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专题05 抛体模型的运动学问题与功能动量
目录
一．平抛运动的运动描述..........................................................................................................................................1
二．平抛与斜面、台阶、圆问题.............................................................................................................................. 2
三．平抛的临界问题..................................................................................................................................................3
四．平抛运动与功能动量..........................................................................................................................................5
五、平抛运动的轨迹..................................................................................................................................................5
一．平抛运动的运动描述
1． 平抛运动中的物理量
两个三角形，速度与位移；
九个物理量，知二能求一；
时间和角度，桥梁和纽带；
时间为明线，角度为暗线。
2．平抛运动时间和水平射程
(1)运动时间：由
知，运动时间取决于下落高度h，与初速度v0无关。
(2)水平射程：x＝v0t＝v0，即水平射程由初速度v0和下落高度h 共同决定。
3．速度和位移的变化规律
(1)速度的变化规律
①任一时刻的速度水平分量均等于初速度v0。
②任一相等时间间隔Δt 内的速度变化量方向竖直向下，大小Δv＝Δvy＝gΔt。
(2)位移的变化规律
①任一相等时间间隔内，水平位移相同，即Δx＝v0Δt。
②连续相等的时间间隔Δt 内，竖直方向上的位移差不变，即Δy＝gΔt2。
4.平抛运动常用三种解法
①正交分解法：分解位移（位移三角形）：若已知h、x，可求出
；
分解速度（速度三角形）：若已知v0、θ，可求出
；
α
θ
v0
v
x
h
1
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②推论法：若已知h、x，可求出
；
③动能定理法：若已知h、v0，动能定理：
，可求出
。
5． 重要推论的两种表述
(1)做平抛(或类平抛)运动的物体任意时刻速度的反向延长线一定通过此时
水平位移的中点，如图甲中A 点和B 点所示。
(2)做平抛(或类平抛)运动的物体在任一时刻任一位置处，设其速度方向与水
平方向的夹角为θ，位移与水平方向的夹角为α，则tan θ＝2tan α，如图乙
所示。
二．平抛与斜面、台阶、圆问题
1． 斜面上平抛运动的时间的计算
斜面上的平抛(如图)，分解位移（位移三角形）
x＝v0t ，y＝gt2，
tan θ＝，可求得t＝。
2． 斜面上平抛运动的推论
根据推论可知，tanα=2tanθ，同一个斜面同一个θ，所以，无论平抛
初速度大
小如何，落到斜面速度方向相同。
3． 与斜面的最大距离问题
两种分解方法：
4． 垂直撞斜面平抛运动的时间的计算
5． 撞斜面平抛运动中的最小位移问题
6． 底端正上方平抛撞斜面中的几何三角形
v0
θ(
v
)θ
dm
x
y
v0
θ(
v
)θ
dm
)θ
g
θ
x
y
x
H-y
H
)θ
v0
)α
)α
θ(
v0
2
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7． 台阶平抛运动问题
方法
①临界速度法
②虚构斜面法
示意图
8． 半圆模型的平抛运动时间的计算
（1）在半圆内的平抛运动(如图)，由半径和几何关系制约时间t: h＝gt2，R±＝v0t，联立两方程可求t。
（2）或借助角度θ，分解位移可得：x: R(1+cosθ)=v0t，y: Rsinθ=½gt2，联立两方程可求t 或v0。
9． 平抛与圆相切问题
10．半圆模型平抛运动的推论
从半圆端点平抛，落在圆面时的速度不可能垂直圆面。根据推论速度的反向延长线交于水平位移的中点，
则不可能过圆心，也就不可能垂直圆面。
三．平抛的临界问题
1．平抛运动中的临界速度问题
从网上擦过的临界速度
v1=s1√
g
2(h1−h2)
出界的临界速度
v2=(s1+s2)√
g
2h1
2．既擦网又压线的双临界问题
v0
h
s
v0
h
s
θ(
)θ
θ
)θ
v0
v1
s1
h2
s2
v2
h1
s1
h2
s2
h1
3
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根据
h=1
2 g(
s
v0)
2
，可得比值：
h1−h2
h1
=
s
12
(s1+s2)2
3．撞墙平抛运动的时间的计算
若已知x 和v0。，根据水平方向匀速运动，可求得时间
，则竖直速度为v=gt、高度为
.
撞墙末速度的反向延长线，交于水平位移的中点，好像是从同一点沿直线发出来的一样，如图。
5． 平抛的相遇问题
平抛与自由落体
平抛与竖直上抛
平抛与平抛
平抛与匀速
x:l=vt;
y:空中相遇t<√
2h
g
联立得
l
v <√
2h
g
x:s=v1t;
y:½gt2+v2t-½gt2=H,
t=H/v2
联立得H/v2=s/t
球1 比球2 先抛
t1>t2、v1<v2；
球3、4 同时抛
t1=t2、v3>v4；
x:l=(v1-t2)t;
y:t=√
2H
g
6． 斜抛运动
水平方向——匀速直线运动
；
竖直方向——竖直上抛运动
①一分为二:从最高点分为两个平抛运动
②逆向思维
四．平抛运动与功能动量
1.做平抛运动的物体：
2.做平抛运动的物体重力的瞬时功率：
v2
v1
v3
v4
y
v0
o
θ
vx
vy
x
v0cosθ
vx
x
x/2
xv0
x
v0
4
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3.做平抛运动的物体重力的平均功率：
4.做平抛运动的物体：
5.做平抛运动的物体动量变化率恒定：
6.做平抛运动的物体处于完全失重状态；只有重力做功机械能守恒。
五、平抛运动的轨迹
1．平抛轨迹完整(即含有抛出点)
在轨迹上任取一点，测出该点离原点的水平位移x 及竖直位移y，就可求出初速度v0，因x＝v0t，y＝gt2，
故v0＝x 。
2.平抛轨迹残缺(即无抛出点)
如图所示，在轨迹上任取三点A、B、C，使A、B 间及B、C 间的水平距离相等，由平抛运动的规
律可知，A、B 间与B、C 间所用时间相等，设为t，则Δh＝hBC－hAB＝gt2，所以t＝，所以初速度v0
＝＝x 。
【模型演练1】（2023·山西·统考高考真题）将扁平的石子向水面快速抛出，石子可能会在水面上一跳一跳
地飞向远方，俗称“打水漂”。要使石子从水面跳起产生“水漂”效果，石子接触水面时的速度方向与水
面的夹角不能大于θ。为了观察到“水漂”，一同学将一石子从距水面高度为h 处水平抛出，抛出速度的
最小值为多少？（不计石子在空中飞行时的空气阻力，重力加速度大小为g）
【模型演练2】（2023 上·云南昆明·高三云南师大附中校考阶段练习）如图所示，竖直面内有一正方形区
域，其
边和
边水平。一小球
自
点由静止释放，从
点以速率
穿出区域。现将
等若干个
小球自
点，先后以不同的水平速度平行该竖直面抛入区域，小球从
边上除
两点以外的各处
穿出
边。忽略空气阻力，重力加速度的大小为
。
（1）求该正方形区域的边长
；
（2）小球
是所有穿过正方形区域过程中动量变化量为
的小球中，穿出时速度最大的小球，求其进入
正方形区域时速度的大小
；
5
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（3）小球
穿过正方形区域的过程中，它们的动能变化量之比为
，求小球穿出正方形区域时速度
的大小
。
【模型演练3】（2023·山东潍坊·统考模拟预测）如图甲是风洞实验室全景图，风洞实验室是可量度气流对
实体作用效果以及观察物理现象的一种管道状实验设备。图乙为风洞实验室的侧视图，两水平面（虚线）
之间的距离为H，其间为风洞区域，物体进入该区域会受到水平方向的恒力，自该区域下边界的O 点将质
量为m 的小球以一定的初速度竖直上抛，从M 点离开风洞区域，经过最高点Q 后小球再次从N 点返回风
洞区域后做直线运动，落在风洞区域的下边界P 处，NP 与水平方向的夹角为37°，
，
，重力加速度大小为g。求；
（1）风洞区域小球受到水平方向恒力的大小；
（2）小球运动过程中离风洞下边界OP 的最大高度；
（3）OP 的距离。
【模型演练4】（2024·湖北武汉·校联考模拟预测）“中国载人月球探测工程”计划在2030 年前实现中国
人首次登陆月球。设想在地球和月球上有两个倾角相同的山坡，简化为如图所示的足够长的倾角为θ 的斜
面。现分别从这两个山坡上以相同大小的速度v0水平抛出两个完全相同的小球，小球再次落到山坡上时速
度大小分别记为v1、v2，速度方向与坡面的夹角分别记为θ1、θ2。已知地球与月球表面重力加速度分别为
g、
，不计小球在地球上运动时的空气阻力，以下关系正确的是（ ）
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A．θ2＞θ1
B．θ2＜θ1
C．v2＜v1
D．v2＝v1
1．（2024 上·江苏苏州·高三统考期末）如图甲，我国某些农村地区人们用手抛撒谷粒进行水稻播种。某次
抛出的谷粒中有两颗的运动轨迹如图乙所示，其轨迹在同一竖直平面内，抛出点均为O，且轨迹交于P 点，
抛出时谷粒1 和谷粒2 的初速度分别为
和
，其中
方向水平，
方向斜向上。忽略空气阻力，关于两
谷粒在空中的运动，下列说法正确的是 （ ）
A．从O 到P 两谷粒的动量变化相同
B．从O 到P 两谷粒的动能变化相同
C．从O 到P 两谷粒的运动时间相等
D．谷粒2 在最高点的速度小于
2．（2024 上·江苏常州·高三统考期末）在海边的山坡高处的岸防炮，可以同时向两个方向投出弹丸，射击
海面上的不同目标。如图所示，在一次投射中，岸防炮以相同大小的初速度v0在同一竖直面内同时射出两
颗弹丸，速度方向与水平方向夹角均为θ，不计空气阻力。则（ ）
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A．到达海面时两炮弹的速度大小相同方向不同
B．到达海面前两炮弹之间的距离越来越小
C．到达海面前两炮弹的相对速度越来越大
D．到达海面前两炮弹总在同一竖直线上
3．（2024 上·河北保定·高三统考期末）将弹性小球以某初速度从O 点水平抛出，与地面发生弹性碰撞
（碰后竖直速度与碰前等大反向，水平速度不变），反弹后在下降过程中恰好经过固定于水平面上的竖直
挡板的顶端。已知O 点高度为1.25m，与挡板的水平距离为6.5m，挡板高度为0.8m，
，不计空
气阻力的影响。下列说法中正确的是（ ）
A．小球水平方向的速率为5m/s
B．小球第一次落地时速度与水平方向的夹角为30°
C．小球经过挡板上端时，速度与水平方向夹角的正切值为1
D．小球从挡板上端运动到水平地面经历的时间为0.4s
4．（2024 上·北京昌平·高三统考期末）一小球做平抛运动，小球的速度大小v、加速度大小a、动能Ek和
机械能E 随时间t 的变化关系图像如图所示，其中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2024·广东惠州·统考三模）图（a）为某景区的蛙口喷泉，两次喷出水的轨迹A、B 如图（b）所示，
最大高度相同，轨迹A 的落点M 恰好在轨迹B 最高点的正下方，不计空气阻力，对轨迹A、B 的说法正确
的是（ ）
8
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A．水滴在空中运动的时间不相同
B．水滴的初速度大小相等
C．水滴在最高点速度均为0
D．质量相同的水滴在空中运动过程中动量的变化量相同
6．（2023 上·广东茂名·高三统考阶段练习）在足球场上罚任意球时，防守运动员会在球门与罚球点之间站
成一堵“人墙”，以增加防守面积，防守运动员会在足球踢出瞬间高高跃起，以增加防守高度。如图所示，
虚线是某次射门时足球的运动轨迹，足球恰好擦着横梁下沿进入球门，忽略空气阻力和足球的旋转，下列
说法正确的是（ ）
A．足球上升到最高点时的速度为0
B．足球下降过程中重力的功率一直在增大
C．足球在飞行过程中机械能先减小后增大
D．只要防守运动员跳起的最大高度超过轨迹最高点，就一定能“拦截”到足球
7.（2024·河南郑州·统考一模）如图所示，正方体框架
的底面
处于水平地面上。
从顶点A 沿不同方向水平抛出小球（可视为质点），不计空气阻力。关于小球的运动，下列说法正确的是
（ ）
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A．落点在
上的小球，落在
点时平抛的初速度最大
B．落点在
内的小球，落在
点的运动时间最长
C．落点在
上的小球，平抛初速度的最小值与最大值之比是
D．落点在
上的小球，落地时重力的瞬时功率均不相同
8．（2023 上·江苏南通·高三江苏省如东高级中学校联考学业考试）如图所示为某名运动员保持固定姿势欲
骑车飞跃宽度d=2 m 的壕沟AB。已知两沟沿的高度差h=0.4 m，g 取10 m/s2，不计空气阻力。下列说法正
确的是（ ）
A．运动员在空中飞行的过程中，重力的功率逐渐增大
B．运动员离开A 点时的速度越大，在空中运动的时间越长
C．运动员在空中飞行的过程中，动量变化量的方向斜向右下方
D．运动员离开A 点时的速度大于5 m/s 就能安全越过壕沟
9．（2023 上·广西·高三校联考阶段练习）“投壶”是中国古代士大夫宴饮时做的一种投掷游戏。如图所示，
若将投壶用的箭（质量均相等）视为质点，投壶时箭距壶口的高度为，与壶边缘的最近水平距离为
，
壶的口径为
。若将箭的运动视为平抛运动，假设箭都投入壶中，重力加速度为
，则（ ）
A．若箭的初速度为
，则
B．箭落入壶中前瞬间重力的功率不相同
C．箭投入壶中时，最大速度与最小速度之比为
10
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D．箭从抛出到刚落入壶的整个过程中动量的变化量都相同
10.（2023·湖北·模拟预测）如图所示，在光滑的水平面内建立xOy 坐标，质量为m 的小球以某一速度从O
点出发后，受到一平行于y 轴方向的恒力作用，恰好通过A 点，已知小球通过A 点的速度大小为v0，方向
沿x 轴正方向，且OA 连线与Ox 轴的夹角为30°，则（ ）
A．恒力的方向一定沿y 轴正方向
B．恒力在这一过程中所做的功为
C．恒力在这一过程中的冲量大小为
D．小球从O 点出发时的动能为
11.（多选）（2024 上·河南南阳·高三校联考阶段练习）消防车从同一点M 分别以不同的初速度沿与水平方
向成30°和60°的夹角喷出甲、乙两水柱，两水柱经过空间同一点N，M、N 两点在同一水平线上，如图所
示，忽略空气阻力，下列说法正确的是（ ）
A．甲、乙水柱喷出时的初速度大小之比为1 2∶
B．甲、乙水柱从M 点运动到N 点的时间之比为
∶1
C．甲、乙水柱上升的最大高度之比1 3∶
D．甲、乙水柱从M 点运动到N 点过程平均速度之比为
∶1
12．（多选）（2023 上·内蒙古呼和浩特·高三统考阶段练习）如图所示，质量相同的两个小球A、B 分别
从3L 和L 的高度水平抛出后落地，A、B 的水平位移大小分别为L 和2L，忽略空气阻力，则下列说法正确
的是（ ）
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A．A、B 的飞行时间之比为3 1∶
B．A、B 的初速度大小之比为
C．A、B 落地时重力的瞬时功率之比为
D．A、B 从抛出到落地过程中重力的平均功率之比为
13．（多选）（2024 上·河北·高三雄县第一高级中学校联考期末）云顶滑雪公园位于张家口市境内，这里
年平均气温只有
，积雪时间长达150 天，2022 年冬奥会单板、自由式滑雪比赛在这里成功举行，随
着冬季的来临这里成为了小朋友滑雪的天堂。如图所示为滑雪场地的简易图，小朋友由O 点静止下滑，从
A 点沿水平方向离开轨道，经过一段时间落在倾角为
的斜坡上的D 点，假设小朋友可视为质点，且空气
的阻力可忽略。小朋友由A 到D 的过程，下列说法正确的是（ ）
A．在任意相等时间内，小朋友动量的变化量相等
B．在下落任意相同的高度，小朋友动量的变化量相等
C．小朋友落在D 点时速度与水平方向夹角的正切值等于
D．若从O 点下方静止下滑，则小朋友落在BC 段时速度与水平方向的夹角增大
14．（多选）（2023 上·云南楚雄·高三云南省楚雄东兴中学校考阶段练习）将一质量为
的小球水平抛
出，其运动轨迹上有A、B、C 三点，如图所示。其中A 为抛出点，小球从A 到B 和B 到C 所用时间均为
，
且位移大小之比为
，忽略空气阻力，重力加速度g 取
。下列说法正确的是（ ）
12
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A．小球从A 到C 动量变化量大小为
B．小球从A 到C 重力的平均功率为
C．小球平抛的初速度大小为
D．小球在B 点的动量大小为
15．（2023·陕西咸阳·校考模拟预测）如图所示的坐标系，x 轴水平向右，质量为m=0.5kg 的小球从坐标原
点O 处，以初速度
斜向右上方抛出，同时受到斜向右上方恒定的风力
的作用，风力与
的夹角为30°，风力与x 轴正方向的夹角也为30°，重力加速度g 取10m/s2，下列说法正确的是（ ）
A．小球的加速度大小为10m/s2
B．加速度与初速度
的夹角为60°
C．小球做类斜抛运动
D．当小球运动到x 轴上的P 点（图中未标出），则小球在P 点的横坐标为
16.（2024·福建泉州·统考二模）在2023 年杭州亚运会女子铅球决赛中，我国运动员巩立姣以19.58m 的成
绩成功卫冕。运动员为了寻求最佳效果，训练时会尝试不同质昼和不同夹角的抛球感觉。如图，在某次训
练中运动员将质量
的铅球斜向上抛出，铅球离开手的瞬间速度大小
，方向与水平夹角
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，铅球离开手时离水平地面的高度
。取重力加速度
，
，
，
不计空气阻力。求铅球：
（1）离开手瞬间的水平分速度大小
和竖直分速度大小
；
（2）上升到最高点的时间t 和离地面的最大高度H；
（3）落地前瞬间的动能
。
17．（2023·全国·统考高考真题）如图，光滑水平桌面上有一轻质弹簧，其一端固定在墙上。用质量为m
的小球压弹簧的另一端，使弹簧的弹性势能为
。释放后，小球在弹簧作用下从静止开始在桌面上运动，
与弹簧分离后，从桌面水平飞出。小球与水平地面碰撞后瞬间，其平行于地面的速度分量与碰撞前瞬间相
等；垂直于地面的速度分量大小变为碰撞前瞬间的
。小球与地面碰撞后，弹起的最大高度为h。重力加
速度大小为g，忽略空气阻力。求
（1）小球离开桌面时的速度大小；
（2）小球第一次落地点距桌面上其飞出点的水平距离。
18．（2022·全国·统考高考真题）将一小球水平抛出，使用频闪仪和照相机对运动的小球进行拍摄，频闪
仪每隔
发出一次闪光。某次拍摄时，小球在抛出瞬间频闪仪恰好闪光，拍摄的照片编辑后如图所示。
图中的第一个小球为抛出瞬间的影像，每相邻两个球之间被删去了3 个影像，所标出的两个线段的长度
14
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和
之比为3：7。重力加速度大小取
，忽略空气阻力。求在抛出瞬间小球速度的大小。
19．（2024·云南昆明·统考一模）如图所示，将一质量为0.2kg 可视为质点的小球从离水平地面3.2m 高的
P 点水平向右击出，测得第一次落点A 与P 点的水平距离为2.4m。小球落地后反弹，反弹后离地的最大高
度为1.8m，第一次落点A 与第二次落点B 之间的距离为2.4m。不计空气阻力，重力加速度g 取10m/s2。求：
（1）小球被击出时的速度大小；
（2）小球第一次与地面接触过程中所受合外力的冲量大小。
20．（2023 上·河南·高三校联考阶段练习）如图所示，风洞实验室中可以产生竖直向上、大小恒定的风力，
一个质量为m 的小球在O 点以水平初速度v0抛出，恰好能沿水平方向运动到P 点，O、P 间的距离为L，
将风力调大，小球仍由O 点以水平初速度v0抛出，结果恰好经过P 点正上方的Q 点，P，Q 间的距离为
，重力加速度为g，求：
（1）调节后的风力大小；
（2）小球运动到Q 点时的速度大小和方向。
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21．（2023·山东·高三专题练习）在光滑水平桌面内建一个直角坐标系如图所示，一个质量为m 的小球放
在第二象限的A 点，给小球沿x 轴正方向的初速度v0，同时对小球施加沿y 轴负方向的恒力F 作用，当小
球运动到原点O 时，速度方向与x 轴正方向的夹角为45°，此时突然将力F 方向变为沿x 轴负方向，大小不
变，一段时间后小球经过y 轴上的B 点。
（1）A 点的坐标；
（2）B 点的坐标。
16
