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重难点突破02 函数的综合应用
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1、高考中考查函数的内容主要是以综合题的形式出现，通常是函数与数列的综合、函数与不等式的
综合、函数与导数的综合及函数的开放性试题和信息题，求解这些问题时，着重掌握函数的性质，把函数
的性质与数列、不等式、导数等知识点融会贯通，从而找到解题的突破口，要求掌握二次函数图像、最值
和根的分布等基本解法；掌握函数图像的各种变换形式（如对称变换、平移变换、伸缩变换和翻折变换
等）；了解反函数的概念与性质；掌握指数、对数式大小比较的常见方法；掌握指数、对数方程和不等式
的解法；掌握导数的定义、求导公式与求导法则、复合函数求导法则及导数的定义、求导公式与求导法则、
复合函数求导法则及导数的几何意义，特别是应用导数研究函数的单调性、最值等．
2、函数 的图象与性质
分奇、偶两种情况考虑：
比如图（1）函数 ，图（2）函数
y
y
x x
O O
图（1） 图（2）
（1）当 为奇数时，函数 的图象是一个“ ”型，且在“最中间的点”取最小值；
（2）当 为偶数时，函数 的图象是一个平底型，且在“最中间水平线段”取最小值；
若 为等差数列的项时，奇数的图象关于直线 对称，偶数的图象关于直线
对称．
3、若 为 上的连续单峰函数，且 为极值点，则当 变化时，
的最大值的最小值为 ，当且仅当 时取得．题型一：函数与数列的综合
例1．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 ，满足 ， ，设数列 的
前 项和为 ，则以下结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】 ，把 代入递推可得： ，
令 ， ，则 ， 在 单调递增，
，即当 时，恒有 成立，
， ， ，故选项 错误；
又 ， 选项 错误；
， ，
令 ， ，则 ， 函数 在 ， 上递减，
，
，故选项 正确；
又由 可得 ， ， （当且仅当 时取“ “ ，可得
，
，故选项 错误，
故选 ．
例2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，数列 的前 项和为 ，且满足
，则下列有关数列 的叙述正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由 ，解得 或 ，
由零点存在性定理得 ，
当 时， ，数列单调递减，， ，同理， ，
迭代下去，可得 ，数列单调递减，
故选项 和选项 都错误；
又 ，
，故 错误；
对于 ， ，
而 ，
，故 正确．
故选 ．
例3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，数列 的前 项和为 ，且满足
， ，则下列有关数列 的叙述正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】对于 选项， ，故 错误；
对于 选项，由 知， ，
故 为非负数列，又 ，
设 ，则 ，
易知 在 ， 单调递减，在 上单调递增，
所以 ，
又 ，所以 ，从而 ，
所以 为递减数列，且 ，故 错误；
对于 选项，
因为数列 为递减数列，当 时，有 ，
，
故 正确；对于 选项，因为 ，而 ，故 错误．故选 ．变式1．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足： ，且 ，下列
说法正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C． D．
【答案】B
【解析】 ，故 ， ．
，故 且 ，于是 与 同号，
即 ．
对选项A：若 ，则 ，则 ，
，所以 ，错误；
对选项B： ， ，则 ，即 ，
于是 ，即 ，数列 单调递减， ，
， ，故 ，即 ，
，故 ，
故 ，故 ，正确；
对选项C：考虑函数 ， ， ，
函数单调递增，结合 的图像，如图所示：
由图可知当 时，数列 递减，，所以 ，即 ，不正确；
对选项D：设 ，则 ， ，
，即 ，
等价于 ，化简得 ，
而 显然不恒成立，不正确；
故选：B．
变式2．（2023·陕西渭南·统考二模）已知函数 ，将 的所有极值点按照由小到大
的顺序排列，得到数列 ，对于 ，则下列说法中正确的是（ ）
A． B．
C．数列 是递增数列 D．
【答案】D
【解析】 的极值点为 在 上的变号零点.
即为函数 与函数 图像在 交点的横坐标.
又注意到 时， ， 时， ，
， 时， .
据此可将两函数图像画在同一坐标系中，如下图所示.
A选项，注意到 时， ， ，
.
结合图像可知当 ， .
当 ， .故A错误；B选项，由图像可知 ，则 ，故B错误；
C选项， 表示两点 与 间距离，由图像可知，
随着n的增大，两点间距离越来越近，即 为递减数列，故C错误；
D选项，由A选项分析可知， ，
又结合图像可知，当 时， ，即此时 ，
得 在 上单调递增，
则 ，故D正确.
故选：D
变式3．（2023·上海杨浦·高三复旦附中校考开学考试）无穷数列 满足： ，且对任意的正
整数n，均有 ，则下列说法正确的是（ ）
A．数列 为严格减数列 B．存在正整数n，使得
C．数列 中存在某一项为最大项 D．存在正整数n，使得
【答案】D
【解析】因为 ，所以 ，所以 ，
由 可得 ，则 ，
则有 ，
设函数 ，
，当 时， ，当 时， ，
所以 在 单调递增， 单调递减，
所以 ，
因为 ，所以
以此类推，对任意 ，故B错误；
所以 ，故A错误；
因为 ，所以数列 中不存在某一项为最大项，C错误；
因为 ，所以 ，
，
所以存在正整数n，使得 ，D正确.
题型二：函数与不等式的综合
例4．（2023·全国·高三专题练习）关于x的不等式 ，解集为___________.
【答案】
【解析】由题设， ，而 在R上递增，
当 即 时， ，原不等式不成立；
当 即 时， ，原不等式恒成立.
综上，解集为 .
故答案为：
例5．（2023·全国·高三专题练习）意大利数学家斐波那契 年~ 年）以兔子繁殖数量为例，引
人数列： ，该数列从第三项起，每一项都等于前两项之和，即 ，故此数
列称为斐波那契数列，又称“兔子数列”，其通项公式为 ．设 是不等式
的正整数解，则 的最小值为__________．
【答案】8
【解析】由 ，得 ，
得 ，得 ，得 ， ，
所以 ，
令 ，则数列 即为斐波那契数列，
，则 ，显然数列 为递增数列且 ，所以数列 亦为递增数列，
由 ，得 ， ， ， ，
， ，
因为 ， ，
所以
使得 成立的 的最小值为8．
故答案为： .
例6．（2023·辽宁·高三校考阶段练习）已知函数 ，若不等式
对任意的 恒成立，则实数 的最小值为______________.
【答案】
【解析】因为 ，
所以 图象关于点 对称，
又 ，
所以 在 上单调递增，
等价于 ，
即 恒成立，
所以 ，即 恒成立，
令 ，可得 ，而 ，当且仅当 时取等号，
所以 ，即实数 的最小值为 .
故答案为： .
变式4．（2023·全国·模拟预测）已知函数 是定义域为R的函数， ，对任意 ，
，均有 ，已知a，b 为关于x的方程 的两个解，
则关于t的不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由 ，得 且函数 关于点 对称．
由对任意 ， ，均有 ，
可知函数 在 上单调递增．
又因为函数 的定义域为R，
所以函数 在R上单调递增．
因为a，b 为关于x的方程 的两个解，
所以 ，解得 ，
且 ，即 ．
又 ，
令 ，则 ，
则由 ，得 ，
所以 ．
综上，t 的取值范围是 .
故选：D．
题型三：函数中的创新题
例7．（2023·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）帕德近似是法国数学家亨利·帕德发明的用
有理多项式近似特定函数的方法．给定两个正整数 ， ，函数 在 处的 阶帕德近似定义为：
，且满足： ， ， ， ．已知 在 处的 阶帕德近似为 ．注：
(1)求实数 ， 的值；
(2)求证： ；
(3)求不等式 的解集，其中 ．
【解析】（1）因为 ，所以 ， ，
，则 ， ，
由题意知， ， ，
所以 ，解得 ， .
（2）由（1）知，即证 ，
令 ，则 且 ，
即证 时 ，
记 ， ，
则 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递增，
当 时 ，即 ，即 成立，
当 时 ，即 ，即 成立，
综上可得 时 ，
所以 成立，即 成立.（3）由题意知，欲使得不等式 成立，
则至少有 ，即 或 ，
首先考虑 ，该不等式等价于 ，即 ，
又由（2）知 成立，
所以使得 成立的 的取值范围是 ，
再考虑 ，该不等式等价于 ，
记 ， ，
则 ，所以当 时 ， 时 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，即 ， ，
所以 ， ，
当 时由 ，可知 成立，
当 时由 ，可知 不成立，
所以使得 成立的 的取值范围是 ，
综上可得不等式 的解集为 .
例8．（2023·上海黄浦·上海市敬业中学校考三模）定义：如果函数 和 的图像上分别
存在点M和N关于x轴对称，则称函数 和 具有C关系．
(1)判断函数 和 是否具有C关系；
(2)若函数 和 不具有C关系，求实数a的取值范围；
(3)若函数 和 在区间 上具有C关系，求实数m的取值范围．【解析】（1） 与 是具有C关系，理由如下：
根据定义，若 与 具有C关系，则在 与 的定义域的交集上存在 ，使得
，
因为 ， ， ，
所以 ，
令 ，即 ，解得 ，
所以 与 具有C关系.
（2）令 ，
因为 ， ，所以 ，
令 ，则 ，故 ，
因为 与 不具有C关系，所以 在 上恒为负或恒为正，
又因为 开口向下，所以 在 上恒为负，即 在 上
恒成立，
当 时， 显然成立；
当 时， 在 上恒成立，
因为 ，当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以 ，所以 ，
综上： ，即 .
（3）因为 和 ，
令 ，则 ，
因为 与 在 上具有C关系，所以 在 上存在零点，
因为 ，
当 且 时，因为 ，所以 ，
所以 在 上单调递增，则 ，
此时 在 上不存在零点，不满足题意；当 时，显然当 时， ，
当 时，因为 在 上单调递增，且 ，
故 在 上存在唯一零点，设为 ，则 ，
所以当 ；当 ；又当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增， 在 上存在唯一极小值点 ，
因为 ，所以 ，
又因为 ，所以 在 上存在唯一零点 ，
所以函数 与 在 上具有C关系，
综上： ，即 .
例9．（2023·重庆·高三统考阶段练习）悬索桥（如图）的外观大漂亮，悬索的形状是平面几何中的悬
链线. 年莱布尼兹和伯努利推导出某链线的方程为 ，其中 为参数.当 时，该方程就
是双曲余弦函数 ，类似的我们有双曲正弦函数 .
(1)从下列三个结论中选择一个进行证明，并求函数 的最小值；
① ；
② ；
③ .(2)求证： ， .
【解析】（1）证明：选①，
；
选②， ；
选③， .
，令 ，
因为函数 、 均为 上的增函数，故函数 也为 上的增函数，
故 ，则 ，所以 ，
所以 ，当且仅当 时取“ ”，
所以 的最小值为 .
（2）证明： ，
，
当 时， ， ，所以 ，
所以 ，所以 成立；
当 时，则 ，且正弦函数 在 上为增函数，
，所以 ， ，
所以 成立，
综上， ， .
变式5．（2023·广东深圳·高三深圳市南山区华侨城中学校考阶段练习）布劳威尔不动点定理是拓扑学
里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔，简单地讲就是对于满足一定条件的
连续实函数 ，存在一个点 ，使得 ，那么我们称该函数为“不动点"函数，而称 为该函
数的一个不动点． 现新定义： 若 满足 ，则称 为 的次不动点．(1)判断函数 是否是“不动点”函数，若是，求出其不动点； 若不是，请说明理由
(2)已知函数 ，若 是 的次不动点，求实数 的值：
(3)若函数 在 上仅有一个不动点和一个次不动点，求实数 的取值范围．
【解析】（1）依题意，设 为 的不动点，即 ，于是得 ，解得 或
，
所以 是“不动点” 函数，不动点是2和 .
（2）因 是“次不动点”函数，依题意有 ，即 ，显然 ，解得
，
所以实数 的值是 .
（3）设 分别是函数 在 上的不动点和次不动点，且 唯一，
由 得： ，即 ，整理得： ，
令 ，显然函数 在 上单调递增，则 ， ，
则 ，
由 得： ，即 ，整理得： ，
令 ，显然函数 在 上单调递增， ， ，则 ，
综上得： ，
所以实数 的取值范围 .
题型四：最大值的最小值问题（平口单峰函数、铅锤距离）
例10．（2023·浙江绍兴·高三浙江省柯桥中学校考开学考试）已知函数 ，对于任意
的实数a，b，总存在 ，使得 成立，则当m取最大值时， （ ）
A．7 B．4 C． D．
【答案】A
【解析】由 ，得 ，
设 ，则 ，在 上单调递增，在 上单调递减，
，
设 ，
画出函数的图像如图
对任意的实数a，b，总存在 ，使得 成立，
等价于求 最大值中的最小值，
由图像可知当 时， 取得最大值2，此时 ，
故选：A
例11．（2023·湖北·高三校联考阶段练习）设函数 ，若对任意的实数a，b，总存在
使得 成立，则实数 的最大值为（ ）
A．－1 B．0 C． D．1
【答案】C
【解析】由已知得
设构造函数 满足 ，即 ，解得 ，
则 ，令 ，
则函数 可以理解为函数 与函数 在横坐标相等时，纵坐标的竖直距离，
∵ ，且 （当且仅当 时取等号），∴若设直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，由此可知当 ，直线 位于直线
和直线 中间时，纵坐标的竖直距离取得最大值中的最小值，故 ，
所以实数 的最大值为 .
故选： .
例12．（2023·全国·高三专题练习）设函数 ，若对任意的正实数 ，总存在 ，使得
，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】对任意的正实数 ，总存在 ， ，使得 ， ， ．
令 ， ， 函数 在 ， 单调递减，
∴ （1） ， （4） ．
① 时， ，则 ．
② 时， ， ，则 ．
③ 时， ， ，则 ．
④ 时， ，则 ．
综上①②③④可得： ，即 ．
实数 的取值范围为 ， ．
故选：D．
变式6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，若对任意的实数a，b，总存在
，使得 成立，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由存在 ，使得 成立，故 ，
又对任意的实数a，b， ，则 ，可看作横坐标相同时，函数
与函数 图象上的纵向距离的最大值中的最小值，
又 ，作示意图如图所示：
设 ，则直线 的方程 ，设 与 相切，
则 ，得 ，有 ，
得 或 ，由图知，切点 ，则 ，
当直线 与 ， 平行且两直线距离相等时，即恰好处于正中间时，
函数 与 图象上的纵向距离能取到最大值中的最小值，
此时 ， ，故 .
故选：B
变式7．（2023·高一课时练习）已知函数 ，当 时，设 的最大值为
，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【解析】函数 ，当 , 时， 的最大值为 ，
可得 ， ， ，
可得 , , ,
，
即 ，即有 ，则 的最小值为 ，故选：B
变式8．（2023·江西宜春·校联考模拟预测）已知函数 ，且 ，满
足 ，当 时，设函数 的最大值为 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设 ，则 ，
当 时， ， 为减函数，
当 时， ， 为增函数，所以 ，
作出 的图象如下，
令 ，即 ，得 ，
且 ，显然 ，
在 上，当 时， ，
当 时， ，当 时取等号；
当 时， ，所以 ，
此时点 到直线 的距离都是 ，
当 时，三点中 中至少有一个点满足
，所以 ，综上所述， ，故选：D.
变式9．（2023·上海虹口·高三上海市复兴高级中学校考期中）若a、 ，且对于 时，不等
式 均成立，则实数对 _________．
【答案】
【解析】对于 时，不等式 均成立，
即 恒成立.
令 ， ，
则 表示圆心为 ，半径为 的圆在 上的圆弧；
表示圆心为 ，半径为 的圆在 上的圆弧，如下所示：
根据题意， 要满足题意，其图象需在圆弧 以及圆弧 之间，
数形结合可知：连接 后所形成的直线恰好满足题意，且唯一.
其斜率为 ，故其方程为 ，
故实数对 .
为严谨，下证直线 与圆 相切，
圆心 到直线 的距离 ，
其与半径1相等，故圆 与直线 相切，即证.故答案为： .
题型五：倍值函数
例13．（2023·全国·高三专题练习）函数 的定义域为 ，若满足：① 在 内是单调函数；②存
在 使得 在 上的值域为 ，则称函数 为“成功函数”．若函数
（其中 ，且 ）是“成功函数”，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 、 的单调性相同，
所以 为定义域上的增函数，
因为存在 使得 在 上的值域为 ，
所以 ，即 有两解，
即 在R上有两个不相等的实数根，
令 ，则 在 上有两个不同的解，
所以 ，解得 ，
故选：D．
例14．（2023·上海金山·高三上海市金山中学校考期末）设函数 的定义域为 ，若存在闭区间
，使得 函数满足：（1） 在 上是单调函数；（2） 在 上的值域是 ，则称
区间 是函数 的“和谐区间”，下列结论错误的是
A．函数 存在“和谐区间”
B．函数 不存在“和谐区间”
C．函数 存在“和谐区间”
D．函数 （ ， ）不存在“和谐区间”
【答案】D【解析】函数中存在“和谐区间”,则① 在 内是单调函数；② 或 ,若
,若存在“和谐区间” ,则此时函数单调递增,则由 ,得
存在“和谐区间” 正确.若 ,若存在“和谐区
间” ,则此时函数单调递增,则由 ,得 ,即 是方程 的两个不等的实根,构建函
数 ,所以函数在 上单调减,在 上单调增, 函数在 处取
得极小值，且为最小值, ,无解,故函数不存在“和谐区间”,
正确.若函数 , ,若存在“和谐区间” ,
则由 ,得 ,即存在“和谐区间” , 正确.若函数
,不妨设 ,则函数定义域内为单调增函数,若存在“和谐区间” , 则
由 ,得 ,即 是方程 的两个根,即 是方程
的两个根,由于该方程有两个不等的正根，故存在“和谐区间” , 结论错误,故选D.
例15．（2023·安徽·高三统考期末）函数 的定义域为 ，若存在闭区间 ，使得函数 满足：
① 在 内是单调函数；② 在 上的值域为 ，则称区间 为 的“倍值区
间”．下列函数中存在“倍值区间”的有
① ； ② ；
③ ； ④
A．①②③④ B．①②④ C．①③④ D．①③
【答案】C
【解析】函数存在“倍值区间”，即函数的图像与直线 有交点，与直线 有交点是（0，0），（2,4）；对于 ，构造函数
；所以 没有零点，即 与直线
没有交点；
与直线 的交点是（0，0），（1,2）.解方程 即 ，当
无解； 有两解.故
不满足题意.选C.
变式10．（2023·全国·高三专题练习）函数 的定义域为 ，对给定的正数 ，若存在闭区间 ，
使得函数 满足：① 在 内是单调函数；② 在 上的值域为 ，则称区间
为 的 级“理想区间”.下列结论错误的是（ ）
A．函数 （ ）存在1级“理想区间”
B．函数 （ ）不存在2级“理想区间”
C．函数 （ ）存在3级“理想区间”
D．函数 ， 不存在4级“理想区间”
【答案】D
【解析】A中，当 时， 在 上是单调增函数，且 在 上的值域是 ，
所以存在1级“理想区间”，所以A正确；
B中，当 时， 在 上是单调增函数，且 在 上的值域是 ，所以不存在2
级“理想区间”，所以B正确；
C中，由 ，得 ，当 时， ，所以 在 上为增函数，假设
存在 ，使得 ，则有 ，即 ，由 ，得 或
，所以当 时，满足条件，即区间为 ，所以C正确；D中，若存在“4级理想区间” ，则 是方程 的两个根，由 和
在 内有3个交点，如图所示，所以该方程 存在两个不等的根，故存在
“4级理想区间” ，所以D错误，
故选：D
变式11．（2023·全国·高三专题练习）设函数的定义域为D，若满足条件：存在 ，使 在
上的值域为 ，则称 为“倍缩函数”.若函数 为“倍缩函数”，则实数t的取值
范围是
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为函数 为“倍缩函数”，且为递增函数
所以存在 ，使 在 上的值域为
则 ，由此可知等价于 有两个不等实数根令
则 ，令
解得
代入方程得
解得 ，因为有两个不等的实数根
所以t的取值范围为
所以选B
题型六：函数不动点问题
例16．（2023·广西柳州·统考模拟预测）设函数 （ ， 为自然对数的底数），
若曲线 上存在点 使 成立，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
由题意， 存在 ，使 成立，
即存在 ，使 成立，
所以 ，即 ，
所以
所以存在 ，使 与 有交点，
对 ， ，求导得 ，
设 ，则 ，
令 ，即 ；令 ，即 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，
所以 在 上单调递增，
又 ，，
要使 与 有交点，则 ，
所以 的取值范围是 .
故选：A.
例17．（2023·全国·高三专题练习）设函数 ，若曲线 是自然对数的底
数）上存在点 使得 ，则 的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 ,所以 在 上有解
因为 ,( 易证 ) ,所以函数 在 上单
调递增,因此由 得 在 上有解，即 ,因为
，选C.
例18．（2023·江苏·高二专题练习）若存在一个实数 ，使得 成立，则称 为函数 的一个不动
点.设函数 为自然对数的底数 ，定义在R上的连续函数 满足
，且当 时， 若存在 ，且 为函数 的
一个不动点，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】依题意知 ，令 ， ， ， 为奇函数，
，且当 时， ，
当 时， ， 单调递减， 在R上单调递减，
由 ，得 ，即 ，，即 ， ，
为函数 的一个不动点， ，即 ，
，即关于x的方程 在 上有解.
令 ， ，则 ，
在 上单调递减， ，
要使关于x的方程 在 上有解，则 ，即实数a的取值范围为 .
故选：B
变式12．（2023·全国·高三专题练习）设函数 （ 为自然对数的底数），若曲线
上存在点 使得 ，则 的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】法一：由题意可得，
，
而由 可知 ，
当 时， ＝ 为增函数，
∴ 时， ．
∴ 不存在 使 成立，故A，B错；
当 时， ＝ ，
当 时，只有 时 才有意义，而 ，故C错．故选D．
法二：显然，函数 是增函数， ，由题意可得，
，而由 可知 ，
于是，问题转化为 在 上有解．
由 ，得 ，分离变量，得 ，
因为 ， ，所以，函数 在 上是增函数，于是有 ，
即 ，应选D．
变式13．（2023·全国·高三专题练习）设函数 （ ）， 为自然对数的底数，若曲线
上存在点 ，使得 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵曲线 上存在点
∴
函数 （ ）在 上是增函数，根据单调性可证
即 在 上有解，分离参数， ， ，根据 是增函数可知，
只需 故选A.
题型七：函数的旋转问题
例19．（2023·江苏苏州·高三苏州中学校考阶段练习）将函数f(x)＝ln(x＋1)(x≥0)的图象绕坐标原点逆时针
方向旋转角θ(θ∈(0，α])，得到曲线C，若对于每一个旋转角θ，曲线C都仍然是一个函数的图象，则α的
最大值为（ ）
A．π B． C． D．
【答案】D
【解析】函数 的图像绕坐标原点逆时针方向连续旋转时，
当且仅当其任意切线都不经过y轴时，其图像都仍然是一个函数的图像.
因为 在 是减函数且 ，当且仅当 时等号成立，
故函数 的图像的切线中，
在 处切线的倾斜角最大，其值为 .
由此可知 － .
故选 .
例20．（2023·上海长宁·高三上海市延安中学校考期中）设 是含数 的有限实数集， 是定义在 上
的函数，若 的图象绕原点逆时针旋转 后与原图象重合，则在以下各项中， 的可能取值只能是
（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意得到：问题相当于圆上由12个点为一组，每次绕原点逆时针旋转 个单位后与下一个点
会重合．
我们可以通过代入和赋值的方法当f（1）= ， ，0时，此时得到的圆心角为 ， ，0，然而此时
x=0或者x=1时，都有2个y与之对应，而我们知道函数的定义就是要求一个x只能对应一个y，因此只有
当x= ，此时旋转 ，此时满足一个x只会对应一个y，故选B．
例21．（2023·全国·高三专题练习）双曲线 绕坐标原点O旋转适当角度可以成为函数f（x）的
图象，关于此函数f（x）有如下四个命题，其中真命题的个数为（ ）
①f（x）是奇函数；
②f（x）的图象过点 或 ；
③f（x）的值域是 ；
④函数y＝f（x）－x有两个零点．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【解析】双曲线 关于坐标原点对称，可得旋转后得到的函数 的图象关于原点对称，所以 为奇
函数，故①正确；双曲线的顶点为 ，渐近线方程为 ，可得 的图象渐近线为 和
，图象关于直线 对称，所以 的图象过点 或 ，由图象的对称性可
得， 逆时针旋转60度，位于一、三象限，按顺时针旋转60度，位于二、四象限；故②正确；
逆时针旋转60度，位于一、三象限，由图象可得顶点为 或 ，不是极值点，则 的值
域不是 ， 顺时针旋转60度，位于二、四象限，由图象的对称性知 的值域不
是 ，故③错误；当 的图象位于一、三象限时， 的图象与直线 有2个交
点，函数 有两个零点，当 的图象位于二、四象限时， 的图象与直线 没有交点，
函数 没有零点，故④错误，故选；C.
变式14．（2023·全国·高三专题练习）将函数 的图像绕着原点逆时针旋转角 得到曲
线 ，当 时都能使 成为某个函数的图像，则 的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 在原点处的切线斜率为 ，切线方程为
当 绕着原点逆时针方向旋转时，若旋转角 大于 ，则旋转所成的图像与 轴就会有两个交点，
则曲线不再是函数的图像.所以 的最大值为 .故选：B.
题型八：函数的伸缩变换问题
例22．（2023·河北唐山·高三开滦第二中学校考期末）定义域为 的函数 满足 ，
当 时， .若 时， 恒成立，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】当x∈(2,3),则x−2∈(0,1)，
则f(x)=2f(x−2)−1=2(x−2)2−2(x−2)−1，
即为f(x)=2x2−10x+11，
当x∈[3，4]，则x−2∈[1，2]，
则f(x)=2f(x−2)−1= .
当x∈(0,1)时,当x= 时,f(x)取得最小值,且为− ；
当x∈[1,2]时,当x=2时,f(x)取得最小值,且为 ；
当x∈(2,3)时,当x= 时,f(x)取得最小值,且为− ；
当x∈[3,4]时,当x=4时,f(x)取得最小值，且为0.
综上可得,f(x)在(0,4]的最小值为− .
若x∈(0,4]时, 恒成立，则有 .
解得 .
当x∈(0,2)时,f(x)的最大值为1,
当x∈(2,3)时,f(x)∈[− ,−1)，
当x∈[3,4]时,f(x)∈[0,1]，
即有在(0,4]上f(x)的最大值为1.
由 ，即为 ，解得 ，
综上，即有实数t的取值范围是 .
故选：C.
例23．（2023·全国·高三专题练习）定义域为 的函数 满足 ，当 时，
，若当 时，不等式 恒成立，则实数 的取值范围
是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为当 时，不等式 恒成立，所以 ，
当 时，
当 时， ，当 时，
，因此当 时， ，选B.
例24．（2023·全国·高三专题练习）已知定义域为R的函数 满足 ，当 时，，设 在 上的最大值为 则数列 的前n项和 的值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 时， ，最大值为 ，
时， ，易知 时， 递增， 时， 递减，因此最大值为 ，
综上， ， ，即 ，
又 ，即 ，
当 时， ，∴ ，
∴ 是等比数列，公比为 ，
∴ ．
故选：D．
变式15．（2023·甘肃·高三西北师大附中阶段练习）定义域为R的函数 满足 ，当
时， ，若 时， 恒成立，则实数 的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】当 时， 的取值范围是 ；
当 时， 的取值范围是 ，
所以当 时， 的取值范围是 ,因为函数 满足 ，所以 ，
又当 时, ,
故 的取值范围是 ，
所以 时， ，
故 ，解得 ，
所以实数 的取值范围是 ，
故选：D.
题型九：V型函数和平底函数
例25．（2023·全国·高三专题练习）已知a，a，a 与b，b，b 是6个不同的实数，若关于x的方程|
1 2 3 1 2 3
x﹣a|+|x﹣a|+|x﹣a|＝|x﹣b|+|x﹣b|+|x﹣b|解集A是有限集，则集合A中，最多有__个元素．
1 2 3 1 2 3
【答案】1
【解析】令f(x)＝|x﹣a|+|x﹣a|+|x﹣a|，g(x)＝|＝|x﹣b|+|x﹣b|+|x﹣b|，
1 2 3 1 2 3
将关于x的方程|x﹣a|+|x﹣a|+|x﹣a|＝|x﹣b|+|x﹣b|+|x﹣b|解的个数的问题转化为两个函数图象交点
1 2 3 1 2 3
个数的问题
不妨令a＜a＜a，b＜b＜b，
1 2 3 1 2 3
由于f(x)＝|x﹣a|+|x﹣a|+|x﹣a|＝ ，
1 2 3
g(x)＝|x﹣b|+|x﹣b|+|x﹣b|＝ ，
1 2 3
考查两个函数，可以看到每个函数都是由两条射线与两段折线所组成的，且两条射线的斜率对应相等，
两条线段的斜率对应相等．
当a，a，a 的和与b，b，b 的和相等时，此时两个函数射线部分完全重合，这与题设中方程的解集
1 2 3 1 2 3
是有限集矛盾
不妨令a，a，a 的和小于b，b，b 的和即a+a+a＜b+b+b，﹣a﹣a﹣a＞﹣b﹣b﹣b，
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
两个函数图象射线部分端点上下位置不同，即若左边f(x)＝|x﹣a|+|x﹣a|+|x﹣a|的射线端点在上，右
1 2 3
边射线端点一定在下，反之亦有可能．
不妨认为左边f(x)＝|x﹣a|+|x﹣a|+|x﹣a|的射线端点在上，右边射线端点一定在下，且射线互相平行，
1 2 3
中间线段也对应平行，图象只能如图：故两函数图象只能有一个交点，即方程的解集是有限集时，最多有一个元素，
故答案为：1．
例26．（浙江省衢州市2022-2023学年高三数学试题）已知等差数列 满足：
，则 的最大值为（ ）
A．18 B．16 C．12 D．8
【答案】C
【解析】
不为常数列，且数列的项数为偶数，设为
则，一定存在正整数k使得 或
不妨设 ，即，
从而得，数列 为单调递增数列，
，且，
，同理
即，
根据等差数列的性质，所以n的最大值为12，选项C正确，选项ABD错误
故选：C.
例27．（上海市川沙中学2022-2023学年高三第二学期数学试题）等差数列 ，满足
，则（ ）
A． 的最大值为50 B． 的最小值为50
C． 的最大值为51 D． 的最小值为51
【答案】A
【解析】 为等差数列，则使
，所以数列 中的项一
定有正有负，不妨设 ，因为
为定值，故设 ，
且 ，解得 .若 且 ，则 ，同理若 ，则 .所以
，所以数列 的项数为 ，所以
，由于 ，所以 ，解得
，故 ，故选A.
变式16．（上海市青浦区2023届高三二模数学试题）等差数列 ，满足
，则（ ）
A． 的最大值是50 B． 的最小值是50
C． 的最大值是51 D． 的最小值是51
【答案】A
【解析】 时，满足条件，所以 满足条件，即 最小值为2，舍去B,D.
要使得 取最大值，则项数n为偶数，
设 ，等差数列的公差为 ，首项为 ，不妨设 ，则 ，且 ，由 可得 ，
所以
,
因为 ，所以 ，所以 ，而 ，
所以 ，故 .
故选A
变式17．（浙江省金丽衢十二校2022-2023学年高三第一次联考数学试题）设等差数列 ， ，…， （
， )的公差为 ，满足
，则下列说法正确的是
A． B． 的值可能为奇数
C．存在 ，满足 D． 的可能取值为
【答案】A
【解析】因为
所以
令
则 （ ）
①当 时， ，不满足（ ），舍去．
②当 时，由（ ）得 为平底型，故 为偶数 ．
的大致图像为：
则
所以 ，故A正确．由
当 时
当 时
故不存在 ，满足 ，C错
由于 所以 ，故D错
③当 时，令
由于 的图像与 的图像关于 轴对称，故只需研究
故令
因为
所以
由②知 为平底型，故 为偶数 ，故B错
令
所以 ，故A正确
由②知，不存在 ，满足 ，故C错
由②知， ，故D错
综上所述，A正确,BCD错误
故选A.
