第三节跟踪训练_高中三年全科资料_高中_2026年高考《MST高考》一轮复习系列（数学）_第九章

MST老唐说题26版一轮 第三节跟踪训练 考向1 跟踪训练 【训练1】已知O为坐标原点，F(2,0)，F (2,0)，点P满足|PF ||PF |2，记点P的轨迹为曲线E． 1 2 1 2 （1）求曲线E的方程； 【训练2】动圆C 与圆C :(x2)2  y2 50和圆C :(x2)2  y2 2都内切，记动圆圆心C的轨迹为E． 1 2 （1）求E的方程； 1 【训练3】已知动点M(x,y)与定点F(1,0)的距离和M 到定直线l:x4的距离的比是常数 ． 2 （1）求动点M 的轨迹方程，并说明轨迹即曲线C的形状． 1 【训练4】（2019•全国）已知点A(2,0)，A (2,0)，动点P满足PA 与PA 的斜率之积等于 ，记P的轨 1 2 1 2 4 迹为C． （1）求C 的方程； x2 y2 【训练5】在椭圆C:  1上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足，点M 在线段PD上， 4 2 且满足|DP| 2|DM |． （Ⅰ）当点P在椭圆C上运动时，求点M 的轨迹E的方程；MST老唐说题26版一轮 考向2 跟踪训练 1 【训练1】（2017•北京）已知抛物线C:y2 2px过点P(1,1)．过点(0, )作直线l与抛物线C 交于不同的两 2 点M ，N，过点M 作x轴的垂线分别与直线OP、ON交于点A，B，其中O为原点． （1）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程； （2）求证：A为线段BM 的中点． 【训练2】在平面直角坐标系xOy中，点D为x2  y2 1上一动点，点A，B分别在x轴，y轴上且DA x   轴，DB y轴，若BA AW ，点W 的轨迹记为曲线C ． （1）求曲线C 的轨迹方程； （2）过点G(1,0)的直线l与C交于M ，N两点，若点H(0,1)，直线GH 为MHN 的角平分线，求直线l的 方程． x2 y2 【训练3】（2021•新高考Ⅱ）已知椭圆C 的方程为  1(ab0)，右焦点为F( 2 ，0)，且离心率 a2 b2 6 为 ． 3 （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）设M ，N是椭圆C 上的两点，直线MN 与曲线x2  y2 b2(x0)相切．证明：M ，N，F 三点共 线的充要条件是|MN| 3．MST老唐说题26版一轮 x2 y2 3 6 【训练4】已知椭圆C:  1(ab0)过(1, )和( 2, )两点．F ，F 分别为椭圆的左、右焦点，P a2 b2 2 2 1 2 为椭圆上的点(P不在x轴上），过椭圆右焦点F 的直线l与椭圆交于A、B两点． 2 （1）求椭圆的标准方程； （2）求|AB|的范围． x2 y2 2 【训练5】已知椭圆C：  1（a＞b＞0）的离心率是 ，点M(0, 2)在椭圆C上. a2 b2 2 （1）求椭圆C的标准方程． （2）已知P(0, 1)，直线l：ykxm（k 0）与椭圆C交于A，B两点，若直线AP，BP的斜率之和为0， 试问△PAB的面积是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由. x2 y2 【训练6】（2020•江苏）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E:  1的左、右焦点分别为F 、F ， 4 3 1 2 点A在椭圆E上且在第一象限内，AF FF ，直线AF 与椭圆E相交于另一点B． 2 1 2 1 （1）求△AFF 的周长； 1 2   （2）在x轴上任取一点P，直线AP与椭圆E的右准线相交于点Q，求OPQP的最小值； （3）设点M 在椭圆E上，记OAB与MAB的面积分别为S ，S ，若S 3S ，求点M 的坐标． 1 2 2 1MST老唐说题26版一轮 x2 y2 3 【训练7】（2014•新课标Ⅰ）已知点A(0,2)，椭圆E:  1(ab0)的离心率为 ，F 是椭圆的右 a2 b2 2 2 3 焦点，直线AF 的斜率为 ，O为坐标原点． 3 （Ⅰ）求E的方程； （Ⅱ）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当OPQ的面积最大时，求l的方程． 考向3跟踪训练 x2 【训练1】（2021•乙卷）设B是椭圆C:  y2 1的上顶点，点P在C上，则|PB|的最大值为（ ） 5 5 A． B． 6 C． 5 D．2 2 x2 y2 【训练2】如图，已知A，B分别为椭圆M :  1(ab0)的左，右顶点，P(x ， y )为椭圆M 上 a2 b2 0 0 异于点A，B的动点，若AB4，且ABP面积的最大值为2． （1）求椭圆M 的标准方程； （2）已知直线l与椭圆M 相切于点P(x ，y )，且l与直线xa和xa分别相交于C，D两点，记四边 0 0 形ABCD的对角线AC，BD相交于点N． 问：是否存在两个定点F ，F ，使得|NF ||NF |为定值？若存在，求F ，F 的坐标；若不存在，说明理 1 2 1 2 1 2 由．MST老唐说题26版一轮 x2 y2 【训练3】设椭圆C:  1(ab0) 的左.右顶点分别为A,B,上顶点为D,点P是椭圆C上异于顶点 a2 b2 3 的动点,已知椭圆的离心率e ,短轴长为2, 2 (1)求椭圆C的方程; (2)若直线AD与直线BP交于点M ，直线DP与x轴交于点N,求证:直线MN 恒过某定点，并求出该定点. x2 y2 1 【训练4】已知椭圆C:  1(ab0) 的离心率为 ，直线x1交粗圆所截得的弦长为3. a2 b2 2 (1)求椭圆C的方程; (2)若M 是第四象限椭圆上的动点，A A 分别为左，右顶点，B B 分别为上下顶点，B M 交直线yb 1， 2 1， 2 2 于点P，MA 交A B 于点Q，求证:直线PQ的斜率为定值. 1 2 1 x2 【训练5】(2017•新课标Ⅰ文)设A，B为曲线C:y 上两点,A与B的横坐标之和为4. 4 (1)求直线AB的斜率; (2)设M 为曲线C上一点,C在M 处的切线与直线AB平行,且AM⊥BM ,求直线AB的方程.MST老唐说题26版一轮 【训练6】已知抛物线C:y2 2px(p0)的准线与x轴的交点为H ，直线过抛物线C的焦点F 且与C 交于A， B两点，HAB的面积的最小值为4． （1）求抛物线C的方程； 17 （2）若过点Q( ,1)的动直线l交C于M ，N两点，试问抛物线C上是否存在定点E，使得对任意的直线 4 l，都有EM EN ，若存在，求出点E的坐标；若不存在，则说明理由． 【训练7】设抛物线C:y2 2px(p0)的焦点为F ，点D(p,0)，过F 的直线交C 于M ，N两点．当直线MD 垂直于x轴时，|MF|3． （1）求C 的方程； （2）若点A(1,0)，B(1,1)，过点A的动直线l交抛物线C于P、Q，直线PB交抛物线C 于另一点R， 连接QB并延长交抛物线于点S．证明直线QR与直线PS 的斜率之和为定值． 【训练8】过抛物线 C 1 :x2  y 上一点 P(2，4) 作圆 C 2 :x2(y2)2 1 的两条切线交 C 1于点A，B，求直线 AB的方程.MST老唐说题26版一轮 【训练9】抛物线C :y2 2px(p0)的焦点到准线的距离等于椭圆C :x2 16y2 1的短轴长． 1 2 （1）求抛物线C 的方程； 1 （2）设D(1,t)是抛物线C 上位于第一象限的一点，过D作圆E:(x2)2  y2 r2（其中0r1)的两条切 1 线，分别交抛物线C 于点M ，N，证明：直线MN 经过定点． 1 【训练10】如图，已知点P是抛物线C:y2 2px(p0)的准线l:x1上的动点，抛物线C 上存在不同的 两点A，B满足PA，PB的中点均在C上． （1）求抛物线C的方程； 1 1 （2）记直线PA，PB，PO的斜率分别为k ，k ，k ，请问是否存在常数，使得  k ？若存在， 1 2 3 k k 3 1 2 求出的值；若不存在，请说明理由．MST老唐说题26版一轮 考向4 跟踪训练 x2 y2 3 【训练1】(2017•新课标I理)已知椭圆C:  1(ab0),四点P(1，1)，P(0，1)，P(1， )， a2 b2 1 2 3 2 3 P(1， )，中恰有三点在椭圆C上. 4 2 (1)求C的方程; (2)设直线l不经过P 点且与C相交于A，B两点.若直线PA与直线PB的斜率的和为1，证明:l过定点. 2 2 2 x2 y2 3 【训练2】已知椭圆C:  1(ab0)，点M(1， )在椭圆C 上，椭圆C 的四个顶点的连线构成的 a2 b2 2 四边形的面积为4 3． (1)求椭圆C的方程； (2)设点A为椭圆长轴的左端点，P、Q为椭圆上异于椭圆C 长轴端点的两点，记直线AP、AQ斜率分别 为k 、k ，若kk 2，请判断直线PQ是否过定点？若过定点，求该定点坐标，若不过定点，请说明理由． 1 2 1 2 x2 【训练3】已知椭圆C:  y2 1的左、右顶点分别为A，B，P为C 上任意一点（异于A，B)，直线AP， 4 10 BP分别交直线x 于M ，N两点． 3 （1）求证：BM BN ； （2）设直线BM 交椭圆C于另一点Q，求证：直线PQ恒过定点．MST老唐说题26版一轮 x2 y2 2 【训练 4】已知椭圆Q:  1(ab0)的离心率为 ,椭圆Q上的点，与P(1，0) 的最大距离为 a2 b2 2 2 2 1. (1) 求椭圆Q的方程； (2) 设椭圆Q的下、上顶点分别为A、B,过点P的直线与椭圆Q交于C、D两点，与y轴交于点M，直线AC 与直线BD交于点N，试探究OM ON 是否为定值. x2 y2 【训练5】（2021·北京）已知椭圆E：  1（ab0）的一个顶点A(0,2)，以椭圆E的四个顶 a2 b2 点围成的四边形面积为4 5. （I）求椭圆E的方程； （II）过点P0,3作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB、AC 分别与直线y3交 于点M 、N ，当 PM  PN 15时，求k的取值范围. 1 【训练6】已知动点M(x, y)与定点F(1,0)的距离和M 到定直线l：x4的距离的比是常数 . 2 （1）求动点M 的轨迹方程，并说明轨迹即曲线C的形状. 3 （2）过A(1, )作两直线与抛物线ytx2（t0）相切，且分别与曲线C 交于D，E两点，直线AD，AE 2 的斜率分别为k ，k . 1 2 1 1 ①求证：  为定值； k k 1 2 ②试问直线DE是否过定点，若是，求出定点坐标；若不是，说明理由.MST老唐说题26版一轮 考向5 跟踪训练 【训练1】已知直线l:y xm交抛物线C:y2 4x于A，B两点．   （1）设直线l与x轴的交点为T．若AT 2TB，求实数m的值； （2）若点M ，N在抛物线C上，且关于直线l对称，求证：A，B，M ，N四点共圆． x2 y2 2 【训练2】已知椭圆C:  1的左焦点为F ，A(1， )为椭圆上一点，AF 交y a2 b2 2 轴于点M ，且M 为AF 的中点． （1）求椭圆C 的方程； （2）直线l与椭圆C有且只有一个公共点A，平行于OA的直线交l于P，交椭圆C于不同的两点D， E，问是否存在常数，使得|PA|2|PD||PE|，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． x2 y2 2 【训练3】焦点在x轴上的椭圆C:  1经过点(2， 2)，椭圆C 的离心率为 ．F ，F 是椭圆的左、 a2 b2 2 1 2 右焦点，P为椭圆上任意点． （1）求椭圆的标准方程； （2）若点M 为OF 的中点(O为坐标原点），过M 且平行于OP的直线l交椭圆C于A，B两点，是否存在 2 实数，使得|OP|2|MA||MB|；若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由．MST老唐说题26版一轮 x2 y2 2 【训练4】已知椭圆C的方程为  1，过点Q( ，0)作直线与椭圆交于A，B两点，P是椭圆的右 4 2 3 顶点． （1）求证：PAPB； （2）求|PA||PB|的最大值． x2 y2 1 【训练5】如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C:  1(ab0)的离心率e ，左顶点为 a2 b2 2 A(4，0)，过点A作斜率为k(k 0)的直线l交椭圆C于点D，交y轴于点E． （1）求椭圆C 的方程； （2）已知P为AD的中点，是否存在定点Q，对于任意的k(k 0)都有OPEQ，若存在，求出点Q的坐 标；若不存在说明理由； AD AE （3）若过O点作直线l的平行线交椭圆C 于点M ，求 的最小值． OM