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高三物理二轮常见模型与方法强化专训专练
专题01 竖直上抛模型和类竖直上抛模型
特训目标
特训内容
目标1
高考真题（1T—3T）
目标2
竖直上抛运动的基本规律（4T—6T）
目标3
竖直上抛运动的对称性（7T—9T）
目标4
竖直上抛运动的相遇问题（10T—12T）
目标5
有关竖直上抛运动的图像（13T—15T）
目标6
类竖直上抛运动（16T—18T）
目标7
在电磁场中竖直上抛运动的应用（19T—21T）
【特训典例】
一、高考真题
1．（2023·广东·统考高考真题）铯原子喷泉钟是定标“秒”的装置。在喷泉钟的真空系统中，可视为质点
的铯原子团在激光的推动下，获得一定的初速度。随后激光关闭，铯原子团仅在重力的作用下做竖直上抛
运动，到达最高点后再做一段自由落体运动。取竖直向上为正方向。下列可能表示激光关闭后铯原子团速
度或加速度
随时间变化的图像是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】AB．铯原子团仅在重力的作用，加速度g 竖直向下，大小恒定，在
图像中，斜率为加速度，
故斜率不变，所以图像应该是一条倾斜的直线，故选项AB 错误；
CD．因为加速度恒定，且方向竖直向下，故为负值，故选项C 错误，选项D 正确。
故选D。
1
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2．（2023·天津·统考高考真题）质量
的物体A 自距地面
高度自由落下，与此同时质量
的物题B 由地面竖直上抛，经过
与A 碰撞，碰后两物体粘在一起,碰撞时间极短,忽略空气
阻力。两物体均可视为质点，重力加速度
，求A、B：
（1）碰撞位置与地面的距离x；
（2）碰撞后瞬时的速度大小v；
（3）碰撞中损失的机械能
。
【答案】（1）1m；（2）0；（3）12J
【详解】（1）对物体A，根据运动学公式可得
（2）设B 物体从地面竖直上抛的初速度为
，根据运动学公式可知
解得
可得碰撞前A 物体的速度
方向竖直向下；碰撞前B 物体的速
方向竖直向上；选向下为正方向，由动量守恒可得
解得碰后速度
（3）根据能量守恒可知碰撞损失的机械能
3．（2021·天津·高考真题）一玩具以初速度
从水平地面竖直向上抛出，达到最高点时，用遥控器将玩具
内压缩的轻弹簧弹开，该玩具沿水平方向分裂成质量之比为1 4∶的两部分，此时它们的动能之和与玩具从
地面抛出时的动能相等。弹簧弹开的时间极短，不计空气阻力。求
（1）玩具上升到最大高度
时的速度大小；
（2）两部分落地时速度大小之比。
【答案】（1）
；（2）
2
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【详解】（1）设玩具上升的最大高度为h，玩具上升到高度
时的速度大小为v，重力加速度大小为g，
以初速度方向为正，整个运动过程有
玩具上升到最大高度
有
两式联立解得
（2）设玩具分开时两部分的质量分别为
、
，水平速度大小分别为
、
。依题意，动能关系为
玩具达到最高点时速度为零，两部分分开时速度方向相反，水平方向动量守
恒，有
分开后两部分做平抛运动，由运动学关系，两部分落回地面时，竖直方向分速度大小为
，设两部分落地时的速度大小分别为
、
，由速度合成公式，有
，
结合
，解得
二、竖直上抛运动的基本规律
4．如图所示，水平面上有一点光源，在点光源和墙壁的正中间有一小球，将小球自水平面以初速度
竖
直向上抛出，不计空气阻力，已知重力加速度大小为g，则小球在空中运动的过程中，关于小球的影子在
竖直墙壁上的运动情况，下列说法正确的是（ ）
A．影子的最大速度为
B．影子的加速度方向向上
C．影子的加速度大小为2g
D．影子上升的最大高度为
【答案】AC
3
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【详解】ABC .设经过时间t 影子的位移为x，根据相似三角形的知识有
解得
故影子做初速度为
、加速度大小为2g 的匀减速直线运动，故AC 正确，B 错误；
D．影子上升的最大高度为
，故D 错误。故选AC。
5．在高层楼房的阳台外侧以20 m/s 的速度竖直向上抛出一个石块，石块运动到离抛出点15m 处所经历的
时间可以是（不计空气阻力，g 取10 m/s2）（ ）
A．1 s
B．2 s
C．4 s
D．（2＋
）s
【答案】AD
【详解】取竖直向上方向为正方向，当石块运动到抛出点上方离抛出点15 m 时，位移为s=15 m 由
解得t1=1 s，t2=3 s 当石块运动到抛出点下方离抛出点15 m 时，位移为
，由
解得
，
（舍去）故选AD。
6．如图所示，某电梯的轿厢高
，正以
的速度匀速上升，电梯轿厢内乘客将离底面
处小球竖直上抛，抛出时相对地面的速度大小为
，重力加速度
取
，空气阻力忽
略不计，小球从抛出到落回电梯轿厢底面的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．小球可以触碰到电梯轿厢的天花板
B．小球离电梯轿厢的天花板的最小距离为
C．小球上升到最高点时所用时间为
D．小球落回电梯轿厢底面时的速度大小为
4
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【答案】BD
【详解】AB．以电梯轿厢为参考系，则小球相对电梯轿厢的初速度
小球相对电梯轿厢上升
到最大高度的过程中，有
解得
距离天花板
故A 错误、B 正确；
C．小球上升到最高点所用时间
故C 错误；
D．小球从抛出到落回电梯轿厢底面的过程有
解得
则小球落到电梯轿厢底面时的速度
即速度大小为
，故D 正确。故选BD。
三、竖直上抛运动的对称性
7．如图所示，杂技演员表演抛球游戏，他一共有4 个球，每隔相等的时间竖直向上抛出一个小球（不计一
切阻力，小球间互不影响），若每个球上升的最大高度都是1.8 米，忽略每个球在手中的停留的时间，重
力加速度g 取10m/s2，则杂技演员刚抛出第4 个球时，第1 个球和第2 个球之间的距离与第3 个球和第4
个球之间的距离之比为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】每个球上升的最大高度都是1.8 米，由自由落体过程公式，可得
代入数据解得
设每隔相等时间竖直向上抛出一个小球，当第四个小球抛出后，再经过相等时间，
第一个小球落回手里并抛出，所以根据上升与下降过程的对称性，第四个小球离开手瞬间，第一个小球与
第三个小球在同一高度，第二个小球位于最高点速度为0，因此考虑竖直上抛的对称性结合逆向思维可得
5
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出，初速度为0 的匀变速直线运动，连续相等时间位移之比等于连续奇数之比，即第1 个球和第2 个球之
间的距离与第3 个球和第4 个球之间的距离之比为
。故选C。
8．一杂技演员把三个球依次竖直向上抛出，形成连续的循环．他每抛出一个球后，经过一段与刚才抛出
的球曾经在手中停留时相等的时间接到下一个球．这样，在总的循环中，便形成有时空中有三个球，有时
空中有两个球，而演员手中则有一半时间有一个球，有一半时间没有球．设每个球上升的最大高度为
1.25m，(g 取10m/s2)则每个球在手中停留的时间是( )
A．△t=0.25s
B．△t=0.33s
C．△t=0.2s
D．△t=0.1s
【答案】C
【详解】小球做竖直上抛运动，下降时间为：
s，根据竖直上抛运动的对称性，上
升时间为：t2=t1=0.5s；故竖直上抛运动的总时间为：t=t1+t2=1.0s；演员手中有一半时间内有1 个球，另一
半时间没有球，说明的是球抛出前停留手中的时间与球抛出后到另外一个球落到手中的时间是相等的．假
设手中球抛出瞬间为起点计时，此时3 个球都在空中；1、到第一个球落入手中，需经过△ts，第一个球停
留手中的时间△ts；2、抛出第一个落入手中的球，到第二个球落入手中，需经过△ts；第二个球停留手中
时间△ts；3、抛出第二个落入手中的球，到第三个球落入手中，需经过△ts；第三个球停留手中时间
△ts；此时完成了一个循环，一个循环中，某一个球在空中时间为5△t，所以有5△t=1s；△t=0.2s．
A．△t=0.25s，与分析不符，故A 项不符合题意；
B．△t=0.33s，与分析不符，故B 项不符合题意；
C．△t=0.2s，与分析相符，故C 项符合题意；
D．△t=0.1s，与分析不符，故D 项不符合题意．
9．将甲、乙两个小球（可视为质点）在同一水平面相邻的两个位置先后以相同的初速度竖直向上抛出。
若抛出点所在平面高度设为0，两小球的高度h 与时间t 的图像如图所示。根据图像所给的信息，下列说法
正确的是（ ）
A．甲回到抛出点的时刻为
B．乙回到抛出点的时刻为
C．乙距抛出点的最大高度为
D．乙距抛出点最大高度为
6
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【答案】D
【详解】A．设甲回到抛出点的时刻为t3，根据图像的对称性可知
解得
可得甲回到出
发点的时刻为
，故A 错误；
B．甲乙在空中的运动时间相等，故乙回到出发点的时刻为
故B 错误；
CD．根据位移公式可知乙距抛出点最大高度为
故C 错误，D 正确。故选D。
四、竖直上抛运动的相遇问题
10．如图所示，将B 小球从地面上以
的初速度竖直向上抛出的同时，将A 小球从B 球的正上方H 处由静
止释放，两小球运动过程中的空气阻力忽略不计，取
，两小球可视为质点，下列说法正确的是
（ ）
A．若
，则两物体在地面相遇
B．若
，则两物体在地面相遇
C．若
，两物体相遇时，B 正在上升途中
D．若
，两物体相遇时，B 正在下落途中
【答案】ACD
【详解】AB．若物体B 正好运动到最高点时两物体相遇，则物体B 速度减小为零所用的时间
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此时A 下落的高度
，B 上升的高度
且
解得
若A、B 两物体恰好在落地时相遇，则有
此时A 下落的高度
解得
所以若
，则物体B 运动到最高点时两物体相遇，若
，则两物体在地面相遇，故A 正确，B 错误；
C．若
，则两物体在B 上升途中相遇，故C 正确；
D．若
，则两物体在B 下落途中相遇，故D 正确。故选ACD。
11．从高
处以水平速度
平抛小球
，同时从地面以初速度
竖直上抛小球
，两球在空中相遇，如图
所示。下列说法中正确的是（ ）
A．从抛出到相遇所用的时间为
B．从抛出到相遇所用的时间为
C．两球抛出时的水平距离为
D．两球抛出时的水平距离为
【答案】BC
【详解】AB．小球a 在竖直方向上做自由落体运动，两球在空中相遇时
得
，
A 错误，B 正确；
CD．两球抛出时的水平距离为
，C 正确，D 错误。故选BC。
8
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12．一长为L 的金属管从地面以
的速率竖直上抛，管口正上方高
处有一小球同时自由下落，金
属管落地前小球从管中穿过。已知重力加速度为g，不计空气阻力。关于该运动过程说法正确的是
（ ）
A．小球穿过管所用时间为
B．若小球在管上升阶段穿过管，则
C．若小球在管下降阶段穿过管，则
D．小球不可能在管上升阶段穿过管
【答案】AB
【详解】A．两物体竖直方向加速度相同，所以小球相对管来说在做匀速直线运动，所以小球穿过管所用
时间为
故A 正确；
B．刚好在管上升最高点穿过管有
解得：
若小球在管上升阶段穿过管，
则
故B 正确．
C．若小球在管刚着地时穿管，有
解得
结合B 分析可知小球在管下降阶段穿
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过管则
故C 错误；
D．根据以上分析可知，故D 错误。故选AB。
五、有关竖直上抛运动的图像
13．张老师利用频闪照相仪研究小球的竖直上抛运动，频闪仪的频率为
，如图甲是频闪仪拍到小球
上升过程中的5 个位置，
时刻对应第一个位置为小球的抛出点，绘制小球的
图像如图乙，第3 个
位置对应
时刻，重力加速度
，则下列说法正确的是（ ）
A．小球到达第五个位置前后，速度方向不变
B．
C．第2 个位置与第3 个位置之间的距离为
D．小球上升过程中距抛出点的最大距离为
【答案】B
【详解】A．竖直上抛运动是匀变速运动，由于第三个位置对应
时刻，则第五个位置的速度为零，即到
达第五个位置前后速度方向改变，A 错误；
B．相邻位置时间间隔为
则上升到最高点的时间为
，B 正确；
C．第2 个位置与第3 个位置之间的距离为
，C 错误；
D．小球上升过程中距抛出点的最大距离为
，D 错误。故选B。
14．将一苹果竖直向上抛出，若不计空气阻力，以竖直向上为正方向，则下列说法正确的是（ ）
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A．图甲可以表示苹果的位移一时间图像
B．图乙可以表示苹果的速度一时间图像
C．图丙可以表示苹果的动能一位移图像
D．图丁可以表示苹果在竖直上升过程中的重力势能一位移图像
【答案】D
【详解】A．根据位移时间关系
可知苹果的位移一时间图像为开口向下的抛物线，故A 错误；
B．根据速度时间关系
可知苹果的速度一时间图像初速度大于零，斜率为负，故B 错误；
C．根据动能定理
可得
可知苹果的动能一位移图像随着位移增大减小，
故C 错误；
D．根据
可知苹果在竖直上升过程中的重力势能一位移图像为正比例函数，故D 正确。故选D。
15．一小球从地面竖直上抛，小球的速率用表示，运动的路程用表示，不计空气阻力，则小球从拖出到
落回地面的过程中，其
图像可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】小球第一个上升阶段，根据动力学公式有
整理得
可知
图象为抛物
11
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线，抛物线开口沿轴负方向，小球第一个下落阶段，设小球运动至第一个上升阶段最高点的路程为
，
根据动力学公式有
整理得
可知
图象为抛物线，抛物线开口沿轴正方向，
故C 符合要求。故选C。
六、类竖直上抛运动
16．如图所示，在倾角为30°且足够长的固定光滑斜面底端，一小球以
的初速度沿斜面向上运动
（g 取10 m/s2），则（ ）
A．小球沿斜面上升的最大距离为20 m
B．小球回到斜面底端的时间为4 s
C．小球运动到距底端7.5 m 处的时间可能为3 s
D．小球运动到距底端7.5 m 处的时间可能为1 s
【答案】BCD
【详解】A．由
得
小球沿斜面上升的最大距离
，A 错误；
B．上升时间
根据对称性知
，B 正确；
CD．对全过程分析
得
或
故CD 正确。故选BCD。
17．如图甲所示，小物块从右侧滑上匀速率转动的足够长的水平传送带，其位移与时间的变化关系如图乙
所示。图线的0~3s 段为抛物线，3s~4.5s 段为直线，下列说法正确的是（ ）
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A．传送带沿逆时针方向转动
B．传送带的速度大小为2m/s
C．物块刚滑上传送带时的速度大小为2m/s
D．0~4.5s 内物块在传送带上留下的滑动痕迹为9m
【答案】BD
【详解】A．根据位移—时间图像的斜率表示速度，可知前2s 物块向左匀减速运动，第3s 内向右匀加速运
动。3s~4.5s 内
图像为一次函数，说明小物块已与传送带保持相对静止，即与传送带一起向右匀速运动，
因此传送带沿顺时针方向转动，故A 错误；
B．3s~4.5s 内小物块已与传送带一起向右匀速运动，故传送带的速度大小为
故B 正
确；
C．由题中图像可知，在第3s 内小物块向右做初速度为零的匀加速运动，则
由图可知
时
代入解得
由于滑块匀减速和匀加速运动时加速度大小不变，故在0~2s 内，对物块有
由图可知
时
；
代入解得物块的初速度为
故C 错误；
D．物块在0~2s 内的滑动痕迹
在2s~3s 内的滑动痕迹为
总滑动痕迹
故D 正确。故选BD。
18．倾角为θ＝30°的光滑斜面上，质量m＝3kg 的物块在恒力F 的作用下，从斜面底端匀加速上滑，经3s
后，撤去力F，又经过3s，物块恰好滑回斜面底端，已知重力加速度g＝10m/s2，求：
（1）力F 的大小和前3s 内物块的位移大小；
（2）物块滑回底端时的速度大小。
【答案】（1）20N；7.5m；（2）10m/s
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【详解】（1）前3s，设加速度大小为a1，由牛顿第二定律F－mgsinθ＝ma1位移为x＝
a1t2
3s 末，速度为v1＝a1t 后3s，设加速度大小为a2，由牛顿运动定律mgsinθ＝ma2位移为－x＝v1t－
a2t2
解得F＝
mgsinθ＝20N；x＝7.5m
（2）设物块滑回底端时的速度大小为v2，整个过程由动能定理Fx＝
mv －0 解得v2＝10m/s
七、在电磁场中竖直上抛运动的应用
19．如图所示，底角为30°的固定斜面上表面光滑，斜面上方有平行于斜面向上的匀强电场。一质量
，带电量
的小物块无初速度的在斜面底端释放，能沿斜面向上做匀加速直线运动。经过时
间t 后撤去电场，再经过时间
小物块恰好回到斜面底端，则该匀强电场的电场强度大小为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】物块加速时，加速度大小
方向沿斜面向上，时间t 后，小物块速度
位移
小物块减速时，加速度
方向沿斜面向下，时间2t 后恰好回到斜面底端，在这2t 内，
位移
解得
故
故选C。
20．如图所示，一质量为m、电荷量为q 的小球在电场强度为E、区域足够大的匀强电场中，以初速度v0
沿ON 在竖直面内做匀变速直线运动。ON 与水平面的夹角为30°，且mg=qE，则（ ）
A．电场方向竖直向上
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B．小球运动的加速度大小为
C．小球上升的最大高度为
D．小球返回原位置所用时间为
【答案】C
【详解】A．由题意可知，小球所受电场力和重力的合力方向一定与小球速度方向共线，而重力与电场力
大小相等，重力方向竖直向下，小球速度方向斜向上，所以重力与电场力的合力不可能与小球速度方向同
向，一定是反向，则根据对称性以及几何关系可知小球所受电场力方向与水平方向夹角为30°且斜向左上，
若小球带正电，则电场方向与电场力方向同向，若小球带负电，则电场方向与电场力方向反向，故A 错误；
B．根据力的合成可知小球所受合外力大小为
小球运动的加速度大小为
故B 错误；
C．如图所示，设P 为小球所能到达的最高点，则
小球上升的最大高度为
故C 正确；
D．根据对称性可知小球返回原位置所用时间为
故D 错误。故选C。
21．如图所示带电小球a 以一定的初速度v0竖直向上抛出，能够达到的最大高度为ha；带电小球b 在水平
15
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方向的匀强磁场以相同的初速度v0竖直向上抛出，上升的最大高度为hb；带电小球c 在水平方向的匀强电
场以相同的初速度v0竖直向上抛出，上升的最大高度为hc，不计空气阻力，三个小球的质量相等，则正确
的是（ ）
A．它们上升的最大高度关系为ha=hb=hc
B．它们上升的最大高度关系为hb<ha=hc
C．到达最大高度时，c 小球机械能最小
D．到达最大高度时，b 小球动能最小
【答案】B
【详解】AB．第1 个图：由竖直上抛运动的最大高度公式得ha=
第3 个图：当加上电场时，由运动的分
解可知，在竖直方向上有v0
2=2ghc所以ha=hc而第2 个图：洛伦兹力改变速度的方向，当小球在磁场中运动
到最高点时，小球应有水平速度，设此时的球的动能为Ek，则由能量守恒得mghb+Ek=
mv0
2
又由于
mv0
2=mgha所以 ha＞hb则它们上升的最大高度关系为hb<ha=hc选项A 错误，B 正确；
C．小球a 的机械能守恒，因洛伦兹力不做功，小球b 到达最大高度时，机械能也守恒，而电场力做正功，
则c 小球机械能最大，则选项C 错误；
D．到达最大高度时，a 小球速度为零，则动能最小，故D 错误。故选B。
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