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综合训练 03 函数的概念与性质（14 种题型 60 题专
练）
一．函数的定义域及其求法（共3小题）
1．（2023•东城区一模）函数 的定义域为 ．
2．（2023•湖北模拟）函数 的定义域是（ ）
A．（﹣∞，1） B．（0，+∞） C．（0，1） D．（﹣∞，0]
3．（2023•泸县校级模拟）已知函数f（x）＝ 的定义域为R．
（1）求实数m的范围；
（2）若m的最大值为n，当正数a，b满足 + ＝n时，求4a+7b的最小值．
二．函数的值域（共7小题）
4．（2023•全国模拟）世界公认的三大著名数学家为阿基米德、牛顿、高斯，其中享有
“数学王子”美誉的高斯提出了取整函数y＝[x]，[x]表示不超过x的最大整数，例如
[1.1]＝1，[﹣1.1]＝﹣2．已知 ， ，则函数f（x）的值域为
（ ）
A．{4，6，8} B．{4，5，6} C．{4，5，6，7，8} D．{4，8}
5．（2023•沈阳三模）已知函数 ，若f（x）的值域是R，则实数a的
取值范围是（ ）
A．（﹣∞，0] B．[0，1] C．[0，+∞） D．（﹣∞，1]
6．（2023•安徽三模）函数 的值域是 ．
7．（2023•虹口区二模）对于定义在 R 上的奇函数 y＝f（x），当 x＞0 时，
，则该函数的值域为 ．
8．（2023•南部县校级模拟）设f（x）与g（x）是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，
若对任意x [a，b]，都有|f（x）﹣g（x）|≤1成立，则称f（x）和g（x）在[a，b]上是
∈
学科网（北京）股份有限公司 1“亲密函数”，区间[a，b]称为“亲密区间”．若f（x）＝x2﹣3x+4与g（x）＝2x﹣1
在[a，b]上是“亲密函数”，则b﹣a的最大值是 ．
（多选）9．（2023•广州二模）已知函数 的定义域是[a，b]（a，
b Z），值域为[0，1]，则满足条件的整数对（a，b）可以是（ ）
A．（﹣2，0） B．（﹣1，1） C．（0，2） D．（﹣1，2）
∈
10．（2023•全国二模）已知函数 f（x）＝4x﹣2x+2﹣1，x [0，3]，则其值域为
．
∈
三．函数解析式的求解及常用方法（共4小题）
11．（2023•沙坪坝区校级模拟）已知函数f（x）＝x﹣ ，则如图所对应的函数的解析式
为（ ）
A．y＝f（|x+1|） B．y＝f（|x|﹣1） C．y＝f（|x|+1） D．y＝|f（x+1）|
12．（2023•浙江模拟）定义在R上的非常数函数f（x）满足：f（﹣x）＝f（x），且f（2
﹣ x ） +f （ x ） ＝ 0 ． 请 写 出 符 合 条 件 的 一 个 函 数 的 解 析 式 f （ x ） ＝
．
（多选）13．（2023•全国模拟）已知函数 f（x）满足：2f2（x）+3f2（2﹣x）＝5x4﹣
16x3+48x2﹣64x+32，则以下不正确的有（ ）
A．f（0）＝4 B．f（x）对称轴为x＝4
C．f（2）＝3 D．f（7）＝25
14．（2023•历城区校级二模）若函数 ， ，则 f
（x）+g（x）＝ ．
四．函数的图象与图象的变换（共4小题）
15．（2023•南开区二模）已知函数f（x）＝ln|x|﹣ex，则f（x）的图象大致为（ ）
A． B．
学科网（北京）股份有限公司 2C． D．
16．（2022•甲卷）函数 f（x）＝（3x﹣3﹣x）cosx 在区间[﹣ ， ]的图像大致为
（ ）
A． B．
C． D．
17．（2022•甲卷）函数y＝（3x﹣3﹣x）cosx在区间[﹣ ， ]的图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
18．（2022•乙卷）如图是下列四个函数中的某个函数在区间[﹣3，3]的大致图像，则该函
数是（ ）
学科网（北京）股份有限公司 3A．y＝ B．y＝
C．y＝ D．y＝
五．函数单调性的性质与判断（共3小题）
19．（2022•全国）设函数f（x）＝ax（a＞0，且a≠1）是增函数，若 ＝
，则a＝ ．
20．（2023•石家庄三模）已知函数f（x）同时满足性质：①f（﹣x）＝﹣f（x）；②对
于 x ，x （0，1）， ，则函数f（x）可能是（ ）
1 2
∀ ∈
A．f（x）＝ex﹣e﹣x B．
C．f（x）＝sin4x D．f（x）＝x2
21．（2023•杨浦区校级三模）已知函数 ，设x（i＝1、2、3）为实数，且
i
x +x +x ＝0，给出下列结论：①若x •x •x ＞0，则 ；
1 2 3 1 2 3
②若x •x •x ＜0，则 ．则（ ）
1 2 3
A．①正确，②错误 B．①错误，②正确
C．①②都正确 D．①②都错误
六．复合函数的单调性（共3小题）
22．（2023•黄山模拟）“a＜1”是“函数f（x）＝log [（1﹣a）x﹣1]在区间（1，+∞）
2
上单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件 B．充要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
学科网（北京）股份有限公司 423．（2023•重庆模拟）函数 的单调递减区间为（ ）
A． B．（﹣∞，﹣1） C． D．（2，+∞）
24．（2023•济宁一模）若函数f（x）＝log （ax﹣x3）（a＞0且a≠1）在区间（0，1）内
a
单调递增，则a的取值范围是（ ）
A．[3，+∞） B．（1，3] C． D．
七．函数的最值及其几何意义（共3小题）
25．（2023•南充模拟）设函数f（x）＝|x﹣1|+|x﹣3|，若关于x的方程f（x）＝m仅有两个
不同的正实数根a，b．
（1）求m的取值范围；
（2）求 的最大值．
26．（2023•温州模拟）已知函数 ，存在实数x ，x ，…，x 使得f
1 2 n
（x
1
）+f（x
2
）+…+f（x
n﹣1
）＝f（x
n
）成立，若正整数n的最大值为6，则a的取值范围
为（ ）
A． B．
C． D．
27．（2023•茂名二模）黎曼函数R（x）是由德国数学家黎曼发现并提出的，它是一个无
法用图象表示的特殊函数，此函数在高等数学中有着广泛的应用，R（x）在[0，1]上的
定义为：当 （p＞q，且p，q为互质的正整数）时， ；当x＝0或x＝1或
x为（0，1）内的无理数时，R（x）＝0，则下列说法错误的是（ ）
学科网（北京）股份有限公司 5A．R（x）在[0，1]上的最大值为
B．若a，b [0，1]，则R（a•b）≥R（a）•R（b）
∈
C．存在大于1的实数m，使方程 有实数根
D． x [0，1]，R（1﹣x）＝R（x）
八．奇函数、偶函数（共2小题）
∀ ∈
28．（2023•昌江县二模）已知f（x）是R上的奇函数，且f（x+2）＝﹣f（x），当x
（0，2）时，f（x）＝x2+2x，则f（15）＝（ ）
∈
A．3 B．﹣3 C．255 D．﹣255
29．（2023•重庆一模）设函数f（x）定义域为R，且f（x）﹣1是奇函数，当0≤x≤2时，
f（x）＝ +1；当x＞2时，f（x）＝2|x﹣4|+1．当k变化时，方程f（x）﹣kx﹣1＝
0的所有根从小到大记为x ，x ，…，x ，则f（x ）+f（x ）+…+f（x ）取值的集合为（
1 2 n 1 2 n
）
A．{1，3} B．{1，3，5} C．{1，3，5，7} D．{1，3，5，7，
9}
九．函数奇偶性的性质与判断（共8小题）
30．（2023•全国二模）已知函数f（x）＝ax5+bsinx+c，若f（﹣1）+f（1）＝2，则c＝（
）
A．﹣1 B．0 C．1 D．
31．（2023•重庆模拟）已知函数 为奇函数，则sin ＝ ．
α
32．（2023•淇滨区校级模拟）若函数 为奇函数，则实数a
＝ ．
33．（2022•全国）设f（x）是定义域为R的奇函数，g（x）是定义域为R的偶函数．若f
（x）+g（x）＝2x，则g（2）＝ ．
34．（2023•全国三模）若对于定义在R上的函数y＝f（x），当且仅当存在有限个非零自
变量值x ，使得f（﹣x ）＝﹣f（x ），则称y＝f（x）为类奇函数，若函数y＝x4+（a2
0 0 0
﹣1）x2+asinx为类奇函数，则实数a的取值范围为 ．
35．（2023•上虞区二模）已知函数y＝f（2x+1）为偶函数，且f（x）+f（﹣x）＝2，则f
（2022）+f（2024）＝ ．
36．（2022•乙卷）若f（x）＝ln|a+ |+b是奇函数，则a＝ ，b
＝ ．
37．（2023•江西模拟）已知函数g（x），h（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，
学科网（北京）股份有限公司 6且 ，若函数f（x）＝2023﹣|x﹣2023|﹣ g
（x﹣2023）﹣2 2有唯一零点，则实数 的值为（ ）
λ
λ λ
A．﹣1或 B．﹣1或 C．﹣1 D．
一十．奇偶函数图象的对称性（共2小题）
38．（2023•晋中模拟）已知函数 ，则f（x）的图象（ ）
A．关于直线x＝2对称 B．关于点（2，0）对称
C．关于直线x＝0对称 D．关于原点对称
39．（2023•安阳三模）已知函数 的图象关于坐标原点对称，则
a+b＝ ．
一十一．奇偶性与单调性的综合（共3小题）
40．（2023•林芝市二模）已知定义在 R上的函数f（x）在（﹣∞，2]上单调递减，且f
（x+2）为偶函数，则不等式f（x﹣1）＞f（2x）的解集为（ ）
A． B．
C． D．
41．（2023•河南三模）已知函数 ，若f（2x﹣1）+f（2﹣x）＞
0，则x的取值范围是 ．
42．（2023•九江三模）已知定义在R上的函数f（x）在[0，1]上单调递增，f（x+1）是奇
函数，f（x﹣1）的图像关于直线x＝1对称，则f（x）（ ）
A．在[2020，2022]上单调递减
B．在[2021，2023]上单调递增
C．在[2022，2024]上单调递减
D．在[2023，2025]上单调递增
一十二．抽象函数及其应用（共7小题）
43．（2023•青羊区校级模拟）已知定义在R上的函数f（x）满足f（x+3）＝﹣f（x），g
（x）＝f（x）﹣2为奇函数，则f（198）＝ ．
44．（2023•江西模拟）已知函数f（x）是偶函数，对任意x R均有f（x）+f（8﹣x）＝
6，f（8）＝4，f（﹣2）+f（2）＝5，则下列正确结论的序号为（ ）
∈
①f（0）＝2；②f（x﹣4）是奇函数；③直线x＝8是f（x）图像的一条对称轴；④
记 ，则 ．
学科网（北京）股份有限公司 7A．①②④ B．①③④ C．①④ D．②③
45．（2023•长沙模拟）设函数f（x），f'（x）的定义域均为R，且函数f（2x﹣1），f'（x
﹣2）均为偶函数．若当x [1，2]时，f'（x）＝ax3+1，则f'（2022）的值为 ．
46．（2022•乙卷）已知函数f（x），g（x）的定义域均为R，且f（x）+g（2﹣x）＝5，g
∈
（x）﹣f（x﹣4）＝7．若y＝g（x）的图像关于直线x＝2对称，g（2）＝4，则 f
（k）＝（ ）
A．﹣21 B．﹣22 C．﹣23 D．﹣24
47．（2023•青秀区校级一模）已知f'（x），g'（x）分别为定义在R上的f（x），g（x）
的导函数，且f（x）﹣g'（x）＝2，f（x）+g'（2﹣x）＝2，若g（x）是偶函数，则下列
结论一定正确的是（ ）
A．函数f（x）的图象关于点（1，1）对称
B．函数f'（x）的图象关于直线x＝2对称
C．3是g'（x）的一个周期
D．f（2024）＝1
48．（2023•浙江模拟）对任意 x R，恒有f（1﹣x）＝f（x+1）＝f（x﹣1），对任意
∈
，现已知函数y＝f（x）的图像与y＝kx有4个
不同的公共点，则正实数k的值为 ．
49．（2022•新高考Ⅱ）已知函数f（x）的定义域为R，且f（x+y）+f（x﹣y）＝f（x）f
（y），f（1）＝1，则 f（k）＝（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．0 D．1
一十三．函数的周期性（共3小题）
50．（2023•南昌二模）f（x）是以2为周期的函数，若x [0，1]时，f（x）＝2x，则f（3）
＝ ．
∈
51．（2023•乌鲁木齐模拟）已知定义在R上的奇函数f（x），满足f（x+3）＝﹣f（x），
且当 时，f（x）＝x2﹣6x+8，则f（0）+f（1）+f（2）+…+f（100）＝（
）
A．6 B．3 C．0 D．﹣3
52．（2023•上饶二模）关于函数 ，有如下四个命题：
①函数f（x）的图像关于y轴对称；
②函数f（x）的图像关于直线 对称；
学科网（北京）股份有限公司 8③函数f（x）的最小正周期为2 ；
④函数f（x）的最小值为2．其中所有真命题的序号是 ．
π
一十四．函数恒成立问题（共8小题）
53．（2023•惠州一模）若函数f（x）的定义域为D，如果对D中的任意一个x，都有f
（x）＞0，﹣x D，且f（﹣x）f（x）＝1，则称函数f（x）为“类奇函数”．若某函数
g（x）是“类奇函数”，则下列命题中，错误的是（ ）
∈
A．若0在g（x）定义域中，则g（0）＝1
B．若g（x） ＝g（4）＝4，则
max
C．若g（x）在（0，+∞）上单调递增，则g（x）在（﹣∞，0）上单调递减
D．若g（x）定义域为R，且函数h（x）也是定义域为R的“类奇函数”，则函数G
（x）＝g（x）h（x）也是“类奇函数”
54．（2023•遂宁模拟）已知函数f（x）＝|x﹣t|+|x+t|，t R．
（1）若t＝1，求不等式f（x）≤8﹣x2的解集；
∈
（2）已知m+n＝4，若对任意x R，都存在m＞0，n＞0使得f（x）＝ ，求实数
t的取值范围．
∈
55．（2023•平江县模拟）若对任意x （0，2）， 恒成立，则实数a的
取值集合为 ．
∈
56．（2023•雁塔区校级三模）已知函数f（x）＝|x﹣a|+2|x+1|．
（1）当a＝1时，解关于x的不等式f（x）≤6；
（2）已知g（x）＝|x﹣1|+2，若对任意x R，都存在x R，使得f（x ）＝g（x ）成立，
1 2 1 2
求实数a的取值范围．
∈ ∈
57．（2023•全国三模）已知函数f（x）＝|x+4|+|x﹣2a|．
（1）当a＝2时，求不等式f（x）≤13的解集；
（2）若f（x）≥a2+5a恒成立，求实数a的取值范围．
学科网（北京）股份有限公司 958．（2023•青羊区校级模拟）已知函数f（x）＝|x﹣1|﹣|x+1|+x．
（1）解不等式 ；
（2）是否存在正实数k，使得对任意的实数x，都有f（x+k）≥f（x）成立？若存在，
求出k的取值范围；若不存在，请说明理由．
59．（2023•广西模拟）已知函数 ，
（1）当a＝3时，求f（x）的最小值；
（2）若对 m （0，6）， x R，不等式 恒成立，求a的取值范围．
∀ ∈ ∀ ∈
60．（2023•江西模拟）已知函数 ．
（1）求函数f（x）在区间[1，2]上的最大值；
（2）若m为整数，且关于x的不等式f（x）≥lnx恒成立，求整数m的最小值．
学科网（北京）股份有限公司 10
