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重难点突破02 函数的综合应用
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1、高考中考查函数的内容主要是以综合题的形式出现，通常是函数与数列的综合、函数与不等式的
综合、函数与导数的综合及函数的开放性试题和信息题，求解这些问题时，着重掌握函数的性质，把函数
的性质与数列、不等式、导数等知识点融会贯通，从而找到解题的突破口，要求掌握二次函数图像、最值
和根的分布等基本解法；掌握函数图像的各种变换形式（如对称变换、平移变换、伸缩变换和翻折变换
等）；了解反函数的概念与性质；掌握指数、对数式大小比较的常见方法；掌握指数、对数方程和不等式
的解法；掌握导数的定义、求导公式与求导法则、复合函数求导法则及导数的定义、求导公式与求导法则、
复合函数求导法则及导数的几何意义，特别是应用导数研究函数的单调性、最值等．
2、函数 的图象与性质
分奇、偶两种情况考虑：
比如图（1）函数 ，图（2）函数
y
y
x x
O O
图（1） 图（2）
（1）当 为奇数时，函数 的图象是一个“ ”型，且在“最中间的点”取最小值；
（2）当 为偶数时，函数 的图象是一个平底型，且在“最中间水平线段”取最小值；
若 为等差数列的项时，奇数的图象关于直线 对称，偶数的图象关于直线
对称．
3、若 为 上的连续单峰函数，且 为极值点，则当 变化时，
的最大值的最小值为 ，当且仅当 时取得．题型一：函数与数列的综合
例1．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 ，满足 ， ，设数列 的
前 项和为 ，则以下结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
例2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，数列 的前 项和为 ，且满足
，则下列有关数列 的叙述正确的是（ ）
A． B． C． D．
例3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，数列 的前 项和为 ，且满足
， ，则下列有关数列 的叙述正确的是（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足： ，且 ，下列
说法正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C． D．
变式2．（2023·陕西渭南·统考二模）已知函数 ，将 的所有极值点按照由小到大
的顺序排列，得到数列 ，对于 ，则下列说法中正确的是（ ）
A． B．
C．数列 是递增数列 D．
变式3．（2023·上海杨浦·高三复旦附中校考开学考试）无穷数列 满足： ，且对任意的正整数n，均有 ，则下列说法正确的是（ ）
A．数列 为严格减数列 B．存在正整数n，使得
C．数列 中存在某一项为最大项 D．存在正整数n，使得
题型二：函数与不等式的综合
例4．（2023·全国·高三专题练习）关于x的不等式 ，解集为___________.
例5．（2023·全国·高三专题练习）意大利数学家斐波那契 年~ 年）以兔子繁殖数量为例，引
人数列： ，该数列从第三项起，每一项都等于前两项之和，即 ，故此数
列称为斐波那契数列，又称“兔子数列”，其通项公式为 ．设 是不等式
的正整数解，则 的最小值为__________．
例6．（2023·辽宁·高三校考阶段练习）已知函数 ，若不等式
对任意的 恒成立，则实数 的最小值为______________.
变式4．（2023·全国·模拟预测）已知函数 是定义域为R的函数， ，对任意 ，
，均有 ，已知a，b 为关于x的方程 的两个解，
则关于t的不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
题型三：函数中的创新题
例7．（2023·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）帕德近似是法国数学家亨利·帕德发明的用
有理多项式近似特定函数的方法．给定两个正整数 ， ，函数 在 处的 阶帕德近似定义为：
，且满足： ， ， ， ．
已知 在 处的 阶帕德近似为 ．注：
(1)求实数 ， 的值；(2)求证： ；
(3)求不等式 的解集，其中 ．
例8．（2023·上海黄浦·上海市敬业中学校考三模）定义：如果函数 和 的图像上分别
存在点M和N关于x轴对称，则称函数 和 具有C关系．
(1)判断函数 和 是否具有C关系；
(2)若函数 和 不具有C关系，求实数a的取值范围；
(3)若函数 和 在区间 上具有C关系，求实数m的取值范围．
例9．（2023·重庆·高三统考阶段练习）悬索桥（如图）的外观大漂亮，悬索的形状是平面几何中的悬
链线. 年莱布尼兹和伯努利推导出某链线的方程为 ，其中 为参数.当 时，该方程就
是双曲余弦函数 ，类似的我们有双曲正弦函数 .
(1)从下列三个结论中选择一个进行证明，并求函数 的最小值；① ；
② ；
③ .
(2)求证： ， .
变式5．（2023·广东深圳·高三深圳市南山区华侨城中学校考阶段练习）布劳威尔不动点定理是拓扑学
里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔，简单地讲就是对于满足一定条件的
连续实函数 ，存在一个点 ，使得 ，那么我们称该函数为“不动点"函数，而称 为该函
数的一个不动点． 现新定义： 若 满足 ，则称 为 的次不动点．
(1)判断函数 是否是“不动点”函数，若是，求出其不动点； 若不是，请说明理由
(2)已知函数 ，若 是 的次不动点，求实数 的值：
(3)若函数 在 上仅有一个不动点和一个次不动点，求实数 的取值范围．
题型四：最大值的最小值问题（平口单峰函数、铅锤距离）
例10．（2023·浙江绍兴·高三浙江省柯桥中学校考开学考试）已知函数 ，对于任意
的实数a，b，总存在 ，使得 成立，则当m取最大值时， （ ）
A．7 B．4 C． D．
例11．（2023·湖北·高三校联考阶段练习）设函数 ，若对任意的实数a，b，总存在
使得 成立，则实数 的最大值为（ ）
A．－1 B．0 C． D．1例12．（2023·全国·高三专题练习）设函数 ，若对任意的正实数 ，总存在 ，使得
，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
变式6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，若对任意的实数a，b，总存在
，使得 成立，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
变式7．（2023·高一课时练习）已知函数 ，当 时，设 的最大值为
，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
变式8．（2023·江西宜春·校联考模拟预测）已知函数 ，且 ，满
足 ，当 时，设函数 的最大值为 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
变式9．（2023·上海虹口·高三上海市复兴高级中学校考期中）若a、 ，且对于 时，不等
式 均成立，则实数对 _________．
题型五：倍值函数
例13．（2023·全国·高三专题练习）函数 的定义域为 ，若满足：① 在 内是单调函数；②存
在 使得 在 上的值域为 ，则称函数 为“成功函数”．若函数
（其中 ，且 ）是“成功函数”，则实数 的取值范围为（ ）A． B． C． D．
例14．（2023·上海金山·高三上海市金山中学校考期末）设函数 的定义域为 ，若存在闭区间
，使得 函数满足：（1） 在 上是单调函数；（2） 在 上的值域是 ，则称
区间 是函数 的“和谐区间”，下列结论错误的是
A．函数 存在“和谐区间”
B．函数 不存在“和谐区间”
C．函数 存在“和谐区间”
D．函数 （ ， ）不存在“和谐区间”
例15．（2023·安徽·高三统考期末）函数 的定义域为 ，若存在闭区间 ，使得函数 满足：
① 在 内是单调函数；② 在 上的值域为 ，则称区间 为 的“倍值区
间”．下列函数中存在“倍值区间”的有
① ； ② ；
③ ； ④
A．①②③④ B．①②④ C．①③④ D．①③
变式10．（2023·全国·高三专题练习）函数 的定义域为 ，对给定的正数 ，若存在闭区间 ，
使得函数 满足：① 在 内是单调函数；② 在 上的值域为 ，则称区间
为 的 级“理想区间”.下列结论错误的是（ ）
A．函数 （ ）存在1级“理想区间”
B．函数 （ ）不存在2级“理想区间”
C．函数 （ ）存在3级“理想区间”
D．函数 ， 不存在4级“理想区间”
变式11．（2023·全国·高三专题练习）设函数的定义域为D，若满足条件：存在 ，使 在上的值域为 ，则称 为“倍缩函数”.若函数 为“倍缩函数”，则实数t的取值
范围是
A． B．
C． D．
题型六：函数不动点问题
例16．（2023·广西柳州·统考模拟预测）设函数 （ ， 为自然对数的底数），
若曲线 上存在点 使 成立，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例17．（2023·全国·高三专题练习）设函数 ，若曲线 是自然对数的底
数）上存在点 使得 ，则 的取值范围是
A． B． C． D．
例18．（2023·江苏·高二专题练习）若存在一个实数 ，使得 成立，则称 为函数 的一个不动
点.设函数 为自然对数的底数 ，定义在R上的连续函数 满足
，且当 时， 若存在 ，且 为函数 的
一个不动点，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
变式12．（2023·全国·高三专题练习）设函数 （ 为自然对数的底数），若曲线
上存在点 使得 ，则 的取值范围是
A． B． C． D．变式13．（2023·全国·高三专题练习）设函数 （ ）， 为自然对数的底数，若曲线
上存在点 ，使得 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型七：函数的旋转问题
例19．（2023·江苏苏州·高三苏州中学校考阶段练习）将函数f(x)＝ln(x＋1)(x≥0)的图象绕坐标原点逆时针
方向旋转角θ(θ∈(0，α])，得到曲线C，若对于每一个旋转角θ，曲线C都仍然是一个函数的图象，则α的
最大值为（ ）
A．π B． C． D．
例20．（2023·上海长宁·高三上海市延安中学校考期中）设 是含数 的有限实数集， 是定义在 上
的函数，若 的图象绕原点逆时针旋转 后与原图象重合，则在以下各项中， 的可能取值只能是
（ ）
A． B． C． D．
例21．（2023·全国·高三专题练习）双曲线 绕坐标原点O旋转适当角度可以成为函数f（x）的
图象，关于此函数f（x）有如下四个命题，其中真命题的个数为（ ）
①f（x）是奇函数；
②f（x）的图象过点 或 ；
③f（x）的值域是 ；
④函数y＝f（x）－x有两个零点．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
变式14．（2023·全国·高三专题练习）将函数 的图像绕着原点逆时针旋转角 得到曲
线 ，当 时都能使 成为某个函数的图像，则 的最大值是（ ）
A． B． C． D．题型八：函数的伸缩变换问题
例22．（2023·河北唐山·高三开滦第二中学校考期末）定义域为 的函数 满足 ，
当 时， .若 时， 恒成立，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
例23．（2023·全国·高三专题练习）定义域为 的函数 满足 ，当 时，
，若当 时，不等式 恒成立，则实数 的取值范围
是（ ）
A． B．
C． D．
例24．（2023·全国·高三专题练习）已知定义域为R的函数 满足 ，当 时，
，设 在 上的最大值为 则数列 的前n项和 的值为
（ ）
A． B． C． D．
变式15．（2023·甘肃·高三西北师大附中阶段练习）定义域为R的函数 满足 ，当
时， ，若 时， 恒成立，则实数 的取值范围是( )
A． B． C． D．
题型九：V型函数和平底函数
例25．（2023·全国·高三专题练习）已知a，a，a 与b，b，b 是6个不同的实数，若关于x的方程|
1 2 3 1 2 3x﹣a|+|x﹣a|+|x﹣a|＝|x﹣b|+|x﹣b|+|x﹣b|解集A是有限集，则集合A中，最多有__个元素．
1 2 3 1 2 3
例26．（浙江省衢州市2022-2023学年高三数学试题）已知等差数列 满足：
，则 的最大值为（ ）
A．18 B．16 C．12 D．8
例27．（上海市川沙中学2022-2023学年高三第二学期数学试题）等差数列 ，满足
，则（ ）
A． 的最大值为50 B． 的最小值为50
C． 的最大值为51 D． 的最小值为51
变式16．（上海市青浦区2023届高三二模数学试题）等差数列 ，满足
，则（ ）
A． 的最大值是50 B． 的最小值是50
C． 的最大值是51 D． 的最小值是51
变式17．（浙江省金丽衢十二校2022-2023学年高三第一次联考数学试题）设等差数列 ， ，…， （
， )的公差为 ，满足
，则下列说法正确的是
A． B． 的值可能为奇数
C．存在 ，满足 D． 的可能取值为
