文档内容
微专题：抛物线焦点弦的性质
【考点梳理】
抛物线焦点弦的性质
直线l过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F，交抛物线于A(x，y)，B(x，y)两点，则有：
1 1 2 2
(1)通径的长为2p.
(2)焦点弦长：＝x＋x＋p(|AF|＝x＋).
1 2 1
(3)xx＝，yy＝－p2.
1 2 1 2
(4)以焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切.
(5)若α为弦AB的倾斜角，则|AF|＝，|BF|＝；|AB|＝；＋＝；以AF或BF为直径的圆与y轴相切.
【典例剖析】
典例1．已知F是抛物线C： 的焦点，直线 与抛物线C交于A，B两点，且 ，
则（ ）
A． B．
C． D．
典例2．已知以F为焦点的抛物线 上的两点A，B，满足 ，则弦AB的中点到C的
准线的距离的最大值是（ ）
A．2 B． C． D．4
典例3．已知抛物线 的焦点为 ，若 ， 是抛物线上一动点，则 的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．3
典例4．已知抛物线 的焦点为F，过点F的直线交拋物线于A，B两点，延长FB交准线于点C，分别过点
A，B作准线的垂线，垂足分别记为M，N，若 ，则 的面积为（ ）
第 1 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． B．4 C． D．2
典例5．已知抛物线C： 的焦点为F，过焦点且斜率为 的直线l与抛物线C交于A，B（A在B
的上方）两点，若 ，则 的值为（ ）
A． B． C．2 D．
典例6．已知直线l过抛物线 的焦点，并且与抛物线C交于不同的两点A、B，若 为线段 的
中点，则 的值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
【双基达标】
7．已知M是抛物线C： 上的一点，F为抛物线C的焦点，以MF为直径的圆与y轴相切于点(0， )，则
点M的横坐标为（ ）
A．－3 B．－2 C．－4 D．－2
8．已知抛物线 ，过焦点 的直线与抛物线交于 ， 两点（点 在第一象限）．若直线 的斜
率为 ，点 的纵坐标为 ，则 的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
9．定长为6的线段AB两个端点在抛物线 上移动，记线段AB的中点为M，则M到y轴距离的最小值为
（ ）
A． B． C．2 D．
10．己知F为抛物线 的焦点，过F作两条互相垂直的直线 ， ，直线 与C交于A、B两点，直线 与
第 2 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司C交于D、E两点，则 的最小值为（ ）
A．24 B．22 C．20 D．16
11．已知F是抛物线C： 的焦点，过点F的直线l与抛物线交于P，Q两点，直线l与抛物线的准
线 交于点M，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．3
12．抛物线 的焦点为F，A，B是拋物线上两点，若 ，若AB的中点到准线的距离为3，则AF
的中点到准线的距离为（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
13．已知斜率为 的直线过抛物线 的焦点 且与抛物线 相交于 两点，过 分别作该抛物
线准线的垂线，垂足分别为 ， ，若 与 的面积之比为4，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
14．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，
平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线 ，O为坐标原点，
一条平行于x轴的光线 从点 射入，经过C上的点A反射后，再经C上另一点B反射后，沿直线 射出，经
过点N．下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则 平分
C．若 ，则 D．若 ，延长AO交直线 于点D，则D，B，N三点共线
15．已知直线 过抛物线 ： 的焦点，且与该抛物线交于 两点.若线段 的长为16， 的
中点到 轴距离为6，则 （ 为坐标原点）的面积是（ ）
A． B． C． D．
第 3 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司16．抛物线 ： 的焦点为 ，直线 过点 ，斜率 ，且交抛物线 于 ， （点 在 轴的下方）
两点，抛物线的准线为 ， 为坐标原点，作 于 ， 于 ，小明计算得出以下三个结论：①
；② 平分 ；③ ．其中正确的结论个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
17．已知抛物线 ： 的焦点为 ， 为 上一点且在第一象限，以 为圆心， 为半径的圆交 的准线
于 ， 两点，且 ， ， 三点共线，则 （ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
18．过抛物线 的焦点F作直线l，交抛物线于A，B两点，若 ，则直线l的倾斜角等于
（ ）
A． 或 B． 或 C． 或 D．与p值有关
19．抛物线具有以下光学性质：从焦点发出的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴.该性质在实际生产中应
用非常广泛.如图所示，从抛物线 的焦点F发出的两条光线a，b分别经抛物线上的A，B两点反射，
已知两条入射光线与x轴的夹角均为60°，且两条反射光线 和 之间的距离为 ，则 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
20．根据抛物线的光学性质可知，从抛物线的焦点发出的光线经该抛物线反射后与对称轴平行，一条平行于对称
轴的光线经该抛物线反射后会经过抛物线的焦点.如图所示，从 沿直线 发出的光线经抛物线
两次反射后，回到光源接收器 ，则该光线经过的路程为（ ）
第 4 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A．11 B．12 C．13 D．14
21．已知抛物线 的焦点为 ，过点 的直线 与抛物线 交于A(点A在第一象限)， 两点，且 ，
则 ( 为坐标原点)的面积是( )
A． B． C．2 D．4
22．直线 与抛物线 交于 ， 两点，则 （ ）
A． B． C． D．
23．已知抛物线 的焦点为 ，过点 的直线 与抛物线 相交于 ､ 两点，若 ，则直线 的
方程为（ ）
A． B．
C． D．
24．已知抛物线 为坐标原点，过其焦点的直线交抛物线于 两点，满足 则 的面积为
（ ）
A． B． C． D．
25．直线l过抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点，且与C交于A，B两点，|AB|=4，若AB的中点到y轴的距离为1，则p
的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【高分突破】
一、单选题
26．已知抛物线 ，点 ， 是曲线W上两点，若 ，则 的最大值为
第 5 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司（ ）
A．10 B．14 C．12 D．16
27．抛物线有如下光学性质：平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线
的焦点为F，一条平行于y轴的光线从点 射出，经过抛物线上的点A反射后，再经抛物线上的另一
点B射出，则经点B反射后的反射光线必过点（ ）
A． B． C． D．
28．设抛物线 ： 的焦点为 ，过点 作斜率为 的直线 与抛物线 交于 ， 两点，若
，则 （ ）
A． B． C． D．
29．已知抛物线 的焦点为 ，直线 过点 与抛物线 相交于 两点，且 ，则直线 的斜率
为（ ）
A． B． C． D．
30．阿基米德(公元前287年～公元前212年)是古希腊伟大的物理学家，数学家和天文学家，并享有“数学之神”
的称号.他研究抛物线的求积法，得出了著名的阿基米德定理．在该定理中，抛物线的弦与过弦的端点的两切线所
围成的三角形被称为“阿基米德三角形”．若抛物线上任意两点 处的切线交于点 ，则 为“阿基米德
三角形”，且当线段 经过抛物线的焦点 时， 具有以下特征：（1） 点必在抛物线的准线上；（2）
；（3） ．若经过抛物线 的焦点的一条弦为 ，“阿基米德三角形”为 ，且点
在直线 上，则直线 的方程为（ ）
A． B．
C． D．
31．过抛物线 的焦点F的直线l与抛物线交于PQ两点，若以线段PQ为直径的圆与直线 相切，则
（ ）
第 6 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A．8 B．7 C．6 D．5
二、多选题
32．已知直线 ： 与抛物线C： 相交于A，B两点，点A在x轴上方，点 是
抛物线C的准线与以AB为直径的圆的公共点，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
33．已知曲线 ，则以下说法正确的是（ ）
A． 最小值为
B．两曲线有且仅有2条公切线，记两条公切线斜率分别为 ，则
C．当 轴时，
D．
34．已知抛物线C： 的焦点为 ，点A，B为C上两个相异的动点，则（ ）
A．抛物线C的准线方程为
B．设点 ，则 的最小值为4
C．若A，B，F三点共线，则 的最小值为2
D．若 ，AB的中点M在C的准线上的投影为N，则
35．已知抛物线 的焦点为F，准线与x轴交于点P，直线 与抛物线交于M，N两点，则下列说法正
确的是（ ）
A． B．
C．若 ，则 D．若 ，则∠MPF的最大值为
第 7 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司三、填空题
36．直线 过抛物线 的焦点为 ，且与抛物线交于 、 两点，则 的最小值为
_______．
37．已知抛物线 的焦点为F，过F的直线l交抛物线C于AB两点，且 ，则p的值为
______．
38．已知抛物线 的焦点为 ，点 在抛物线 上，点 在抛物线 的准线 上，若
，且 ，则 到 的距离为______.
39．已知抛物线C： 的焦点为F，过点F的直线 与抛物线C交于A（点A在第一象
限），B两点，且 ，则 （O为坐标原点）的面积是______．
40．过抛物线 焦点 的直线 交拋物线于 两点，若两点的横坐标之和为5，则 ___________.
41．已知 为抛物线 的焦点，过点 的直线 交抛物线 于 两点，若 ，则线段 的中点
到直线 的距离为 __________．
42．已知抛物线 及圆 ，过 的直线l与抛物线C和圆M从上到下依次交于A，P，
Q，B四点，则 的最小值为___________.
43．已知抛物线C： 的焦点F到其准线的距离为2，圆M： ，过F的直线l与抛物线
C和圆M从上到下依次交于A，P，Q，B四点，则 的最小值为__________．
四、解答题
44．已知抛物线 上横坐标为4的点 到焦点 的距离为5.
第 8 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司（1）求 的值；
（2）如图，已知 为抛物线上过焦点 的任意一条弦，弦 的中点为 垂直 与抛物线准线交于点 ，
若 ，求直线 的方程.
45．在水平桌面上放一只内壁光滑的玻璃水杯，已知水杯内壁为抛物面型（抛物面指抛物线绕其对称轴旋转
所得到的面），抛物面的轴截面是如图所示的抛物线.现有一些长短不一､质地均匀的细直金属棒，其长度均不小于
抛物线通径的长度（通径是过抛物线焦点，且与抛物线的对称轴垂直的直线被抛物线截得的弦），若将这些细直
金属棒，随意丢入该水杯中，实验发现：当细棒重心最低时，达到静止状态，此时细棒交汇于一点.
(1)请结合你学过的数学知识，猜想细棒交汇点的位置；
(2)以玻璃水杯内壁轴截面的抛物线顶点为原点，建立如图所示直角坐标系.设玻璃水杯内壁轴截面的抛物线方程为
，将细直金属棒视为抛物线的弦 ，且弦 长度为 ，以细直金属棒的中点为其重心，请从数
学角度解释上述实验现象.
46．设抛物线 的焦点为F，准线为l，过焦点F且斜率为1的直线与抛物线C交于A，B两点，
若 的中点到准线l的距离为4．
(1)求抛物线C的方程；
(2)设P为l上任意一点，过点P作C的切线，切点为Q，试判断F是否在以 为直径的圆上．
第 9 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司47．在平面直角坐标系中， 为坐标原点，椭圆 的方程为 ，抛物线 的焦点为 ，
上不同两点M，N同时满足下列三个条件中的两个：① ；② ；③MN的方
程为 .
(1)请分析说明两点M，N满足的是哪两个条件？并求出抛物线 的标准方程；
(2)设直线 与 相交于A，B两点，线段AB的中点为 ，且 与 相切于点 ， 与直线 交于点 ，以PQ
为直径的圆与直线 交于Q，E两点，求证：O，G，E三点共线.
48．已知直线 与抛物线 交于 两点．
(1)若 ，直线 过抛物线 的焦点，线段 中点的纵坐标为2，求 的长；
(2)若 交 于 ，求 的值．
第 10 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司参考答案
1．A
【分析】设出交点坐标，将直线方程和抛物线方程联立，利用韦达定理写出 ，根据抛物线的定义
可知 ，结合已知条件 ，即可得出正确选项.
【详解】设 ， ，由 ，得 ，则 ．
又 ，即 ．
故选：A．
2．B
【分析】根据抛物线焦点弦的性质以及 ，联立可得 ，进而可用对勾函数的性质求
的最值，进而可求.
【详解】解法1：抛物线 的焦点坐标为 ，准线方程为 ，
设 ， ，则∵ ，由抛物线定义可知 ，∴ ，又因为
，所以 即 ，由①②可得：
所以 .∵ ，
当 时， ，当 时， ，
∴ ，则弦AB的中点到C的准线的距离 ，d最大值是 .
∴弦AB的中点到C的准线的距离的最大值是 ，
故选：B.
解法2：弦AB的中点到C的准线的距离 ，根据结论
， ， ，
故选：B.
3．B
【分析】利用抛物线的定义，利用几何法求最值.
【详解】根据题意,作图如下：
第 11 页设点P在其准线x=-1上的射影为A,由抛物线的定义得: .
所以要使 取得最小值,只需 最小.
因为 (当且仅当M,P,A三点共线时取“=”),
此时点P的纵坐标为1,设其横坐标为x.
0
因为P(x,1)为抛物线 上的点,则有 ，解得： .
0
当P为( ,1)时, 取得最小值2.
故选：B．
4．A
【分析】利用抛物线的定义结合条件可得 ， ，进而可得.
【详解】法一：由题意可知， ，则 ，抛物线的准线方程为直线 ，
则 ， ，
因为 ，
第 12 页所以 ，所以 ，所以 ，
所以 ， ，
所以 .
因为 ，
所以 ，
解得 ，所以 ，点F到AM的距离为 ，
所以 .
法二：因为 ，
所以 ，所以 ，即 .
连接FM，又 ，
所以 为等边三角形.
易得 ，所以 .
故选：A.
5．C
【分析】设直线l的倾斜角为 ，求得 ．过A作 准线于 ，过B作 准线于 ，过B作
于 .由抛物线定义求出 和 .
在直角三角形ABC中，利用余弦的定义表示出 ,即可解得．
【详解】设直线l的倾斜角为 ，根据条件可得 ，则可得 ．
过A作 准线于 ，过B作 准线于 ，过B作 于 .
由抛物线定义可得： .
因为 ，所以 .
第 13 页而 .
在直角三角形ABC中， ,解得： ．
故选：C
6．C
【分析】先求出抛物线的准线方程，分别过 作准线的垂线，垂足分别为 ，由抛物线的定义可得出
答案.
【详解】抛物线 的准线方程为：
分别过 作准线的垂线，垂足分别为
则点 到准线的距离为
根据抛物线的定义可得 ,且
所以
故选：C
7．A
【分析】设 ，以MF为直径的圆与y轴相切于点(0， )，所以有 ，求出 ，又因为M是抛物
线C上的一点，代入抛物线方程即可求出答案.
【详解】设 ，因为以MF为直径的圆与y轴相切于点(0， )，由抛物线性质知 ，则
，代入抛物线C： ，得 ．
故选：A.
8．C
【分析】设 ，由抛物线的定义可得 ，由焦半径公式可得 ，从而
可得 ，进而可求出 的值
【详解】解：由题意得，抛物线 焦点在 轴上，准线方程为 ，
第 14 页设 ，则 ，设直线 的倾斜角为 ，则 ，
因为 ，所以
所以 ，
所以 ，解得 ，
故选：C
【点睛】关键点点睛：此题考查抛物线的定义的应用和焦半径公式的应用，解题的关键是分别用抛物线的定义和
焦半径公式表示出 ，从而可列方程求出 的值，考查转化思想和计算能力，属于中档题
9．C
【分析】利用抛物线的定义结合梯形中位线公式得到M到y轴距离，当 三点共线时即得到M到y轴距离的
最小值．
【详解】解：抛物线 的焦点为F，则抛物线的准线 ，
设 在准线上的垂足分别为 ,连接 ,如图所示.
所求的距离
因为抛物线的通径为 ,
所以定长为6的线段AB两个端点在抛物线 上移动时可以经过焦点 ,
此时 三点共线， ， ，
则点M到y轴的最短距离为2，
故选： .
10．A
【分析】由抛物线的性质：过焦点的弦长公式 计算可得.
第 15 页【详解】设直线 ， 的斜率分别为 ，
由抛物线的性质可得 ， ，
所以 ，
又因为 ，所以 ，
所以 ，
故选：A.
11．B
【分析】过点 作准线的垂线交于点 ，则 ，过点 作准线的垂线交于点 ，则 ，利用三角
形相似即可求解．
【详解】解：如图，过点 作准线的垂线交于点 ，由抛物线的定义有 ，过点 作准线的垂线
交于点 ，则 ，
， ，
根据 ，可得 ，
． ，即 ，
，
故选：B．
12．C
【分析】结合抛物线的定义求得 ，由此求得线段 的中点到准线的距离．
【详解】抛物线方程为 ，则 ，
由于 中点到准线的距离为3，结合抛物线的定义可知 ，
即 ，
所以线段 的中点到准线的距离为 .
故选：C．
第 16 页13．B
【分析】方法一：根据题意， ，进而设直线 ： ， ， ，进而联立方程，结合
韦达定理得 ， ，再根据面积比得 ，进而结合焦半径公式得 ，再解方
程组即可得答案；
方法二：设直线AB的倾斜角为 ，进而根据面积比得 ，根据焦半径与倾斜角的关系得 ，
，进而得 ， ，即可得答案.
【详解】解：解法一：
由抛物线 得 ，
设直线 ： ， ， ，
故联立方程 得
所以 ，
由已知和抛物线定义知： ，
所以 ，故由焦半径公式得： ，即 ，
故 ，解方程组得 .
故选：B
方法二：
由已知和抛物线定义知：
设直线AB的倾斜角为 ，则 ， ，
所以 ，解得 ，所以 ．
故选：B．
第 17 页14．D
【分析】根据 求出焦点为 、 点坐标，可得直线 的方程与抛物线方程联立得 点坐标，由两点间的距离公
式求出 可判断AC；
时可得 ， ．由 可判断B；
求出 点坐标可判断D.
【详解】如图，若 ，则 ，C的焦点为 ，因为 ，所以 ，
直线 的方程为 ，整理得 ，与抛物线方程联立得
，解得 或 ，所以 ，
所以 ，选项A错误；
时，因为 ，所以 ．又 ，
，所以 不平分 ，选项B不正确；
第 18 页若 ，则 ，C的焦点为 ，因为 ，所以 ，
直线 的方程为 ，所以 ，
所以 ，选项C错误；
若 ，则 ，C的焦点为 ，因为 ，所以 ，
直线 的方程为 ，所以 ，直线 的方程为 ，延长 交直线 于点D，所以则
，
所以D，B，N三点共线，选项D正确；
故选： D.
15．B
【分析】设 ， 的坐标，由抛物线的性质到焦点的距离等于到准线的距离，可得 的表达式，再由 的
中点到 轴的距离是6可得 ， 的横坐标之和，进而可得 的值，求出抛物线的方程，设直线 的方程，与抛物
线联立，结合韦达定理可求出三角形 的面积．
【详解】设 ， ， ， ，
由抛物线的定义可得 ，
第 19 页又因为 的中点到 轴的距离是6，所以 ，
所以 ，
所以抛物线的方程为： ，
设直线 的方程 ，
联立直线与抛物线的方程： ，整理可得 ，
，
所以 ，
解得 ，所以 的方程为： ，
.
故选：B
16．D
【分析】对于①：设直线m的倾斜角为α，利用抛物线的焦点弦的弦长公式 即可求解；
对于②：利用几何法证明；
对于③：由抛物线的焦半径公式即可求解.
【详解】由抛物线的方程可得焦点F（1，0），准线方程为：x=-1，如图
对于①：令直线m的倾斜角为α，∵ ，∴ ，∴ ，①正确；
对于②：∵ ，∴∠AAF=∠AFA，又∵AA∥OF，∴∠AAF=∠AFO，
1 1 1 1 1
∴∠AFA=∠AFO，∴AF平分∠OFA，②正确；
1 1 1
对于③：由抛物线的性质可得， ，
第 20 页，
∴ ， ，
∴|AA|·|BB|=|AA|+|BB|，③正确.
1 1 1 1
故选:D．
17．B
【分析】根据 ， ， 三点共线，结合点 到准线的距离为2，得到 ，再利用抛物线的定义求解.
【详解】如图所示：
∵ ， ， 三点共线，
∴ 是圆的直径，
∴ ， 轴，
又 为 的中点，且点 到准线的距离为2，
∴ ，
由抛物线的定义可得 ，
故选：B.
18．C
【分析】根据题意画出图形，根据抛物线的定义和相似三角形列出比例式，再利用直角三角形的边角关系求出直
线的倾斜角.
【详解】如图所示，
第 21 页由抛物线 的焦点为 ，准线方程为 ，
分别过A，B作准线的垂线，垂足为 ， ，直线l交准线于 ，如图所示：
则 ， ， ，
所以 ， ，
所以 ，即直线l的倾斜角等于 ，
同理可得直线l的倾斜角为钝角时即为 ，
故选：C．
19．B
【分析】写出直线AF、BF的方程，求出 ， ，由 ，解出p.
【详解】抛物线 的焦点 .
由 ,所以直线AF的方程为 ，即 ，
联立 ，得 ，解得： 或 ，可得： .
同理直线BF的方程为 ，即 ，
联立 ，解得： .
所以 ，解得： .
故选：B
20．B
【分析】设出B、C坐标，由坐标和焦点弦公式表示出三条线段直接可得.
【详解】设 ， ，所以 ， ， ，所以该光线经过的路程为
12.
故选：B
21．B
【分析】由题意可得 ，设直线 的方程为 ，联立直线方程和抛物线方程，得到根与系数的关系，
结合 即可求出A、B纵坐标， .
【详解】由题意可得 ，设直线 的方程为 ．
第 22 页联立 整理得 ．
设 ， ，则 ， ， ．
∵ ，∴ ，则 ，解得 ，从而 ，
故 的面积是 ．
22．D
【分析】焦点弦长度等于 .
【详解】抛物线 的焦点为 在直线 上，故 是抛物线的焦点弦，则
由 得： ，
所以， ，
所以，
故选：D.
23．C
【解析】设点 ､ 的坐标分别为 ， ，直线 的方程为 ，联立直线与抛物线方程，根据韦
达定理，以及焦半径公式，结合题中条件，列出方程求解，即可得出直线斜率，进而可得直线方程.
【详解】设点 ､ 的坐标分别为 ， ，
由题意，点 的坐标为 ，设直线 的方程为 ，
第 23 页联立方程 .消去 后整理为 ，
有 ，
由抛物线的性质，有 ，可得 ，
解得 ，有 ，解得 ，故直线 的方程为 .
故选：C.
【点睛】方法点睛：
求解抛物线焦点弦问题时，一般先设弦所在直线方程，联立直线与抛物线方程，根据韦达定理，以及焦半径公式，
结合所给条件，求出斜率，即可得出焦点弦所在直线方程；要求学生要熟记抛物线的性质等.
24．A
【分析】设 与抛物线联立，转化 ，结合韦达定理可得 ，求解原点O
到 的距离，利用 即得解
【详解】
由题意
若直线 的斜率不存在，则方程为 ，此时 ，不成立；
故直线 的斜率存在，设 ，由题意
，
由于直线 过焦点，由抛物线定义
第 24 页故原点O到 的距离：
故选：A
25．B
【解析】设直线 方程： ， ，联立直线与抛物线可得 的值，由 的中点的横坐
标为 ， 的中点到 轴的距离为 ，代入可得答案.
【详解】解：由题意设直线 方程： ， ，
联立直线与抛物线的方程可得： ，所以 ， ,由 可得
，即 ，
的中点的横坐标为 ， 的中点到 轴的距离为 ，
所以 ，所以 ，解得 ，
故选：B.
【点睛】本题主要考查抛物线的焦点弦的性质，联立直线与抛物线是解题的关键，属于基础题.
26．C
【分析】确定抛物线的准线方程，由抛物线定义可得 ，结合条件可得 ，结合
抛物线的几何性质可得当且仅当A，F，B三点共线时 ，即可得答案.
【详解】设抛物线 的焦点为F，则 ,焦准距 ,准线方程为 ，
根据抛物线的定义得， ．
又 ，所以 ．
因为 ，当且仅当A，F，B三点共线时等号成立，即 ，
所以 的最大值为12，
故选：C
27．D
【分析】求出 、 坐标可得直线 的方程，与抛物线方程联立求出 ，根据选项可得答案,
【详解】把 代入 得 ，所以 ，
所以直线 的方程为 即 ，
与抛物线方程联立 解得 ，所以 ，
因为反射光线平行于y轴，根据选项可得D正确,
第 25 页故选：D.
28．A
【分析】设直线 的方程，代入抛物线方程，利用韦达定理、抛物线的定义及 ，联立即可求得 的值．
【详解】设 方程为 ，
由 ，
消去 得 ，
则有 ①，
由 得 ，
即 ②，
由①②解得
，
故选：A
29．B
【分析】设直线倾斜角为 ，由 ，及 ，可求得 ，当点 在 轴上方，
又 ，求得 ，利用对称性即可得出结果.
【详解】设直线倾斜角为 ，由 ，所以 ，由 ，
，所以 ，当点 在 轴上
方，又 ，所以 ，所以由对称性知，直线 的斜率 .
故选：B.
30．A
第 26 页【分析】首先根据题意可得到 点在抛物线的准线 上，又在直线 上，从而可求出点 的坐标；根
据 ，即可求出直线 的斜率，从而可求出直线 的方程.
【详解】根据题意，可知 点在抛物线的准线 上，又点 在直线 上，
所以 ，又 ，所以 ，
因为 ，所以 ，所以直线 的方程为 ，即 .
故选：A.
31．C
【分析】依据抛物线定义可以证明：以过抛物线焦点F的弦PQ为直径的圆与其准线相切，则可以顺利求得线段
的长.
【详解】抛物线 的焦点F ，准线
取PQ中点H，分别过P、Q 、H作抛物线准线的垂线，垂足分别为N、M、E
则四边形 为直角梯形， 为梯形中位线，
由抛物线定义可知， , ，则
故 ，即点H到抛物线准线的距离为 的一半，
则以线段PQ为直径的圆与抛物线的准线相切. 又以线段PQ为直径的圆与直线 相切，
则以线段PQ为直径的圆的直径等于直线 与直线 间的距离.
即
故选：C
32．ABC
【分析】由题意可知，抛物线 的准线为 ，利用抛物线的几何性质求出 和抛物线 的方程和焦点坐标
，结合直线 的方程可知，直线 经过焦点 ，利用抛物线的定义表示出以 为直径的圆的半径和圆
心 ,由 得到关于 的方程，解方程求出 ，利用抛物线的定义求得焦半径计算可判断 的对
错.
【详解】由题意知，抛物线 的准线为 ，即 ，解得 ，故选项A正确；
因为 ，所以抛物线 的方程为： ，其焦点为 ，
第 27 页又直线 ，所以直线 恒过抛物线的焦点 ，
设点 ，因为 两点在抛物线 上，
联立方程 ，两式相减可得， ，
设 的中点为 ，则 ，因为点 在直线 上，
解得可得 ，所以点 是以 为直径的圆的圆心，
由抛物线的定义知，圆 的半径 ，
因为 ，所以 ，
解得 ，故选项B正确；
因为 ， , 所以 ，故选项C正确；
过 做 轴，过 做 轴，抛断线的准线交 轴与点 ，设 ,
， ，
， ，
又 ， ，则 ，
则D错误.
故选：ABC
【点睛】关键点睛：本题考查抛物线的标准方程及其几何性质、圆的性质、直线与抛物线的位置关系、弦长公式、
点到直线的距离公式；考查运算求解能力和逻辑推理能力；熟练掌握直线与抛物线的位置关系和抛物线的几何性
第 28 页质、圆的性质是求解本题的关键；属于综合型、难度大型试题.
33．ABC
【分析】对选项A，利用抛物线的焦半径公式转化求 得最小值，进而建立函数，然后再研究函数的单调性即
可；对选项B，先找到 是其中的一条公切线，分别在两个曲线上设切线方程，然后根据公切线定义，则设
立的两个切线方程重合而建立方程，然后将方程转化为函数，研究该函数的零点即可；对选项C，先设动点
（ ）的坐标，根据 轴，进而建立目标函数 ，然后研究该函数单调性即可；对
选项D，考虑 轴时，进而建立目标函数 （ ），通过求该函数的最小值就能说明
【详解】
对选项A，如图所示，易知 ，根据抛物线的焦半径公式可得：
故有：
，则有：
设点 的坐标为：
则有：
令 ，则可得：
再次求导可得：
故 在区间 上单调递增
又
可得：当 时， ，即 在 上单调递减；当 时， ，即 在
上单调递增；
第 29 页故
则
故
故选项A正确；
对选项B，不妨设外公切线分别与 ， （ ）切于点 ，
则曲线 的切线 为：
则曲线 的切线 为：
根据 与 表示同一直线，则有：
解得：
令 （ ）
则有：
可得： 在区间 上单调递增； 在区间 上单调递减
则有： ， ， （注意：实际上取不到该点）
，因为 ，故
根据零点存在性定理可知： 在区间 上存在一个零点，即存在一条公切线；
当 时， ，则在函数 的 处的切线方程为：
联立
可得： ，故此时与 切于点 ，也满足
由图易知：当 时，不可能存在公切线
综上可得：两曲线有且仅有2条公切线不妨取 （ ）
则有：
又 ，可得：
在 上单调递增，则有：
第 30 页故选项B正确；
对选项C，当 轴时，设 （ ），则
则有：
记 ，则有：
令 ，解得：
故当 时， ， 在区间 上单调递减；
当 时， ， 在区间 上单调递增；
故有：
故
故选项C正确；
对选项D， 不妨设 （ ）上点 ， （ ）上点
则有： ，
可得：
若 轴时， （ ）
令 （ ）
则有：
易知： 在区间 上单调递增
可得：
令 ，下面证明：
可化简为
进而可化简为：
故 在区间 存在一个零点，令
第 31 页则当 时， ，即 在区间 上单调递减；
当 时， ，即 在区间 上单调递增；
故
而
又
下面证明：
即证：
只需证明：
又：
故 成立
从而 ，而且以上还仅仅考虑 轴时的情况，故选项D错误
故答案选：ABC
【点睛】求函数最值和值域的常用方法：
（1）单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值；
（2）图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值；
（3）基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值；
（4）导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值；
（5）换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．
34．ABD
【分析】对于A，由抛物线的焦点可求出抛物线的准线方程，对于B，过点 作 垂直准线于 ，则
，从而可求出其最小值，对于C，由抛物线的性质可判断，对于D，过 分别作
垂直准线，垂足分别为 ，则由梯形中位线定理可得 ，然后在 利用
余弦定理结合基本不等式可判断
【详解】对于A，因为抛物线C： 的焦点为 ，所以抛物线C的准线方程为 ，所以A正确，
对于B，由题意可得抛物线的方程为 ，则点 在抛物线外，如图，过点 作 垂直准线于 ，则
，当 三点共线时， 取得最小值，最小值为4，所以B正确，
第 32 页对于C，由抛物线的性质可得当A，B，F三点共线，且 轴时，弦 最短为抛物线的通径 ，所以C
错误，
对于D，过 分别作 垂直准线，垂足分别为 ，则由梯形中位线定理可得
，设 ，则 ，在 中由余弦定理得
，
因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，当且仅当 时取等号，所以D正确，
故选：ABD
35．AC
【分析】将抛物线方程和直线方程 联立，令判别式大于零，即可判断A;由过抛物线焦点弦的性质可判断
B;根据 ，可得直线 的方程为 ，联立抛物线方程，利用根与系数的关系可判断C; 当 与
抛物线相切时， 最大，由此利用判别式等于零可求出切线斜率，得到∠MPF的最大值，判断D.
【详解】由抛物线的方程可得准线方程为 ，
则 ，联立 ，整理可得 ，
则 ，可得 ，所以 正确；
只有直线 过焦点 时， ，由题意不能确定直线 过焦点，所以 不正确；
中，当 ，则 ， ， 三点共线，此时直线 过点 ，即有 ，
， ，
第 33 页则直线 的方程为： ，代入抛物线的方程可得 ，
设 ， ， ， ，
可得 ， ， ，
由 ，可得 ， ， ，则可得 ，
所以 ，
，
所以 ，故 正确；
当 与抛物线相切时， 最大，
设过 的抛物线的切线为 ，
，消去 整理得 ，
所以 得 ，
解得 ，
所以 的最大值为 ，故 错误；
故选： ．
36． ##
【分析】推导出抛物线的焦半径的性质 ，再利用基本不等式可求得 的最小值.
【详解】易知 ，可得 ，所以，抛物线的方程为 .
若直线 与 轴重合时，则该直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意.
所以，直线 的斜率存在，设直线 的方程为 ，
联立 可得 ，即 ， ，
由韦达定理可得 ， .
所以，
，
所以， ，则
，
当且仅当 时，等号成立，故 的最小值为 .
第 34 页故答案为： .
37．3
【分析】根据抛物线焦点弦性质求解，或联立l与抛物线方程，表示出 ，求其最值即可.
【详解】已知 ，设 ， ， ，
则 ，
∵ ，所以 ， ，
∴ ，当且仅当m=0时，取 .
.
故答案为：3.
38．12
【分析】过点 作 于点 ，根据题意和抛物线的定义可得 ，
进而得到关于p的方程，解方程即可.
【详解】由 知， 为线段 上靠近 的三等分点，
过点 作 于点 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，解得 .
故答案为：12
39． ##
【分析】计算出 ，联立直线和抛物线得到 与 ，结合 求出 ，进而求出
的面积.
【详解】由题意可得 ，则 ，解得： ，故直线 的方程为 ．
联立 整理 ．
设 ， ，则 ， ．
因为 ，所以 ，所以 ，则 ，解得: ，
第 35 页从而 ，故 的面积是
故答案为： ．
40．7
【分析】根据抛物线定义即可求出.
【详解】由抛物线方程可得 ，
则由抛物线定义可得 .
故答案为：7.
41．5
【分析】分别过点 作准线的垂线，利用梯形的中位线定理，结合抛物线的定义可求得答案.
【详解】如图， 为抛物线 的焦点，过点 的直线 交抛物线 于 两点,
则抛物线准线方程为 ,
分别过点 作准线的垂线，垂足为C,D,N，
则有 ,
又M为AB的中点，故 ,
即线段 的中点 到直线 的距离为5，
故答案为：5.
42．13
【分析】根据圆心 即为抛物线C的焦点F，利用抛物线的定义，结合基本不等式求解.
【详解】解：如图所示：
第 36 页圆心 即为抛物线C的焦点F.
所以 ，
由抛物线的定义， ，
所以 ，
又易知： ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时等号成立.
所以 的最小值为13，
故答案为：13
43．1
【分析】先确定抛物线的方程，然后设直线的方程，二者联立可得 ，再利用抛物线的性质将 的表
达式整理化简，即可得答案.
【详解】因为抛物线C： 的焦点F到其准线的距离为2，
所以 ，故 ，
设 ，
第 37 页当直线 斜率不存在时， ，则 ，
直线 斜率存在时，设其方程为 ，和 联立，
整理得： ，
故 ，
由抛物线性质可得：
，
所以 ，
故答案为：1.
44．（1） ；（2） .
【分析】（1）由抛物线的定义可得 ，由此即可求解；
（2）先设出直线 ： ，与 联立，再由根与系数的关系，结合垂直平分线的性质与点到直线的距
离公式即可求解
【详解】（1）抛物线 （ ）的焦点为 ，准线方程为 ，由抛物线定义得：
，所以 .
（2）由（1）得抛物线方程为
设直线 ： ，与 联立，消去x，整理得： ，
设 ， ，，有 ，
则弦长 ，弦 中点
故弦 的垂直平分线方程为
令 得 ，即
故点P到直线 的距离 .
第 38 页所以
所以 ，直线方程为
45．(1)抛物线的焦点或抛物面的焦点
(2)答案见解析
【分析】（1）结合通径的特点可猜想得到结果；
（2）将问题转化为当 时，只要 过点 ，则 中点 到 的距离最小，根据 ，结合抛
物线定义可得结论.
(1)
根据通径的特征，知通径会经过抛物线的焦点达到静止状态，
则可猜想细棒交汇点位置为：抛物线的焦点或抛物面的焦点.
(2)
解释上述现象，即证：当 （ 为抛物线通径）时，只要 过点 ，则 中点 到 的距离最小；
如图所示，记点 在抛物线准线上的射影分别是 ，
，
由抛物线定义知： ，
当 过抛物线焦点时，点 到准线距离取得最小值，最小值为 的一半，此时点 到 轴距离最小.
【点睛】关键点点睛：本题考查抛物线的实际应用问题，解题关键是能够将问题转化为抛物线焦点弦的中点到 轴
距离最小问题的证明，通过抛物线的定义可证得结论.
46．(1)
(2)F在以 为直径的圆上
【分析】（1）根据点差法可得 ,再由抛物线的定义及中点坐标公式建立方程求出 即可；
（2）设 ，切线 的方程为 ，利用直线与抛物线相切求出 , ,根据向量的数量积
即可判断.
(1)
第 39 页设 ，则
所以 ，整理得 ，
所以 ．
因为直线 的方程为 ，
所以 ．
因为 的中点到准线l的距离为4，
所以 ，得 ，
故抛物线C的方程为 ．
(2)
设 ，可知切线 的斜率存在且不为0，
设切线 的方程为 ，
联立方程组 得 ，
由 ，得 ，即 ，
所以方程 的根为 ，
所以 ，即 ．
因为 ，所以 ，
所以 ，即F在以 为直径的圆上．
47．(1)②③；
(2)证明见解析
【分析】（1）若同时满足①②，则可推出 ，故不符合题意；
若同时满足①③，则也是推出 ，不符合题意；由此可得同时满足条件②③，求得p的值，可得
答案;
（2）设切点P的坐标为 ，利用导数的几何意义求得AB的斜率，设线段AB的中点为G，进而利用
点差法求得 ，结合题意可得 ，求得E的坐标为 ，可得OE的斜率为 ，从而
证明结论.
(1)
若同时满足①②，由②得 ,
第 40 页可得MN过焦点 ，
则 ， 故①②不能同时满足；
若同时满足①③，由③可得MN过焦点 ，则 ，
所以①③不能同时满足；
由以上可知，只能同时满足条件②③，
由②得 ，可得MN过焦点 ，
且 ，
故抛物线 的标准方程为 ；
(2)
证明：设切点P的坐标为 ，
因为抛物线 的标准方程为 ，则 ，
所以直线AB的斜率为 ，设 ，
则有 ，两式相减得 ，
所以 ，
设线段AB的中点为G，则有 ，
l与直线 交于点Q，以PQ为直径的圆与直线 交于Q,E两点，
所以 ,故点E的坐标为 ，
所以直线OE的斜率为 ，
则有 ,所以：O，G，E三点共线..
【点睛】本题考查了抛物线方程的求解，以及直线和抛物线的位置关系，证明三点共线问题，综合性强，计算量
较大，解答的关键是明确解题的思路，准确计算，即求出点的坐标，表示出直线OE,OG的斜率，证明斜率相等即
可.
48．(1)6
(2)2
【分析】（1）通过作辅助线，利用抛物线定义，结合梯形的中位线定理，可求得答案；
（2）根据题意可求得直线AB的方程为y=x+4，联立抛物线方程，得到根与系数的关系，由OA⊥OB，得
，根据数量积的计算即可得答案.
第 41 页(1)
取AB的中点为E，当p=2时，抛物线为C：x2=4y，焦点F坐标为F（0，1），过A，E，B分别作准线y=-1的垂线，
重足分别为I，H，G，
在梯形ABGI中（图1），E是AB中点，则2EH=AI+BG，
EH=2-（-1）=3，因为AB=AF+BF=AI+BG，
所以AB=2EH=6.
(2)
设 ，由OD⊥AB交AB于D（-2，2）,（图2），
得kOD=-1，kAB=1，则直线AB的方程为y=x+4，
由 得 ，
所以 ，
由 ，得 ，即 ，
即 ，可得 ，
即 ，所以p=2.
第 42 页第 43 页
