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第 01 讲 椭圆
一、单选题
1．设 为实数，若方程 表示焦点在 轴上的椭圆，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由焦点在 轴上的椭圆的标准方程 即可得到答案.
【详解】由题意得， ，解得 .故选：A.
2．与椭圆 有公共焦点，且离心率为 的双曲线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由椭圆 得，半焦距 ，显然椭圆焦点在x轴上，
因此双曲线的焦点为 ，因双曲线离心率为 ，令其实半轴长为a，即有
，解得 ，则双曲线虚半轴长 ，
所以所求双曲线的标准方程为 .故选：A
3．如图所示，圆柱形玻璃杯中水的液面呈椭圆形状，则该椭圆的离心率为（ ）A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】由题意，设圆柱底面直径为 ，则椭圆短轴长 ，椭圆长轴竖直截面如
下图所示：由题意及图，可知 为直角等腰三角形，且 ，
故 ，椭圆的长轴长 ，
所以 ，所以椭圆的离心率 .故选：C
4．已知 是椭圆 的左､右焦点，点 为抛物线 准
线上一点，若 是底角为 的等腰三角形，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用几何性质确定 中得 ，利用
可得 的关系，即可得椭圆离心率.
【详解】解：如图，抛物线的准线与 轴的交点为因为 是椭圆 的左､右焦点，所以
抛物线 准线为：直线 ，所以
因为 是底角为 的等腰三角形，则
则
则 ，整理得： 所以离心率
.故答案为：A.
5．如图，已知椭圆C的中心为原点O， 为椭圆C的左焦点，P为椭圆C上一
点，满足 ，且 ，则椭圆C的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】如图，设椭圆的右焦点为 ，则 ，连接 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
由椭圆的定义可得 ，则 ，又因为 ，所以 ，
所以椭圆 的方程为 ，故选：D
6．已知 、 是椭圆C： 的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，B在x
轴上， 且 .若坐标原点O到直线AB的距离为3，则椭圆C的方
程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，即 ，
所以 为 的中点，
又因为 ，所以 ，
过点O作OM⊥AB于点M，则 ，
根据 ，可得 ，所以 ，
因为A为上顶点，所以
根据双曲线定义可知： ，所以 ，
由直角三角形斜边中线等于斜边一半可得： ，即 ，
所以 ，故 ，
所以椭圆方程为：故选：D
7．已知椭圆 过点 ，则其焦距为（ ）
A．8 B．12 C． D．
【答案】D
【详解】将点 代入椭圆方程得 ，解得 ，又 ，所以
，焦距为 .故选：D.
8．已知椭圆和双曲线有共同的焦点 ， ，P是它们的一个交点，且 ，记椭圆
和双曲线的离心率分别为 ， ，则 的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【详解】设椭圆长轴长为 ，双曲线实轴长为 ，
， ，（ ） ，
则 ，解之得
又
则
则 ，则
则 ，则
（当且仅当 时等号成立）
则 的最小值为 故选：B二、填空题
9．若椭圆 的离心率为 ，则实数 的值等于__________．
【答案】 或
【详解】设椭圆的长半轴和短半轴分别为 ，
由离心率为 ，可得 ，
当 时， ，则 ， ；
当 时， ，则 ， ，故答案为： 或
10．已知复数 满足 ，若 为实数（i为虚数单位），则 为_______.
【答案】
【详解】由 得点Z是以 ， 为焦点，长半轴长是5的椭圆，则
，所以点Z的轨迹方程为 .
又 为实数，可设 ，代入轨迹方程得 ，故 .
故答案为：
11．已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，左顶点为A，上顶点为B，
点P为椭圆上一点，且 .若 ，则椭圆的离心率为______.
【答案】
【详解】由题意可得：
则
∵ ，则 ，即 ，解得：
∴ ，则 故答案为： .12．“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上任意两条互相垂
直的切线的交点，必在一个与椭圆同心的圆上．称此圆为该椭圆的“蒙日圆”，该圆由法
国数学家加斯帕尔 蒙日（1746-1818）最先发现．若椭圆 的左、右焦点分别为
， 为椭圆 上一动点，过 和原点作直线 与椭圆 的蒙日圆相交于 ，则
_________．
【答案】1
【详解】因为椭圆 ，所以 ，故 ， ，如图，
令 ，
因为 ，所以 ，即 ，
结合图象，由平面向量的知识可得 ，故
，
两式相加得 ，即 ，即 ，
由“蒙日圆”的定义，当我们过椭圆上下左右四个顶点作椭圆的切线时，易知椭圆的“蒙
日圆”的直径为这四条切线所围成的矩形的对角线，故由勾股定理得 ，
所以 ，故 .
故答案为：1..
三、解答题
13．已知椭圆 的离心率为 ，长轴的长为4．
(1)求椭圆的方程；
(2)过左焦点 ，作互相垂直的直线 ，直线 与椭圆交于 两点，直线 与圆
交于 两点， 为 的中点，求 面积的最大值．
【分析】
（1）由题意知 ，离心率为 ， 解得
所以
所以椭圆的方程为 ；
（2）由（1）可得左焦点
当直线 的斜率不存在时，直线 的方程为 ，则
这时直线 的方程为 ，可得MN的中点 为
；
当直线 的斜率为0时，则直线 与圆 无交点；
当直线 的斜率存在且不为0时，设直线 的方程为 ，直线 的方程为
，
联立 ，得∵ ，∴
∴点 到 等于点 到 的距离为
点 到 的距离为 ，所以
令 ，则 ， ．
所以 面积的最大值为 ．
14．已知椭圆 的右焦点 ，离心率为 ，且点 在椭圆 上．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)过 的直线 不与 轴重合 与椭圆 相交于 、 两点， 不在直线 上且
， 是坐标原点，求 面积的最大值．
【分析】
（1）由题意 ，又 ，解得 ， ，
的方程为 ；
（2）设直线 的方程为 ， ， ， ，
则 ，消元整理得 ，
所以 ， ，
则 ，由 ，
得 ，
，
到直线 的距离 ，
设 ，而 在 时递增，
当 即 ，即 时， 的最大值为 ．
15．已知O为坐标原点，点 在椭圆C： 上，直线l： 与
C交于A，B两点，且线段AB的中点为M，直线OM的斜率为 ．
(1)求C的方程；
(2)若 ，试问C上是否存在P，Q两点关于l对称，若存在，求出P，Q的坐标，若不存
在，请说明理由．
【分析】（1）
设 ，则
∵ 在椭圆上，则
两式相减得 ，整理得
∴ ，即 ，则
又∵点 在椭圆C： 上，则
联立解得∴椭圆C的方程为
（2）
不存在，理由如下：
假定存在P，Q两点关于l： 对称，设直线PQ与直线l的交点为N，则N为线段PQ
的中点，连接ON
∵ ，则 ，即
由（1）可得 ，则 ，即直线
联立方程 ，解得
即
∵ ，则 在椭圆C外
∴假定不成立，不存在P，Q两点关于l对称
16．椭圆的两个焦点是 ， ，点 在椭圆上．
(1)求此椭圆方程；
(2)过 做两条互相垂直的直线，分别交椭圆于A，B，C，D四点，求四边形 面积的
取值范围．
【分析】
（1）由题意， ，
因焦点在y轴，设椭圆方程为 ，将点P的坐标代入上式得： ，联立方程 ，解得 ， ，∴椭圆方程为 ；
（2）
如图：
当过 的两条互相垂直的直线的斜率都存在时，设直线AB的斜率为k，
则直线AB的方程为 ，直线CD的方程为 ，
设 ，
联立直线AB与椭圆方程 解得： ，
由韦达定理得 ，
线段AB的长为 ，
同理联立直线CD与椭圆方程得到 ，
，所以四边形ABCD的面积
，
令 ， ，则有 ，
，是关于t的二次函数，当 时，其取值范围是 ，；
当直线AB或CD有一条斜率不存在时，不妨设 ，则直线AB的方程为 ，代入椭
圆方程，得 ， ， ，四边形ABCD的面积为
；
所以四边形ABCD的取值范围是 ；
综上，椭圆方程为 ，四边形ABCD的取值范围是 .
一、单选题
1．阿基米德（公元前287年—公元前212年）不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，
他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴与短半轴的乘积．若椭圆
C的对称轴为坐标轴，焦点在y轴上，且椭圆C的离心率为 ，面积为 ，则椭圆C的
方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】可设椭圆 的方程为 ，
由题意可得： ，解得： ，
所以椭圆 的方程为 .故选：C
2．已知点 分别是椭圆 的左､右焦点，已知椭圆上的点到焦点的距离最大值
为9，最小值为1.若点 在此椭圆上， ，则 的面积等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为椭圆上的点到焦点的距离的最大值为 ，最小值为 .所以 ，解得 .
则
由余弦定理可知
，
代入化简可得 ，
则 .故选：B.
3．已知 ， 分别是椭圆 的左，右焦点，若在椭圆 上存在点 ，
使得 的面积等于 ，则椭圆 的离心率 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由题意得 ，
而 ，则有 ，
由椭圆定义可得 ，当且仅当 ，即
时取等号，
于是有 ，则 ，又 ，即有 ，所以椭圆 的离心率
的取值范围为 .故选：A.
4．已知椭圆 的两个焦点为 ，过 的直线与 交于 两点.若
， 的面积为 ，则 的值为（ ）
A．4 B．3 C．5 D．6
【答案】C
【详解】由题意设 ， ， ， ， ，
根据椭圆定义 ，
即 ，则 ，，所以 ，
，
，
即 ，解得 ，
， ，
故选：C.
5．已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，上顶点为 ，直线
与 的另一个交点为 ．若 ，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】左、右焦点分别为 ， ，上顶点为 ，∴ ，设 ，则
，
由 ，根据勾股定理，有 ，即
解得 ，即 ，由 ， ， ， ， 三点共线，
∴ ，代入椭圆方程，有 ，化简得 ，
所以椭圆离心率为 .故选：B
6．已知 为坐标原点， 是椭圆 的左焦点， 分别为 的左，右
顶点． 为 上一点，且 轴．直线 与 轴交于点 ，若直线 经过 的中点，
则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由 ，则 ，由 ，则 ，
将 代入方程 ，则 ， ，不妨设 ，
直线 的斜率 ，则直线方程为 ，
令 ，则 ，即 ，故 的中点为 ，
由直线 过 的中点，则 ，即 ，
， ， .故选：A.
7．椭圆 的上顶点为A，左焦点为F，AF延长线与椭圆交于点B，若
， ，则椭圆离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【详解】 ， ，则AF： ， ， 满足 ,
消去 得， ，
是它的一个解，另一解为 ，因为 ，所以 ，所
以 ，故 ，所以 ，所以 ．
故选：B．
8．已知O为坐标原点，焦点在x轴上的曲线C： 的离心率 满足 ，
A，B是x轴与曲线C的交点，P是曲线C上异于A，B的一点，延长PO交曲线C于另一
点Q，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由 解得 ，所以曲线C是椭圆．
因椭圆C的焦点在x轴上，则 ．
因为 ，所以 ，
不妨设 ， ， ， ，
由题意知 ，则 ，即 ，
．故选：A．
二、填空题
9．已知椭圆 左､右焦点分别为 、 ，过 且倾斜角为 的直线
与过 的直线 交于 点，点 在椭圆上，且 .则椭圆 的离心率
__________.
【答案】 ##
【详解】在 中， ， ，则 ，，则 ，
由椭圆的定义可得 ，则 .
故答案为： .
10．已知椭圆 与双曲线 公共焦点为 ，点 为两曲线
的一个公共交点，且 ，则双曲线的虚轴长为___________.
【答案】6
【详解】解：不妨取椭圆与双曲线的交点 在第一象限，如图所示：
设 ， ，且 ，
由椭圆方程可知 ， ，
所以 ，所以 ， ， ， ，
所以 ①，
由双曲线方程可知 ②，
①②联立可得 ， ，
在 中，由余弦定理得 ，
即 ，解得 ，
所以 ，所以 ，
所以双曲线的虚轴长为 ．故答案为：6．11．已知直线l： 与椭圆 交于A、B两点，与圆
交于C、D两点．若存在 ，使得 ，则椭圆 的
离心率的取值范围是_____________．
【答案】
【详解】 变形为 ，恒过点 ，
即直线经过圆 的圆心，
因为 ，所以 为AB的中点，
设 ，则 ，
则有 ，两式相减得： ，
即 ，
因为 ，且 ，所以 ，
则离心率 ，
故答案为： .
12．已知 ， 是椭圆 的两个焦点，满足 的点 总在椭
圆内部，则椭圆离心率的取值范围是______.【答案】
【详解】由题意知，设椭圆的半长轴、半短轴、半焦距分别为
∴ 点的轨迹是以原点 为圆心， 半焦距 为半径的圆.
又 点总在椭圆内部，
∴该圆内含于椭圆，即 ，
，即 .故答案为： . ·
三、解答题
13．已知椭圆 的离心率为 ，椭圆的短轴端点与双曲线
的焦点重合，过点 且不垂直于 轴的直线l与椭圆相交于A，B两点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若点B关于 轴的对称点为点E，证明：直线 与 轴交于定点.
【分析】（1）
由双曲线 得焦点 ，得 ，
由题意可得 ，解得 ， ，
故椭圆 的方程为； .
（2）
设直线 ，点 ，则点 .
由 ，得 ，
，解得 ，
从而 ， ，
直线 的方程为 ，令 得 ，又∵ ， ，
则 ，即 ，
故直线 与 轴交于定点 .
14．已知椭圆E： 的左，右焦点分别为 ， ，且 ， 与短轴的两
个端点恰好为正方形的四个顶点，点 在E上．
(1)求E的方程；
(2)过点 作直线交E于A，B两点，求 面积的最大值.
【分析】（1）设 ，因为两个焦点和短轴的两个端点为正方形的四个顶点，
所以 ，因为点 在E上，所以 ，又 ，
解得 ， ，所以E的方程为 ；
（2）若AB垂直于x轴，则
若AB不垂直于x轴，由（1）知 ，则设AB的方程为 ，代入E的方程得：
，设 ，
所以 ，
则有：
而点 到直线AB的距离为 ，
，
显然，若 ，则 .若 ，则 ，
综上 的最大值为 .
15．已知椭圆的两焦点为 ， ， 为椭圆上一点，且 .
(1)求此椭圆的方程；
(2)若点 在第二象限， ，求 的面积.
【分析】（1）设椭圆的标准方程为 ，焦距为 ，
由题可得 ， ，
因为 ，则 ，即 ，
则 ，
所以椭圆的标准方程为 ；
（2）设 点坐标为 ， ， ，
∵ ，∴ 所在的直线方程为 ，
则解方程组 ，可得 ，
∴
16．已知曲线 上一动点 到两定点 ， 的距离之和为 ，过点
的直线 与曲线 相交于点 ， ．
(1)求曲线 的方程；
(2)动弦 满足： ，求点 的轨迹方程；
【分析】（1）因为动点 到两定点 ， 的距离之和为 ，
所以曲线 是以 ， 为焦点的椭圆， ， ，
所以 ， ，所以曲线 的方程为 ；
（2）因为 ，所以 为 中点，设 ，当 的斜率存在且不为0时，将 ， 代入椭圆方程中得：
两式相减得 ，即 ，所以
，
即 ， ，整理得 ；
当 的斜率不存在或为0时，有 或 ，也满足 ；
所以点 的轨迹方程是 ；
综上，曲线 的方程为 ，点 的轨迹方程是 .
一、单选题
1．已知椭圆的长轴长为10，焦距为8，则该椭圆的短轴长等于（ ）
A．3 B．6 C．8 D．12
【答案】B
【详解】椭圆的长轴长为10，焦距为8，
所以 ， ，可得 ， ，
所以 ，可得 ，
所以该椭圆的短轴长 ，故选：B.
2．已知 ， 是椭圆 ： 的两个焦点，点 在 上，则 的最大值
为（ ）
A．13 B．12 C．9 D．6
【答案】C
【详解】由题， ，则 ，
所以 （当且仅当 时，等号成立）．
故选：C．
二、多选题
3．已知曲线 .（ ）A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B．若m=n>0，则C是圆，其半径为
C．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为
D．若m=0，n>0，则C是两条直线
【答案】ACD
【详解】对于A，若 ，则 可化为 ，
因为 ，所以 ，
即曲线 表示焦点在 轴上的椭圆，故A正确；
对于B，若 ，则 可化为 ，
此时曲线 表示圆心在原点，半径为 的圆，故B不正确；
对于C，若 ，则 可化为 ，
此时曲线 表示双曲线，
由 可得 ，故C正确；
对于D，若 ，则 可化为 ，
，此时曲线 表示平行于 轴的两条直线，故D正确；故选：ACD.
三、解答题
4．椭圆 的右焦点为F、右顶点为A，上顶点为B，且满足 ．
(1)求椭圆的离心率 ；
(2)直线l与椭圆有唯一公共点M，与y轴相交于N（N异于M）．记O为坐标原点，若
，且 的面积为 ，求椭圆的标准方程．
【分析】（1）
解： ，离心率为 .
（2）由（1）可知椭圆的方程为 ，
易知直线 的斜率存在，设直线 的方程为 ，
联立 得 ，
由 ，①
， ，
由 可得 ，②
由 可得 ，③
联立①②③可得 ， ， ，故椭圆的标准方程为 ．
5．已知椭圆 的右焦点为 ，上顶点为 ，离心率为 ，且
．
（1）求椭圆的方程；
（2）直线 与椭圆有唯一的公共点 ，与 轴的正半轴交于点 ，过 与 垂直的直线
交 轴于点 ．若 ，求直线 的方程．
【详解】（1）易知点 、 ，故 ，
因为椭圆的离心率为 ，故 ， ，
因此，椭圆的方程为 ；
（2）设点 为椭圆 上一点，
先证明直线 的方程为 ，
联立 ，消去 并整理得 ， ，因此，椭圆 在点 处的切线方程为 .
在直线 的方程中，令 ，可得 ，由题意可知 ，即点 ，
直线 的斜率为 ，所以，直线 的方程为 ，
在直线 的方程中，令 ，可得 ，即点 ，
因为 ，则 ，即 ，整理可得 ，
所以， ，因为 ， ，故 ， ，
所以，直线 的方程为 ，即 .
四、双空题
6．已知椭圆 ，焦点 ， ，若过 的直线和圆
相切，与椭圆在第一象限交于点P，且 轴，则该直线的斜率是
___________，椭圆的离心率是___________.
【答案】
【详解】如图所示：不妨假设 ，设切点为 ，
，
所以 , 由 ，所以 ，，
于是 ，即 ，所以 ．故答案为： ； ．
