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考向 47 古典概型
1．（2021·山东·高考真题）甲、乙、丙三位同窗打算利用假期外出游览，约定每人从泰山、孔府这两
处景点中任选一处，那么甲、乙两位同窗恰好选取同一处景点的概率是（ ）
2 1
2 1
A． B． C． D．
9 3 4 2
【答案】D
【分析】
应用古典概型的概率求法，求甲、乙两位同窗恰好选取同一处景点的概率即可.
【详解】
甲、乙两位同窗选取景点的种数为224，其中甲、乙两位同窗恰好选取同一处景点的种数为2，
2 1
∴甲、乙两位同窗恰好选取同一处景点的概率为 ．
4 2
故选：D
2．（2013·广东·高考真题（文））从一批苹果中，随机抽取50个，其重量（单位：克）的频数分布表
如下：
分组（重 [80,85) [85,90) [90,95) [95,100)
量）
频数（个） 5 10 20 15
(1) 根据频数分布表计算苹果的重量在[90,95)的频率；
(2) 用分层抽样的方法从重量在[80,85)和[95,100)的苹果中共抽取4个，其中重量在[80,85)的有几个？
(3) 在（2）中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在[80,85)和[95,100)中各有1个的概率．
3 1
【答案】(1) (2)1个 (3) P(A)
0.4 6 2
【详解】
试题分析：（1）用苹果的重量在[90，95）的频数除以样本容量，即为所求．
（2）根据重量在[80，85）的频数所占的比例，求得重量在[80，85）的苹果的个数．（3）用列举法求出所有的基本事件的个数，再求出满足条件的事件的个数，即可得到所求事件的概率．
试题解析：（1）重量在
90,95
的频率为： ；
80,85 95,100 80,85
（2）若采用分层抽样的方法从重量在 和 的苹果中共抽取4个，则重量在 的个数为：
；
80,85
x
95,100
a,b,c 4
（3）设在 中抽取的一个苹果为 ，在 中抽取的三个苹果分别为 ，从抽出的 个苹果
2 6
中，任取 个共有 ， ， ， ， ， 种情况．
80,85 95,100
(x,a),(x,b),(x,c) 4
其中符合 “重量在 和 中各有一个”的情况共有 3种;设“抽出的 个苹果
3 1
中，任取 个，重量在80,85和95,100中各有一个”为事件 ，则事件 的概率P(A) ．
2 A A 6 2
考点：1、古典概型及其概率计算公式；2、分层抽样方法．
【方法点晴】本题考查古典概型问题，用列举法计算可以列举出基本事件和满足条件的事件，应用列举法
来解题是这一部分的最主要思想．本题还考查分层抽样的定义和方法，利用了总体中各层的个体数之比等
于样本中对应各层的样本数之比，属于基础题．
1.求古典概型的基本步骤：
(1)算出所有基本事件的个数n.
(2)求出事件A包含的所有基本事件数m.
(3)代入公式 ，求出P(A)．
2.解题技巧：
列出全部基本事件，找到符合条件的基本事件，再利用古典概型公式即可得到答案.古典概型
(1)古典概型的特征：
①有限性：在一次试验中，可能出现的结果是有限的，即只有有限个不同的基本事件；,②等可能性：每
个基本事件出现的可能性是相等的.
一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特征——有限性和等可能性.
(2)古典概型的概率计算的基本步骤：
①判断本次试验的结果是否是等可能的，设出所求的事件为A；
②分别计算基本事件的总数n和所求的事件A所包含的基本事件个数m；
③利用古典概型的概率公式P(A)＝，求出事件A的概率.
(3)频率的计算公式与古典概型的概率计算公式的异同
名称 不同点 相同点
频率计 频率计算中的m，n均随随机试验的变化而变化，
但随着试验次数的增多，它们的比值逐渐趋近于概
算公式 率值
都计算了一个比值
古典概型的
是一个定值，对同一个随机事件而言，m，n都不
会变化
概率计算公式
【知识拓展】
1．（2017·湖南·长郡中学一模（理））小王同学有三支款式相同、颜色不同的圆珠笔，每支圆珠笔都
有一个与之同颜色的笔帽，平时 小王都将笔杆和笔帽套在一起，但偶尔也会将笔杆和笔帽随机套在一起，
则小王将两支笔的笔杆和笔帽的颜色混搭的概率是（ ）
A． B． C． D．2．（2021·江西景德镇·模拟预测（理））蒲丰是18世纪的法国博物学家，曾在1777年出版的著作中提
出了“投针问题”：取一张画有若干条等矩平行线的白纸，随机地向纸上投掷长度小于平行线间距的短针，
记录下针与线的相交情况，可用来估计圆周率.蒲丰发现当短针长度恰好为平行线间距一半时，针线相交
的概率为 .现用针长为平行线间距一半的短针投掷5000次，记录下短针与线相交1590次，则此次投针实
验中得到的圆周率的近似值约为（ ）
A．3.12 B．3.13 C．3.14 D．3.15
3．（2021·上海普陀·模拟预测）已知函数 的定义域为 ，值域为 ，则函
数 在定义域 上存在反函数的概率为__．
4．（2021·上海·模拟预测）一个袋中装有9个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，…，9，
随机依次摸出两个球（不放回），则两个球编号之和大于9的概率是___________（结果用分数表示）.
1．（2021·江西景德镇·模拟预测（理））若某台电脑每秒生成一个数字1或2，则该电脑运行三秒后生
成的数字之和能被3整除的概率为（ ）
A． B． C． D．
2．（2020·广东·大沥高中模拟预测）要将甲、乙、丙、丁4名同学分到A、B、C三个班级中，要求每个
班级至少分到一人，则甲被分到A班级的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·广东中山·模拟预测）为提高学生的身体素质，加强体育锻炼，高三（1）班A，B，C三位同
学进行足球传球训练，约定：球在某同学脚下必须传出，传给另外两同学的概率均为 ，不考虑失球，球
刚开始在A同学脚下，经过5次传球后，球回到A同学脚下的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·全国·模拟预测）湖泊不仅是中国地理环境的重要组成部分，还蕴藏着丰富的自然资源.综合实践活动课上，小王要从青海湖､西湖､千岛湖､纳木错等10个湖泊中随机选取3个进行介绍，则青海湖与
纳木错至少有一个被选中的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·全国·模拟预测（理））北京卫视大型原创新锐语言竞技真人秀节目《我是演说家》火爆荧
屏，在某期节目中，共有 名女选手和 名男选手参加比赛.已知备选演讲主题共有 道，若每位选手从中
有放回地随机选出一个主题进行演讲，则其中恰有一男一女抽到同一演讲主题的概率为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2021·全国·模拟预测（理））下图是2020年我国居民消费价格月度涨跌幅度图（来源于国家统计
局网站），现从12个月中任选3个月，则其中恰有两个月月度环比为正且月度同比不低于 的概率为（
）
A． B． C． D．
7．（2021·云南五华·模拟预测（理））一个学习小组有7名同学，其中3名男生，4名女生.从这个小
组中任意选出3名同学，则选出的同学中既有男生又有女生的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．（2021·上海·模拟预测）在报名的8名男生和5名女生中，选取6人参加志愿者活动，若男生甲和女
生乙不同时参加，则事件发生的概率为__________(结果用数值表示)．
9．（2021·黑龙江·哈尔滨市第六中学校模拟预测（理））投掷红、蓝两颗均匀的骰子，设事件 ：蓝
色骰子的点数为5或6；事件 ：两骰子的点数之和大于9，则在事件 发生的条件下事件 发生的概率
______．
10．（2021·全国·模拟预测）一只口袋内装有 个白球， 个黑球，若将球不放回地随机一个一个摸出来，则第 次摸出的是白球的概率为________．
11．（2021·云南大理·模拟预测（文））2021年初，疫情防控形势依然复杂严峻，防疫任务依然艰巨．
为了引起广大市民足够重视，某市制作了一批宣传手册进行发放．手册内容包含“工作区域防护知识”
“个人防护知识”“居家防护知识”“新型冠状病毒肺炎知识”“就医流程”等内容．为了解某市市民对
手册的掌握情况，采取网上答题的形式，从本市 岁的答题的人群中随机抽取了100人进行问卷调查，
统计结果如下频率分布直方图所示：
（1）求 的值，并求这组数据的中位数（结果保留两位小数）；
（2）现从年龄在 的人中利用分层抽样抽取5人，再从这5人中随机抽取2人参加座谈，求这两人
来自不同年龄段的概率．
12．（2019·新疆·克拉玛依市教育研究所三模（文））随着春暖花开，疆内外来我市旅游的游客不断增
多，为提高旅游行业服务质量和水平，市旅游局对10家旅行社负责人进行了相关培训，并在培训结束后组
织了测试，现得到10人考试成绩分别如下（满分100分）：75 84 65 90 88 95 78 85
98 82
（1）以成绩的十位为茎、个位为叶作出10人成绩的茎叶图，并计算平均成绩与成绩的中位数 ；
（2）从本次成绩在85分以上（含85分）的学员中任选2人，求2人成绩都在90分以上（含90分）的概
率.
1．（2020·山东·高考真题）现有5位老师，若每人随机进入两间教室中的任意一间听课，则恰好全都进入同一间教室的概率是（ ）
2 1 1 1
A． B． C． D．
25 16 25 32
2．（2011·浙江·高考真题（文））从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球,则所取的3个球中至少
有1个白球的概率是( )
1 3 3 9
A． B． C． D．
10 10 5 10
3．（2016·全国·高考真题（文））小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是
M，I,N中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是
8 1 1 1
A． B． C． D．
15 8 15 30
4．（2020·全国·高考真题（文））设O为正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3点，则取到
的3点共线的概率为（ ）
1 2
A． B．
5 5
4
1
C． D．
2 5
5．（2019·全国·高考真题（文））生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只
兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为
2 3
A． B．
3 5
2 1
C． D．
5 5
6．（2009·重庆·高考真题（理））锅中煮有芝麻馅汤圆6个，花生馅汤圆5个，豆沙馅汤圆4个，这三
种汤圆的外部特征完全相同．从中任意舀取4个汤圆，则每种汤圆都至少取到1个的概率为
8 25 48 60
A． B． C． D．
91 91 91 91
7．（2013·全国·高考真题（文））从1，2，3，4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值
为2的概率是
1 1 1
1
A． B． C． D．
2 3 4 6
8．（2016·江苏·高考真题）将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正
方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是________．
9．（2015·江苏·高考真题）袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，
从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为__________．10．（2014·山东·高考真题（文））海关对同时从A,B,C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，
从各地区进口此种商品的数量（单位：件）如下表所示，工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取
6件样品进行检测．
地区 A B C
数量/件 50 150 100
（1）求这6件样品中来自A，B，C三个地区商品的数量；
（2）若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．
11．（2015·北京·高考真题（理））A，B两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：
天）记录如下：
A组：10，11，12，13，14，15，16
B组：12，13，15，16，17，14，a
假设所有病人的康复时间互相独立，从A，B两组随机各选1人，A组选出的人记为甲，B组选出的
人记为乙．
（Ⅰ）求甲的康复时间不少于14天的概率；
（Ⅱ）如果a25，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；
（Ⅲ）当a为何值时，A，B两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明）
12．（2010·山东·高考真题（文））一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，
3，4.
（1）从袋中随机抽取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；
（2）先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号
为n，求nm2的概率
1．【答案】C
【分析】
设三支款式相同、颜色不同的圆珠笔分别为 ， ， ，与之相同颜色的笔帽分别为 ， ， ，利用古典概型的概率能求出小王将两支笔和笔帽的颜色混搭的概率．
【详解】
解：设三支款式相同、颜色不同的圆珠笔分别为 ， ， ，与之相同颜色的笔帽分别为 ， ， ，
将笔和笔帽随机套在一起，基本事件有：
， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
，共有6个基本事件，
小王将两支笔和笔帽的颜色混搭包含的基本事件有：
， ， ， ， ， ， ， ， ，共有3个基本事件，
小王将两支笔和笔帽的颜色混搭的概率是 ．
故选：C
2．【答案】C
【分析】
利用古典概型的概率求解.
【详解】
由题意得： ，
解得 ，
故选：C
3．【答案】
【分析】
计算出基本事件的总数，从 ， ， ， 中选 个再排列可得 存在反函数的的基本事件的个数，
由古典概率公式即可求解.
【详解】
函数 在定义域 上存在反函数，只需要满足自变量和函数值一一对应，
因此从 ， ， ， 中选三个出来对应值域中的三个实数，即可满足题意，
故函数 在定义域 上存在反函数的概率为 .
故答案为： .4．【答案】
【分析】
根据古典概型的概率公式即可求出．
【详解】
从9个球摸出两个球，基本事件总数为 ，当两个球编号之和小于等于9时，此时包含的基本
事件有 ，即有 种，所以取
出两个球编号之和大于9的概率是 ．
故答案为： ．
1． 【答案】C
【分析】
根据题意写出三秒后生成数字的可能组合，判断能被3整除的情况，由古典概型的概率求法求概率即可.
【详解】
由题设，三秒后生成的数字可能为 、 、 、 、 、 、 、 ，
其中能被3整除的数有 、 ，
∴电脑运行三秒后生成的数字之和能被3整除的概率为 .
故选：C
2． 【答案】B
【分析】
根据题意，先将四人分成三组，再分别分给三个班级即可求得总安排方法；若甲被安排到A班，则分甲单
独一人安排到A班和甲与另外一人一起安排到A班两种情况讨论，即可确定甲被安排到A班的所有情况，
即可求解.【详解】
将甲、乙、丙、丁 名同学分到 三个班级中，要求每个班级至少分到一人，
则将甲、乙、丙、丁 名同学分成三组，人数分别为1，1，2；则共有 种方法，分配给 三个班
级的所有方法有 种；
甲被分到A班，有两种情况：
甲单独一人分到A班，则剩余两个班级分别为1人和2人，共有 种；
二，甲和另外一人分到A班，则剩余两个班级各1人，共有 种；
综上可知，甲被分到 班的概率为 .
故选：B.
3．【答案】B
【分析】
由题可知传球共有32种可能，其中开始在A同学脚下，经过5次传球后，球回到A同学脚下的有10种，
即求.
【详解】
由题可知，开始在A同学脚下，5次传球共有32种可能，
，
其中开始在A同学脚下，经过5次传球后，球回到A同学脚下的有10种，
∴球回到A同学脚下的概率为 .
故选：B.
4． 【答案】B
【分析】
首先利用组合数公式求出基本事件总数，再求出青海湖与纳木错只有1个被选中与两个都被选中的事件数，最后根据古典概型的概率公式计算可得；
【详解】
解：从10个湖泊中任选3个的选法有 （种），青海湖与纳木错只有1个被选中的选法有
（种），青海湖与纳木错都被选中的选法有 （种）.故所求事件的概率 .
故选：B
5．【答案】B
【分析】
列出基本事件，利用古典概型概率计算公式求解即可.
【详解】
设两到题目为A,B题，所以抽取情况共有：AAA,AAB,ABA,ABB,BAA,BAB,BBA,BBB,其中第1个，第2个分别
是两个女教师抽取的题目，第3个表示男教师抽取的题目，一共有8种；其中满足恰有一男一女抽到同一
题目的事件有：ABA,ABB,BAA,BAB，共4种；故所求事件的概率为
故选：B
6．【答案】B
【分析】
首先根据题意得到月度环比为正且月度同比不低于 的月份有：1月，2月，7月，8月，再利用古典概型
公式求解即可.
【详解】
由图知：月度环比为正且月度同比不低于 的月份有：1月，2月，7月，8月，
恰有两个月月度环比为正且月度同比不低于 的概率 ，
故选：
7．【答案】A
【分析】
既有男生又有女生的情况分为两种： 名男生 名女生， 名男生 名女生，然后利用组合数以及古典概型
的概率计算公式求解出结果.
【详解】
因为既有男生又有女生包含两种情况： 名男生 名女生， 名男生 名女生，当选出的同学为 名男生 名女生时，选法数为 种；
当选出的同学为 名男生 名女生时，选法数为 种，
又总的选法数为 种，
故所求概率为： ，
故选：A.
8．【答案】
【分析】
根据组合知识计算总的取法，再由间接法求出男生甲和女生乙不同时参加的取法，根据古典概型求解即可.
【详解】
13人中任选6人参加有 种，再除去甲乙2人同时参加的情况有 种，
由古典概型可知 .
故答案为：
9．【答案】
【分析】
首先根据古典概型的概率计算公式，求得 ，再求 ，由 即可得解.
【详解】
设红蓝两颗骰子的点数分别为 ， ，基本事件用 表示，
共有 种情况，
事件 包含基本事件 ， ， ， ， ， ，共6种，
则 ，
事件 和事件 同时发生的基本事件为 ， ， ， ， ，共5种，则 ，
故事件 发生的条件下事件 发生的概率 ．
故答案为： ．
10．【答案】
【分析】
利用排列数求出基本事件的总数以及第 个球是白球的排法数，利用古典概率公式即可求解.
【详解】
将 个白球和 个黑球都看作是不同的，并将球一一摸出依次排成一排，
每一种不同的排法看作一个基本事件，那么基本事项的总数为 ，
其中第 个球是白球的排法数为 ，
故所求概率为 ，
故答案为：
11． 【答案】
（1） ，中位数为38.33；
（2）
【分析】
（1）根据频率分布直方图中所有矩形面积和为1，可求得a值，根据频率分布直方图中中位数的求法，代
入数据，即可得答案.
（2）根据题意可得在 中抽取2人，在 中抽取3人，根据古典概型概率求法，结合组合数的
公式，即可得答案.
（1）
因为频率分布直方图中所有矩形面积和为1，
所以 ，解得 ，因为 ，
所以中位数位于 之间，
设中位数为x，则 ，
解得
所以这组数据的中位数为38.33
（2）
因为 的频率之比为 ，
则按照分层抽样，在 中抽取2人，在 中抽取3人，
则从这5人中随机抽取2人参加座谈，且这两人来自不同年龄段的概率 .
12．【答案】
（1）作图见解析， ；
（2）
【分析】
（1）由茎叶图的概念作出茎叶图，由中位数与平均数的定义求解中位数与平均数；
（2）用列举法结合古典概型的概率公式求解即可
（1）
本次测试成绩的茎叶图如下：
成绩的中位数等于 ，
平均成绩为 ；
（2）
不妨记成绩在85分以上（含85分）的5人分别为A、B、C、D、E且其中C、D、E的成绩在90分以上（含
90分），
则从5人中任取2人的不同取法共有如下10种：{A，B}、{A，C}、{A，D}、{A，E}、{B，C}、{B，D}、{B，E}、{C，D}、{C，E}、{D，E}.
其中两人成绩都在90分以上（含90分）的有{C，D}、{C，E}、{D，E}这3种.
所以在85分以上（含85分）的学员中任选2人，成绩都在90分以上（含90分）的概率为 .
1．【答案】B
【分析】
利用古典概型概率公式，结合分步计数原理，计算结果.
【详解】
5位老师，每人随机进入两间教室中的任意一间听课，共有 种方法，
其中恰好全都进入同一间教室，共有2种方法，所以 .
故选：B
2．【答案】D
【详解】
试题分析：从装有 个红球， 个白球的袋中任取 个球，共有基本事件 种，则全取红球的基本事件
只有一种，所以所取 个球中至少有 个白球的概率为 ，故选D.
考点：古典概型及其概率的计算.
3．【答案】C
【详解】
试题分析：开机密码的可能有 ，
，共15种可能，所以小敏输入一次密码能够成功开机的概率是 ，故选
C．
【考点】古典概型
【解题反思】对古典概型必须明确两点：①对于每个随机试验来说，试验中所有可能出现的基本事件只有
有限个；②每个基本事件出现的可能性相等．只有在同时满足①、②的条件下，运用的古典概型计算公式（其中n是基本事件的总数，m是事件A包含的基本事件的个数）得出的结果才是正确的．
4．【答案】A
【分析】
列出从5个点选3个点的所有情况，再列出3点共线的情况，用古典概型的概率计算公式运算即可.
【详解】
如图，从 5个点中任取3个有
共 种不同取法，
3点共线只有 与 共2种情况，
由古典概型的概率计算公式知，
取到3点共线的概率为 .
故选：A
【点晴】
本题主要考查古典概型的概率计算问题，采用列举法，考查学生数学运算能力，是一道容易题.
5．【答案】B
【分析】
本题首先用列举法写出所有基本事件，从中确定符合条件的基本事件数，应用古典概率的计算公式求解．
【详解】
设其中做过测试的3只兔子为 ，剩余的2只为 ，则从这5只中任取3只的所有取法有
， 共10种．其中恰有2
只做过测试的取法有 共6种，
所以恰有2只做过测试的概率为 ，选B．【点睛】
本题主要考查古典概率的求解，题目较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．应用列举法写出所有
基本事件过程中易于出现遗漏或重复，将兔子标注字母，利用“树图法”，可最大限度的避免出错．
6．【答案】C
【详解】
因为总的滔法 而所求事件的取法分为三类，即芝麻馅汤圆、花生馅汤圆．豆沙馅汤圆取得个数分别按
1.1.2；1，2，1；2，1，1三类，故所求概率为
．
7．【答案】B
【详解】
解法一：由排列组合知识可知，所求概率 ；
解法二：任取两个数可能出现的情况为（1,2）、（1,3）、（1,4）、（2,3）、（2,4）、（3,4）；符合
条件的情况为（1,3）、（2,4），故 .
8．【答案】
【详解】
基本事件总数为36，点数之和小于10的基本事件共有30种，所以所求概率为
【考点】古典概型
【名师点睛】概率问题的考查，侧重于对古典概型和对立事件的概率的考查，属于简单题.江苏对古典概
型概率的考查，注重事件本身的理解，淡化计数方法.因此先明确所求事件本身的含义，然后一般利用枚
举法、树形图解决计数问题，而当正面问题比较复杂时，往往利用对立事件的概率公式进行求解.
9．【答案】
【详解】
试题分析：根据题意，记白球为A，红球为B，黄球为 ，则一次取出2只球，基本事件为 、 、 、 、 、 共6种，
其中2只球的颜色不同的是 、 、 、 、 共5种；
所以所求的概率是 ．
考点：古典概型概率
10．【答案】（1）1，3，2；（2） .
【分析】
（1）由分层抽样的性质运算即可得解；
（2）利用列举法，结合古典概型概率的计算公式，即可得解.
【详解】
（1）由题意，样品中来自A地区商品的数量为 ，
来自B地区商品的数量为 ，
来自C地区商品的数量为 ；
（2）设来自 地区的样品编号为 ，来自 地区的样品编号为 , , ，
来自 地区的样品编号为 , ，
则从6件样品中抽取2件产品的所有基本事件为:
, , , , , , , ,
, , , , , , ,共15个；
抽取的这2件产品来自相同地区的基本事件有:
, , , ,共4个；
故所求概率 .
【点睛】
本题考查了分层抽样的应用及古典概型概率的求解，考查了运算求解能力，属于中档题.11． 【答案】（Ⅰ） ，（Ⅱ） ，（Ⅲ） 或
【详解】
试题分析：针对甲有7种情况，康复时间不少于14天有3种情况，概率为 ；如果 ，甲、乙随机各
取一人有49种情况，用列举法列出甲的康复时间比乙的康复时间长的情况有10种，概率为 ，由于A组
数据为10，11，12，13，14，15，16；B组数据调整为 ，12，13，14，15，16，17，或12，13，14，
15，16，17， ，由于 ， 两组病人康复时间的方差相等，即波动相同，所以 或 .
试题解析：(Ⅰ)甲有7种取法，康复时间不少于14天的有3种取法，所以概率 ；
(Ⅱ) 如果 ，从 ， 两组随机各选1人， 组选出的人记为甲， 组选出的人记为乙共有49种取
法，甲的康复时间比乙的康复时间长的列举如下：（13，12），（14，12），（14，13），（15，12），
（15，13），(15,14),（16，12）（16，13）,（16，15）,(16,14)有10种取法，所以概率 .
(Ⅲ)把B组数据调整为 ，12，13，14，15，16，17，或12，13，14，15，16，17， ，可见当 或
时，与A组数据方差相等.(可利用方差公式加以证明，但本题不需要)
考点：1、古典概型；2、样本的方差
12． 【答案】（1） ，（2）
【详解】
（1）从袋子中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有1和2,1和3,1和4,2和3,2和4,3和
4，共6个，
从袋中随机取出的球的编号之和不大于4的事件共有1和2,1和3两个．
因此所求事件的概率为 .
（2）先从袋中随机取一个球，记下编号为m，放回后，在从袋中随机取一个球，记下编号为n，
其中一切可能的结果（m，n）有：（1,1）（1,2），（1,3），（1,4），（2,1），（2,2），（2,3），
（2,4），（3,1）（3， 2），（3,3）（3,4），（4,1），（4,2），（4,3），（4,4），共16个．
所有满足条件n≥m＋2的事件为（1,3）（1,4）（2,4），共3个，
所以满足条件n≥m＋2的事件的概率为P1＝故满足条件n＜m＋2的事件的概率为1－P1＝1－ ＝ .
