易错点15概率（解析版）_2.2025数学总复习_赠品通用版（老高考）复习资料_专项复习_备战2023年高考数学考试易错题（全国通用）

易错点 15 概率 易错点1.事件、频率和概率概念理解错误 1.事件的关系 定义 表示法 图示 一般地，如果事件A发生时，事 包含 件B一定发生，则称“A包含于 记作A B(或B A) 关系 B”(或“B包含A”) ⊆ ⊇ 给定事件A，B，若事件A与B不 互斥 若A∩B＝∅，则A与 能同时发生，则称A与B互斥， 事件 B互斥 记作AB＝∅(或A∩B＝∅) 给定样本空间Ω与事件A，则由 若A∩B＝∅，且 对立 Ω中所有 不属于 A 的样本点组成 A∪B＝Ω，则A与B 事件 的事件称为A的对立事件，记作 对立 A 2.事件的运算 定义 表示法 图示 给定事件A，B，由所有A中的 并事件 样本点与B中的样本点组成的事 记作 A ＋ B (或 A ∪ B ) 件称为A与B的和(或并) 给定事件A，B，由A与B中的 交事件 公共样本点组成的事件称为A与 记作AB(或 A ∩ B ) B的积(或交) 3.用频率估计概率 一般地，如果在 n次重复进行的试验中，事件 A发生的频率为，其中，m是n 次重复试验事件 A发生的次数，则当 n很大时，可以认为事件 A发生的概率 P(A)的估计值为. 易错点2.古典概型和几何概型公式理解错误 1.古典概型一般地，如果随机试验的样本空间所包含的样本点个数是有限的(简称为有限 性)，而且可以认为每个只包含一个样本点的事件(即基本事件)发生的可能性大 小都相等(简称为等可能性)，则称这样的随机试验为古典概率模型，简称为古 典概型. 2.古典概型的概率公式 古典概型中，假设样本空间含有 n个样本点，如果事件C包含有m个样本点， 则P(C)＝. 3.几何概型 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积或度数) 成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型。 比如：对于一个随机试验，我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何 区域内随机地取一点，该区域中每一个点被取到的机会都一样；而一个随机事 件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点。这里的区域可 以是线段，平面图形，立体图形等。用这种方法处理随机试验，称为几何概型. 几何概型与古典概型相对，将等可能事件的概念从有限向无限的延伸。这 个概念在我国初中数学中就开始介绍了。 古典概型与几何概型的主要区别在于：几何概型是另一类等可能概型，它 与古典概型的区别在于试验的结果是无限个。 4.概率的性质 性质1：对任意的事件A，都有0≤P(A)≤1； 性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P(∅)＝0； 性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝ P ( A ) ＋ P ( B ) ； 性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么 P(B)＝1－P(A)，P(A)＝ 1 － P ( B ) ； 性质5：如果A B，那么P(A)≤P(B)，由该性质可得，对于任意事件 A，因为 ∅⊆A Ω，所以0≤P(A)≤1. ⊆ 性质 6：设 A，B 是一个随机试验中的两个事件，有 P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－ ⊆ P(A∩B). 易错点3.条件概率和全概率公式理解错误 1.相互独立事件一般地，当P(AB)＝ P ( A ) P ( B ) 时，就称事件A与B相互独立(简称独立).如果事件 A与B相互独立，则A与B，A与B，A与B也相互独立. 2.条件概率 (1)概念：一般地，当事件 B发生的概率 大于 0 ( 即 P ( B )>0 ) 时 ，已知事件B发生 的条件下事件A发生的概率，称为条件概率，记作P(A|B)，而且P(A|B)＝. (2)两个公式 ①利用古典概型，P(B|A)＝； ②概率的乘法公式：P(AB)＝ P ( A ) P ( B | A ) . 3.全概率公式 一般地，如果样本空间为Ω，A，B为事件，则BA与BA是互斥的，且B＝BΩ＝ B(A＋A)＝BA＋BA，从而 P(B)＝P(BA＋BA)＝P(BA)＋P(BA)，当 P(A)>0 且 P(A)>0时，有P(B)＝ P ( A ) P ( B | A ) ＋ P ( A )P(B| A ) . 1．已知PA 、PB分别表示随机事件A、B发生的概率，那么1PAB 是下列哪个事件 的概率（ ） A．事件A、B同时发生 B．事件A、B至少有一个发生 C．事件A、B都不发生 D．事件A、B至多有一个发生 【答案】D 【详解】AB表示随机事件 A 、 B 同时发生，所以1PAB 就是事件 A 、 B 至多有一个发 生. 故选：D 2．北京2022年冬奥会于2022年2月4日开幕，2月20日闭幕，小林观看了本届冬奥会后， 打算从冰壶､短道速滑､花样滑冰和冬季两项这四个项目中任选两项进行系统的学习，则小 林没有选择冰壶的概率为（ ） A． 1 B． 1 C．1 D． 2 4 3 2 3【答案】C 【详解】解：记冰壶､短道速滑､花样滑冰､冬季两项分别为A，B，C，D， 则从这四个项目中任选两项的情况有AB，AC，AD，BC，BD，CD，共6种情况， 其中没有选择冰壶的有BC，BD，CD，共3种情况， 3 1 所以所求概率为  . 6 2 故选：C. 3．从两名男生，两名女生共4名同学中随机选2名参加社会实践活动，则所选两名同学性 别不同的概率为（ ） A． 1 B． 1 C．1 D． 2 4 3 2 3 【答案】D 【详解】两名男生标记为a ，a ，两名女生标记为b ，b . 1 2 1 2 从中随机选2名参加社会实践的事件有 a,a  ， a,b ， a,b  ， a ,b ， a ,b  ， 1 2 1 1 1 2 2 1 2 2 b,b  ，共计6种. 1 2 其中两名同学性别不同的事件有 a,b ， a,b  ， a ,b ， a ,b  ，共计4种， 1 1 1 2 2 1 2 2 4 2 所求概率P  . 6 3 故选：D. 4．我国古代有着辉煌的数学研究成果，其中的《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算 经》、《孙子算经》、《缉古算经》，有着十分丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的 重要文献．这5部专著中3部产生于汉、魏晋、南北朝时期．某中学拟从这5部专著中选 择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部专著均是汉、魏晋、南北朝时期 专著的概率为（ ） 3 3 7 4 A． B． C． D． 10 5 10 5 【答案】A 【详解】解：从这5部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，基本事件总 数n()10， 设A={所选2部专著均是汉、魏晋、南北朝时期专著} 则n(A)3 n(A) 3 ∴P(A)  n() 10 故选：A． 5．如图矩形由六个相同的小正方形组合而成，其中阴影部分形如一个逗号．若在该矩形中任取一点，则该点落在阴影部分的概率为（ ）． π 1 π 1 A．  B．  3 2 4 3 π 1 π 1 C．  D．  4 6 3 6 【答案】C 【详解】如图所示，两个图形中阴影部分面积相等，设小正方形边长为1， 1 则阴影部分为半径为1的半圆加上半径为2的圆的 ，再减去一个小正方形， 4 π 1 3π 阴影部分面积为  4π1 1，矩形的面积为6， 2 4 2 由几何概型公式可知，若在该矩形中任取一点，则该点落在阴影部分的概率为 3π 1 2 π 1，   6 4 6 故选：C  1 1 1．在区间0, 随机取1个数，则取到的数小于 的概率为（ ）  2 3 3 2 1 1 A． B． C． D． 4 3 3 6 【答案】B  1  1 【详解】设 “区间0, 随机取1个数”，对应集合为： x 0x ，区间长度为   2  21 ， 2 1  1 1 “取到的数小于 ”， 对应集合为：x 0x ，区间长度为 ， A 3  3 3 1 所以PA lA  3 0  2 ． l 1 3 0 2 故选：B． 2．分别统计了甲、乙两位同学16周的各周课外体育运动时长（单位：h），得如下茎叶图： 则下列结论中错误的是（ ） A．甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.4 B．乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于8 C．甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.4 D．乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.6 【答案】C 7.37.5 【详解】对于A选项，甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为 7.4，A选项 2 结论正确. 对于B选项，乙同学课外体育运动时长的样本平均数为： 6.37.47.68.18.28.28.58.68.68.68.69.09.29.39.810.1 8.506258， 16 B选项结论正确. 6 对于C选项，甲同学周课外体育运动时长大于 的概率的估计值 0.3750.4， 8 16 C选项结论错误. 13 对于D选项，乙同学周课外体育运动时长大于 的概率的估计值 0.81250.6， 8 16 D选项结论正确. 故选：C3．将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ） A．0.3 B．0.5 C．0.6 D．0.8 【答案】C 【详解】解：将3个1和2个0随机排成一行，可以是： 00111,01011,01101,01110,10011,10101,10110,11001,11010,11100， 共10种排法， 其中2个0不相邻的排列方法为： 01011,01101,01110,10101,10110,11010， 共6种方法， 6 故2个0不相邻的概率为 =0.6， 10 故选：C. 4．从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片 上的数字之积是4的倍数的概率为（ ） 1 1 2 2 A． B． C． D． 5 3 5 3 【答案】C 【详解】[方法一]：【最优解】无序 从6张卡片中无放回抽取2张，共有 1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,2,3,2,4,2,5,2,6,3,4,3,5,3,6,4,5,4,6,5,6 15 种情况，其中数字之积为4的倍数的有 1,4,2,4,2,6,3,4,4,5,4,6 6种情况，故概 6 2 率为  . 15 5 [方法二]：有序 从6张卡片中无放回抽取2张，共有 1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,2,3,2,4,2,5,2,6,3,4,3,5,3,6,4,5,4,6,5,6 , (2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(6,1),(3,2),(4,2),(5,2),(6,2),(4,3),(5,3),(6,3),(5,4),(6,4),(6,5)30种情况， 其中数字之积为4的倍数有(1,4),(2,4),(2,6),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,5),(4,6),(5,4),(6,2),(6,4)12 12 2 种情况，故概率为  . 30 5 故选：C. 5．从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球,则所取的3个球中至少有1个白球的概率 是( )1 3 3 9 A． B． C． D． 10 10 5 10 【答案】D 【详解】试题分析：从装有3个红球，2个白球的袋中任取3个球，共有基本事件C3 10种， 5 1 9 则全取红球的基本事件只有一种，所以所取 个球中至少有 个白球的概率为1  ， 3 1 10 10 故选D. 一、单选题 1．口袋中共有2个白球2个黑球，从中随机取出两个球，则两个球颜色不同的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设2个白球分别为 ，2个黑球为 ，从中随机取出两个球，则所有可能的情 况有 ， ， ， ， ， 共6种情况， 其中两个球颜色不同的情况有 ， ， ， 共4种情况，故两个球颜色不 同的概率为 故选：A 2．一种电子小型娱乐游戏的主界面是半径为r的一个圆，点击圆周上点A后该点在圆周上 随机转动，最终落点为B，当线段AB的长不小于 时自动播放音乐，则一次转动能播放 出音乐的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，连接 ，过 作直径 ，使得 ，连接 则可得 满足条件点 位于下半圆（包括端点 ），其概率为 故选：C．3．我国18岁的滑雪运动员谷爱凌在第24届北京冬奥会上勇夺“两金一银”，取得了优异 的成绩，在某项决赛中选手可以滑跳三次，然后取三次中最高的分数作为该选手的得分， 谷爱凌为了取得佳绩，准备采用目前女运动员中最难的动作进行滑跳，设每轮滑跳的成功 率为0.4，利用计算机产生0~9之间取整数值的随机数，我们用0，1，2，3表示滑跳成功， 4，5，6，7，8，9表示滑跳不成功，现以每3个随机数为一组，作为3轮滑跳的结果，经 随机模拟产生如下10组随机数：931，502，659，491，275，937，740，632，845，302. 由此估计谷爱凌“3轮滑跳中至少有2轮成功”的概率为（ ） A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.6 【答案】B 【详解】由题意，10组随机数中，表示“3轮滑跳中至少有2轮成功”的有931，502， 632，302，共4个，所以估计谷爱凌“3轮滑跳中至少有2轮成功”的概率为 ， 故选：B. 4．由于发现新冠阳性感染者，2022年4月17日-23日芜湖市主城区实施静态管理，最终控 制了疫情.初三、高三学生于27日返校复课，返校前需提供48小时核酸检测阴性证明.为配 合核酸检测，我市从3名护士和2名医生中随机选取两位派往某社区检测点工作，则恰好 选取一名医生和一名护士的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】记3名护士为cde，2名医生为AB，两个检测点分别为：AB，Ac，Ad，Ae，Bc， Bd，Be，cd，ce，de共10个基本事件，其中恰好选取一名医生和一名护士有Ac，Ad， Ae，Bc，Bd，Be 共6种，所以概率为 故选：D 5．若连续抛掷两次质地均匀的骰子，得到的点数分别为m，n，则满足 的概率 是（ ）A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设连续投掷两次骰子，得到的点数依次为 、 ，两次抛掷得到的结果可以 用 表示， 则结果有 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 共有36种． 其中满足 有： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，共 种， 所以满足 的概率 ． 故选：B 6．执行如图所示的程序框图，则输出的 的值与下面的哪个数最接近？（ ） A． B． C． D． 【答案】B【详解】由题意可知，该程序相当于在 内任取 对数对 ， 其中满足 的数对有 对，显然该问题是几何概型． 不等式组 所表示的区域为面积为 ， 所表示的区域面积为 ，故 ，因此 ， 故选：B． 7．一个质地均匀的正四面体，四个面分别标以数字1，2，3，4．抛掷该正四面体两次， 依次记下它与地面接触的面上的数字．记事件A为“第一次记下的数字为奇数”，事件B 为“第二次记下的数字比第一次记下的数字大1”，则下列说法正确的是（ ） A． B．事件A与事件B互斥 C． D．事件A与事件B相互独立 【答案】C 【详解】由题意得 ， ， ， ∵ ，∴事件A和事件B不相互独立， ． 故选：C． 8．2022年2月冬奥会在北京召开，“三亿人参与冰雪运动”的愿景，正在亿万国人逐渐 高涨的运动热情中走向现实.小明爱上了冰壶运动，在自己家附近的冰面上和父亲一起制作 了简易冰壶场地，得分区是四个半径不等的同心圆，由内而外称为A，B，C，D.小明每次 投掷都能使得冰壶进入得分区，若每次投掷后冰壶进入A，B，C，D区的概率分别为 0.01，0.1，0.3，0.59，小明投掷两个冰壶，两次投掷互不影响，则有一个冰壶进入A或C 区，另一个冰壶进入B或D区的概率为（ ） A．1 B．0.2139 C．0.4278 D．0.1958 【答案】C 【详解】投掷一个冰壶进入A或C区的概率为 投掷一个冰壶进入B或D区的概率为小明投掷两个冰壶，则有一个冰壶进入A或C区，另一个冰壶进入B或D区的概率为 故选：C 二、多选题 9．已知事件 与事件 为互斥事件， 是事件 的对立事件， 是事件 的对立事件，若 ， ，则（ ） A． B． C． D．事件 与事件 不独立 【答案】ABD 【详解】对于A， ，故A正确； 对于B， ，故B正确； 对于C，因为事件 与事件 为互斥事件，事件 不一定为互斥事件，则 不 一定成立，故C不正确； 对于D， ，故事件 与事件 不独立.所以 D正确. 故选：ABD. 10．甲、乙两个盒子中分别装有红球、白球和黑球若干，从甲盒子中取出一个红球的概率 为 ，取出一个白球的概率为 ；从乙盒子中取出一个红球的概率和取出一个白球的概率 均为 .现从两个盒子中各取出一个球，下列结论正确的是（ ） A．两个球都是黑球的概率为 B．两个球中一个红球一个白球的概率为 C．两个球中恰有一个黑球的概率为 D．两个球中至少有一个红球的概率 【答案】ACD 【详解】解：由题意得：甲盒子中取出一个黑球的概率为 ，乙盒子中取出一个黑球的概 率为 .对于选项A，两个球都是黑球的概率为 ，选项A正确； 对于选项B，两个球中一个红球一个白球的概率为 ，选项B错误； 对于选项C，两个球中恰有一个黑球的概率为 ，选项C正确； 对于选项D，两个球中至少有一个红球的概率为 ，选项 D正确. 故选：ACD. 三、解答题 11．新冠肺炎疫情期间，为确保“停课不停学”，各校精心组织了线上教学活动.开学后， 某校采用分层抽样的方法从高中三个年级的学生中抽取一个容量为200的样本进行关于线 上教学实施情况的问卷调查.已知该校高二年级共有学生840人，高三年级共有960人，抽 取的样本中高一年级有50人.如表是根据抽样调查情况得到的高一学生日睡眠时间（单位： h）的频率分布表. 分组 频数 频率 m n 6 0.12 8 0.16 s 0.24 11 0.22 9 0.18 合计 50 1 (1)求该校高一学生的总数； (2)求频率分布表中实数m，n，s的值； (3)已知日睡眠时间在区间 内的6名高一学生中，有2名女生，4名男生，若从中任 选2人进行面谈，求选中的2人恰好为一男一女的概率. 【答案】（1） 设该校高一学生的总数为x，由题意 ，解得 ， ∴该校高一学生总数为600人. （2） 由题意 ，解得 ， . （3） 记6名高一学生中女生为A，B，男生为1，2，3，4 从中任选2人的基本事件有：AB，A1，A2，A3，A4，B1，B2，B3，B4，12，13，14， 23，24，34共有15个， 记事件 “选中的2人恰好为一男一女” 事件M包含的基本事件有A1，A2，A3，A4，B1，B2，B3，B4，共8个， 故 . 12．某小学认真贯彻教育部门“双减”工作的精神，执行相关措施一段时间后，为了解 “双减”工作的实际效果，在该校1200名学生中随机抽取了100名小学生，调查他们周末 完成作业的时间（以下简称作业时间，单位： )，将统计数据按[0，0.5)，[0.5，1)， ， [4，4.5]分组，得到如图所示的频率分布直方图， (1)求直方图中 的值； (2)估计全校学生作业时间不低于2 的人数； (3)按照分层抽样的方法，从全校学生作业时间不低于2 和低于2 的学生中抽取5人组成 核心素养考察团，若从考察团中选取2人作为团长和副团长求这2人都来自作业时间低于2 的学生的概率． 【答案】（1） 由已知得 ，解得 ； （2） 作业时间不低于2 的频率为 ，所以估计全校学生作业时间不低于2 的人数为 ； （3） 因为作业时间不低于2 的频率为 ，所以作业时间低于2 的频率为 ， 按照分层抽样的方法，从全校学生作业时间不低于2 和低于2 的学生中抽取5人， 其中不低于2 的学生有2人，用 表示，低于2 的学生有3人，用 表示，若从考 察团中选取2人作为团长和副团长有 ， 共20种方法，其中这2人 都来自作业时间低于2 的学生的情况有 共6种方法， 6 3 所以这2人都来自作业时间低于2 的学生的概率为  . h 20 10