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高三物理二轮常见模型与方法强化专训专练
专题07 平抛运动与斜面曲面相结合的模型
特训目标
特训内容
目标2
斜面内平抛模型（1T—5T）
目标3
斜面外平抛模型（6T—10T）
目标4
与曲面相结合模型（11T—15T）
【特训典例】
一、斜面内平抛模型
1．如图所示，倾角为
的斜面上有A、B、C 三点，现从这三点分别以不同的初速度水平抛出一小球，三
个小球均落在斜面上的D 点，今测得
，由此可判断（不计空气阻力）（ ）
A．A、B、C 处三个小球的初速度大小之比为3 2 1
∶∶
B．A、B、C 处三个小球的运动轨迹可能在空中相交
C．A、B、C 处三个小球运动时间之比为1 2 3
∶∶
D．A、B、C 处三个小球落在斜面上时速度与初速度间的夹角之比为1 1 1
∶∶
【答案】AD
【详解】AC．由几何关系知
根据
得
A、B、C 处三个小球运动时间之比为
根据
，A、B、C 处三个小球的初速度大小
之比为3 2 1
∶∶，故A 正确，C 错误；
B．三个小球的运动轨迹（抛物线）在D 点相交，根据抛物线特点，不会在空中相交，故B 错误；
D．斜面上平抛的小球落在斜面上时，速度与初速度之间的夹角
满足
与小球抛出时的初速
度大小和位置无关，即三个小球落在斜面上时速度与初速度间的夹角之比为1 1 1
∶∶，故D 正确。故选AD。
2．某旅展开的实兵实弹演练中，某火箭炮在山坡上发射炮弹，所有炮弹均落在山坡上，炮弹的运动可简
化为斜面上的平抛运动，如图所示，重力加速度为g。则下列说法正确的是（ ）
1
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A．若将炮弹初速度由
变为
，炮弹落在斜面上的速度方向与斜面的夹角不变
B．若将炮弹初速度由
变为
，则炮弹下落的竖直高度变为原来的
C．若炮弹初速度为
，则炮弹运动到距斜面最大距离L 时所需要的时间为
D．若炮弹初速度为
，则运动过程中炮弹距斜面的最大距离
【答案】ACD
【详解】A．炮弹落在山坡上时，竖直方向的位移与水平方向的位移关系为
可得
可知速度偏转角的正切值不变，则有若将炮弹初速度由
变为
，炮弹落在斜面上的速度
方向与斜面的夹角不变，A 正确；
B．由炮弹落在山坡上时，竖直方向的位移与水平方向的位移关系，可解得炮弹的飞行时间为
可知若将炮弹初速度由
变为
，飞行时间则变为
，由竖直位移公式
可知，炮弹下落的竖直高
度变为原来的
，B 错误；
C．炮弹与斜面距离最大时，速度方向与斜面平行，此时竖直方向的速度与水平方向的速度关系为
解得飞行时间为
，C 正确；
D．炮弹与斜面距离最大时，速度方向与斜面平行，对速度和加速度分解，如图所示，则有
2
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；
在垂直斜面方向速度减到零时，炮弹与斜面距离最大，则最大距离为
，D 正确。故选ACD。
3．如图甲是研究小球在长为L 的斜面上做平抛运动的实验装置，每次将小球从弧形轨道同一位置静止释
放，并逐渐改变斜面与水平地面之间的夹角
，获得不同的水平位移x，最后作出了如图乙所示的
图像，当
时，图像为直线，当
时图像为曲线，
。则下列判断正确的是（
）
A．小球在斜面顶端水平抛出时的初速度
B．
超过
后，小球将不会掉落在斜面上
C．斜面的长度为
D．斜面的长度为
【答案】BC
【详解】AB．球在空中做平抛运动，在竖直方向上有y=
gt2水平方向上有x=v0t 又
联立解得
3
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当0＜tanθ＜1 时，图象为直线，当tanθ＞1 时图象为曲线，可知θ 超过45°后，小球将不会掉
落在斜面上，根据图线的斜率
得v0=1m/s 故A 错误，B 正确；
CD．当θ=45°时，小球落在斜面的底端，根据
得平抛运动的时间
斜面的长度
故C 正确，D 错误。故选BC。
4．如图所示，倾角为
的斜面体固定在水平面上，一个小球在斜面上某一点第一次垂直斜面抛出，第二次
水平抛出，两次抛出的初速度大小相同，两次小球均落在斜面上，第一次小球在空中运动时间为
，落在
斜面上的位置离抛出点的距离为
，第二次小球在空中运动时间为
，落在斜面上的位置离抛出点的距离
为
，则下列关系正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【详解】 AB．第一次垂直斜面抛出时，将重力加速度g 分解为垂直斜面方向和沿斜面方向，则运动时间
为
4
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第二次平抛时
解得
则
故A 正确，B 错误；
CD．第一次落在斜面上的位置离抛出点的距离为
第二次小球落在斜面上的位置离
抛出点的距离为
则
故C 错误，D 正确。故选AD。
5．如图所示为滑雪运动赛道的简化示意图，甲、乙两运动员分别从AB 曲面（可视为光滑）上的M、N 两
点（图中未画出）由静止滑下，到达B 点后，分别以速度v1、v2水平飞出。甲经t1后落到斜坡滑道上C 点，
乙经t2后落到斜坡滑道上D 点。已知O 在B 的正下方，斜坡滑道OD 足够长且倾角为
，不计空气阻力，
两运动员均可视为质点。下列说法正确的是（ ）
A．M 点的高度低于N 点的高度
B．甲、乙分别落在C、D 两点时的速度方向与OD 间的夹角相等
C．若测得OC＝CD，一定有
D．若测得2BC＞BD，则有可能OC＝CD
【答案】ACD
【详解】A．乙落在斜面的位置更远，故乙从B 点出射速度更大，则下滑的初位置更高，A 正确；
B．设两运动员落到斜面上的速度方向与水平面夹角分别为
、
，位移方向和水平方向的夹角分别为
、
，则有
根据平抛运动推论：速度与水平方向夹角
和位移与水平方向夹角
关系满
5
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可得
又因为
，
所以可得
，B 错误；
C．设OB 间的距离为h0，OC 和CD 的高度差均为h，两次平抛运动的时间分别为
和
，竖直方向做自由
落体运动，有
,
两式相比可得
所以可得
，C 正确；
D．假设
，设人从B 点水平抛出落在C 点时，水平位移为x，则落在D 点时的平位移为2x，则可
得
，
由选项B 分析可知
得
所以BC 与BD 间的距离关系满足
D 正确。故选ACD。
二、斜面外平抛模型
6．如图所示，倾角为37°的斜面与水平面的交点为 B，斜面上的 C 点处有一小孔，若一小球从B 点的正
上方A 点水平抛出，恰好通过小孔落到水平地面上的 D 点（小球视为质点，小孔的直径略大于小球的直
径，小球通过小孔时与小孔无碰撞）。已知A、C 两点的连线正好与斜面垂直，小球从 A 到C 的运动时间
为t，重力加速度为g，
下列说法正确的是（ ）
A．A、C 两点间的高度差为gt2
B．小球在A 点的速度为
C．A、C 两点间的距离为
D．A、D 两点间的高度差为
【答案】BD
【详解】如图
6
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AB．根据平抛运动规律结合几何关系有
；
；
解得A、C 两点间的高度差为
，
小球在A 点的速度为
故A 错误，B 正确；
C．A、C 两点间的距离为
故C 错误；
D．A、D 两点间的高度差为
故D 正确；故选BD。
7．如图所示，斜面倾角为θ，位于斜面底端A 正上方的小球以初速度
正对斜面顶点B 水平抛出，小球到
达斜面经过的时间为t，重力加速度为g，则下列说法中正确的是（ ）
A．若小球以最小位移到达斜面，则
B．若小球垂直击中斜面，则
C．若小球能击中斜面中点，则
D．无论小球怎样到达斜面，运动时间均为
【答案】AB
【详解】A. 小球的位移与斜面垂直时，小球以最小位移到达斜面，分解小球的位移可得
解得
，A 正确；
7
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B．小球的速度与斜面垂直时，小球垂直击中斜面，分解小球速度可得
解得
，B 正确；
C．若小球能击中斜面中点，分解位移，由几何关系可得
；
；
解得
，
C 错误；
D．小球到达斜面的位置不一样，在空中运动的时间也不一样，选项D 错误；故选AB。
8．如图所示，倾角为37°的斜面放置在水平面上，小球甲从A 点以水平初速度
抛出，经过时间t1，落到
斜面上的P 点时，速度正好垂直斜面；小球乙从B 点以水平初速度
抛出，经过时间t2，也落到斜面上的
P 点，已知B、P 两点的连线与斜面垂直，不计空气阻力，重力加速度g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8，
下列说法正确的是（ ）
A．若A、B 两点在同一水平面上，则
B．若
，则
C．若甲、乙在水平方向的分位移相等，则
D．若甲、乙的位移大小相等，则
【答案】BD
【详解】AB．抛出后两物体在竖直方向上做自由落体运动，由
可知若A、B 两点在同一水平面上，
则
由几何关系得
；
解得
，A 错误，B 正确；
8
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C．若甲、乙在水平方向的分位移相等，则
由几何关系得
；
解得
，C 错误；
D．若甲、乙的位移大小相等，则
由几何关系得
；
解得
，D 正确；故选BD。
9．如图甲所示，挡板OA 与水平面的夹角为θ，小球从O 点的正上方高度为H 的P 点以水平速度
水平抛
出，落到斜面时，小球的位移与斜面垂直；让挡板绕固定的O 点转动，改变挡板的倾角θ，小球平抛运动
的初速度
也改变，每次平抛运动都使小球的位移与斜面垂直，
关系图像如图乙所示，重力加
速度
，下列说法正确的是（ ）
A．图乙的函数关系图像对应的方程式
B．图乙中a 的数值
C．当图乙中
，H 的值为0.1m
D．当
，图乙中
，则平抛运动的时间为
【答案】BD
【详解】A．设平抛运动的时间为t，如图所示
9
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把平抛运动的位移分别沿水平和竖直方向分解，由几何关系
解得
根据几何关系有
联立整理
故A 错误；
B．结合图乙
函数关系图像可得
故B 正确；
C．由图乙可得
函数关系图像的斜率
又有
，
可得
故C 错误；
D．当
，
根据
解得
根据
解得
故D 正确。
故选BD。
10．跳台滑雪是北京2022 年冬奥会的比赛项目之一，某次训练过程简化为如图所示，运动员从一定高度处
以一定的初速度水平飞出，在空中运动t0时间后，落在倾角为30°的斜坡上，速度方向恰好沿斜坡向下，又
经时间t0到达坡底。若不计摩擦与空气阻力，则整个运动过程中运动员沿水平、竖直方向的分速度vx、vy
随运动时间t 的变化情况为（ ）
10
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A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【详解】运动员从一定高度处水平飞出后，在第1 个t0时间内做平抛运动，其水平方向的分速度不变，竖
直方向的分速度vy=gt 均匀增大，加速度为g，且
可得
落到斜坡上后，运动员在第2
个t0时间内做匀加速直线运动，加速度为
沿水平方向的分加速度为
水平方向末速度
沿竖直方向的分加速度为
由此可知，运动员在
竖直方向第1 个t0时间内的加速度是第2 个t0时间内加速度的4 倍。故AD 正确，BC 错误。故选AD。
三、与曲面相结合模型
11．半径为R 半圆形的弯曲面固定放置在水平地面上的C 点，O 是圆心，AB 是水平直径，OC 是竖直半径，
D 是圆弧上的一个小孔，∠COD=60°。现让视为质点的小球（直径略小于小孔D 的直径）从O 点水平向右
抛出，经过D（与小孔无碰）落到水平地面的E 点，重力加速度大小为g，下列说法正确的是（ ）
A．小球在D 点的速度方向由O 指向D
11
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B．小球在D 点的速度大小为
C．小球在O 点的速度大小为
D．小球由D 到E 运动的时间为
【答案】B
【详解】A．小球从O 到D 点做平抛运动，根据平抛运动规律速度的反向延长线过水平位移中点，小球从
O 点抛出，故D 点的速度方向不可能由O 指向D，故A 错误；
C．小球从O 到D 点做平抛运动，则有
，
解得小球在O 点的初速度大小为
故C 错误；
D．根据上述可以解得，小球由O 到D 的运动时间
从O 到E 的运动过程有
解得
则小球从D 到E 的运动时间为
故D 错误；
B．结合上述可知，小球在D 点的速度大小为
故B 正确。故选B。
12．如图所示，圆环竖直放置，从圆心O 点正上方的P 点，以速度v0水平抛出的小球恰能从圆环上的Q 点
沿切线方向飞过，若OQ 与OP 间夹角为θ，不计空气阻力，重力加速度为g。则（ ）
A．圆环的半径为R=
12
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B．小球从P 点运动到Q 点的时间
C．小球从P 点到Q 点的速度变化量
D．小球运动到Q 点时的速度大小为vQ=
【答案】A
【详解】D．以速度v0水平抛出的小球恰能从圆环上的Q 点沿切线方向飞过，小球运动到Q 点时的速度大
小为
故D 错误；
B．小球在Q 点的竖直方向的速度为
小球从P 点运动到Q 点的时间
故B 错误；
A．小球水平方向做匀速直线运动，有
圆环的半径为
故A 正确；
C．小球从P 点到Q 点的速度变化量
故C 错误。故选A。
13．如图所示，直角坐标系
的
轴水平向右、y 轴竖直向下，一挡板的曲线形状满足方程
，
现从坐标原点以速率
竖直向上抛出小球甲，经过时间
返回到坐标原点，再从坐标原点以速率
水平向右抛出小球乙，经过一段时间
落到挡板上，不计空气阻力，重力加速度g 取
，则
为（ ）
A．1：1
B．1：2
C．1：4
D．1：6
13
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【答案】C
【详解】由竖直上抛运动的规律可得
由平抛运动的规律
；
结合
综合可得
则有
选项C 正确，ABD 错误。故选C。
14．从半径R=1m 的半圆AB 上的A 点分别水平抛出两个可视为质点的小球M、N，经一段时间两小球分别
落到半圆周上，如图所示。已知当地的重力加速度g=10m/s2。则下列说法正确的是（ ）
A．增大小球水平抛出的初速度v0，小球可能运动到B 点
B．M、N 两小球做平抛运动的时间相同，且t=0.4s
C．M、N 两小球做平抛运动的初速度之比为1:10
D．小球N 落到半圆时，其速度方向与OB 垂直
【答案】B
【详解】A．小球做平抛运动，竖直方向做自由落体运动，有向下的分位移，所以小球不可能运动到B 点，
故A 错误；
B．由
得
即M、N 两小球做平抛运动的时间相同，均为0.4s，故B 正确；
C．根据几何知识得：M 球的水平位移大小
N 球的水平位移大小
由x=v0t，t 相等，则得：M、N 两小球做平抛
运动的初速度之比
故C 错误；
D．由于小球做平抛运动，水平方向做匀速直线运动，即具有水平方向的速度，竖直方向做自由落体运动，
有竖直方向的速度，则小球N 落到半圆时，其速度方向斜向右下，不可能与OB 垂直，故D 错误。故选
B。
15．图中给出某一通关游戏的示意图，安装在轨道AB 上可上下移动的弹射器，能水平射出速度大小可调
节的弹丸，弹丸射出口在B 点的正上方，竖直面内的半圆弧BCD 的半径为R=2.0m，直径BD 水平且与轨道
14
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AB 处在同一竖直平面内，小孔P 和圆心O 连线与水平方向夹角为37º，游戏要求弹丸垂直于P 点圆弧切线
方向射入小孔P 就能进入下一关.为了能通关，弹射器离B 点的高度和弹丸射出的初速度分别是(不计空气阻
力)
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由题意可知弹丸从p 点射出时的速度方向就是半径OP 的方向.即与水平方向成37 度夹角，由平抛
运动规律知
；
；
解得：
，故A 对；BCD 错综上所述本题答案是：A
15
