文档内容
易错点 18 抛物线
易错点1：主观认为抛物线的顶点就是原点;
易错点2：忽视抛物线的变化趋势,只从图形的局部,乱下结论;
易错点3：在使用抛物线的焦半径公式时,错把纵坐标写成横坐标;
易错点4：解决直线与抛物线综合题时,忽略对直线斜率不存在情况的讨论;
易错点5：在解有关直线与抛物线的位置关系的问题
必记结论
直线AB过抛物线 的焦点，交抛物线于A(x，y)，B(x，y)两
1 1 2 2
点，如图：更多免费资源，关注公众号拾穗者的杂货铺
（1）yy＝－p2，xx＝.
1 2 1 2
（2）|AB|＝x＋x＋p，x＋x≥ ＝p，即当x＝x
1 2 1 2 1 2
时，弦长最短为2p.
（3）＋为定值.
（4）弦长AB＝(α为AB的倾斜角)．
（5）以AB为直径的圆与准线相切。
（6）以AF为直径的圆与y轴相切．
（7）焦点F对A，B在准线上射影的张角为90°.
题组一：定义和标准方程
1.（2021新高考2卷）抛物线 的焦点到直线 的距离为 ，则
（ ）
A.1 B.2 C. D.4
x2 y2
1
y2 2px(p0) 3p p
2.(2019年高考全国Ⅱ卷理数)若抛物线 的焦点是椭圆 的一个焦
点，则p=( ）
A．2 B．3 C．4 D．8
3．（2021北京）已知抛物线 ， 的焦点为 ，点 在曲线 上，且
，则 的横坐标是________；作 轴于 ， =________．
4．（2021新高考1卷）已知 O 为坐标原点，抛物线 C:y2 =2px(p>0) 的焦点为F，P
为 C 上一点， PF 与x轴垂直， Q 为x轴上一点，且 PQ⊥OP ．若 |FQ|=6 ，则 C 的准
线方程为 .题组二：抛物线的简单几何性质及其应用
5．【2020全国Ⅰ卷】已知 为抛物线 上一点，点 到 的焦点的
距离为 ，到 轴的距离为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
6．（2020北京卷）设抛物线的顶点为 ，焦点为 ，准线为 ． 是抛物线上异于 的
一点，过 作 于 ，则线段 的垂直平分线（ ）
A．经过点 B．经过点
C．平行于直线 D．垂直于直线
7.(2018全国1卷)设抛物线 ： 的焦点为 ，过点 且斜率为 的直线与
交于 ， 两点，则 =( )
A．5 B．6 C．7 D．8
8.（2017新课标Ⅱ）已知F是抛物线 ： 的焦点，M是 上一点，FM的延长线交
轴于点N．若M为FN的中点，则 ．
题组三：焦点弦问题
9.（2018全国2卷）设抛物线C:y2=4x的焦点为F，过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于
A，B两点，|AB|=8．则 的方程是______________.
10.（2019全国1卷）已知抛物线 的焦点为 ，斜率为 的直线 与 的交点
为 ， ，与 轴的交点为 , ，则 的方程是_______________.
11．（2018全国3卷）已知点M(-1,1)和抛物线C:y2=4x，过C的焦点且斜率为k的直线与
C交于A,B两点．若∠AMB=900，则k=________．
更多免费资源，关注公众号拾穗者的杂货铺
12.（2014全国2卷）设F为抛物线C: 的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于
A,B两点，O为坐标原点，则 的面积为______.
题组四：抛物线中的最值问题
13.（2017全国1卷）已知 为抛物线 的焦点，过 作两条互相垂直的直线
，直线 与 交于A、B两点，直线 与 交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值
为（ ）A．16 B．14 C．12 D．10
14.（2021 全国乙卷理）已知抛物线 的焦点为 ，且 与圆
上的点的最短距离为4.
（1）求 ；
（2）若点 在 上， 为 的切线，切点为 ，求 面积的最大值.
15. （2021全国乙卷文）已知抛物线 : 的焦点 到准线的距离为2.
（1）求 的方程；
（2）已知 为坐标原点，点 在 上，点 满足 ，求直线 斜率的最大值．
y2 =2px(p≥0)
1.设抛物线 的焦点为 ，点M在C上，｜MF｜＝5，若以MF为直径的圆
过点（0,2），则C的方程为（ ）
y2 =4x y2 =8x y2 =2x y2 =8x
A. 或 B. 或
y2 =4x y2 =16x y2 =2x y2 =16x
C. 或 D. 或
2.以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的准线于D、E两点.已知|AB|=
，|DE|= ，则C的焦点到准线的距离为（ ）.
A．2 B．4 C．6 D．8
3.已知直线 过抛物线 的焦点，且与 的对称轴垂直， 与 交于 ， 两点，
， 为 的准线上一点，则 的面积为（ ）
A．18 B．24 C．36 D．48
4．过抛物线 的焦点 ，且斜率为 的直线交 于点 （ 在 的轴上
方）， 为 的准线，点 在 上且 ，则 到直线 的距离为
A． B． C． D．
5．已知 ，抛物线 ： 的焦点为 ， 与抛物线 在第一象限的交
点为 ，且 ，则 （ ）．
A．1 B．2 C．3 D．46.已知抛物线 ： 的焦点为 ，准线为 ， 是 上一点， 是直线 与 的
一个交点，若 ，则 =_______.
7.设抛物线 的焦点为 ，准线为 ， ，已知以 为圆心，
为半径的圆 交 于
两点；若∠BFD=900 ，ΔABD
的面积为
4√2
；则 的值为
________.
更多免费资源，关注公众号拾穗者的杂货铺
8．斜率为 的直线过抛物线 的焦点，且与 交于 ， 两点，则
__________．
9.已知A、B是抛物线 上的两点，直线AB垂直于 轴，F为抛物线的焦
点，射线BF交抛物线的准线于点C，且 的面积为 ，则p
的值为____.
10.已知点 及抛物线 上的动点 ,则 的最小值是_____.
