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2023届高考数学三轮冲刺保温练卷：直线与圆锥曲线
一、选择题（共20小题；）
1. 抛物线 x2=6 y 的准线方程为 ()
1 1 3 3
A. x= B. y=− C. x= D. y=−
24 24 2 2
2. 抛物线方程为 7x+8 y2=0，则其焦点坐标为 ()
( 7 ) ( 7 ) ( 7 ) ( 7 )
A. ,0 B. − ,0 C. 0,− D. 0,−
16 32 32 16
x2 y2
3. 已知对 k∈R，直线 y−kx−1=0 与椭圆 + =1 恒有公共点，则实数 m 的取值范围是
5 m
()
A. (0,1) B. (0,5)
C. [1,5)∪(5,+∞) D. [1,5)
4. 已知过点 P 且与抛物线 y2=2x 只有一个公共点的直线有且只有一条，则点 P 可以是 ()
A. P(2,1) B. P(0,2) C. P(2,2) D. P(2,−2)
5. 过点 (0,1) 且与抛物线 y2=4x 只有一个公共点的直线有 ()
A. 1 条 B. 2 条 C. 3 条 D. 0 条
6. 从抛物线 y2=4x 在第一象限内的一点 P 引抛物线准线的垂线，垂足为 M，且 ∣PM∣=9，
设抛物线的焦点为 F，则直线 PF 的斜率为 ()
6√2 18√2 4√2 2√2
A. B. C. D.
7 7 7 7
7. 过抛物线 y2=4x 的焦点 F 的直线交抛物线于 A，B 两点，点 O 是坐标原点，若
∣AF∣=5，则 △AOB 的面积为 ()
5 3 17
A. 5 B. C. D.
2 2 8
8. 已知点 P 在抛物线 y2=4x 上，那么点 P 到点 Q(2,−1) 的距离与点 P 到抛物线焦点距离
之和取得最小值时，点 P 的坐标为 ()
(1 ) (1 )
A. ,−1 B. ,1 C. (1,2) D. (1,−2)
4 4
9. 过抛物线 y2=4x 的焦点作直线交抛物线于 A(x ,y ) B(x ,y ) 两点，如果 x +x =6，那
1 1 2 2 1 2
么 ∣AB∣= ()
A. 6 B. 8 C. 9 D. 10
10. 抛物线 y2=4x 的焦点为 F，点 P(x,y) 为该抛物线上的动点，若点 A(−1,0)，则
∣PF∣
的最小值是 ()
∣PA∣1 √2 √3 2√2
A. B. C. D.
2 2 2 3
11. 已知抛物线 C:y2=4x，直线 y=x−1 与 C 相交于 A， B 两点，与双曲线
x2 y2
E: − =1(a>0,b>0) 的渐近线相交于 M，N 两点，若线段 AB 与 MN 的中点相同，
a2 b2
则双曲线 E 离心率为 ()
√6 √15
A. B. 2 C. D. √3
3 3
12. 已知点 P 是抛物线 y2=4x 上的一个动点，则点 P 到点 A(0,2) 的距离与 P 到该抛物线准
线的距离之和的最小值为 ()
3 9
A. B. 3 C. √5 D.
2 2
y2
13. 设 F ， F 是 双 曲 线 x2− =1 的 两 个 焦 点 ， P 是 双 曲 线 上 的 一 点 ， 且
1 2 24
3∣PF ∣=4∣PF ∣ ，则 △PF F 的面积等于 ()
1 2 1 2
A. 4√2 B. 8√3 C. 24 D. 48
x2 y2
14. 过双曲线 − =1(a>0,b>0) 的右焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A，B 两点，
a2 b2
3
与双曲线的渐近线交于 C，D 两点，若 ∣AB∣≥ ∣CD∣，则双曲线离心率的取值范围
5
为 ()
[5 ) [5 ) ( 5] ( 5]
A. ,+∞ B. ,+∞ C. 1, D. 1,
3 4 3 4
15. 过双曲线 x2−y2=4 上任意一点 M(x ,y ) 作它的一条渐近线的垂线段，垂足为 N，O 为
0 0
坐标原点，则 △MON 的面积是 ()
A. 1 B. 2 C. 4 D. 不确定
16. 已知抛物线 y2=8x 的焦点弦 AB 的两端点 A(x ,y )，B(x ,y )，则 y y = ()
1 1 2 2 1 2
A. −16 B. 16 C. −8 D. 8
17. 已知抛物线 x2=4 y，直线 y=k（k 为常数）与抛物线交于 A,B 两个不同点，若在抛物线上
存在一点 P（不与 A,B 重合），满足 ⃗PA⋅⃗PB=0，则实数 k 的取值范围为 ()
A. k≥2 B. k≥4 C. 00) 的焦点到准线的距离为 2，则直线 y=x+1 截抛物线所得的弦长等
于 ．
x2 y2
24. 已知椭圆 C: + =1 的右焦点为 F(1,0)，上顶点为 B，则 B 的坐标为
4 m
，直线 MN 与椭圆 C 交于 M，N 两点，且 △BMN 的重心恰为点 F，则直线 MN 斜
率为 ．
25. 如图，过抛物线 y2=4x 的焦点 F 作直线，与抛物线及其准线分别交于 A，B，C 三点，若
⃗FC=4⃗FB，则 ∣⃗AB∣= ．
三、解答题（共5小题；）
26. （1）已知椭圆长轴的两个端点到左焦点的距离分别是 2 和 4，求椭圆的离心率；
（2）设 F 是椭圆的一个焦点，B B 是短轴，∠B FB＝60∘，求椭圆的离心率．
1 1
27. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A(8,−4)，P(2,t)(t<0) 在抛物线 y2=2px(p>0) 上．（1）求 p，t 的值；
（2）过点 P 作 PM 垂直于 x 轴，M 为垂足，直线 AM 与抛物线的另一交点为 B，点 C
在直线 AM 上，若 PA，PB，PC 的斜率分别为 k ，k ，k ，且 k +k =2k ，求点 C
1 2 3 1 2 3
的坐标．
x2 y2
28. 椭圆 + (a>b>0) 与直线 x+ y−1=0 相交于两点 P，Q，且 OP⊥OQ （ O 为原
a2 b2
点）．
1 1
（1）求 + 的值；
a2 b2
[√3 √2]
（2）当椭圆离心率在 , 上变化时，求椭圆长轴长的取值范围．
3 2
x2 y2
29. 已知椭圆 C: + =1(a>b>0) 的左右焦点为 F ，F ，离心率为 e，直线 l:y=ex+a 与
a2 b2 1 2
x 轴、 y 轴分别交于 A，B，点 M 是直线 l 与椭圆 C 的一个公共点，设 ⃗AM=λ⃗AB．
（1）证明：λ=1−e2；
3
（2）若 λ= ，△M F F 的周长为 6，写出椭圆 C 的方程．
4 1 2
x2 y2 √2
30. 如图，椭圆 E： + =1(a>b>0) 经过点 A(0,−1)，且离心率为 ．
a2 b2 2
（1）求椭圆 E 的方程；
（2）经过点 (1,1)，且斜率为 k 的直线与椭圆 E 交于不同的两点 P，Q（均异于点 A），
证明：直线 AP 与 AQ 的斜率之和为 2．答案
p 1 1 3
1. D 【解析】已知抛物线的方程为 x2=6 y，焦点在 y 轴正半轴上，且 = ×(2p)= ×6= ，
2 4 4 2
3
所以抛物线的准线方程为 y=− ．
2
7
2. B 【解析】将已知抛物线的方程化为 y2=− x，焦点在 x 轴非正半轴上，且
8
p 1 1 7 7 ( 7 )
= (2p)= × = ，所以抛物线的焦点坐标为 − ,0 ．
2 4 4 8 32 32
x2 y2
3. C 【解析】直线 y=kx+1 过定点 (0,1)，于是只要点 (0,1) 不在椭圆 + =1 的外部即可，
5 m
故 m≥1．
x2 y2
又因为椭圆 + =1 中 m≠5，所以 m 的取值范围是 [1,5)∪(5,+∞)．
5 m
4. A
5. C
6. C 【解析】设 P(x ,y )，由抛物线 y2=4x，可知其焦点 F 的坐标为 (1,0)，
0 0
故 ∣PM∣=x +1=9，解得 x =8，故 P 点坐标为 (8,4√2)，
0 0
0−4√2 4√2
所以 k = = ．
PF 1−8 7
7. B
8. A 【解析】
如图，因为点 Q(2,−1) 在抛物线的内部，由抛物线的定义，∣PF∣ 等于点 P 到准线 x=−1 的
距离．过 Q 作 x=−1 的垂线 QH 交抛物线于点 K，则点 K 为取最小值时的所求点．当 y=−1
1 (1 )
时，由 1=4x 得 x= ．所以点 P 的坐标为 ,−1 ．
4 4
9. B 【解析】由题意，p=2，故抛物线的准线方程是 x=−1，
因为抛物线 y2=4x 的焦点作直线交抛物线于 A(x ,y ) B(x ,y ) 两点
1 1 2 2
所以 ∣AB∣=x +x +2，
1 2
又 x +x =6
1 2
所以 ∣AB∣=x +x +2=8
1 2
10. B【解析】抛物线 y2=4x 的准线方程为 x=−1，如图，过 P 作 PN 垂直直线 x=−1 于 N，由抛
物线的定义可知 ∣PF∣=∣PN∣，连接 PA，
∣PN∣
在 Rt△PAN 中，sin∠PAN= ，
∣PA∣
∣PN∣ ∣PF∣
当 = 最小时，sin∠PAN 最小，
∣PA∣ ∣PA∣
即 ∠PAN 最小，即 ∠PAF 最大，
此时，PA 为抛物线的切线，设 PA 的方程为 y=k(x+1)，
{y=k(x+1),
联立 得 k2x2+(2k2−4)x+k2=0，
y2=4x,
所以 Δ=(2k2−4) 2 −4k4=0，解得 k=±1，
∣PF∣ ∣PN∣ √2
所以 ∠PAF=∠NPA=45∘， = =cos∠NPA= ．
∣PA∣ ∣PA∣ 2
11. C
12. C 【解析】过点 P 作准线的垂线，垂足为 Q，由抛物线的定义知 ∣PQ∣=∣PF∣，
所以 ∣PA∣+∣PQ∣=∣PA∣+∣PF∣≥∣AF∣=√5．
13. C 【解析】F (−5,0)，F (5,0)，∣F F ∣=10 ，
1 2 1 2
4
因为 3∣PF ∣=4∣PF ∣ ，所以设 ∣PF ∣=x ，则 ∣PF ∣= x ，
1 2 2 1 3
4
由双曲线的性质知 x−x=2，解得 x=6，
3
所以 ∣PF ∣=8，∣PF ∣6 ，所以 ∠F PF =90∘ ，
1 2 1 2
1
所以 △PF F 的面积= ×8×6=24 .
1 2 2
x2 y2 b2
14. B 【解析】将 x=c 代入 − =1 得 y=± ，
a2 b2 a
(
b2
) (
b2
)
不妨取 A c, ，B c,− ，
a a
2b2
所以 ∣AB∣= ．
a
b bc
将 x=c 代入双曲线的渐近线方程 y=± x，得 y=± ，
a a( bc) ( bc)
不妨取 C c, ，D c,− ，
a a
2bc
所以 ∣CD∣= ．
a
3
因为 ∣AB∣≥ ∣CD∣，
5
2b2 3 2bc
所以 ≥ × ，
a 5 a
3
即 b≥ c，
5
9
则
b2≥ c2
，
25
9
即
c2−a2≥ c2
，
25
16
即
c2≥a2
，
25
25
所以
e2≥
，
16
5
所以 e≥ ．
4
15. A
16. A 【解析】设直线 AB 的方程为 x=ty+2，代入 y2=8x，得 y2−8ty−16=0，则
y y =−16．
1 2
17. B 【解析】满足 ⃗PA⋅⃗PB=0 的 P 点都在圆 x2+(y−k) 2=4k 上，只需 x2=4 y 与圆有除 A
、 B 外的交点即满足题意，联立两式有 (y−k)[y−(k−4)]=0．当 y=k 时交点为 A 、 B．故另
一根 k−4 必须大于或等于零．解得 k≥4．
( 1)
18. A 【解析】由题意得点 F 坐标为 0, ，设点 M 的坐标 (x ,y )，点 N 的坐标 (a,0)，
8 0 0
( 1)
所以向量：⃗FM= x ,y − ，⃗MN=(a−x ,−y )，
0 0 8 0 0
1 1
由向量线性关系可得：3x =a，2y − =−y ，解得：y = ，
0 0 4 0 0 12
√6 √6
代入抛物线方程可得：x =± ，则 a=± ，
0 12 4
5
由两点之间的距离公式可得：∣⃗FN∣= ．
8
19. A 【解析】如图，设点 A，P 的坐标分别为 (m,n)，(x,x−1)，则点 B 的坐标为 (2m−x,2n−x+1)．
因为 A，B 在 y=x2 上，
{ n=m2,
所以
2n−x+1=(2m−x) 2.
消去 n，整理，得关于 x 的方程 x2−(4m−1)x+2m2−1=0.⋯⋯①
因为 Δ=(4m−1) 2−4(2m2−1)=8m2−8m+5>0 恒成立，
所以方程 ① 恒有实数解，所以应选A．
20. A
【解析】设直线 l:2x+ y−4=0，
1
因为 ∣OC∣= ∣AB∣=d ，其中 d 为点 C 到直线 l 的距离，
2 1 1
所以圆心 C 的轨迹为以 O 为焦点，l 为准线的抛物线．
1 1 4 2
圆 C 半径最小值为 d = × = ，其中 d 为点 O 到直线 l 的距离，圆 C 的面积的最小
2 2 2 √5 √5 2
( 2 ) 2 4π
值为 π = ．
√5 5
5
21.
4
22. k<−√2 或 k>√223. 8
1
【解析】由题设知 p= =2，
2a
1
所以 a= ．
4
1
抛物线方程为 y= x2 ，焦点为 F(0,1)，准线为 y=−1．
4
{ y= 1 x2,
联立 4 消去 x，整理得 y2−6 y+1=0，
y=x+1
所以 y + y =6，
1 2
因为直线过焦点 F，
所以所得弦 ∣AB∣=∣AF∣+∣BF∣= y +1+ y +1=8．
1 2
3√3
24. (0,√3)，
4
x2 y2
【解析】空 1：因为 C: + =1 右焦点为 F(1,0)，
4 m
所以有 4>m>0 且 a=2，b=√m，c=1，
而 a2=b2+c2，所以 4=m+1⇒m=3，
因此椭圆上顶点的坐标为：(0,√3)；
空 2：设直线 MN 的方程为：y=kx+m，
x2 y2
由（1）可知：椭圆的标准方程为： + =1，
4 3
{x2 y2
+ =1,
直线方程与椭圆方程联立： 4 3
y=kx+m,
化简得：(3+4k2)x2+8kmx+4m2−12=0，
设 M(x ,y )，N(x ,y )，线段 MN 的中点为 D，
1 1 2 2
−8km 6m
于是有：x +x = ，y + y =k(x +x )+2m= ，
1 2 3+4k2 1 2 1 2 3+4k2
(−4km 3m )
所以 D 点坐标为： ，
3+4k2 3+4k2
因为 △BMN 的重心恰为点 F，所以有 ⃗BF=2⃗FD，
(−4km 3m )
即 (1,−√3)=2 −1, ，
3+4k2 3+4k2{ 2 (−4km −1 ) =1, { −4km = 3 , ⋯⋯①
3+4k2 3+4k2 2
因此有： ⇒
3m 6m
2⋅ =−√3 =−√3. ⋯⋯②
3+4k2 3+4k2
3 3√3
① ÷ ②得：k= √3，所以直线 MN 斜率为 ．
4 4
9
25.
2
【解析】分别过 A，B 作准线的垂线，垂足分别为 A ，B ，
1 1
则 DF=p=2，由抛物线的定义可知 FB=BB ，AF=A A ，
1 1
DF FC 4
因为 ⃗FC=4⃗FB，所以 = = ，
BB BC 3
1
3
所以 FB=BB = ．
1 2
所以 FC=4FB=6，
DF 1
所以 cos∠DFC= = ，
FC 3
A A AF 1
所以 cos∠A AC= 1= = ，解得 AF=3，
1 AC AF+6 3
3 9
所以 AB=AF+BF=3+ = ．
2 2{a−c=2,
26. （1） 依题意得
a+c=4,
解得 a=3，c=1，
c 1
则离心率 e= = ．
a 3
c √3
（2） e= =cos30∘= ．
a 2
27. （1） 将点 A(8,−4) 代入 y2=2px，得 p=1．
将点 P(2,t) 代入 y2=2x，得 t=±2．
因为 t<0，
所以 t=−2．
2 4
（2） 由题意知，点 M 的坐标为 (2,0)，直线 AM 的方程为 y=− x+ ．
3 3
{ 2 4
y=− x+ ,
联立 3 3
y2=2x,
(1 )
解得 B ,1 ，
2
1 7 7 1
所以 k =− ，k =−2，代入 k +k =2k ，得 k =− ，故直线 PC 的方程为 y=− x+ ，联
1 3 2 1 2 3 3 6 6 3
2 4
{y=− x+ ,
3 3
立
7 1
y=− x+ ,
6 3
( 8)
解得 C −2, ．
3
{x+ y−1=0,
28. （1） 由 x2 y2 消去 y 得 (a2+b2)x2−2a2x+a2−a2b2=0 .
+ =1,
a2 b2
{
2a2
x +x = ,
1 2 a2+b2
设 P(x,y)，Q(x ,y )，则
2 2 a2−a2b2
x x = .
1 2 a2+b2
因为 OP⊥OQ ，所以 k ⋅k =−1，即 x x + y y =0，
OP OQ 1 2 1 2
所以 x x +(1−x )(1−x )=0 ，
1 2 1 2
2a2 a2−a2b2
1−(x +x )+2x x =0，1− +2 =0 .
1 2 1 2 a2+b2 a2+b2
1 1
所以 a2+b2−2a2b2=0 ，即 + =2 .
a2 b2√3 √2 1 1 1 c2 1
（2） 因为 ≤e≤ ，所以 ≤e2≤ ，即 ≤ ≤ ，
3 2 3 2 3 a2 2
1 a2−b2 1 a2 1 1 1
所以 ≤ ≤ ．又由（1）知 b2= ， ≤1− ≤ 得 √5≤a≤√6．
3 a2 2 2a2−1 3 2a2−1 2
29. （1） 因为 A，B 分别是直线 l:y=ex+a 与 x 轴、 y 轴的交点，
( a )
所以 A − ,0 ，B(0,a)，
e
{ y=ex+a {x=−c
由 x2 y2 解得 b2，这里 c=√a2−b2．
+ =1 y=
a2 b2 a
(
b2
)
所以 M 的坐标为 −c, ，
a
由 ⃗AM=λ⃗AB，
( a b2 ) (a )
得 −c+ , =λ ,a ，
e a e
a a
{ −c=λ⋅ ,
e e
即 解得 λ=1−e2．
b2
=λa,
a
3 1
（2） 当 λ= 时，e= ，
4 2
所以 a=2c，
由 △M F F 的周长为 6，得 2a+2c=6，
1 2
所以 a=2，c=1，b2=a2−c2=3，
x2 y2
所以所求椭圆方程为 + =1．
4 3
c √2
30. （1） 由题设知 = ，b=1，结合 a2=b2+c2，解得 a=√2．
a 2
x2
所以椭圆 E 的方程为 + y2=1．
2
x2
（2） 由题设知，直线 PQ 的方程为 y=k(x−1)+1(k≠2)，代入 + y2=1，得
2
(1+2k2)x2−4k(k−1)x+2k(k−2)=0.
由已知 Δ>0，设 P(x ,y )，Q(x ,y )，x x ≠0，则
1 1 2 2 1 2
4k(k−1) 2k(k−2)
x +x = ,x x = .
1 2 1+2k2 1 2 1+2k2
从而直线 AP，AQ 的斜率之和为y +1 y +1
k +k = 1 + 2
AP AQ x x
1 2
( 1 1 )
¿ =2k+(2−k) +
x x
1 2
4k(k−1)
¿ =2k+(2−k)
2k(k−2)
¿ =2.
