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专题 12.5 解题技巧专题：全等三角形中多解、动点、最值与
新定义型问题
目录
【考点一 利用三角形全等求时间或线段长的多解问题】....................................................................................1
【考点二 与全等三角形有关的多结论问题】........................................................................................................7
【考点三 全等三角形中的动点最值问题】..........................................................................................................16
【考点四 全等三角形中的动点综合问题】..........................................................................................................22
【考点五 全等三角形中的新定义型综合问题】..................................................................................................35
【典型例题】
【考点一 利用三角形全等求时间或线段长的多解问题】
例题：（23-24七年级下·辽宁丹东·期中）如图，在长方形 中， ， ，延长 到点E，使
，连接 ，动点P从点A出发，以每秒3个单位的速度沿 运动，设点P的运动
时间为t秒，当t的值为 秒时， 与 全等．
【答案】 或5
【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，
根据题意分两种情况： 和 ，然后根据全等三角形的性质求解即可．
【详解】如图所示，当 时，∴
∵在长方形 中， ， ，
∴
∴
∴
∵点P的运动时间为每秒3个单位
∴ （秒）；
如图所示，当 时，
∴
∴
∴
∴ （秒）
综上所述，当t的值为 或5秒时， 与 全等．
故答案为： 或5．
【变式训练】
1．（23-24七年级下·河南开封·期末）如图，在长方形 中， ， ，点P从点A出
发，以 的速度沿 边向点B运动，到达点B停止，同时，点Q从点B出发，以 的速度沿
边向点C运动，到达点C停止，规定其中一个动点停止运动时，另一个动点也随之停止运动．当v为
时，存在某一时刻， 与 全等．【答案】1或
【分析】主要考查了全等三角形的性质，一元一次方程的几何应用，解本题的关键是熟练掌握全等三角形
的判定与性质．可分两种情况：① 得到 ， ，② 得到
， ，然后分别计算出 的值，进而得到 的值．
【详解】解：①当 ， 时， ，
，
，
，
，
，解得： ，
，
，
②当 ， 时， ，
，
，解得： ，
，
，
解得： ，
综上所述，当 或 时，存在某一时刻， 与 全等，
故答案为：1或
2．（22-23八年级上·河南新乡·期末）如图， ， ，动点 从点 出发（不含点
）以2个单位长度/秒的速度沿射线 运动，点 为射线 上一动点，且始终保持 ，当点 运
动 秒时， 与以点 ， ， 为顶点的三角形全等．【答案】1或3或4
【分析】设点P运动时间为t秒，根据已知条件分 ， ，两种情况，根据
和 列方程求出t值即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
设点P运动时间为t秒，
∵ ， ，
∴当 时，
，
∴ ，
解得： （舍）或 ；
当 时，
，
∴ ，
解得： 或 ；
综上：1秒或3秒或4秒时， 与以点 ， ， 为顶点的三角形全等，
故答案为：1或3或4．
【点睛】本题考查直角三角形全等的判定，关键是找到所有符合题意的情况．
3．（23-24七年级下·江苏苏州·期末）如图，在四边形 中， ，
．动点P以 的速度从点A出发沿边 向点D匀速移动，动点Q
以 的速度从点B出发沿边 向点C匀速移动，动点M从点B出发沿对角线 向点D匀速移动，三点同时出发．连接 ，当动点M的速度为 时，存在某个时刻，使得以P、D、
M为顶点的三角形与 全等．
【答案】 或
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，平行线的性质，解二元一次方程组，设运动的时间为 ，动
点M的速度为 ，则 ，进而得到 ，
再分当 时，当 时，两种情况根据全等三角形对应边相等建立方程组求解即
可．
【详解】解：设运动的时间为 ，动点M的速度为 ，
由题意得， ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
当 时，则 ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
解得 ．
当 时，则 ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
解得 ．
综上所述，动点M的速度为 或 ，故答案为： 或 ．
4．（22-23七年级下·四川成都·期末）如图，在 中，已知 是 的高，
，直线 ，动点 从点 开始沿射线 方向以每秒3厘米的速度运动，动
点 也同时从点 开始在直线 上以每秒1厘米的速度向远离 点的方向运动，连接 ，设运动
时间为 秒；（1）当 为 秒时， 的面积为 ；（2）当 为
秒时， ．
【答案】 或 ； 2或4
【分析】（1）根据面积公式列出方程，求出 的值，分两种情况分别求出t的值即可；
（2）假设 ，根据全等三角形的对应边相等得出 ，分别用含t的代数式表示 和
，得到关于t的方程，从而求出t的值．
【详解】解：（1）∵ ，
∴ ，
∴ ．
若D在B点右侧，则 ，
∴ ；
若D在B点左侧，则 ，
∴ ；
综上所述：当t为 秒或 秒时， 的面积为 ；
故答案为： 或 ；（2）动点E从点C沿射线 方向运动2秒或当动点E从点C沿射线 的反向延长线方向运动4秒时，
．
理由如下：
①当E在射线 上时，D必在 上，则需 ．如图所示，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵在 和 中， ，
∴ ；
②当E在 的反向延长线上时，D必在 延长线上，则需 ．如图，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵在 和 中， ，
∴ ．
综上可知，当 或 时 ．故答案为：2或4．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质及面积的计算；本题综合性强，有
一定难度，熟练掌握等腰直角三角形的性质，注意分类讨论．
【考点二 与全等三角形有关的多结论问题】
例题：（23-24七年级下·上海浦东新·期末）如图，在 中， ， 的角平分线 、
相交于点 ，过 作 交 的延长线于点 ，交 于点 ． 有下列结论：① ；
② ；③ ；④ ；其中正确的个数是（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【答案】C
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，根据三角形内角和以及角平分线的定义得
，继而得出 的度数，即可判断①；推出 ，根据 证明即可，
即可判断②；证明 ，得 ， ，根据外角的性质可判断③；通过
等量代换可判断④．证明三角形全等是解题的关键．
【详解】解：在 中， ，
∴ ，
∵ 、 分别平分 、 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，故结论①正确；
∴ ，
又∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，故结论②正确；
∴ ， ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∵ 是 的外角，
∴ ，
∴ ，故结论③错误；
又∵ ， ，
∴ ，
即 ，故结论④正确，
∴正确的个数是 个．
故选：C．
【变式训练】
1．（22-23八年级上·山东日照·阶段练习）如图，在 中， 和 的平分线 ， 相交于
点O， 交 于E， 交 于F，过点O作 于D，下列三个结论：① ；
②若 ， ，则 ；③当 时， ；④若 ， ，则 ．其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】由角平分线的定义结合三角形的内角和的可求解 与 的关系，进而判定①；过O点作
于P，由角平分线的性质可求解 ，再根据三角形的面积公式计算可判定②；在AB上取一点
H，使 ，证得 ，得到 ，再证得 ，得到 ，
进而判定③正确；作 于N， 于M，根据三角形的面积可证得④正确．
【详解】解：∵ 和 的平分线相交于点O，
∴ ， ，
∴ ，故①错误；
过O点作 于P，
∵ 平分 ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，故②正确；
∵ ，
∴ ，∵ ， 分别是 与 的平分线，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
如图，在AB上取一点H，使 ，
∵ 是 的角平分线，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故③正确；作 于N， 于M，
∵ 和 的平分线相交于点O，
∴点O在 的平分线上，
∴ ，
∵ ，
∴ ，故④正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的性质定理，三角形全等的性
质和判定，正确作出辅助线证得 ，得到 ，是解决问题的关键．
2．（22-23八年级上·山东日照·期末）如图， 中， 、 的角平分线 、 交于点P，
下列结论：
① 平分 ；
②点P到 三边所在直线的距离相等；
③若 、 分别垂直 ， 于M、N，则 ；
④ ．
其中正确的是（ ）
A．只有①②③ B．只有①③④ C．只有②③④ D．①②③④
【答案】D【分析】本题考查了角平分线的性质和判定，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，借助辅助线综
合运用角平分线的性质和判定以及全等三角形的判定与性质是解题的关键．
过点P作 ， ， ，由角平分线的性质定理可得出 即可判断①②，
利用全等三角形的判定以及性质可判断③，利用角平分线的定义可判断④．
【详解】解：如图，过点P作 ， ， ，垂足分别为M、N、D，
①∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴点P在 的角平分线上，点P到 三边所在直线的距离相等，
故①，②正确；
③在 与 中，
，
∴ ，
∴ ，
同理可得 ，
∴ ，
∴ ，
故③正确；
④∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ， ，
∴ ，故④正确．
综上所述，①②③④正确．
故选：D．
3．（22-23八年级上·山东临沂·阶段练习）如图， 中， ， 于点D，过点A作
且 ，点E是 上一点且 ，连接 ， ，连接 交 于点G．下列结论中
正确的有（ ）个．
① ；② ；③ 平分 ；④ ．
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．由“
”可证 ，再由全等三角形的性质依次判断即可．
【详解】解： ， ，
，
，
，故①正确；
在 和 中，
，
，
， ，故②正确；
， ，
，
平分 ，故③正确；
，，
∵ ， ，
，故④正确；
∴正确的结论①②③④，共有4个．
故选：C．
4．（22-23八年级上·广东湛江·期中）如图，在 和 中， ， ， ，
．连接 ， 交于点M，连接 ．下列结论：
① ，② ，③ 平分 ，④ 平分 ．其中正确的结论个数有（ ）
个．
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定等知识；由 证明
，得到 ，由三角形的外角性质得： ，得
出 ，①正确；根据全等三角形的性质得出 ， ，②正确；作
于G， 于H，则 ，由 证明 ，得出
，由角平分线的判定方法得出 平分 ，④正确；由 ，得出当
时， 才平分 ，假设 ，由 得出 ，
由 平分 得出 ，推出 ，得 ，而 ，所以
，而 ，故③错误；即可得出结论．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
即 ，
在 和 中，，
∴ ，
∴ ， ，②正确；
∴ ，
由三角形的外角性质得： ，
∴ ，①正确；
作 于G， 于H，如图所示：
则 ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ 平分 ，④正确；
∵ ，
∴当 时， 才平分 ，
假设
∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
在 和 中，，
∴ ，
∴ ，
∵
∴
与 矛盾，
∴③错误；
正确的有①②④；
故选：B．
【考点三 全等三角形中的动点最值问题】
例题：（23-24七年级下·河北保定·期末）如图，锐角 的面积为10， 的平分线交
于点D，M、N分别是 和 上的动点，则 的最小值是 ．
【答案】4
【分析】先根据三角形全等的判定定理与性质可得 ，再根据两点之间线段最短可得 的
最小值为 ，然后根据垂线段最短可得当 时， 取得最小值，最后利用三角形的面积公式即可
得．
【详解】解：如图，在 上取一点E，使 ，连接ME，
是 的平分线，
，
在 和 中，，
，
，
，
由两点之间线段最短得：当点 共线时， 取最小值，最小值为 ，
又由垂线段最短得：当 时，BE取得最小值，
，
，
解得 ，
即 的最小值为4，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了角平分线的定义、三角形全等的判定定理与性质、两点之间线段最短、垂线段最短等
知识点，正确找出 取得最小值时 的位置是解题关键．
【变式训练】
1．（22-23八年级上·山东济宁·期中）如图，在 中， ， ， ， ，
平分 ，点E是 上的动点，点F是 上的动点，则 的最小值为 ．【答案】
【分析】本题考查轴对称 最短问题，角平分线的定义，全等三角形的判定和性质等知识．在射线 上
取一点 ，使得 ．过点 作 于 ．利用等积法求得 ，证明
，推出 ，推出 ，根据垂线段最短即可解决问题．
【详解】解：在射线 上取一点 ，使得 ．过点 作 于 ．
∵ ，
∴ ，
平分 ，
，
， ，
，
，
，
根据垂线段最短可知，当 ， ， 共线且与 重合时， 的值最小，最小值 ，
故答案为： ．
2．（23-24八年级上·陕西商洛·期中）如图，在 中， ， 平分 ，P为线段 上
一动点，Q为边 上一动点，当 的值最小时， 的度数为 ．【答案】 /66度
【分析】在 上截取 ，连接 ，证明 得出 ，从而证明当点A、P、E在同
一直线上，且 时， 的值最小，再根据三角形的内角和即可求出结果
【详解】解：在 上截取 ，连接 ，如图所示：
平分 ，
，
在 和 中，
，
，
， ，
，
∴当点A、P、E在同一直线上，且 ， 的值最小，即 的值最小，
∴当点A、P、E在同一直线上，且 时， ，
，
，
∴
，故答案为： ．
【点睛】本题考查了角平分线的定义、全等三角形的性质和判定、垂线段最短及三角形的内角和定理，确
定使 最小时点P的位置是解题的关键．
3．（23-24八年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，在 中，
平分 ，若M，N为边 上的动点，那么
的最小值为 ．
【答案】 /
【分析】如图，在 上取 ，连接 ，可证 ，得 ，于是
．过点C作 于点F， ，即 的最小值为 ．由等积法求得
．
【详解】解：如图，在 上取 ，连接 ，
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
过点C作 于点F， ，
即 的最小值为 ．
∵
∴ ，解得 ．
∴ 的最小值为 ．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，两点之间线段最短，垂线段最短；理解垂线段最短是解题的
关键．
4．（22-23七年级下·四川成都·期末）如图，在 中， 为 边上的中线， 是 的平分线，
， ，若E，F分别是边 和 上的动点，则 的最小值是 ．
【答案】 /
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形中线的性质等等，过点C作 于G，延
长 交 于H，连接 ，证明 得到 ， ，再证明
得到 ，则当 共线且 时 最小，即此时 最小，
最小值为 的长；由三角形中线的性质得到 ，则点C到 的距离为 ，则可
利用等面积法求出 ．
【详解】解：如图所示，过点C作 于G，延长 交 于H，连接 ，
∴ ，
∵ 是 的平分线，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
又∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴当 共线且 时 最小，即此时 最小，最小值为 的长；
∵ 为 边上的中线，
∴ ，
∴点C到 的距离为 ，
∵ ，
∴ ，
∴ 的最小值为 ，
故答案为： ．
【考点四 全等三角形中的动点综合问题】
例题：（23-24七年级下·陕西西安·期中）如图，在 中， ，高 、 相交于点O，
，且 ．
(1)求线段 的长；(2)动点P从点O出发，沿线段 以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，动点Q从点B出发沿射线
以每秒4个单位长度的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达A点时，P、Q两点同时停止运动．
设点P的运动时间为l秒， 的面积为S，请用含t的式子表示S；
(3)在（2）的条件下，点F是直线 上的一点且 ．是否存在t值，使以点B、O、P为顶点的三
角形与以点F、C、Q为顶点的三角形全等？若存在，请直接写出符合条件的t值，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)5；
(2) ， ；
(3) 或 时， 与 全等；
【分析】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、三角形的面积等知识：
（1）只要证明 即可解决问题；
（2）分两种情形讨论求解即可①当点Q在线段 上时， ，②当点Q在射线 上时，
时；
（3）分两种情形求解即可①如图2中，当 时， ，②如图3中，当 时，
；再进一步建立方程求解即可．
【详解】（1）解：如图1中，
，
∵ 是高，
∴ ，
∵ 是高，
∴ ，∴ ， ，
∴ ，
在 和 中，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（2）解：∵ ， ，
∴ ， ，
由题意得，
， ，
①当点Q在线段 上时， ，如图，
∴ ；
②当点Q在射线 上时， ，如图，∴ ；
（3）解：存在，理由如下，
①如图2中，当 时，
，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，解得 ，
②如图3中，当 时，
∵ ， ，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，解得 ，综上所述， 或 时， 与 全等．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·江苏连云港·期中）如图①，在 中， ， ， ，
，现有一动点P从点A出发，沿着三角形的边 运动，回到点A停止，速度为
，设运动时间为 ．
(1)如图①，当 时， ________cm；
(2)如图①，当 ________ 时， 的面积等于 面积的一半；
(3)如图②，在 中， ， ， ， ．在 的边上，若另外有一个
动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边 运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时
刻，恰好 ，求点Q的运动速度．
【答案】(1)6
(2) 或
(3)Q运动的速度为 或 ．
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形的中线的性质，一元一次方程的应用等知识点，
清晰的分类讨论思想是解答本题的关键．
（1）利用速度乘时间即可求解；
（2）根据三角形中线的性质分两种情况讨论即可解答；
（3）设点Q的运动速度为 ，然后分点P在 上，点Q在 上；点P在 上，点Q在 上两
种情况，分别根据全等三角形的性质列方程解答即可．
【详解】（1）解：当 时， ，
故答案为：6；（2）解：如图，当P在 上， 的面积等于 面积的一半，
∴ ，
∴ ，
当 在 上时，如图， 的面积等于 面积的一半，
∴ ，
∴ ，
综上：当 为 或 时， 的面积等于 面积的一半；
故答案为： 或 ；
（3）解：设点Q的运动速度为 ，
①当点P在 上，点Q在 上， 时， ，∴ ，解得 ；
②当点P在 上，点Q在 上， 时， ，
∴点P的路程为 ，点Q的路程为 ，
∴ ，解得 ；
∴Q运动的速度为 或 ．
2．（22-23七年级下·贵州贵阳·期末）如图，已知，点A，B在直线l两侧，点C，D在直线l上，点P为l
上一动点，连接 ， ，且 ．
(1)【问题解决】如图①，当点P在线段 上时，若 ， ，则
（填“＞”或“＝”或“＜”）；
(2)【问题探究】如图②，当点P在 延长线上时，若 ， ，探究线段
， ， 之间的数量关系，并说明理由；
(3)【拓展延伸】如图③，当点P在线段 上时，若 ，将 沿直线l对折得到
，此时 ，探究线段 ， ， 之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)＝
(2) ，理由见解析(3) ，理由见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，
（1）可证明 ≌ ，从而得出结果；
（2）可证明 ≌ 从而得出 ，进而得出结论；
（3）证明 ≌ ，从而得出 ，从而得出 ．
【详解】（1）∵ ， ，
∴ ≌ ，
∴ ，
故答案为：＝；
（2） ，理由如下：
∵ ， ，
∴ ≌ ，
∴ .
∵ ，
∴ ；
（3） ，理由如下：
∵ ， ， ，
∴ ，
由折叠得： ， ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ≌ ，
∴ ，
∴ ．
3．（23-24八年级上·福建莆田·期中）平面直角坐标系中，点A，C分别是 轴和 轴上的动点，
．(1)如图1，若 ，求点 的坐标
(2)如图2，过点 作 轴，交 轴于点 ，交 的延长线于点F， 交 轴于点 ，若 平分
， ，求点 的纵坐标；
(3)如图3，当点 运动到原点 时， 的平分线交 轴于点 ， 为线段 上一点，将 沿
翻折， 的对应边的延长线交 于点G，H为线段 上一点，且 ，求 的值（用
含 的式子表示）
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）过点B作 轴于点D，通过证明 ，得出 ，即可
求出点B的坐标；
（2）先证明△CAD≌△CBF，得出 ，根据 平分 ， ，得出 ，
即可求出点B的纵坐标；
（3）连接 ，过点E作 于点M，过点E作 于点N，根据折叠的性质和角平分线
的性质推出 ，通过证明 ，得出 ，通过证明
，得出 ，即可得出 ，最后证明 ，得出 ，即可求解 ．
【详解】（1）解：过点B作 轴于点D，
∵ ，
∴ ，
∵ 轴，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 轴，
∴ ，∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴△CAD≌△CBF，
∴ ，
∵ 平分 ， ，
∴ ，
∴点B的纵坐标为 ；
（3）解：连接 ，过点E作 于点M，过点E作 于点N，
由折叠的性质可得： ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∵ 为 的角平分线， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
在 和 中，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴
∴ ．
【点睛】本题主要考查了三角形综合，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，解题的
关键是掌握全等三角形的判定方法，全等三角形对应边相等，对应角相等；折叠前后对应角相等；角平分
线上的点到两边距离相等．
4．（23-24七年级下·河南驻马店·阶段练习）如图，已知 中， ，点 为直
线 上的一动点（点 不与点 、 重合），以AD为边作 ，连接CE．(1)发现问题：如图①，当点 在边 上时．
①请写出 和 之间的数量关系为 ，位置关系为 ；
②求证： ；
(2)尝试探究：如图②，当点 在边 的延长线上且其他条件不变时，（1）中 、 、 之间存在的
数量关系是否成立?若成立，请证明；若不成立，请写出新的数量关系，不证明．
(3)拓展延伸：如图③，当点 在 的
延长线上且其他条件不变时，若 ，求线段 的长．并求 的面积．
【答案】(1)① ， ；②见解析
(2)不成立，存在的数量关系为 ，理由见解析
(3) ，
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质的运用,等腰直角三角形的性质：
（1）①根据条件 ， ， ， ，判定
，即可得出 和 之间的关系；②根据全等三角形的性质，即可得到
；
（2）根据已知条件，判定 ，得出 ，再根据 ，即可得到
；
（3）根据条件判定 ，得出 ，进而得到 ，最后根据
， ，即可求得线段 的长，根据全等三角形的性质以及等腰直角三角形的性质得出
，进而根据三角形的面积公式，即可求解．
【详解】（1）①如图1，由题意， ， ， ， ，
，
，
在 和 中，
，，
， ，
，即 ；
故答案为： ， ；
②由①得 ，
，
；
（2）不成立，存在的数量关系为 ．
理由：如图 ，由 同理可得，
在 和 中，
，
，
，
，
；
（3）如图3，由(1)同理可得，
在 和 中，
，
，
，
，
， ，
．
，，即
．
【考点五 全等三角形中的新定义型综合问题】
例题：（23-24八年级上·河南商丘·期中）阅读下列材料，并完成任务．
筝形的定义：两组邻边分别相等的四边形叫做筝形，几何图形的定义通常可作为图形的性质也可以作为图
形的判定方法．也就是说，如图，若四边形 是一个筝形，则 ， ；若 ，
，则四边形 是筝形．
如图，四边形 是一个筝形，其中 ， ．对角线 ， 相交于点O，过点O作
， ，垂足分别为E，F，求证：四边形 是筝形．
【答案】证明见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，利用 证得 ，可得 ，再利
用 证得 ，可得 ， ，进而可求证结论，熟练掌握全等三角形的判定及性
质是解题的关键．
【详解】证明：在 和 中，
，
，
，
， ，，
在 和 中，
，
，
， ，
四边形 是筝形．
【变式训练】
1．（23-24七年级下·江苏南京·期末）定义：只有一组对角相等的四边形叫做等角四边形．如：在四边形
中，若 ，且 ，则称四边形 为等角四边形，记作 等角四边形．
【初步认识】
（1）如图 ，四边形 是 等角四边形， ， ，则 _____ ；
【继续探索】
（2）如图 ，四边形 是 等角四边形， 平分 ， 平分 ，求证： ；
（1）如图 ，已知 ，点 分别在边 上．在 的内部求作一点 ，使四边形
是 等角四边形，且 ．
（要求：用无刻度直尺和圆规作图，保留作图痕迹，写出必要的文字说明．）
【答案】（1）135；（2）证明见解析；（3）见解析
【分析】（1）由题意得出 ，再由 计算即可得出答案；
（2）设 ，由角平分线的定义得出 ， ，求出，在计算出 ，得出 ，即可得证；
（3）根据等角四边形的定义作图即可．
【详解】（1）解：∵四边形 是 等角四边形， ， ，
∴ ，
∴ ；
（2）证明：∵四边形 是 等角四边形，
∴ ，
设 ，
∵在四边形 中， ，
∴ ，
∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ， ，
∴ ，
∵在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：如图，连接 ，作 ，作射线 ，作 ， ，
、 交于点 ，点 即为所求，
，
∵ ， ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，∴四边形 是 等角四边形，
∴点 即为所求．
【点睛】本题考查了角平分线的定义、作图—设计与应用作图、三角形内角和定理、平行线的判定等知识
点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
2．（23-24八年级下·重庆江津·期中）定义：如图（1），若分别以 的三边 ， ， 为边向三
角形外侧作正方形 ， 和 ，则称这三个正方形为 的外展三叶正方形，其中任意
两个正方形为 的外展双叶正方形．
(1)作 的外展双叶正方形 和 ，记 ， 的面积分别为 和 ；
①如图（2），当 时，求证： ；
②如图（3），当 时， 与 是否仍然相等，请说明理由．
(2)已知 中， ， ，作其外展三叶正方形，记 ， ， 的面积和S，请
利用图（1）探究：当 的度数发生变化时， 的值是否发生变化？若不变，求出 的值；若变化，求
出 的最大值．
【答案】(1)①见解析；②相等，理由见解析
(2)变化，最大值为18
【分析】（1）①由正方形的性质可以得出 ， ， ，即可得出
而得出结论；
②如图3，过点 作 于点 ，过点 作 交 的延长线于点 ，通过证明
就有 而得出结论；（2）根据（1）可以得出 ，要使 最大，就要使 最大，当 时 最大，即可求
出结论．
【详解】（1）解：①证明： 正方形 和正方形 ，
， ， ，
，
，
．
在 和 中，
，
．
，
．
② ．
理由如下：
如图3，过点 作 于点 ，过点 作 交 的延长线于点 ．
．
四边形 ，四边形 均为正方形，
， ，
， ．
．在 和 中，
，
，
．
，
， ，
；
（2） 的值发生变化； 的最大值为18；理由如下：
由（1）得， 是 面积的三倍，
要使 最大，只需 的面积最大，
当 是直角三角形，即 时， 有最大值．
此时， ．
【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定及性质、直角三角形的性质、三角形的面积公式；
本题难度较大，综合性强，证明三角形全等是解决问题的关键．
3．（22-23七年级下·江苏淮安·阶段练习）我们定义：如图1，在 中，把 绕点A顺时针旋转α(
)得到 ，把 绕点A逆时针旋转β得到 ，连接 ．当 时，我们称
是 的“旋补三角形”， 边 上的中线 叫做 的“旋补中线”，点A叫做
“旋补中心”．(1)【探索一】如图1， 是 的“旋补三角形”， 是 的“旋补中线”，探索 与
的数量关系．
在探索这个问题之前，请先阅读材料：
【材料】如图2在 中，若 ， ．求 边上的中线 的取值范围．是这样思考的：延
长 至E，使 ，连结 ．利用全等将边 转化到 ，在 中利用三角形三边关系即可求
出中线 的取值范围．中线 的取值范围是 ．
请仿照上面材料中的方法，猜想图1中 与 的数量关系，并给予证明．
(2)【探索二】如图3，当 时， 是 的“旋补三角形”， ，垂足为点E，
的反向延长线交 于点D，探索 是否是 的“旋补中线”，如果是，请给出证明，如果不是，
请说明理由．
【答案】(1) ； ，证明见解析；
(2) 是 的“旋补中线”， 证明见解析
【分析】（1）材料：三角形三边关系可得 ，进而可得中线 的取值范围；
探索一：延长 至点E使 ，连接 ，证明 ，可得 ，
，求出 ，再证 ，根据全等三角形的性质可得结论；
（2）作 于H，作 交 延长线于F，求出 ，证明 ，
可得 ，同理证明 ，可得 ，求出 ，可证
，根据全等三角形的性质可得 ，然后可得 是 的“旋补中线”．【详解】（1）解：材料：由题意得： ， ， ，
由三角形三边关系可得： ，即 ，
∴ ，
故答案为： ；
探索一： ；
证明：如图1，延长 至点E使 ，连接 ，
∵ 是 的“旋补中线”，
∴ 是 的中线，即 ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ 是 的“旋补中线”，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
（2） 是 的“旋补中线”；
证明：如图，作 于H，作 交 延长线于F，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是 的中线，
∴ 是 的“旋补中线”．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、同角的余角相等，解题的关键是灵活运用所学知识解
决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
