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易错点 14 立体几何中的角
易错点1：异面直线所成的角
1.求异面直线所成角的思路是：通过平移把空间两异面直线转化为同一平面内的相交直线，
进而利用平面几何知识求解，整个求解过程可概括为：一找二证三求。
2.求异面直线所成角的步骤：
①选择适当的点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线，这里的点通常选择特殊位
置斩点。
②求相交直线所成的角，通常是在相应的三角形中进行计算。 ③因为异面直线所成的角
的范围是0°＜θ≤90°，所以在三角形中求的角为钝角时，应取它的补角作为异面直
线所成的角。
3.“补形法”是立体几何中一种常见的方法，通过补形，可将问题转化为易于研究的几何
体来处理，利用“补形法”找两异面直线所成的角也是常用的方法之一。
4.利用向量，设而不找，对于规则几何体中求异面直线所成的角也是常用的方法之一。
易错点2：直线与平面所成的角
1.传统几何方法：
①转化为求斜线与它在平面内的射影所成的角，通过直角三角形求解。
②利用三面角定理（即最小角定理）
cosθ=cosθ ⋅cosθ
求
θ
。
1 2 1
2.向量方法：设⃗n
为平面α 的法向量，直线a与平面α 所成的角为θ，则
π π
{
θ=¿ −¿⃗a,⃗n>,<⃗a,⃗n>∈(0, ]¿¿¿¿
2 2
易错点3：二面角
用向量求二面角大小的基本步骤
1.建立坐标系，写出点与所需向量的坐标；
⃗n
β
⃗n
2.求出平面α 的法向量 1，平面 的法向量 2
3.进行向量运算求出法向量的夹角 ；
4.通过图形特征或已知要求，确定二面角是锐角或钝角，得出问题的结果：
→ → → →
当二面角为锐角时cosθ=| cos ⟨n ,n ⟩| ，为钝角时cosθ=−| cos ⟨n ,n ⟩|
1 2 1 2
题组一：异面直线所成的角
1．（2021年全国高考乙卷数学（文理）试题）在正方体 中，P为
的中点，则直线 与 所成的角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【解析】
如图，连接 ，因为 ∥ ，
所以 或其补角为直线 与 所成的角，
A B C D
因为 平面 ，所以 ，又 ， ，
1 1 1 1
所以 平面 ，所以 ，
设正方体棱长为2，则 ，
，所以 .
故选：D
2.(2018全国卷Ⅱ)在长方体 中， ， ，则异面直
线 与 所成角的余弦值为
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解法一 如图，
E 1 F 1
D
1 C
1
A
1 B
1
E F
D
C
A B
补上一相同的长方体 ，连接 ， ．
易知 ，则 为异面直线 与 所成角．因为在长方体 中， ， ，
所以 ， ，
，
在 中，由余弦定理，得 ，
即异面直线 与 所成角的余弦值为 ，故选C．
解法二 以 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴建立
空间直角坐标系，如图所示．
z
D 1 C 1
A 1 B 1
D C
y
A B
x
由条件可知 ， ， ， ，
所以 ， ，
则由向量夹角公式，得 ，
即异面直线 与 所成角的余弦值为 ，故选C．
3．(2017新课标Ⅱ)已知直三棱柱 中， ， ，
，则异面直线 与 所成角的余弦值为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图所示，把三棱柱补成四棱柱，异面直线 与 所成角为B
A
C
D
B 1 A 1
C D
1 1
,
， ，
∴ ．选C．
4.（2015浙江）如图，三棱锥 中， ， ，
点 分别是 的中点，则异面直线 所成的角的余弦值是 ．
【答案】
【解析】如图连接 ，取 的中点 ，连接 ，则 ．
则异面直线 ， 所成的角为 ，由题意可知 ， ，
∴ ．又 ， ， ，∴ ，
则 ．
题组二：直线与平面所成的角
5. 【2021年浙江卷】如图，在四棱锥 中，底面 是平行四边形，，M，N分别为 的中点，
.
（1）证明： ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值.
【解析】（1）在 中， ， ， ，由余弦定理可得
，
所以 ， ．由题意 且 ，
平面 ，而 平面 ，所以 ，又 ，所以
．
（2）由 ， ，而 与 相交，所以 平面 ，因为
，所以 ，取 中点 ，连接 ，则 两两垂直，
以点 为坐标原点，如图所示，建立空间直角坐标系,
则 ,
又 为 中点，所以 .
由（1）得 平面 ，所以平面 的一个法向量
从而直线 与平面 所成角的正弦值为 ．6.（2020•北京卷）如图，在正方体 中，E为 的中点．
（Ⅱ）求直线 与平面 所成角的正弦值．
【解析】（Ⅱ）以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立如
下图所示的空间直角坐标系 ，
设正方体 的棱长为 ，则 、 、 、
， ， ，
设平面 的法向量为 ，由 ，得 ，
令 ，则 ， ，则 . .因此，直线 与平面 所成角的正弦值为 .
7.（2020年全国2卷）如图，已知三棱柱ABC－ABC 的底面是正三角形，侧面BBC C是
1 1 1 1 1
矩形，M，N分别为BC，BC 的中点，P为AM上一点，过BC 和P的平面交AB于E，交
1 1 1 1
AC于F.
（1）证明：AA∥MN，且平面AAMN⊥EBC F；
1 1 1 1
（2）设O为△ABC 的中心，若AO∥平面EBC F，且AO＝AB，求直线BE与平面
1 1 1 1 1 1
AAMN所成角的正弦值.
1
【解析】（1） 分别为 ， 的中点， ,又 , ,
在 中， 为 中点，则 ,又 侧面 为矩形，
, , ,由 ， 平面 ,
平面 ,又 ，且 平面 ， 平面 ，
平面 ,又 平面 ，且平面 平面 ,
,
,又 平面 , 平面 , 平面 ,
平面 平面 ,
（2）连接 ,
平面 ，平面 平面 , ,
根据三棱柱上下底面平行，其面 平面 ，面 平面
,,故：四边形 是平行四边形,设 边长是 ( ),
可得： ， , 为 的中心，且 边长为
,
,故： , , ,
,解得： ,在 截取 ，故 ,
且 , 四边形 是平行四边形， ,
由（1） 平面 ,故 为 与平面 所成角,
在 ，根据勾股定理可得：
,
直线 与平面 所成角的正弦值： .
8.（2020年新全国1山东）如图，四棱锥P－ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．
设平面PAD与平面PBC的交线为l．
（1）证明：l⊥平面PDC；
（2）已知PD＝AD＝1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．
【解析】（1）证明： 在正方形 中， ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
又因为 平面 ，平面 平面 ，所以 ，
因为在四棱锥 中，底面 是正方形，所以
且 平面 ，所以 因为 所以 平面 ；
（2）如图建立空间直角坐标系 ，因为 ，则有 ，
设 ，则有 ，
设平面 的法向量为 ，则 ，即 ，
令 ，则 ，所以平面 的一个法向量为 ，则
根据直线的方向向量与平面法向量所成角的余弦值的绝对值即为直线与平面所成角的正弦
值，所以直线与平面所成角的正弦值等于
，当且仅
当 时取等号，
所以直线 与平面 所成角的正弦值的最大值为 .
题组三：二面角
9. 【2021年乙卷】如图，四棱锥 的底面是矩形， 底面 ，
， 为 的中点，且 ．
（1）求 ；
（2）求二面角 的正弦值．【解析】（1） 平面 ，四边形 为矩形，不妨以点 为坐标原点，
、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立如下图所示的空间直角坐标系 ，
设 ，则 、 、 、 、 ，
则 ， ，
，则 ，解得 ，故 ；
（2）设平面 法向量为 ，则 ，
的
，
由 ，取 ，可得 ，
设平面 的法向量为 ， ， ，
由 ，取 ，可得 ，
，
所以， ，
因此，二面角 的正弦值为 .
10. 【2021年甲卷】已知直三棱柱 中，侧面 为正方形，，E，F分别为 和 的中点，D为棱 上的点．
（1）证明： ；
（2）当 为何值时，面 与面 所成的二面角的正弦值最小?
【解析】因为三棱柱 是直三棱柱，所以 底面 ，所以
因为 ， ，所以 ，
又 ，所以 平面 ．
所以 两两垂直．
以 为坐标原点，分别以 所在直线为 轴建立空间直角坐标系，如图．
所以 ，
．
由题设 （ ）．
（1）因为 ，所以 ，所以 ．
（2）设平面 的法向量为 ，
因为 ，
所以 ，即 ．
令 ，则
因为平面 的法向量为 ，
设平面 与平面 的二面角的平面角为 ，
则 ．
当 时， 取最小值为 ，
此时 取最大值为 ．
所以 ，
此时 ．
11.（2020•全国1卷）如图， 为圆锥的顶点， 是圆锥底面的圆心， 为底面直径，
． 是底面的内接正三角形， 为 上一点， ．
（1）证明： 平面 ；
（2）求二面角 的余弦值．
【解析】（1）略；（2）过O作 ∥BC交AB于点N，因为 平面 ，以O为坐标原点，OA为x轴，
ON为y轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ，
， ， ，
设平面 的一个法向量为 ，
由 ，得 ，令 ，得 ，
所以 ，设平面 的一个法向量为
由 ，得 ，令 ，得 ，
所以 故 ，
设二面角 的大小为 ，则 .
x2 y2
+ =1
4 3
12.（2020•全国3卷）如图，在长方体 中，点 分别在棱
上，且 ， ．（1）证明：点 在平面 内；
（2）若 ， ， ，求二面角 的正弦值．
【解析】（1）在棱 上取点 ，使得 ，连接 、 、 、 ，
在长方体 中， 且 ， 且 ，
， ， 且 ，
所以，四边形 为平行四边形，则 且 ，
同理可证四边形 为平行四边形， 且 ，
且 ，则四边形 为平行四边形，
因此，点 在平面 内；
（2）以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立如下图所
示的空间直角坐标系 ，
则 、 、 、 ，
， ， ， ，
设平面 的法向量为 ，
由 ，得 取 ，得 ，则 ，
设平面 的法向量为 ，
由 ，得 ，取 ，得 ， ，则 ，，
设二面角 的平面角为 ，则 ， .
因此，二面角 的正弦值为
1．如图在直三棱柱 中， 为等腰直角三角形，且 ，
则异面直线 与 所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】将直三棱柱 补成如图示的长方体，
则底面 为正方形，边长为1，连接 ,则 ,
故 为所求角或其补角，连接 ,在 中， ,
故 ,
故选：B.
2．如图，圆锥的底面直径 ，其侧面展开图为半圆，底面圆的弦 ， 则异面直
线 与 所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】圆锥底面周长为 ，又其侧面展开图为半圆，则圆锥母线长
直角三角形 中， ， , ，则
分别取 、 、 的中点M、N、P，连接 、 、 、 、
又由O为 中点，则 ， ，
则 为异面直线 与 所成角或其补角.
由 ，可知 平面 ，则在△ 中， , ， ，则
在△ 中， ， ，
则
则异面直线 与 所成角的余弦值为
故选：C
3．在长方体 中， 和 与底面所成的角分别为30°和45°，异面直线
和 所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】连接 ，则 ∥ ，所以 为异面直线 和 所成角，
因为在长方体 中， 和 与底面所成的角分别为30°和45°，
所以 ，
设 ，则 ，所以 ， ，
在 中，由余弦定理得，
，
所以异面直线 和 所成角的余弦值为 ，
故选：B
4．（多选题）已知正方体 ，P是棱 的中点，以下说法正确的是（
）A．过点P有且只有一条直线与直线AB， 都相交
B．过点P有且只有一条直线与直线AB， 都平行
C．过点P有且只有一条直线与直线AB， 都垂直
D．过点P有且只有一条直线与直线AB， 所成角均为45°
【答案】AC
【解析】选项A.过点P与直线AB相交的直线必在平面PAB内，
过点P与直线 相交的直线必在平面 内，故满足条件的直线必为两平面的交线，
显然两平面有唯一交线，A正确；
选项B.若存在一条直线与 ， 都平行，则 ，矛盾，B不正确；
C选项.因为 ，若 则 ，若 ，则 平面 ，
显然满足条件的直线唯一，即 ，C正确；
D选项.取 ， 的中点E，F，连PE，PF，则 ， ，
若l与直线 ， 所成角为45°，则l与PE，PF所成角为45°，
显然 的角平分线及其外角平分线均符合，D不正确.
故选：AC
5．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”.
在如图所示的“阳马” 中，侧棱 底面 ， ，点 是 的中
点，作 交 于点 .(1)求证： 平面 ；
(2)若平面 与平面 所成的二面角为 ，求 .
【解析】(1)设 ， ，如图，以 为坐标原点， 所在方
向分别为 ， ， 轴的正半轴，建立空间直角坐标系.
则 ， ， ， ，因为点 是 的中点，所以 ，
， ，于是 ，即 ，又已知 ，而
，所以 平面 .
(2)由 平面 ，所以 是平面 的一个法向量；
由（1）知， 平面 ，所以 是平面 的一个法向量.
若面 与面 所成二面角的大小为 ，则 ，解
得 .所以 ，故当面 与面 所成二面角的大小为 时，
.
6．在矩形ABCD中，AB=2，AD= ，E是DC中点，连接AE，将△ADE沿AE折起，使
得点D移动至点P，满足平面PAE⊥平面ABCE.(1)求证：AE⊥BP；
(2)求二面角E-CP-B的余弦值.
【解析】(1)
证明：在矩形 中，连接 ，记
∴BD=√6,AE=√3.
2√3 √3 2√6 √6
∴AF= ,FE= ,BF= ,FD= .
3 3 3 3
∴AE⊥FD,AE⊥FB,AF=2FE
在四棱锥 中，线段 取点 满足
∵AE⊥OP,AE⊥OB,OP∩OB=O,
∴AE⊥平面BOP. ∵BP⊂平面BOD,∴AE⊥BP.
(2)
如图所示
2√3 2√6 √6 √3
∴以OA、OB、OP分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,∴A( ,0,0),B(0, ,0),P(0,0, ),E(− ,0,0).
3 3 3 32√3 √6 2√3 √6 √6 √3 √6
∴⃑BC=(− ,− ,0),⃑CP=( ,− , ),⃑PE=(− ,0,− ),
3 3 3 3 3 3 3
设平面 的法向量为
设平面 的法向量
{ √3 √6
− x− z=0,
{⃑PE⋅⃑n =0, 3 3
∴ 2 ∴
⃑CP⋅⃑n =0. 2√3 √6 √6
2 x− y+ z=0.
3 3 3
设二面角 的大小为
⃑n ⋅⃑n 2−2+4 √22
∴|cosθ|= 1 2 = = .
|⃑n||⃑n | √1+2+8×√4+2+2 11
1 2
√22
的余弦值为− .
11
7．如图所示，在四棱锥 中， 底面 ， ， ，
， 是 的中点．
(1)求证： 平面 ；
(2)若 ，求二面角 的余弦值．
【解析】(1)证明：取 中点 ，连接 ， ，如图，则由中位线可知 ，又 ，故 ，而 ，
∴四边形 是平行四边形，∴ ，又 平面 ， 平面 ，∴
平面 .
(2)∵ 平面 ，故 .
在直角梯形 中， ， ， ，
∴ .∵ ，∴ .
∴ 平面 ， 平面 ，则 ，
又 底面 ， 平面 ，则 ，由二面角的定义可知， 即为
二面角 的平面角，又 ， ，由余弦定理，
8．已知三棱锥 （如图一）及其展开图（如图二），四边形ABCD为边长等于
的正方形， 和 均为正三角形.
(1)证明：平面 平面ABC；
(2)若点M在棱PA上运动，当直线BM与平面PAC所成的角最大时，求点M到平面PBC的
距离.
【解析】(1)证明：设AC的中点为O，连接BO，PO.由题意，得 ， ， .
∵在 中， ，O为AC的中点，∴ ，
∵在 中， ， ， ， ，∴ .
又∵ ，AC， 平面ABC，∴ 平面ABC，
∵ 平面PAC，∴平面 平面ABC.
(2)连接 ，如图，
由（1）知， ， ， 平面PAC，
∴ 是直线BM与平面PAC所成的角，且 ，
∴当OM最短时， 最大，
即当M是PA的中点时，直线BM与平面PAC所成的角最大，
设点M到平面PBC的距离为h，
由 可得 ,
因为M是PA的中点，所以 ，
∵ ，∴ ，即
，即点M到平面PBC的距离为 .
9．如图，四棱锥 的底面是平行四边形， 平面 ， ， 是
的中点．(1)证明： 平面 ；
(2)若 ，求直线 与平面 所成角的大小．
【解析】(1)证明：连接 交 于点 ,连接 .
因为 所以 .
又 平面 ， 平面 ,
所以 平面 .
(2)解：设 ，
因为 平面 ，所以 .
因为 ，所以 .
因为 .
因为 ,
又 平面 ,
所以 平面 ,
所以 就是直线 与平面 所成的角，由题得
所以直线 与平面 所成的角为 .
10．如图，在直三棱柱 中， ， ， ，M是 的中点，
.
(1)求 的长；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值.
【解析】(1)取 中点 ，连接 ， ，则 ，
∵ 平面ABC，∴ ，
又 ， 平面 ，
∴ 平面 ，
故 平面 ，AN即为AM在平面 内的射影，
又 ，∴ ，
故 ，∴ ，而 ，
∴ ；(2)
解：连接 ，由（1）知 平面 ，
故 为直线 与平面 所成角，
， ，∴ ，
即所求角的正弦值为 .
