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考点 8-4 抛物线及其性质
1．（2021·全国·高考真题）抛物线 的焦点到直线 的距离为 ，则 （ ）
A．1 B．2 C． D．4
【答案】B
【分析】首先确定抛物线的焦点坐标，然后结合点到直线距离公式可得 的值.
【详解】抛物线的焦点坐标为 ，
其到直线 的距离： ，
解得： ( 舍去).
故选：B.
2．（2023·全国·高三专题练习）已知O为坐标原点，抛物线 的焦点为F，点M在抛物线上，且
，则M点到 轴的距离为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【分析】设点 的坐标，由焦半径公式列出方程，求出点 的横坐标，从而求出纵坐标，得到答案.
【详解】由题意得 ，所以准线为 ，
又因为 ，设点 的坐标为 ，
则有 ，解得：
将 代入解析式 得： ，
所以M点到x轴的距离为 ．
故选：D．
3．（2022·陕西·交大附中模拟预测（文））点 在抛物线 上，则 到直线 的距离与到直线
的距离之和的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B【分析】由抛物线定义可知最小值就是焦点到直线 的距离，由点到直线距离公式得解.
【详解】由抛物线定义 到直线 的距离等于 到抛物线焦点距离，
所以 到直线 的距离与到直线 的距离之和的最小值，
即焦点 到直线 的距离： .
故选:B.
4.（2019·北京·高考真题（文））设抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l.则以F为圆心，且与l相切的圆的方
程为__________．
【答案】(x-1)2+y2=4.
【分析】由抛物线方程可得焦点坐标，即圆心，焦点到准线距离即半径，进而求得结果.
【详解】抛物线y2=4x中，2p=4，p=2，
焦点F（1,0），准线l的方程为x=-1，
以F为圆心，
且与l相切的圆的方程为 (x-1)2+y2=22,即为(x-1)2+y2=4.
【点睛】本题主要考查抛物线的焦点坐标，抛物线的准线方程，直线与圆相切的充分必要条件等知识，意
在考查学生的转化能力和计算求解能力.
5．（2023·全国·高三专题练习）已知点F是抛物线 的焦点，A，B，C为E上三点，且
，则 ___________．
【答案】12
【分析】根据题意可得F为△ABC的重心，根据重心坐标公式 解得 ，
再结合抛物线定义 代入整理计算．
【详解】由题意知 ，设 ， ， ，
，F为△ABC的重心
，即 ，
则 ．
故答案为：12．
6.（2022·天津·高考真题）已知抛物线 分别是双曲线 的左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点 ，与双曲线的渐近线交于点A，若 ，则双曲线的标准方程为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由已知可得出 的值，求出点 的坐标，分析可得 ，由此可得出关于 、 、 的方
程组，解出这三个量的值，即可得出双曲线的标准方程.
【详解】抛物线 的准线方程为 ，则 ，则 、 ，
不妨设点 为第二象限内的点，联立 ，可得 ，即点 ，
因为 且 ，则 为等腰直角三角形，
且 ，即 ，可得 ，
所以， ，解得 ，因此，双曲线的标准方程为 .
故选：C.
7．（2022·江苏·南京市第一中学高三开学考试）已知以F为焦点的抛物线 上的两点A，B，满足
，则弦AB的中点到C的准线的距离的最大值是（ ）
A．2 B． C． D．4
【答案】B
【分析】根据抛物线焦点弦的性质以及 ，联立可得 ，进而可用对勾函数的性质求
的最值，进而可求.
【详解】解法1：抛物线 的焦点坐标为 ，准线方程为 ，
设 ， ，则∵ ，由抛物线定义可知 ，∴ ，又因为 ，所以 即 ，由①②可得：
所以 .∵ ，
当 时， ，当 时， ，
∴ ，则弦AB的中点到C的准线的距离 ，d最大值是 .
∴弦AB的中点到C的准线的距离的最大值是 ，
故选：B.
解法2：弦AB的中点到C的准线的距离 ，根据结论
， ， ，
故选：B.
8．（2022·山西吕梁·模拟预测（理））已知抛物线 ： 的焦点为F，C的准线与对称轴交于点
D，过D的直线l与C交于A，B两点，且 ，若FB为∠DFA的角平分线，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据抛物线的定义，过A，B分别作准线的垂线，垂足分别为 ， ，然后利用 ，得到
，进而利用 ，化简，可求出 的值
【详解】
： ，则 ， 所以 ．过A，B分别作准线的垂线，垂足分别为 ， ，则，因为FB为∠DFA的平分线，则 ，又 ，所以 ，所以
，
又 ，所以 ．
故选：B
9.（2023·河北·高三阶段练习）设抛物线 的焦点为F，准线为l，过抛物线上一点A作l的垂线，
垂足为B．设 ， 与 相交于点D．若 ，则 的面积为__________．
【答案】
【分析】根据抛物线的定义可得四边形ABCD为平行四边形，进而可求出 点坐标，即可求解.
【详解】如图所示，由已知 ， ．得 ．
因为 轴， ， ，
所以四边形ABCD为平行四边形，且 ，
所以 ，解得 ，
代入 得 ，
所以 ．
故答案为： .10．（2022·上海松江·二模）设 为坐标原点， 是以 为焦点的抛物线 上任意一点，
是线段 上的点，且 ，则直线 斜率的最大值为_______．
【答案】 ##
【分析】设出 点坐标，利用向量法求得 点坐标并代入抛物线的方程，求得直线 斜率平方的表达式，
结合二次函数的性质求得最大值.
【详解】设 ， ，
依题意 ，
所以 ，
所以 ，将 点的坐标代入抛物线的方程得：
，整理得 ，
设直线 的斜率为 ，则 ，
根据二次函数的性质可知，当 时，
取得最大值为 ，
所以 的最大值为 .
故答案为：
11.（2022·全国·高三专题练习）已知点P为抛物线 上一动点， ， ，则 的最大值
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先讨论 和 两种情况，解出 ；进而讨论 且 时，利用直线的到角公式结合
基本不等式即可求得.【详解】根据抛物线的对称性，不妨设 ，
若 ，则 ， ， ，所以 ；
若 ，则 ， ， ，所以 ；
若 且 ，此时 且 ，
，所以 ，
因为 ,所以 ，则
，当且仅当 时取“=”，
而 ，所以 .
综上： 的最大值为 .
故选：B.
【点睛】本题核心的地方在“ ”这一步，首先分式“
”的处理，上下同除以y（一次）；其次在用基本不等式时，“ ”这
一步的拆分，三个式子一定要相同（ ），否则不能取得“=”.
12．（2022·全国·高三专题练习（理））在平面直角坐标系xOy中，若抛物线C:y2=2px( )的焦点为F，
直线x=3与抛物线C交于A，B两点，｜AF|=4，圆E为 的外接圆，直线OM与圆E切于点M，点N
在圆E上，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由已知及抛物线的定义，可求 ，进而得抛物线的方程，可求 ， ， 的坐标，直线 的方
程，可得圆的半径，求得圆心，设 的坐标，求得 的坐标，结合向量数量积的坐标表示，以及辅助角
公式和正弦函数的值域，可得所求范围．【详解】解：由题意，设 ，所以 ，解得 ，
所以抛物线的方程为 ， ， ， ，
所以直线 的方程为 ，
设圆心坐标为 ， ，所以 ，解得 ，即 ，
圆的方程为 ，
不妨设 ，设直线 的方程为 ，则 ，
根据 ，解得 ，
由 ，解得 ，
设 ，所以 ，
因为 ，
所以 ．
故选：B．
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是：首先求出圆的方程为 ，然后利用直线OM与圆
E切于点M，求出M点的坐标，引入圆的参数方程表示N点坐标，再根据向量数量积的坐标表示及辅助角
公式，可得所求范围．.
13．（2022·天津市第四十七中学模拟预测）已知点 是抛物线 的对称轴与准线的交点，点 为抛
物线的焦点，点 在抛物线上且满足 ，若 取最大值时，点 恰好在以 为焦点的双曲线
上，则双曲线的离心率为A． B． C． D．
【答案】B
【详解】过P作准线的垂线，垂足为N，则由抛物线的定义可得|PN|=|PB|，
∵|PA|=m|PB|， ∴|PA|=m|PN| ∴ ，
设PA的倾斜角为 ，则 ，
当m取得最大值时， 最小，此时直线PA与抛物线相切，
设直线PA的方程为y=kx﹣1，代入x2=4y，可得x2=4（kx﹣1），即x2﹣4kx+4=0，
∴△=16k2﹣16=0，∴k=±1， ∴P（2，1），
∴双曲线的实轴长为PA﹣PB=2（ ﹣1）， ∴双曲线的离心率为 ．
故选B．
点睛：本题的关键是探究m的最大值，先利用抛物线的定义转化 得到 ，m取
得最大值时， 最小，此时直线PA与抛物线相切，得到△=0，得到k的值.转化是高中数学很重要的一
个数学思想，在解题过程中要注意灵活运用.
14．（2022·全国·高三专题练习（理））如图，过抛物线 的焦点 作两条互相垂直的弦
、 ，若 与 面积之和的最小值为16，则抛物线的方程为______.【答案】
【分析】根据焦半径公式表示出面积表达式
，根据直线和x轴夹角的范围得到
面积的范围.
【详解】设直线AC和x轴的夹角为 由焦半径公式得到
面积之和为：
通分化简得到
原式子化简为 根据二次函数的性质当t=1时有最小值，此时
抛物线方程为：
故答案为 .
【点睛】本题主要考查了抛物线的几何性质．解题的关键是利用了抛物线的定义以及焦半径公式．一般和
抛物线有关的小题，很多时可以应用结论来处理的；平时练习时应多注意抛物线的结论的总结和应用．尤其和焦半径联系的题目，一般都和定义有关，实现点点距和点线距的转化．
15．（2021·全国·高三专题练习（文））已知点 在抛物线 上，过点 作抛物线的切线与 轴交于
点 ，抛物线的焦点为 ，若 ，则 的坐标为___________.
【答案】
【分析】设出 点坐标，求得切线方程，由此求得 点坐标，根据 列方程，解方程求得
点的坐标.
【详解】 ，
设 ， ，
依题意可知过 点的切线斜率存在且不为 ，设为 ，
则切线方程为 ，
即 ，
由 ，
化简得 ，
， ，
， ，
故切线方程为 ，
令 得 ，故 ，
， ，
依题意， ，即 ，
， ，由于 ，
故 ，此时 ，
所以 点坐标为 .
故答案为：
