文档内容
第 05 讲 对数与对数函数
目录
01 考情透视·目标导航..........................................................................................................................2
02 知识导图·思维引航..........................................................................................................................3
03 考点突破·题型探究..........................................................................................................................4
知识点1：对数式的运算..............................................................................................................................................4
知识点2：对数函数的定义及图像.............................................................................................................................5
解题方法总结.................................................................................................................................................................6
题型一：对数式的运算................................................................................................................................................6
题型二：对数函数的图象及应用................................................................................................................................8
题型三：对数函数过定点问题..................................................................................................................................14
题型四：比较对数式的大小......................................................................................................................................16
题型五：解对数方程或不等式..................................................................................................................................18
题型六：对数函数的最值与值域问题......................................................................................................................21
题型七：对数函数中的恒成立问题..........................................................................................................................25
题型八：对数函数的综合问题..................................................................................................................................29
04真题练习·命题洞见........................................................................................................................36
05课本典例·高考素材........................................................................................................................38
06易错分析·答题模板........................................................................................................................41
易错点：无视对数函数中底数和真数的范围..........................................................................................................41
答题模板：对数型复合函数的单调问题..................................................................................................................41考点要求 考题统计 考情分析
2024年II卷第8题，5分
从近五年的高考情况来看，对数运算
2024年北京卷第7题，4分
与对数函数是高考的一个重点也是一
2024年天津卷第5题，5分
（1）对数的概念及运算性质 个难点，常与二次函数、幂函数、指
2023年北京卷第11题，5分
（2）对数函数的图象 数函数、三角函数综合，考查数值大
2023年I卷第10题，5分
（3）对数函数的性质 小的比较和函数方程问题.在利用对数
2022年天津卷第6题，5分
函数的图像与性质应用上，体现了逻
2022年浙江卷第7题，5分
辑推理与数学运算素养.
2022年I卷I卷第7题，5分
复习目标：
（1）理解对数的概念及运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数.
（2）通过实例，了解对数函数的概念，会画对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点.
（3）了解指数函数 与对数函数 ( ，且 )互为反函数．知识点1：对数式的运算
(1)对数的定义：一般地，如果 且 ，那么数 叫做以 为底 的对数，记作
，读作以 为底 的对数，其中 叫做对数的底数， 叫做真数．
(2)常见对数：
①一般对数：以 且 为底，记为 ，读作以 为底 的对数；
②常用对数：以 为底，记为 ；
③自然对数：以 为底，记为 ；
(3) 对数的性质和运算法则：
① ； ；其中 且 ；
(其中 且 ， )；
②
③对数换底公式： ；
④ ；
⑤ ；
⑥ ， ；
⑦ 和 ；
⑧ ；
【诊断自测】（2024·青海·模拟预测）若 ， ，则 （ ）
A．1 B．－1 C．2 D．－2
【答案】A
【解析】由 ，所以
故选：A
知识点2：对数函数的定义及图像
(1)对数函数的定义：函数 且 叫做对数函数．
(12)对数函数的图象与性质
y x=1 y x=1
log x
图象 a (1,0)
x
O (1,0) x O log x
a
定义域：
值域：
过定点 ，即 时，
性质
在 上增函数 在 上是减函数
当 时， ， 当 时， ，
当 时， 当 时，
【诊断自测】（2024·广东深圳·二模）已知 ，且 ，则函数 的图象一定经过（ ）
A．一、二象限 B．一、三象限 C．二、四象限 D．三、四象限
【答案】D
【解析】当 时， ，
则当 时，函数图象过二、三、四象限；
则当 时，函数图象过一、三、四象限；所以函数 的图象一定经过三、四象限.
故选：D
解题方法总结
1、对数函数常用技巧
在同一坐标系内，当 时，随 的增大，对数函数的图象愈靠近 轴；当 时，对数函数的
图象随 的增大而远离 轴．(见下图)
y
log x
a
1
a增大
1
loga x
2
x
O 1 loga x
3 a增大
logx
a
4
题型一：对数式的运算
【典例1-1】已知 ， 则 .（用含 的式子表示）
【答案】
【解析】因为 ，所以 ，又 ，
所以
.
故答案为：【典例1-2】（2024·重庆·三模）若正实数 ， 满足 ， ，则
.
【答案】100
【解析】由于 ，整理得 ，①，
又 ，②，
所以①+ 得： ；
②
即
对于 取常用对数可得， ，
故 .
故答案为：100.
【方法技巧】
对数的有关运算问题要注意公式的正用、逆用及变形等应用．
【变式1-1】化简下列各式：
(1) ；
(2) .
【解析】（1）原式 .
（2）原式
.
【变式1-2】已知 ， ，则 .（用 表示）
【答案】
【解析】因为 ，所以 ，
又 ，所以
.故答案为：
【变式1-3】（2024·全国·模拟预测）已知 ，则 ．
【答案】3
【解析】依题意， ，
则 ．
故答案为：3
题型二：对数函数的图象及应用
【典例2-1】已知函数① y＝logax；② y＝logbx；③ y＝logcx；④ y＝logdx的大致图象如图所示，则下列
不等关系正确的是（ ）
A．a＋c＜b＋a B．a＋d＜b＋c
C．b＋c＜a＋d D．b＋d＜a＋c
【答案】A
【解析】解析：由已知可得b＞a＞1＞d＞c，则a＋b＞a＋c，b＋d＞a＋c，故A正确，D错误；又a＋d与
b＋c的大小不确定，故B，C错误．故选A.
【典例2-2】（2024·江苏扬州·模拟预测）设方程 和方程 的根分别为 ，设函
数 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由 得 ，由 得 ，
所以令 ，这3个函数图象情况如下图所示：设 交于点 ， 交于点 ，
由于 的图象关于直线 对称，
而 的交点为 ，所以 ，
注意到函数 的对称轴为直线 ，即 ，
且二次函数 的图象是开口向上的抛物线方程，
从而 .
故选：B.
【方法技巧】
对于有关对数型函数的图象问题，一般是从最基本的对数函数的图象入手，通过伸缩、平移、对称等
变换得到，当 时，对数函数的图像呈上升趋势；当 时，对数函数的图像呈下降趋势.
【变式2-1】（多选题）（2024·河南信阳·模拟预测）函数 的大致图象不可能为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【解析】函数 的定义域为 ，
因为 ，所以函数 为偶函数，
当 时， 为减函数，且过定点 ，故函数 的大致图象不可能为BCD选项.
故选：BCD.
【变式2-2】（2024·高三·江西南昌·开学考试）已知函数 和 的图象与直线 交点的横坐
标分别为 ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】作出函数 和 的图象以及直线 的图象，如图，
由函数 和 的图象与直线 交点的横坐标分别为 ， ，
结合图象可知 ，A错误；
由题意知 ，也即 ，
由于函数 和 互为反函数，
二者图象关于直线 对称，而 为 和 的图象与直线 的交点，
故 关于 对称，故 ，B错误；
由 ，故 ，C错误；
因为 ，故 ，
结合 ，即得 ，D正确，
故选：D
【变式2-3】（2024·高三·上海·期末）已知定义在 上的函数 ，设 为三个
互不相同的实数，满足 ，则 的取值范围为 .
【答案】
【解析】作出 的图像如图：当 时，由 ，得 ，
若 互不相等，不妨设 ，
因为 ，
所以由图像可知 ，
由 ，得 ，
即 ，即 ，
则 ，所以 ，
因为 ，
所以 ，
即 ，
所以 的取值范围是 ．
故答案为： ．
【变式2-4】（2024·高三·北京·开学考试）已知函数 ，给出下列四个结论：
① ，使得 有两个零点；
②若 ，则 有两个零点；
③ ，使得 有两个零点：
④ ，使得 有三个零点；
以上正确结论的序号是 .
【答案】③④【解析】
首先我们分别作出 和当 时，即 的图像，将直线 图像绕定点 按
要求旋转分析，我们发现不存在 ，使得 有两零点，故①不正确；
由上图可得我们可得当 时，此时 的零点为2，且仅有一个，故②不正确；
若 ，则当函数 与直线 的图象相切时，设切点横坐标为 ，此时
，则 ，得到方程组 化简得 ，易得 ，则
此时有两个零点，图像见下图，故③正确；
当 时，只需将上图相切时的直线向左偏一点，图像如下图所示，则两函数会出现三个交点，此时
有三个零点，如下图所示，故④正确.故答案为：③④.
【变式2-5】已知函数 ，若 且 ，则 的取值范围为 .
【答案】
【解析】画出 的图象如图：
∵ ，且 ，
∴ 且 ， ，
∴ ，即 ，∴ ， ，
由图象得 在 上为减函数，
∴ ，
∴ 的取值范围是 .
故答案为： .题型三：对数函数过定点问题
【典例3-1】函数 ( 且 )的图象必经过一个定点，则这个定点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为对数函数 ( 且 )恒过定点 ，
所以函数 ( 且 )的图象必过定点 .
故选：C.
【典例3-2】函数 （ 且 ）的图象恒过定点 ，若 且 ，
，则 的最小值为（ ）
A．9 B．8 C． D．
【答案】B
【解析】当 时， ，
所以，函数 过定点 ，得 ，
所以， ，
因为 ， ，
所以， ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以， 的最小值为8.
故选：B
【方法技巧】
恒过定点 ．
【变式3-1】函数 的图象恒过定点 ，若点 在直线 上，其中
，则 的最小值为（ ）
A． B．3 C．7 D．4
【答案】A【解析】对于函数 ，
当 时， ，所以 ，
则 ，
所以 ，
当且仅当 时等号成立.
故选：A
【变式3-2】已知直线 经过函数 图象过的定点（其中 均大于0），则
的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【解析】因为 ，所以函数 图象过的定点为
，
将其代入直线方程 得 ，即 ，
又 ，
所以 ，
当且仅当 即 时，等号成立，故 有最小值4.
故选：C.
【变式3-3】（2024·安徽安庆·模拟预测）已知函数 恒过定点 ，则
的最小值为（ ）．
A． B． C．3 D．
【答案】A
【解析】由题意可知 ，
则 ，
当且仅当 ， 时，
的最小值为 ，故选:A．
题型四：比较对数式的大小
【典例4-1】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）设 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵ ，
，
则 ，
故选：C.
【典例4-2】已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 ， ，∴ ，
因为 ，∴ ，
∴ ．
故选：D．
【方法技巧】
比较大小问题，常利用函数的单调性及中间值法．
【变式4-1】（2024·天津·二模）设 ，则 的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】 ，
，
，
， .
故选：C.
【变式4-2】（2024·宁夏银川·三模）已知 ， ， ，则（ ）A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由题知 ， ， ，因为 在定义域内单调递增，
所以 ，即 ，
因为 在定义域内单调递减，所以 ，即 ，
因为 在 上单调递减，所以 ，即 ，
综上： .
故选：D
【变式4-3】（2024·青海西宁·模拟预测）已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】令 ，则 .
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
则 ，故 .
令 ，则 .
当 时， ， 单调递减，
则 ，即 .
故 .
故选：A.
【变式4-4】（2024·江西·模拟预测）若 ，则（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】A
【解析】因为 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，可得 ，
令 ， ，
所以 ，
设 ， ， ，
作出它们的图象如图：
由图可知 .故选项A正确.
故选：A.
题型五：解对数方程或不等式
【典例5-1】方程 的解是 .
【答案】
【解析】由方程 ，可得 ，
，解得 .
故答案为：
【典例5-2】不等式 的解集为 ．
【答案】
【解析】设函数 ，
则应有 ，解得 ，所以， 定义域为 .
又 ，
所以，由 ，可得 .因为 以及 均在 上单调递增，
所以， 在 上单调递增，
所以， .
综上所述， .
所以，不等式的解集为 .
故答案为： .
【方法技巧】
（ 1 ） 对 于 形 如 的 形 式 ， 利 用 转 化 ； 对 于 形 如
的形式，可借助换元法转化为二次方程求解.
（2）解对数不等式，也是利用对数函数的单调性将不等式转化为比较真数之间的不等式，再解这个
不等式即可．
【变式5-1】不等式 的解集是 ．
【答案】
【解析】设 ，其定义域为 ，
和 在 均为增函数，
则 在 为增函数，且 ，
，即 ， ，
不等式 的解集是 .
故答案为： .
【变式5-2】方程： 的解是 .
【答案】
【解析】因为 ，即 ，所以 ，
即 ，解得 ，则 ，或 无实根.
故答案为：【变式5-3】不等式 的解集是 .
【答案】 或
【解析】原不等式可化为 ，即 ，
∴ ，于是 ，亦即 或 ，
∴ 或 ，故解集为 或
故答案为： 或
【变式5-4】不等式 的解集是 .
【答案】
【解析】由 可得 ，
又 恒成立， 恒成立，
所以不等式等价于 ，即 ，也即 ；
可得 ，所以 ，解得 .
所以原不等式的解集为 .
故答案为：
【变式5-5】由函数的观点，不等式 的解集是 .
【答案】
【解析】由不等式 ，可得 ，
令 ，可知 的定义域为 ，
因为 在定义域 上单调递增，
可知 在定义域 上单调递增，且 ，
对于不等式即为 ，解得 ，所以不等式 的解集是 .
故答案为： .
题型六：对数函数的最值与值域问题
【典例6-1】（2024·全国·模拟预测）已知函数 在区间 上有最大值或最小值，
则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】要使函数 在区间 上有最大值或最小值，
由于 开口向上，
故需函数 在区间 上有最小值，且 ．
该函数图像的对称轴为直线 ，所以 ，
解得 ，
所以 ，且 ，即实数 的取值范围为 ．
故选：B．
【典例6-2】已知函数 的最大值为2，则 ．
【答案】6
【解析】因为函数 由 与 复合而成，
而 在定义域上单调递增，所以当 取最大值时，函数 取得最大值，由二次函数的性质易知当 时， ，此时 ，所以 ，解得
．
故答案为：
【方法技巧】
对数函数的最值与值域问题通常利用对数函数的单调性解决.
【变式6-1】若函数 （ 且 ）的最小值为－4，则实数a的值为 .
【答案】 /
【解析】由题意知， ，解得 ，
因为 ，
因为 ，则 ，又因为 的最小值为－4，
则 ，所以 ，
即 ，得 ，因为 ，所以 .
故答案为： .
【变式6-2】已知函数 ( 且 ).
(1)当 时，函数 恒有意义，求实数 的取值范围；
(2)是否存在这样的实数 ，使得函数 在区间 上为减函数，且最大值为 ？如果存在，试求出 的
值；如果不存在，请说明理由．
【解析】（1）当 时，函数 恒有意义，
所以 在 上恒成立，
即 在 上恒成立．
令 ， ，
则 ，
所以 在 上单调递减，
所以 ，所以 .
又 且 ，所以 .（2）函数 在区间 上有意义，
则 在 上恒成立．
由（1）同理可知， ，
又函数 在区间 上为减函数，并且最大值为 .
当 时， 为减函数，
则 且在 上单调递增，
所以 ，即 ，故不存在这样的实数 ；
当 时， 为增函数，
则 且在 上单调递减，
所以 ，即 ，故不存在这样的实数 .
综上，不存在这样的实数 ，使得函数 在区间 上为减函数，且最大值为 .
【变式6-3】已知函数 的最大值为 ，则函数 的最小值为 （结果用
表示）
【答案】
【解析】因为 ，所以 ，
则 ，
当 的取值范围为 时， 的取值范围为 ，
所以 的最大值与 的最大值相等，均为 ，
所以 的最小值为 ．
故答案为： .
【变式6-4】已知函数 且 是奇函数．
(1)求 的值；(2)若 ，对任意 有 恒成立，求实数 的取值范围；
(3)设 ，若 ，问是否存在实数 使函数 在
上的最大值为0？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由．
【解析】（1）由函数 且 是奇函数，
可得 ，即 ，可得 ，
经验证：当 时， ，满足 ，
此时函数 为奇函数，符合题意.
（2）由 ，可得 为单调递减函数，
因为对任意 有 恒成立，
即对任意 有 恒成立，
设 ，则函数 开口向上的抛物线，且对称轴为 ，
当 时，即 时，此时函数 在区间 上单调递增，
则 ，解得 ；
当 时，即 时，此时函数 在对称轴 处取得最小值，
则 ，解得 ，因为 ，此时无解；
当 时，即 时，此时函数 在区间 上单调递减，
则 ，解得 ，因为 ，此时无解；
综上可得，实数 的取值为 .
（3）由 ，可得 ，解得 或 （舍去），所以 ，
则 ，
设 ，则 ，当 时，可得 ，此时 ，
又由 ，
则当 时， 在 上的最小值为 ；
当 时， 在 上的最大值为 ；
设 ，
当 时，函数 在 处取得最小值，
此时 ，解得 （舍去）；
当 时，函数 的对称轴为 ，
函数 在 处取得最大值，此时 ，解得 （舍去）；
当 时，函数 的对称轴为 ，
函数 在 处取得最大值，此时 ，
综上可得，不存在这样的实数 ，使得其成立.
题型七：对数函数中的恒成立问题
【典例7-1】已知函数 ，若对任意 都有 ，则实数a
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为若对任意 ，都有 ，
所以对任意 ，都有 ，
令 ，则 在 上单调递增．
首先 .
因为 在 上递增，所以 在 上递增．
当 时，显然符合题意；当 时，令 ，
则 在 上递增，所以 ，则 .
综上所述， ，故D正确．
故选：D．
【典例7-2】若不等式 在 上恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】 变形为： ，即 在 上恒成
立，
若 ，此时 在 上单调递减， ，而当
时， ，显然不合题意；
当 时，画出两个函数的图像，
要想满足 在 上恒成立，只需 ，即 ，
解得： ，综上：实数a的取值范围是 .
故选：C
【方法技巧】
已知不等式能恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法：
（1）函数法：讨论参数范围，通常借助函数单调性求解；
（2）分离参数法：首先将参数分离，转化成求函数的最值或值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的
图象，再利用数形结合的方法来解决．
【变式7-1】已知函数 ， 且 ，若对任意的 ，存在
，使得 成立，则实数 的取值范围是 .
【答案】
【解析】根据题意知，
因为 ，
其图象开口向下，对称轴为 ，
所以当 时，
其最小值 ，
当 时， ，在 上的最小值为 ，
则由 得 ，
当 时， ，在 上的最小值为 ，
则 时，无解，
故实数 的取值范围为 ，
故答案为： .
【变式7-2】已知 且 ，当 时， ，则 的取值范围为 .
【答案】
【解析】当 时， .
当 时， 成立.
当 时，若 成立， 是减函数， 是增函数，则 ，解得 ，所以
.
综上， 的取值范围为 .
故答案为： ．
【变式7-3】已知函数 为奇函数．
(1)求实数a的值；(2)判断函数 的单调性（不用证明）；
(3)设函数 ，若对任意的 ，总存在 ，使得 成立，求实
数m的取值范围．
【解析】（1）由已知函数需满足 ，当 时，函数的定义域为 ，
函数 为奇函数，所以 ，
即 在 上恒成立，即 ， （舍），
当 时， ，函数的定义域为 ，
又函数 为奇函数，所以 ，
此时 ，函数定义域为 ，
，函数为奇函数，满足，
综上所述： ；
（2） 在 和 上单调递减，证明如下：
，定义域为 ，
设 ，且 ，
则
因为 ，且 ，所以 ，
所以 ，所以 在 上单调递减，
同理可证，所以 在 上单调递减；
所以 在 ， 上单调递减.
（3）函数 在 和 上单调递减，
且当 时， ，当 时， ，
时， ，所以当 时 的值域 ，
又 ，设 ，则 ，
当 时，取最小值为 ，当 时，取最大值为 ，
即 在 上的值域 ，
又对任意的 ，总存在 ，使得 成立，
即 ，所以 ，解得 ，即 .
题型八：对数函数的综合问题
【典例8-1】（2024·四川南充·模拟预测）函数 的零点为 ，函数 的零点
为 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由题意知， ，
，
令 ，则 ，
又因为 与 互为反函数，
所以 、 分别与 的的交点关于 对称，
所以 ，即： ，
又因为 ， ，
所以由零点存在性定理可知， ，
又因为 ，即 ，
所以 ，对于A项，因为 ， ，
所以 ，故A项错误；
对于B项，因为 ，所以 ，
又因为 ， ，
所以 ，故B项正确；
对于C项，因为 ， ，所以 ，故C项错误；
对于D项，因为 ， ， ，
所以 ，故D项错误.
故选：B.
【典例8-2】（2024·云南·二模）已知函数 的定义域为 ，且 若
，则 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】当 时， ，
由复合函数的单调性可知 在 上单调递减，
所以 ；
当 时， ，
因为 在 上单调递增， 为增函数，所以 在 上单调递增，
又 在 上为增函数，所以 在 单调递增，
所以 .
综上， 在 上恒成立，当且仅当 时取等号.
所以不等式 ，
解得 且 且 ，即原不等式的解集为 .
故选：D
【方法技巧】
对数函数常与其他函数形成复合函数问题，解题时要清楚复合的层次，外层是对数函数还是内层是对
数函数，其次如果涉及到定义域、值域、奇偶性、单调性等问题，则要按复合函数的性质规律求解．
【变式8-1】已知函数 ， ，则 ．若方程
的所有实根之和为4，则实数m的取值范围是 ．
【答案】
【解析】函数 ， ，则 ，所以 ；
显然函数 的图象关于直线 对称，如图，
函数 在 上单调递减，函数值集合为 ，在 上单调递增，函数值集合为 ，
在 上单调递减，函数值集合为 ，在 上单调递增，函数值集合为 ，
当 ，即 或 时， ，点 关于直线 对称，
当 且 时，函数 的图象关于直线 对称，因此函数 （ ）的图象关于直线 对称，
由于函数 在 上单调递增，因此函数 在 上单调递减，函数值集合为R，
在 上单调递增，函数值集合为 ，在 上单调递减，函数值集合为 ，
在 上单调递增，函数值集合为R，
于是函数 在 上单调递减，函数值集合为R，在 上单调递增，函数值集合为
，
在 上单调递减，函数值集合为 ，在 上单调递增，函数值集合为R，
在同一坐标系内作出直线 与函数 的图象，如图，
当 时，直线 与函数 的图象有3个交点，方程 的所有实
根和为6；
当 且 时，直线 与函数 的图象有4个交点，方程 的
所有实根和为8；
当 时，直线 与函数 的图象有6个交点，方程 的所有实根
和为12；
当 时，直线 与函数 的图象有2个交点，方程 的所有实
根和为4，
所以实数m的取值范围是 .
故答案为： ；
【变式8-2】设定义域为R的函数 ，若关于x的方程 有8个
不同的实根，到实数b的取值范围是 .【答案】
【解析】由题设， 的图象如下图示：
令 ，则 化为 ，
∴要使原方程有8个不同实根，则 有2个不同的实根且两根 、 ，
∴ ，可得 ，又 在 上递减，在 上递增，且
， ，即 ，
综上， .
故答案为： .
【变式8-3】已知函数 .
(1)求 的定义域；
(2)若 ，求 的取值范围.
【解析】（1）要使函数 有意义，则 ，解得 ，
所以 的定义域为 ；
（2）因为 ，所以 ，
，因为 ，所以 ，所以当 时， ，
对于函数 ， ，
若 ，则函数 在定义域上单调递减，而函数 在 上单调递增，
所以函数 在 上单调递减，
所以 ，则 ，
因为 ，所以 ，无解；
若 ，则函数 在定义域上单调递增，而函数 在 上单调递增，
所以函数 在 上单调递增，所以 ，
则 ，又 ，所解得 ；
综上， 的取值范围为 .
【变式8-4】（2024·广东佛山·模拟预测）已知 ， 分别是关于 的方程 ， 的根，
则下面为定值2023的是（ ）
A． B． C． D． E．均不是
【答案】C
【解析】由已知条件可知， ， ，
令 ， ， ，
如图所示，曲线 与曲线 关于直线 对称，曲线 关于直线 对称，
设曲线 分别与曲线 ， 交于点 ， ，
则点 ， 关于直线 对称，
而点 关于直线 对称的点为 ，即为点 ，
则 ，即 .
故选：C.
【变式8-5】给出函数 ，
(1)若 ，求不等式 的解集；
(2)若 ，且 ，求 的取值范围；
(3)若 ，非零实数 ， 满足 ，求证： .
【解析】（1）若 ，则不等式 为 ，
即 ，所以 ，解得 或 ，
所以不等式的解集为 .
（2）设 ，可得其定义域是 ，
则 ，所以 是偶函数，
设 ，则 ， ，
故 ，所以 ，
因为 ，所以 ，即 ，故 在 上是严格减函数，
又因为 ，所以 是偶函数，且在 上是严格减函数，
所以，不等式 等价于 ，
由单调性可得 ，解得 的取值范围是 .
（3）若 ，则 ，
由 得 ，
所以 ，所以 .
设 ，则 ， ，解得 ， ，则 .
要证 ，即证 .因为 ，所以只需证 ，
即证： .
设 ，则 ，
所以 在 上是严格增函数，故 ，于是 .
1．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）设函数 ，若 ，则 的最小值为
（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【解析】解法一：由题意可知： 的定义域为 ，
令 解得 ；令 解得 ；
若 ，当 时，可知 ，此时 ，不合题意；
若 ，当 时，可知 ，
此时 ，不合题意；
若 ，当 时，可知 ，此时 ；
当 时，可知 ，此时 ；
可知若 ，符合题意；
若 ，当 时，可知 ，
此时 ，不合题意；
综上所述： ，即 ，
则 ，当且仅当 时，等号成立，
所以 的最小值为 ；
解法二：由题意可知： 的定义域为 ，
令 解得 ；令 解得 ；
则当 时， ，故 ，所以 ；
时， ，故 ，所以 ；
故 ， 则 ，
当且仅当 时，等号成立，
所以 的最小值为 .
故选：C.
2．（2024年北京高考数学真题）生物丰富度指数 是河流水质的一个评价指标，其中 分别表
示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种
类数 没有变化，生物个体总数由 变为 ，生物丰富度指数由 提高到 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由题意得 ，则 ，即 ，所以 .故选：D.
3．（2022年新高考天津数学高考真题）化简 的值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
【答案】B
【解析】原式
，
故选：B
4．（2022年新高考天津数学高考真题）已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 ，故 .
故答案为：C.
1．我们可以把 看作每天的"进步”率都是1%，一年后是 ；而把 看作每天的“落
后”率都是1%，一年后是 .利用计算工具计算并回答下列问题：
（1）一年后“进步”的是“落后”的多少倍？
（2）大约经过多少天后“进步”的分别是“落后”的10倍、100倍、1000倍？
【解析】（1） .
∴一年后“进步”的大约是“落后”的 倍
（2）由 得
∴大约经过 天“进步”的是“落后”的 倍.由 得 .
∴大约经过 天“进步”的是“落后”的 倍.
由 得 解得
∴大约经过 天“进步”的是“落后”的 倍.
2．酒驾是严重危害交通安全的违法行为，为了保障交通安全，根据国家有关规定： 血液中酒精含
量达到 的驾驶员即为酒后驾车， 及以上认定为醉酒驾车，假设某驾驶员喝了一定量的酒后，
其血液中的酒精含量上升到了 .如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时 的速度减
少，那么他至少经过几个小时才能驾驶？（参考数据 ， ）
【解析】设经过 个小时才能驾驶，则 ，
即 ，
由于 在定义域上单调递减，
，
∴他至少经过5小时才能驾驶.
3．已知 ， ， 求实数a的取值范围.
【解析】解: ,
当 时 成立；
②当 时，解得 ．
又 ,
a的取值范围是 ．
∴
4．比较下列各题中三个值的大小:
(1) ;
(2) .【解析】解:(1) 因为 ,
且 ,故
(2)
,
同理可证 .
5．假设有一套住房的房价从2002年的20万元上涨到2012年的40万元,下表给出了两种价格增长方式,其
中 是按直线上升的房价, 是按指数增长的房价,t是2002年以来经过的年数.
t 0 5 10 15 20
/万元 20 30 40 50 60
/万元 20 40 80
(1)求函数 的解析式;
(2)求函数 的解析式;
(3)完成上表空格中的数据,并在同一直角坐标系中画出两个函数的图象,然后比较两种价格增长方式的差异.
【解析】解:(1)设 ,则 ,
.
(2)设 ( ,且 ),则 .
.
(3)图象如图.由图象可以看出,在前10年,按 增长的价格始终高于按 增长的价格,但10年后, 的价格增长速度很快,远
远超出 的价格并且时间越长,差别越大.
易错点：无视对数函数中底数和真数的范围
易错分析： 忽略“对数的真数大于0”这一个条件导致出错，面对这类题一定要注意真数和底数的范
围.
【易错题1】解不等式 .
【解析】因为函数 在定义域内是单调增函数,解不等式 ,即
所以需要满足 ,解得 即 ,所以不等式
的解集为 .
【易错题2】 的定义域为 ，求实数 的取值范围.
【解析】由题意中函数 的定义域为 ,
即需要满足 恒成立,
故有 ,解得 ,即 ,
所以函数 的定义域为 的取值范围为
答题模板：对数型复合函数的单调问题
1、模板解决思路
判断复合函数单调性的原则是“同增异减”.
2、模板解决步骤
第一步：求函数的定义域．第二步：将函数分解成内层函数和外层函数．
第三步：判断内层函数和外层函数的单调性．
第四步：根据“同增异减”的原则确定复合函数的单调性．
【典例1】若函数 在 上单调递减，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】易知函数 在 上单调递增，又函数 在 上单调递减，
所以 且 ，解得 ．
即实数a的取值范围为
故选：B
【典例2】已知函数 在 上单调递减，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】令 ，则 ，即由 和 复合而成，
而 在 上单调递增，
故要使得函数 在 上单调递减，
需满足 在 上恒成立，且 在 上单调递减，
即得 ，解得 ，即 ，
故选：A
【典例3】（2024·重庆·模拟预测）若函数 在 上单调递增，则实数 的取值
范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为函数 在 上单调递增，
所以 ，解得 .
故选：B.
