文档内容
知识点 39：轻绳连接体模型的力与能量问题
【知识思维方法技巧】
应用动力学和能量观点解决连接体问题的技巧：
（1）做好四个分析：受力分析、运动分析、做功分析和能量的转化分析．
（2）规律的选择：
①物体受到恒力作用发生运动状态的改变求某一时刻的力、加速度或求时间时，一般选择
动力学方法（牛顿运动定律）解题；
②当涉及功、能和位移时，若研究某一个物体时，一般用动能定理去解决问题。若研究的
对象为连接体时，一般选用功能关系或能量守恒定律解题，题目中出现相对位移时，应优
先选择能量守恒定律；
（3）使用能量守恒定律解题选用表达式的技巧：
①解题时，首先确定初、末状态，然后分清有多少种形式的能在转化，再分析状态变化过
程中哪种形式的能量减少，哪种形式的能量增加。
②无外力做功的表达式：ΔE ＝ΔE ，减少的那些能量的减少量等于增加的那些能量的增
减 增
加量。E ＝E ，初状态各种能量的总和等于末状态各种能量的总和。
初 末
③有外力做功的表达式：W ＝ΔE，ΔE为能量的增加量。
F
考点一：速率相等轻绳连接体模型的力与能量问题
【知识思维方法技巧】
对于单个物体，一般绳上的力要做功，机械能不守恒；对多个物体组成的系统要注意判断
物体运动过程中，系统的机械能是否守恒。解题时要注意寻找用绳相连接的物体间的速度
关系和位移关系。分清两物体是速度大小相等，还是沿绳方向的分速度大小相等。
题型一：悬吊式模型的力与能量问题
【典例1提高题】如图所示，可视为质点的小球A、B用不可伸长的细软轻线连接，跨过
固定在地面上、半径为R的光滑圆柱，A的质量为B的两倍．当B位于地面上时，A恰与
圆柱轴心等高．将A由静止释放，B上升的最大高度是( )
A．2R B． C． D．
【典例1提高题】【答案】C
【解析】设B球质量为m，则A球质量为2m，A球刚落地时，两球速度大小都为v，根据
机械能守恒定律得2mgR－mgR＝(2m＋m)v2，得v2＝gR，B球继续上升的高度h＝＝，B
球上升的最大高度为h＋R＝R，故选C.
【典例1提高题对应练习】如图所示，一很长的、不可伸长的柔软轻绳跨过光滑定滑轮，
绳两端各系一小球a和b.a球质量为m，静置于地面；b球质量为3m，用手托住，高度为
h，此时轻绳刚好拉紧．从静止开始释放b后，a可能达到的最大高度为( )
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 1
学科网（北京）股份有限公司A.h B．1.5h C．2h D．2.5h
【典例1提高题对应练习】【答案】B
【解析】在b球落地前，a、b球组成的系统机械能守恒，且a、b两球速度大小相等，根
据机械能守恒定律可知：3mgh－mgh＝(m＋3m)v2，v＝，b球落地时，a球高度为h，之
后a球向上做竖直上抛运动，在这个过程中机械能守恒，mv2＝mgΔh，Δh＝ ＝，所以
a球可能达到的最大高度为1.5h，B项正确．
题型二：斜面式模型的力与能量问题
【典例2提高题】(多选)如图，水平地面上固定一足够长的光滑斜面，斜面顶端有一光滑
定滑轮，一轻绳跨过滑轮，绳两端分别连接小物块A和B.已知斜面倾角θ＝30°，小物块A
的质量为m，小物块B的质量为0.8m，小物块B距离地面的高度为h，小物块A距离定滑
轮足够远．开始时，小物块A和小物块B位于同一水平面上，用手按住小物块A，然后松
手．则下列说法正确的是(重力加速度为g)( )
A．松手瞬间，小物块A的加速度大小为g
B．松手后，小物块A的机械能守恒
C．小物块B落地前瞬间的速度大小为
D．小物块A能够上升到的最高点与地面的距离为
【典例2提高题】【答案】AD
【解析】松手瞬间，对B受力分析可得0.8mg－F ＝0.8ma，对A受力分析可得F －mgsin
T T
30°＝ma，联立解得：a＝g，故A正确．松手后，绳的拉力对A做正功，小物块A的机械
能增加，故B错误．物块B从开始下落到落地有v2－0＝2ah，解得：v＝，故C错误．物
块A从开始运动到滑行h时获得的速度v＝，接下来继续滑行x速度减为零，则mv2＝
mgxsin 30°，解得：x＝，小物块A能够上升到的最高点与地面的距离为 h＋hsin 30°＋sin
30°＝h，故D正确．
【典例2提高题对应练习】如图所示，表面光滑的固定斜面甲、乙顶端都安装一定滑轮，
甲斜面上有小物块A、B用轻绳连接并跨过滑轮，乙斜面上有小物块C、D用轻绳连接并跨
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 2
学科网（北京）股份有限公司过滑轮。初始时刻，用手按住B和D，使A、B、C、D都处于同一高度并恰好处于静止状
态。已知甲斜面的倾角为53°，乙斜面的倾角为37°，四个小物块的质量都相同，不计滑轮
质量和摩擦，现同时释放B和D，则放手后A和C着地时速度之比为( )
A．1∶1 B．1∶ C．2∶1 D．3∶4
【典例2提高题对应练习】【答案】B
【解析】设小物块质量都为m，离地高度为h，放手后，A、B组成的系统机械能守恒mgh
－mghsin 53°＝×2mv，C、D组成的系统机械能守恒mgh－mghsin 37°＝×2mv，解得v∶v
1 2
＝1∶，B正确，A、C、D错误。
考点二：速率不相等轻绳连接体模型的力与能量问题
【知识思维方法技巧】
用绳连接的两物体速率不相等，但是物体沿轻绳方向速率相等。
题型一：轻绳连接体在固定杆上运动模型
【典例1提高题】(多选)如图所示，质量均为m的物块A和B用不可伸长的轻绳连接，A
放在倾角为θ的固定光滑斜面上，而B能沿光滑竖直杆上下滑动，杆和滑轮中心间的距离
为L，物块B从与滑轮等高处由静止开始下落，斜面与杆足够长，重力加速度为 g.在物块
B下落到绳与水平方向的夹角为θ的过程中，下列说法正确的是( )
A. 物块B的机械能的减小量大于物块A的重力势能的增加量
B. 物块B的重力势能减小量为mgLtanθ
C. 物块A的速度大于物块B的速度
D. 物块B的末速度为
【典例1提高题】【答案】ABD
【解析】在物块B下落到绳与水平方向的夹角为θ时，物块B下降的高度为h＝Ltanθ，则
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 3
学科网（北京）股份有限公司B重力势能减少量为ΔE ＝mgLtanθ，物块A沿斜面上升的距离为x＝ －L，设此时物
pB
块A的速度为v ，物块B的速度为v ，A、B组成的系统运动过程中只有重力做功，故系
A B
统机械能守恒，所以物块B的机械能减小量等于物块A的机械能增加量，有mgLtanθ－
mv 2＝ mv 2＋mgxsinθ，A物块沿斜面上升时动能和势能都增加，故A、B正确；将物块B
B A
的速度分解为沿绳方向的速度和垂直绳方向的速度，则v ＝v ＝v sinθ，则物块A的速度
A 绳 B
小于物块B的速度，故C错误；联立以上表达式可得v ＝ ，故D正确．
B
【典例1提高题对应练习】如图所示，物块A套在光滑水平杆上，连接物块A的轻质细线
与水平杆间所成夹角为θ＝53°，细线跨过同一高度上的两光滑定滑轮与质量相等的物块
B相连，定滑轮顶部离水平杆距离为h＝0.2 m，现将物块B由静止释放，物块A、B均可
视为质点，重力加速度g＝10 m/s2，sin 53°＝0.8，不计空气阻力，则( )
A. 物块A与物块B速度大小始终相等
B. 物块B下降过程中，重力始终大于细线拉力
C. 当物块A经过左侧定滑轮正下方时，物块B的速度最大
D. 物块A能达到的最大速度为1 m/s
【典例1提高题对应练习】【答案】D
【解析】根据关联速度得v cosθ＝v ，所以二者的速度大小不相等，A错误；当物块A经
A B
过左侧定滑轮正下方时细线与杆垂直，则根据选项A可知，物块B的速度为零，所以B会
经历减速过程，减速过程中重力会小于细线拉力，B、C错误；当物块A经过左侧定滑轮
正下方时，物块A的速度最大，根据系统机械能守恒得( －h)mg＝ mv2，解得v＝1
m/s，D正确．
题型二：轻绳连接体在固定圆弧上运动模型
【典例2提高题】如图所示，一个半径为R的半球形碗固定在桌面上，碗口水平，O点为
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 4
学科网（北京）股份有限公司其圆心，碗的内表面及碗口是光滑的。一根足够长的轻质细线跨在碗口上，线的两端分别
系有小球A(可视为质点)和B，当它们处于平衡状态时，小球A与O点的连线与水平线的
夹角为60°。求：
（1）小球A与小球B的质量比m ∶m 。
A B
（2）现将A球质量改为2m，B球质量改为m，且开始时A球位于碗口右端的C点，由静
止沿碗下滑。当A球滑到碗底时，两球总的重力势能改变量的大小。
（3）在（2）的条件下，当A球滑到碗底时，B球的速度大小。
【典例2提高题】【答案】(1)∶1 (2)(2－)mgR (3)
【解析】(1)设碗的内表面对A球的支持力为F ，细线中拉力为F ，由平衡条件得F cos
N T N
60°＝F cos 60°，F sin 60°＋F sin 60°＝m g ，F ＝m g，联立解得：＝。
T N T A T B
(2)当A球滑到碗底时，B球上升的高度为R，两球总的重力势能的减小量：
ΔE ＝2mgR－mgR＝(2－)mgR。(3)对系统由机械能守恒定律得，(2－)mgR＝×2mv 2＋
p A
mv 2，其中v cos 45°＝v ，解得：v ＝ 。
B A B B
【典例2提高题对应练习】如图所示，左侧为一个半径为R的半球形的碗固定在水平桌面
上，碗口水平，O点为球心，碗的内表面及碗口光滑．右侧是一个固定光滑斜面，斜面足
够长，倾角θ＝30°.一根不可伸长的不计质量的细绳跨在碗口及光滑斜面顶端的光滑定滑轮
两端上，绳的两端分别系有可视为质点的小球 m 和m ，且m ＞m.开始时m 恰在碗口水
1 2 1 2 1
平直径右端A处，m 在斜面上且距离斜面顶端足够远，此时连接两球的细绳与斜面平行且
2
恰好伸直．当m 由静止释放运动到圆心O的正下方B点时细绳突然断开，不计细绳断开
1
瞬间的能量损失．
(1)求小球m 沿斜面上升的最大距离s；
2
(2)若已知细绳断开后小球m 沿碗的内侧上升的最大高度为，求.(结果保留两位有效数字)
1
【典例2提高题对应练习】【答案】(1)R (2)1.9
【解析】(1)设重力加速度为g，小球m 到达最低点B时，m、m 速度大小分别为v、v
1 1 2 1 2
如图所示，由运动的合成与分解得v＝v
1 2
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 5
学科网（北京）股份有限公司对m 、m 组成的系统由机械能守恒定律得，mgR－mgh＝mv＋mv，h＝Rsin 30°，联立
1 2 1 2 1 2
以上三式得v ＝ ，v ＝ ，设细绳断开后m 沿斜面上升的距离为s′，对m 由机械能守恒
1 2 2 2
定律得，mgs′sin 30°＝mv，小球m 沿斜面上升的最大距离s＝R＋s′，联立以上两式并
2 2 2
代入v 得s＝R
2
(2)对m 由机械能守恒定律得：mv＝mg，代入v 得＝≈1.9
1 1 1 1
题型三：轻绳连接体在轮轴上转动模型
【典例3提高题】(多选)如图所示，鼓形轮的半径为R，可绕固定的光滑水平轴O转动。
在轮上沿直径方向固定两根直杆，杆上分别固定有小球 A、B，两球与O的距离均为2R。
在轮上绕有长绳，绳上悬挂着小球C。已知三个小球质量相等，绳与轮之间无相对滑动，
忽略鼓形轮、直杆和长绳的质量，不计空气阻力，重力加速度为g。开始A、B两小球与鼓
形轮圆心等高，两球从静止开始运动，带动鼓形轮转动。在 B球顺时针转动到最低位置的
过程中，以下说法正确的是( )
A. 同一时刻A球的速度大小是C球速度大小的两倍
B. 重力对B球做功的瞬时功率先增大后减小
C. B球转动到最低位置时的速度大小为
D. 杆对B球做正功，B球机械能不守恒
【典例3提高题】【答案】AB
【解析】由题意可知，C球的速度大小始终等于鼓形轮边缘点的线速度大小，B球的线速
度大小是鼓形轮边缘点的线速度大小的两倍，A、B两球的线速度大小相等，故同一时刻A
球的速度大小是C球速度大小的两倍，故A正确；杆在水平位置时，重力对B球做功的瞬
时功率为零，杆在竖直位置时，B球的重力方向和速度方向垂直，重力对B球做功的瞬时
功率也为零，但在其他位置时重力对B球做功的瞬时功率不为零，因此，重力对B球做功
的瞬时功率先增大后减小，故B正确；设B球转动到最低位置时速度大小为v，A、B两球
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 6
学科网（北京）股份有限公司线速度大小相等，对A、B、C三球和杆组成的系统，由机械能守恒定律得 Rmg＝ ×2mv2
＋ m( )2，解得v＝ ，故C错误；B球的重力势能减少量为ΔE ＝2mgR，动能的增
p减
加量为ΔE ＝ mv2＝ πmgR，由于ΔE >ΔE ，B球机械能减少，杆对B球做负功，故
k增 p减 k增
D错误。
【典例3提高题对应练习】如图所示，鼓形轮的半径为R，可绕固定的光滑水平轴O转动．
在轮上沿相互垂直的直径方向固定四根直杆，杆上分别固定有质量为m的小球，球与O的
距离均为2R.在轮上绕有长绳，绳上悬挂着质量为M的重物．重物由静止下落，带动鼓形
轮转动．重物落地后鼓形轮匀速转动，转动的角速度为ω.绳与轮之间无相对滑动，忽略鼓
形轮、直杆和长绳的质量，不计空气阻力，重力加速度为g.求：
（1）重物落地后，小球线速度的大小v；
（2）重物落地后一小球转到水平位置A，此时该球受到杆的作用力的大小F；
（3）重物下落的高度h.
【典例3提高题对应练习】【答案】(1)2ωR (2)(3)(ωR)2
【解析】(1)线速度v＝ωr得v＝2ωR.(2)向心力F ＝2mω2R，设F与水平方向的夹角为α，
向
则Fcos α＝F ；Fsin α＝mg解得F＝ .(3)落地时，重物的速度v′＝ωR由机械能守恒得
向
Mv′2＋4×mv2＝Mgh，解得h＝(ωR)2.
考点三：轻绳摆球模型的力与能量问题
【典例1提高题】如图所示，不可伸长的轻质细线下方悬挂一可视为质点的小球，另一端
固定在竖直光滑墙面上的O点。开始时，小球静止于A点，现给小球一水平向右的初速度
使其恰好能在竖直平面内绕O点做圆周运动。垂直于墙面的钉子N位于过O点竖直线的左
侧，ON与OA的夹角为θ(0＜θ＜π)，且细线遇到钉子后，小球绕钉子在竖直平面内做圆周
运动，当小球运动到钉子正下方时，细线刚好被拉断。已知小球的质量为m，细线的长度
为L，细线能够承受的最大拉力为7mg，重力加速度为g。
(1)求小球初速度的大小v；
0
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 7
学科网（北京）股份有限公司(2)求小球绕钉子做圆周运动的半径r与θ的关系式；
(3)在细线被拉断后，小球继续向前运动，试判断它能否通过 A点。若能，请求出细线被拉
断时θ的值；若不能，请通过计算说明理由。
【典例1提高题】【答案】(1) (2)r＝L (3)不能通过A点，理由见解析
【解析】(1)设小球在最高点的速度为v，根据牛顿第二定律有mg＝m，解得v＝，
小球从A点至最高点，由动能定理有－mg·2L＝mv2－mv，解得v＝。
0
(2)小球绕钉子做圆周运动，设碰到钉子时的速度为v ，由释放到碰到钉子时根据动能定理
1
得－mgL＝mv－mv，碰到钉子到绳子断的过程，由动能定理得mgr＝mv－mv，绳子断的
瞬间F ＝7mg，F －mg＝m，联立以上几式，解得r＝L。
T T
(3)细线被拉断后，小球做平抛运动，设t时间小球运动到与A点的同一竖直线上，由几何
关系得x＝(L－r)sin θ，平抛运动的水平方向有x＝vt，由(2)可知v＝，平抛运动竖直方向
2 2
有y＝gt2，代入上面几式可得y＝gt2＝，平抛开始点与A点的高度差为，h＝L－r－(L－
r)cos θ＝(L－r)(1－cos θ)，若正好过A点，则h＝y，解得r＝ L，此结论与(2)不相符，所
以小球不能通过A点。
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 8
学科网（北京）股份有限公司
