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2023 届高三物理一轮复习多维度导学与分层专练
专题22 平抛运动规律、 平抛运动与约束面相结合问题
导练目标 导练内容
目标1 平抛运动的基本规律与推论
目标2 平抛运动与斜面相结合
目标3 平抛运动与圆面相结合
目标4 平抛运动与竖直面相结合
【知识导学与典例导练】
一、平抛运动的基本规律与推论
1．四个基本规律
飞行时间 由t＝ 知，时间取决于下落高度h，与初速度v 无关
0
水平射程 x＝v，即水平射程由初速度v 和下落高度h共同决定，与其他因素无关
0 0
落地速度 v＝＝，落地速度也只与初速度v 和下落高度h有关
0
速度改变量
任意相等时间间隔Δt内的速度改变量Δv＝gΔt相同，方向恒为竖直向下，如图所示
2．两个重要推论
(1)做平抛(或类平抛)运动的物体在任意时刻任一位置处，设其速度方向与水平方向的夹角为α，位移方向
与水平方向的夹角为θ，则tan α＝2tan θ。(2)做平抛(或类平抛)运动的物体任一时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图中
A点为OB的中点。
【例1】如图所示，某一小球以 的速度水平抛出，在落地之前经过空中A、B两点。在A点小球
速度方向与水平方向的夹角为 ，在B点小球速度方向与水平方向的夹角为 （空气阻力忽略不计，g
取10m/ ）。以下判断中正确的是（ ）
A．小球经过A点时竖直方向的速度为20 m/s
B．小球经过A、B两点间的时间为
C．A、B两点间的高度差
D．A、B两点间的水平位移相差
【答案】B
【详解】AB．根据平行四边形定则知 ； 则小球由A到B的时间间隔 故A错误，B正确；
C．A、B的高度差 故C错误；
D．A、B两点间的水平位移相差 故D错误。故选B。
【例2】如图所示，某人从同一位置O以不同的水平速度投出三枚飞镖A、B、C，最后都插在竖直墙壁上，
它们与墙面的夹角分别为60°、45°、30°，图中飞镖的方向可认为是击中墙面时的速度方向，不计空气阻力，
则下列说法正确的是（ ）
A．三只飞镖做平抛运动的初速度一定满足vA>vB>vC
0 0 0
B．三只飞镖击中墙面的速度满足vA>vB>vC
C．三只飞镖击中墙面的速度一定满足vA＝vB＝vC
D．插在墙上的三只飞镖的反向延长线不会交于同一点
【答案】A
【详解】A．飞镖做平抛运动，水平分运动是匀速直线运动，有：x=v t．飞镖击中墙面的速度与竖直方向
0
夹角的正切值为：tanα= ，联立解得： ，α越大，v 越大，故有vA >vB >vC ，故A正确；
0 0 0 0
BC．根据平行四边形定则并结合几何关系，有：飞镖击中墙面的速度故v =v ＞v ，故BC错误；
A C B
D．飞镖做平抛运动，速度的反向延长线通过水平分位移的中点，而三只飞镖水平分位移的中点相同，故
插在墙上的三只飞镖的反向延长线一定交于同一点，故D错误；故选A。
二、平抛运动与斜面相结合
1.与斜面相关的几种的平抛运动
图示 方法 基本规律 运动时间
水平v＝v
x 0
分解速度，构建 由tan θ＝＝得
速度的矢量三角 竖直v＝gt
y
t＝
形
合速度v＝
水平x＝vt
0
分解位移，构建 由tan θ＝＝得
位移的矢量三角 竖直y＝gt2
t＝
形
合位移x ＝
合
由0＝v－at,0－v2＝－2ad得
在运动起点同时 1 1 1 1
分解v、g
0 t＝，d＝
分解平行于斜面
由v＝gt得t＝
y
的速度v
2.与斜面相关平抛运动的处理方法
(1)分解速度
平抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动,设平抛运动的初速度为v,在
0
空中运动时间为t,则平抛运动在水平方向的速度为v=v ,在竖直方向的速度为v=gt,合速度为v= ,
x 0 y √v 2+v 2
x y合速度与水平方向的夹角满足tan θ=v 。
y
v
x
(2)分解位移
1
平抛运动在水平方向的位移为 x=v t,在竖直方向的位移为 y= gt2,对抛出点的位移(合位移)为 s=
0
2
y
√x2+ y2,合位移与水平方向夹角满足tan φ= 。
x
(3)分解加速度
平抛运动也不是一定要分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动,在有些问题中,过
抛出点建立适当的直角坐标系,把重力加速度g正交分解为g、g,把初速度v 正交分解为v、v,然后分别在
x y 0 x y
x、y方向列方程求解,可以简化解题过程,化难为易。
【例3】如图所示，某次空中投弹的军事演习中，战斗机以恒定速度 沿水平方向飞行，先后释放A、B两
颗炸弹，分别击中倾角为 的山坡上的 点和 点，释放A、B两颗炸弹的时间间隔为 ，此过程中飞机
飞行的距离为 ；击中 、 的时间间隔为 ， 、 两点间水平距离为 ，且A炸弹到达山坡的
点位移垂直斜面，B炸弹是垂直击中山坡 点的。不计空气阻力，下列错误的是（ ）
A．A炸弹在空中飞行的时间为B．
C．
D．
【答案】B
【详解】A．如图，设炸弹A从抛出到击中 点用时 ，有 ；
因 垂直于斜面，则 联立解得 则 故A正确，不满足题意要求；
BCD．炸弹B从抛出到击中 点， 方向垂直于斜面，则 ； 由图可知
即
时间关系如下图有 即 则有 ；
故B错误，满足题意要求；CD正确，不满足题意要求。故选B。
【例4】2022年冬奥会在我国北京和张家口市举行，滑雪项目成为人们非常喜爱的运动项目。如图所示为
运动员从高为 的A点由静止滑下，到达B点后水平飞出，经过时间 落到长直滑道上的C点，不计滑动
过程中的摩擦和空气阻力。下列说法正确的是（ ）
A．若 加倍，则水平飞出的速度 加倍
B．若 加倍，则在空中运动的时间 加倍
C．若 减半，运动员落到斜面时的速度方向不变
D．若 减半，运动员在空中离斜面的最大距离变小
【答案】CD
【详解】A．运动员从高为 的A点由静止滑下，到达B点后水平飞出，根据动能定理可得
解得 可知若 加倍，则水平飞出的速度 变成原来的 倍，A错误；
B．假设斜面倾角为 ，落到斜面位置离 点距离为 ，运动员在空中做平抛运动，则有 ；联立解得 可知若 加倍，则在空中运动的时间 变成原来的 倍，B错误；
C．假设运动落地斜面上的速度方向与水平方向夹角为 ，竖直分速度为 ，则有 又
可得 说明落地斜面上的速度方向与水平方向夹角为定值，与抛出的速
度没有关系，若 减半，运动员落到斜面时的速度方向不变，C正确；
D．把运动员在空中的运动分解成沿斜面向下初速度为 ，加速度大小为 的匀加速直线运动和垂
直斜面向上初速度为 ，加速度大小为 的匀减速直线运动，当垂直斜面的分速度减到 时，运动
员离斜面最远，则有 可知若 减半，运动员在空中离斜面的最大距离变小，D正
确；
故选CD。
三、平抛运动与圆面相结合
三种常见情景：
1.如图甲所示，小球从半圆弧左边沿平抛，落到半圆内的不同位置。由半径和几何关系制约时间t：h＝
gt2，R±＝vt，联立两方程可求t。
0
【例5】如图所示为一半圆形的坑，其中坑边缘两点A、B与圆心O等高且在同一竖直平面内，在圆边缘A
点将一小球以速度 水平抛出，小球落到C点，运动时间为 ，第二次从A点以速度 水平抛出，小球落到D点，运动时间为 ，不计空气阻力，则（ ）
A．
B．
C．小球落到D点时，速度方向可能垂直圆弧
D．小球落到C点时，速度方向与竖直方向夹角为
【答案】A
【详解】AB．连接AC和AD，如图
设AC和AD的在竖直方向上的长度分别为hAC和hAD，根据图像可知 且有 ，
可得 设AC和AD的水平方向上的长度分别为x 和x ，则有 ， ，
AC AD
可得 ，A正确，B错误；C．连接OD，如图所示
设 则有 ， 可得 若速度方向垂直圆弧，则速度方向与
水平方向的夹角也为θ，则有 则有 整理得 即 这说明小球从
A点抛出后速度方向没有发生过改变，显然这时不可能的，所以小球落到D点时，速度方向不可能垂直圆
弧，C错误；
D．小球落到C点时，设小球的位移偏转角为α，即AC与水平方向的夹角为α，则有
可得 根据平抛运动规律，设小球的速度偏转角为β，即小球落到C点时速度方向与水平方向的夹角
为β，满足 说明β一定大于45°，则速度与水平方向的夹角一定小于45°，D错误。故选
A。
2.如图乙所示，小球恰好沿B点的切线方向进入圆轨道，此时半径OB垂直于速度方向，圆心角α与速度的
偏向角相等。
【例6】如图所示，P是固定在水平面CD上的一半径为R的光滑圆弧槽轨道，从水平桌面边缘A处，以速
度v 水平飞出一个质量为m的小球，恰好能从圆弧槽左端B点处沿圆弧槽切线方向进入轨道．已知O点是
0圆弧槽轨道的圆心，D点是圆弧轨道的最低点，桌面比水平面高H，θ 是OB与竖直方向的夹角，θ 是AB
1 2
与竖直方向的夹角，H=2R，v= ，则：
0
A．
B．
C．小球到达D点时对圆轨道的压力大小为6mg
D．小球到达D点时对圆轨道的压力大小为5mg
【答案】BC
【详解】AB.平抛运动在水平方向上做匀速直线运动，在竖直方向上做自由落体运动，速度与水平方向的夹
角为 ，可得： 位移与竖直方向的夹角为 ，可得： 则有：
故A错误，B正确；
CD.小球从抛出到到达 点过程，由动能定理得： 在 点，由牛顿第二定律得：
解得： 由牛顿第三定律可知，小球对轨道的压力： 故C正确，D错误．(3)如图丙所示，小球恰好从圆柱体Q点沿切线飞过，此时半径OQ垂直于速度方向，圆心角θ与速度的偏
向角相等。
【例7】如图所示为四分之一圆柱体OAB的竖直截面，半径为R，在B点上方的C点水平抛出一个小球，
小球轨迹恰好在D点与圆柱体相切，OD与OB的夹角为 ，则C点到B点的距离为（ ）
A． B． C． D．R
【答案】A
【详解】由题意知得：小球通过D点时速度与圆柱体相切，则有 小球从C到D，水平方向有
竖直方向上有 解得 故C点到B点的距离为 故选A。
四、平抛运动与竖直面相结合
方法规律：(1)从同一点斜抛物体，能垂直打在同一竖直面的不同高度处，可用逆向思维法思考，认为物体在不同高
度平抛均落在同一点。
(2)无论是从同一点平抛，落在同一竖直面上的不同高度处，还是从同一点斜抛，垂直落在同一竖直面的
不同高度处，因高度不同，则运动时间不同，又物体水平位移相同，故平抛的初速度不同。
【例8】如图所示，某同学将乒乓球发球机正对着竖直墙面水平发射，两个完全相同的乒乓球a和b各自
以不同的速度水平射出，碰到墙面时竖直下落的高度之比为9：16。若不计阻力，下列对乒乓球a和b的
判断正确的是（ ）
A．碰墙前a和b的运动时间之比为9：16
B．a和b碰墙时重力的瞬时功率之比为4：3
C．从发出到碰墙，a和b的动量变化量之比为4：3
D．a和b的初速度之比为4：3
【答案】D
【详解】A．球在竖直方向上做自由落体运动，根据 可得 ，A错误；
B．a和b碰墙时，小球的竖直方向速度 重力的瞬时功率 求得，a和b碰墙时重力的瞬时功
率之比 ，B错误；C．根据 从发出到碰墙，a和b的动量变化量之比为 ，C错误；
D．球在水平方向匀速直线运动，水平位移相等，根据 可以求得 ，D正确。故选D。
【例9】如图所示，某同学进行篮球训练，将篮球从同一位置斜向上抛出，其中两次抛出过程中，篮球垂
直撞在竖直墙面上，不计空气阻力，则下列说法正确的是（ ）
A．篮球撞墙的速度，第一次较大
B．篮球抛出时的速度，第一次一定比第二次大
C．篮球在空中运动时的加速度，第一次较大
D．篮球从抛出到撞墙，第一次在空中运动的时间较长
【答案】D
【详解】ACD．不计空气阻力，篮球只受重力，所以加速度为重力加速度，相同，在两次运动中，篮球被
抛出后的运动可以看作是平抛运动的逆反运动，由于两次篮球垂直撞在竖直墙面上，在竖直方向有
可得篮球从抛出到撞墙，第一次在空中运动的时间较长，但是两球的水平位移相同，根据
可知篮球撞墙的速度，第一次较小，故AC错误，D正确；
B．根据平行四边形定则知，抛出时的速度 第一次的水平初速度小，上升的高度大，
则无法比较抛出时的速度大小，故B错误。故选D。【多维度分层专练】
1．第24届冬奥会于2022年2月4日在中国北京和张家口联合举行，这是我国继2008年奥运会后承办的
又一重大国际体育盛会。如图所示为我国滑雪运动员备战的示意图，运动员（可视为质点）从曲面AB上
某位置由静止滑下，到达B点后水平飞出，经时间 后落到斜坡滑道C点；运动员调整位置下滑，又从B
点水平飞出，经时间 后落到斜坡滑道D点。已知O点在B点正下方， ，斜坡足够长，不计空气
阻力，则以下关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】设斜坡的倾角为 ，根据抛运动的规律有 ； 第二次跳时，有
； 由几何关系可知 可得
故D正确，ABC错误。故选D。
2．如图，一质量为m的质点做平抛运动，依次经过A、B、C三点，质点从A到B和从B到C的时间相等，
A、C两点距水平地面的高度分别为h、h，质点经过A、C两点时速度与水平方向的夹角分别为30°、
1 2
60°，重力加速度大小为g，则（ ）A．质点经过C点时竖直方向速度大小为
B．质点经过B点时速度与水平方向的夹角为45°
C．B、C间的高度差是A、B间的3倍
D．质点的水平速度大小为
【答案】D
【详解】A．质点在A点时的竖直方向速度不为零，从A点到C点，竖直方向由运动学公式
则质点经过C点时速度大小为 故A错误；
B．质点经过A点时 质点经过C点时 因为质点从A到B和从B到C的时间相等，
故 设质点经过B点时速度与水平方向的夹角为θ，则
故B错误；
C．如果质点在A点时竖直方向的速度为零，则B、C间的高度差是A、B间的3倍，但实际质点在A点时
竖直方向的速度不为零，则B、C间的高度差不是A、B间的3倍，故C错误；D．在竖直方向上有 再根据 ； 可解得质点的水平速度大小
故D正确。故选D。
3．如图所示， 为竖直平面内正方形的四个顶点，边长为L， 水平。分别从A点和D点同时各平
抛一个小球M、N，其速度分别为 ， ，若两小球能同时到达 上的某点，当它们相遇时，下列说法正
确的是（ ）（重力加速度为g，不计空气阻力）
A．若N球速度恰好垂直于 ，则两小球的初速度大小关系为
B．若N球速度恰好垂直于 ，则两小球到达 的时间为
C．若N球位移恰好垂直于 ，则两小球初速度大小关系为
D．若N球位移恰好垂直于 ，则两小球到达 的时间为
【答案】BC
【详解】A．若N球到达 时，N球速度恰好垂直于 ，如图1所示M球位移偏角为45°，N球速度偏角为45°，对M求有 对N球有 可得 故A错误；
B．N球速度恰好垂直于 时，M、N两小球水平位移之比为 ，小球下落高度为 ，故两小球到达
的时间为 ，故B正确；
C．若N球到达 时，N球位移恰好垂直于 ，如图2所示
M球位移偏角为45°，N球位移偏角为45°，由平抛运动的特征可知 ，故C正确；
D．若N球位移恰好垂直于 ，两小球的水平位移之比为 ，两小球下落高度为 ，故两小球到达
的时间为 ，故D错误。故选BC。
4．2022年冬奥会将在北京召开。如图所示是简化后的跳台滑雪的雪道示意图，运动员从助滑雪道AB上由
静止开始滑下，到达C点后水平飞出，落到滑道上的D点，E是运动轨迹上的某一点，在该点运动员的速
度方向与轨道CD平行，设运动员从C到E与从E到D的运动时间分别为t、t，EF垂直CD，则有关离开
1 2
C点后的飞行过程（ ）A．有t=t，且CF=FD
1 2
B．若运动员离开C点的速度加倍，则落在斜面上的速度方向夹角变大
C．若运动员离开C点的速度加倍，则落在斜面上的距离加倍
D．若运动员离开C点的速度加倍，则落在斜面上的速度方向不变
【答案】D
【详解】A．以C点为原点，以CD为x轴，以CD垂直向上方向为y轴，建立坐标系如图：
对运动员的运动进行分解，y轴方向做类竖直上拋运动，x轴方向做匀加速直线运动。当运动员速度方向与
轨道平行时，在y轴方向上到达最高点，根据竖直上拋运动的对称性，知 。而x轴方向运动员做匀加
速运动，因 ，故 ，故A错误；
C．将初速度沿x、y方向分解为 、 ，将加速度沿x、y方向分解为 、 ，则运动员的运动时间为落在斜面上的距离 离开C点的速度加倍，则 、 加倍，t加倍，由位移公式得s不是加倍关
系，C错误；
BD．设运动员落在斜面上的速度方向与水平方向的夹角为 ，斜面的倾角为 。则有： ；
则得 ， 一定，则 一定，则知运动员落在斜面上的速度方向与从C点
飞出时的速度大小无关，故B错误，D正确。故选D。
5．如图所示，同一竖直平面内有四分之一圆环AC和倾角为 =60°的斜面BC相接于C点，A、B两点与圆
环AC的圆心O等高。现将甲、乙小球同时从A、B两点以一定大小的初速度沿水平方向同时抛出，两球恰
好在C点相碰（不计空气阻力）。则下列说法正确的是（ ）
A．甲、乙两球初速度大小之比为 ：1
B．若仅增大两球质量，则两球不再相碰
C．若乙球速度大小变为原来的一半，则恰能落在斜面的中点D
D．若乙球速度大小变为原来的两倍，则可能垂直击中圆环AC
【答案】A
【详解】A．甲乙两球从等高处做平抛运动恰好在C点相碰，则时间相等，水平方向有， 所以甲、乙两球初速度大小之比为 ：1，故A正确；
B．两球运动时间与质量无关，故改变质量，两球仍会相碰，故B错误；
C．若v 大小变为原来的一半，在时间不变的情况下水平位移会变为原来的一半，但由于乙球会碰到斜面，
2
下落高度减小，时间减小，所以乙球的水平位移小于原来的一半，不会落在斜面的中点，故C错误；
D．若乙球垂直击中圆环AC，则落点时速度的反向延长线过圆心O，由几何关系
（落点和圆心连线与OC夹角为 ）解得 故D错误。故选A.
6．如图所示，圆环竖直放置，从圆心O点正上方的P点，以速度v 水平抛出的小球恰能从圆环上的Q点
0
沿切线方向飞过，若OQ与OP间夹角为 ，不计空气阻力．则（ ）
A．小球运动到Q点时的速度大小为
B．小球从P点运动到Q点的时间为
C．小球从P点到Q点的速度变化量为D．圆环的半径为
【答案】D
【详解】从P点运动到Q点，小球做平抛运动，由图和几何关系知，在Q点 小球从P点到Q点
的速度变化量为 解得小球从P点运动到Q点的时间为 在水平方向
解得圆环的半径为 故ABC错误，D正确；故选D。
7．如图所示，BC是半径为R的竖直面内的光滑圆弧轨道，轨道末端C在圆心O的正下方，∠BOC＝60°，
将质量为m的小球，从与O等高的A点水平抛出，小球恰好从B点滑入圆轨道，则小球在C点对轨道的压
力为
A． mg B．3mg C． mg D．4mg
【答案】C
【详解】小球由A至B做平抛运动，设初速度 ，平抛时间 ，竖直方向有 ；B点的速度相
切与圆轨道，故平抛的速度偏向角为 ，有 ，可得 ．从A至C由动能定理：，对C点的小球，由牛顿第二定律： ，由牛顿第三定律可得球对轨道的
压力与支持力大小相等，解得 ．故选C．
8．在电视剧里，我们经常看到这样的画面：屋外刺客向屋里投来两支飞镖，落在墙上，如图所示。现设
飞镖是从同一位置做平抛运动射出来的，飞镖A与竖直墙壁成53°角，飞镖B与竖直墙壁成37°角，两落点
相距为d，试求刺客离墙壁有多远（已知tan 37°= ，tan 53°= ）（ ）
A． d B．2d C． d D． d
【答案】C
【详解】把两飞镖速度反向延长，交点为水平位移中点，如图所示
设水平位移为x，根据几何关系有 解得x= d故选C。9．如图所示，从水平地面A、B两点分别斜抛出两小球，两小球均能垂直击中前方竖直墙面上的同一位置
点P。已知点P距地面的高度h=0.8m，A、B两点距墙的水平距离分别为0.8m和0.4m。不计空气阻力，则
从A、B两点抛出的两小球（ ）
A．从抛出到击中墙壁的时间之比为2：1
B．击中墙面的速率之比为1：1
C．抛出时的速率之比为
D．抛出时速度方向与地面夹角的正切值之比为1：2
【答案】D
【详解】A．利用逆向思维，则两小球从P点做平抛运动，根据 解得 所以
落地时间只与高度有关，则从抛出到击中墙壁的时间之比为1：1，所以A错误；
B．根据 可知，两球的水平方向位移不同，则在P点的速度为 ，
则击中墙面的速率之比为2：1，所以B错误；
C．两球抛出时的速率分别为 ；则抛出时的速率之比为 ，所以C错误；
D．两球抛出时速度方向与地面夹角的正切值分别为 ； 则抛出时速度
方向与地面夹角的正切值之比为1：2，所以D正确；故选D。
