ，则
B．箭落入壶中前瞬间重力的功率不相同
C．箭投入壶中时，最大速度与最小速度之比为
D．箭从抛出到刚落入壶的整个过程中动量的变化量都相同
10.（2023·湖北·模拟预测）如图所示，在光滑的水平面内建立xOy坐标，质量为m的小球以某一速度从O
点出发后，受到一平行于y轴方向的恒力作用，恰好通过A点，已知小球通过A点的速度大小为v0 ，方向
沿x轴正方向，且OA连线与Ox轴的夹角为30°，则（ ）A．恒力的方向一定沿y轴正方向
B．恒力在这一过程中所做的功为
C．恒力在这一过程中的冲量大小为
D．小球从O点出发时的动能为
11.（多选）（2024上·河南南阳·高三校联考阶段练习）消防车从同一点M分别以不同的初速度沿与水平
方向成30°和60°的夹角喷出甲、乙两水柱，两水柱经过空间同一点N，M、N两点在同一水平线上，如图
所示，忽略空气阻力，下列说法正确的是（ ）
A．甲、乙水柱喷出时的初速度大小之比为1 2
B．甲、乙水柱从M点运动到N点的时间之比∶为 1
C．甲、乙水柱上升的最大高度之比1 3
∶
D．甲、乙水柱从M点运动到N点过程∶ 平均速度之比为 1
12．（多选）（2023上·内蒙古呼和浩特·高三统考阶段练习）如图所示，质量相同的两个小球A、B分别
∶
从3L
和L的高度水平抛出后落地，A、B的水平位移大小分别为L和2L，忽略空气阻力，则下列说法正确的是
（ ）
A．A、B的飞行时间之比为3 1
B．A、B的初速度大小之比为∶
C．A、B落地时重力的瞬时功率之比为
D．A、B从抛出到落地过程中重力的平均功率之比为
13．（多选）（2024上·河北·高三雄县第一高级中学校联考期末）云顶滑雪公园位于张家口市境内，这里年平均气温只有 ，积雪时间长达150天，2022年冬奥会单板、自由式滑雪比赛在这里成功举
行，随着冬季的来临这里成为了小朋友滑雪的天堂。如图所示为滑雪场地的简易图，小朋友由O点静止
下滑，从A点沿水平方向离开轨道，经过一段时间落在倾角为 的斜坡上的D点，假设小朋友可视为
质点，且空气的阻力可忽略。小朋友由A到D的过程，下列说法正确的是（ ）
A．在任意相等时间内，小朋友动量的变化量相等
B．在下落任意相同的高度，小朋友动量的变化量相等
C．小朋友落在D点时速度与水平方向夹角的正切值等于
D．若从O点下方静止下滑，则小朋友落在BC段时速度与水平方向的夹角增大
14．（多选）（2023上·云南楚雄·高三云南省楚雄东兴中学校考阶段练习）将一质量为 的小球
水平抛出，其运动轨迹上有A、B、C三点，如图所示。其中A为抛出点，小球从A到B和B到C所用时
间均为 ，且位移大小之比为 ，忽略空气阻力，重力加速度g取 。下列说法正确
的是（ ）
A．小球从A到C动量变化量大小为
B．小球从A到C重力的平均功率为
C．小球平抛的初速度大小为
D．小球在B点的动量大小为
15．（2023·陕西咸阳·校考模拟预测）如图所示的坐标系，x轴水平向右，质量为m=0.5kg的小球从坐标
原点O处，以初速度 斜向右上方抛出，同时受到斜向右上方恒定的风力 的作
用，风力与 的夹角为30°，风力与x轴正方向的夹角也为30°，重力加速度g取10m/s2 ，下列说法正
确的是（ ）
A．小球的加速度大小为10m/s2
B．加速度与初速度 的夹角为60°C．小球做类斜抛运动
D．当小球运动到x轴上的P点（图中未标出），则小球在P点的横坐标为
16.（2024·福建泉州·统考二模）在2023年杭州亚运会女子铅球决赛中，我国运动员巩立姣以19.58m的成
绩成功卫冕。运动员为了寻求最佳效果，训练时会尝试不同质昼和不同夹角的抛球感觉。如图，在某次训
练中运动员将质量 的铅球斜向上抛出，铅球离开手的瞬间速度大小 ，方向与水
平夹角 ，铅球离开手时离水平地面的高度 。取重力加速度 ，
， ，不计空气阻力。求铅球：
（1）离开手瞬间的水平分速度大小 和竖直分速度大小 ；
（2）上升到最高点的时间t和离地面的最大高度H；
（3）落地前瞬间的动能 。
17．（2023·全国·统考高考真题）如图，光滑水平桌面上有一轻质弹簧，其一端固定在墙上。用质量为m
的小球压弹簧的另一端，使弹簧的弹性势能为 。释放后，小球在弹簧作用下从静止开始在桌面上运
动，与弹簧分离后，从桌面水平飞出。小球与水平地面碰撞后瞬间，其平行于地面的速度分量与碰撞前瞬
间相等；垂直于地面的速度分量大小变为碰撞前瞬间的 。小球与地面碰撞后，弹起的最大高度为
h。重力加速度大小为g，忽略空气阻力。求
（1）小球离开桌面时的速度大小；
（2）小球第一次落地点距桌面上其飞出点的水平距离。
18．（2022·全国·统考高考真题）将一小球水平抛出，使用频闪仪和照相机对运动的小球进行拍摄，频闪
仪每隔 发出一次闪光。某次拍摄时，小球在抛出瞬间频闪仪恰好闪光，拍摄的照片编辑后如图
所示。图中的第一个小球为抛出瞬间的影像，每相邻两个球之间被删去了3个影像，所标出的两个线段的
长度 和 之比为3：7。重力加速度大小取 ，忽略空气阻力。求在抛出瞬间小球
速度的大小。19．（2024·云南昆明·统考一模）如图所示，将一质量为0.2kg可视为质点的小球从离水平地面3.2m高的
P点水平向右击出，测得第一次落点A与P点的水平距离为2.4m。小球落地后反弹，反弹后离地的最大
高度为1.8m，第一次落点A与第二次落点B之间的距离为2.4m。不计空气阻力，重力加速度g取
10m/s2 。求：
（1）小球被击出时的速度大小；
（2）小球第一次与地面接触过程中所受合外力的冲量大小。
20．（2023上·河南·高三校联考阶段练习）如图所示，风洞实验室中可以产生竖直向上、大小恒定的风
力，一个质量为m的小球在O点以水平初速度v0 抛出，恰好能沿水平方向运动到P点，O、P间的距离为
L，将风力调大，小球仍由O点以水平初速度v0 抛出，结果恰好经过P点正上方的Q点，P，Q间的距离
为 ，重力加速度为g，求：
（1）调节后的风力大小；
（2）小球运动到Q点时的速度大小和方向。
21．（2023·山东·高三专题练习）在光滑水平桌面内建一个直角坐标系如图所示，一个质量为m的小球放
在第二象限的A点，给小球沿x轴正方向的初速度v0 ，同时对小球施加沿y轴负方向的恒力F作用，当小
球运动到原点O时，速度方向与x轴正方向的夹角为45°，此时突然将力F方向变为沿x轴负方向，大小
不变，一段时间后小球经过y轴上的B点。
（1）A点的坐标；
（2）B点的坐标。
